Leis de Kirchoff e sua Aplicação na Análise de Circuitos
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2 Matéria 1 Teoria dos Circuitos e Fundamentos de Electrónica Leis de Kirchoff e sua Aplicação na Análise de Circuitos Lei de Kirchhoff das correntes Lei de Kirchhoff das tensões Teresa Mendes de Almeida [email protected] © T.M.Almeida ACElectrónica Fevereiro de 2011 3 A soma das correntes que entram num nó é igual à soma das correntes que saem desse nó e e 4 i2 + i5 = i4 + i7 sair equações matematicamente equivalentes 0 = −i2 + i4 − i5 + i7 TCFE Leis de Kirchhoff e sua Aplicação na Análise de Circuitos então há outra formulação possível para KCL: Num nó, a soma algébrica das correntes é nula ∑ ±i k =0 k é preciso arbitrar um sentido para a corrente em cada ramo e escrever equações KCL concordantes com os sentidos escolhidos IST-DEEC-ACElectrónica Fevereiro de 2011 +i2 − i4 + i5 − i7 = 0 s E quando as correntes não têm um sentido já marcado?... © T.M.Almeida TCFE Leis de Kirchhoff e sua Aplicação na Análise de Circuitos entrar baseia-se na conservação da carga eléctrica também se chama Lei dos Nós equação tem tantos termos quantos os ramos que ligam ao nó Nó 3 s Nó 1 Nó 2 Nó 3 Nó 4 … Nó 5 … IST-DEEC-ACElectrónica Lei de Kirchhoff das correntes (KCL) i1 = i2 + i3 i4 = i1 + i6 i2 + i5 = i4 + i7 Divisor de Tensão Divisor de Corrente Análise e simplificação de circuitos © T.M.Almeida ∑i = ∑i Resistências em série Resistências em paralelo Simplificação de resistências IST-DEEC- Lei de Kirchhoff das correntes (KCL) KVL – lei das malhas Ligação de componentes em série e em paralelo Resistências em série e em paralelo DEEC Área Científica de Electrónica KCL – lei dos nós Generalização de KCL Fevereiro de 2011 é preciso associar sinal algébrico (+/-) com sentido das correntes correntes que entram são (+) e correntes que saem são (-) ou correntes que entram são (-) e correntes que saem são (+) © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Leis de Kirchhoff e sua Aplicação na Análise de Circuitos 2 hipóteses Fevereiro de 2011 5 Quantas equações KCL? Num circuito com N nós 30 + 20 = I5 60 + I5 = I4 + 40 I6 + 40 = 30 I4 = I1 + I6 © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica I1 = 80 mA TCFE Leis de Kirchhoff e sua Aplicação na Análise de Circuitos Quantos nós? Quanto vale IT? Quantas eq. KCL diferentes? Calcular I1 e I2 Fevereiro de 2011 7 Fevereiro de 2011 TCFE Leis de Kirchhoff e sua Aplicação na Análise de Circuitos Fevereiro de 2011 8 ∑v baseia-se na conservação da energia eléctrica k é preciso associar sinal algébrico (+/-) com polaridade da tensão quando se circula na malha + quando se encontra primeiro o sinal + – quando se encontra primeiro o sinal – k =0 E quando as grandezas não estão marcadas no circuito? arbitrar polaridades(sentidos) e escrever equações KVL de acordo com sentidos que foram arbitrados Também se chama Lei das Malhas Sentido horário (abcdefa) Sentido anti-horário (afedcba) Basta escrever uma das equações TCFE Leis de Kirchhoff e sua Aplicação na Análise de Circuitos IST-DEEC-ACElectrónica A soma algébrica das tensões numa malha é zero IST-DEEC-ACElectrónica I4 = 70 mA Lei de Kirchhoff das tensões (KVL) © T.M.Almeida 20 + 60 + 30 = I4 + 40 © T.M.Almeida Calcular ix I1 = 80 mA I4 foi calculada sem se saber I6 Generalização pode ser muito útil em circuitos mais complexos I1 = 60 + 20 Superfície 2 I6 = -10 mA Exemplos de aplicação I4 = 70 mA superfície fechada parte do circuito onde se verifique conservação da carga conjunto de componentes (que não armazenam carga) interligados pode ser vista como um nó gigante Superfície 1 Nó 2 I5 = 50 mA Nó 5 Por onde começar? Qual a sequência de cálculos? Há mais do que uma forma de calcular? (sim!) Nó 3 Pode generalizar-se a lei de Kirchhoff das correntes aplicando-a a uma superfície fechada Nó 4 podem escrever-se N equações KCL = uma equação para cada nó mas apenas N-1 equações é que são linearmente independentes! a N-ésima equação é redundante (pode obter-se a partir das restantes) Calcular as correntes desconhecidas I1, I4, I5, I6 usando KCL 6 Generalização KCL + VR1 – 5 + VR2 – 15 + VR3 – 30 = 0 + 30 – VR3 + 15 – VR2 + 5 – VR1 = 0 as 2 equações são equivalentes (×-1) © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Leis de Kirchhoff e sua Aplicação na Análise de Circuitos Fevereiro de 2011 9 Quantas equações KVL? Quantas equações KVL se podem escrever? Malha exterior – abcda +VR1 + (20 VR1) + VR3 – VS = 0 Malha elementar à esquerda – abda +VR1 + VR2 – VS = 0 Malha elementar à direita – bcdb + (20 VR1) + VR3 – VR2 = 0 Há 2 malhas elementares © T.M.Almeida pode obter-se a partir das outras duas! IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Leis de Kirchhoff e sua Aplicação na Análise de Circuitos Fevereiro de 2011 11 Exemplos de aplicação Calcular Vec, Vad e Veb Calcular Vo IST-DEEC-ACElectrónica Fevereiro de 2011 12 têm um nó comum → nó b passa a mesma corrente nos dois componentes Iab = Ibc têm dois nós comuns → nós a e b queda tensão aos terminais é a mesma Vab Ligação série / paralelo? 3I1 − Va + 5 I1 − 12 = 0 I1 = 2mA Vo = 10V Va = 2 I1 TCFE Leis de Kirchhoff e sua Aplicação na Análise de Circuitos Fevereiro de 2011 Componentes 1 e 2 ligados em paralelo © T.M.Almeida TCFE Leis de Kirchhoff e sua Aplicação na Análise de Circuitos Componentes 1 e 2 ligados em série 3000 I + ( 2Vo ) + Vo − 12 = 0 I = 2mA Vo = 1000 I Vo = 2V IST-DEEC-ACElectrónica Ligação em série e em paralelo Calcular Vbd pelo ramo da esquerda (gerador de tensão) Vaf = +Va – Vf = 24 V KVL circulando pelos componentes do lado direito +16 – 12 + 4 + 6 + 10 – Vaf =0 Vaf = 24 V © T.M.Almeida Vec = + Ve – Vc é a incógnita KVL circulando no sentido horário Vec + 4 + 6 = 0 Vec = – 10V Quanto vale Vaf? apenas 2 das 3 equações KVL são linearmente independentes a 3ª equação a ser considerada é redundante Vae = + Va – Ve é a incógnita KVL circulando no sentido horário Vae + 10 – 24 = 0 Vae = 14V Quanto vale Vec? 10 Como usar KVL para determinar queda de tensão entre dois nós? Quanto vale Vae? tantas quantas o número de malhas elementares as restantes equações são redundantes Circulando em sentido horário em todas as malhas do circuito… uma por cada malha do circuito Quantas equações KVL são linearmente independentes? Usar KVL p/ determinar d.d.p. entre dois nós paralelo © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica série paralelo TCFE Leis de Kirchhoff e sua Aplicação na Análise de Circuitos série Fevereiro de 2011 13 Resistências em série Duas resistências em série somam-se KVL (sentido horário) R1i + R2i − v = 0 v = ( R1 + R2 ) i Duas resistências em paralelo 1 1 1 = + RP R1 R2 RS = R1 + R2 v = R1 + R2 i N resistências em série somam-se GP = G1 + G2 RP = R1 R2 R1 + R2 KCL no nó superior io = RS = R1 + R2 + R3 + … + RN 14 Resistências em paralelo v v + R1 R2 1 1 i 1 1 io = v + o = + R1 R2 v R1 R2 RP = R1 // R2 N resistências em paralelo 1 1 1 1 1 = + + +… + RP R1 R2 R3 RN N resistências iguais RP = R1 // R2 // R3 // // RN RS = N × R RS é sempre maior do que as resistências da série © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Leis de Kirchhoff e sua Aplicação na Análise de Circuitos Fevereiro de 2011 15 Simplificação de resistências 1 2 3 4 RP = R / N N resistências iguais RP é sempre menor do que as resistências do paralelo © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Leis de Kirchhoff e sua Aplicação na Análise de Circuitos A tensão divide-se entre duas resistências em série na proporção directa do valor das suas resistências a KCL i = iab = iR1 iab = ibc = iR 2 KVL (abca) Lei Ohm i= IST-DEEC-ACElectrónica i = iR1 = iR 2 vR1 + vR 2 − v = 0 vR1 = R1i vR 2 = R2i v R1 + R2 vR1 = RAB=5kΩ © T.M.Almeida 16 Divisor de Tensão b 5 RAB=3kΩ Fevereiro de 2011 RAB=22kΩ TCFE Leis de Kirchhoff e sua Aplicação na Análise de Circuitos Fevereiro de 2011 R1=R2 vR1 = vR 2 = © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica v 2 R1i + R2i − v = 0 R1 v R1 + R2 R1=0 (curto-circuito) vR 2 = c R2 v R1 + R2 vR1 = 0 vR 2 = v vR1 = v R1=+∞ v = 0 R2 (circuito aberto) TCFE Leis de Kirchhoff e sua Aplicação na Análise de Circuitos Fevereiro de 2011 17 Divisor de Corrente A corrente divide-se entre duas resistências em paralelo na proporção inversa dos seus valores a KCL (nó a) i = i1 + i2 Lei Ohm R1i1 = R2i2 v = vab = R1i1 v = vab = R2i2 R i2 = 1 i1 R2 R2 i1 = R + R i 1 2 R 1 i = i 2 R1 + R2 R1=R2 i1 = i2 = © T.M.Almeida i 2 IST-DEEC-ACElectrónica i = i1 + R1 i1 R2 1 G= R R1=0 (curto-circuito) 40 + 80 0.9 = 0.6mA 60 + ( 40 + 80 ) I2 = 60 0.9 = 0.3mA 60 + ( 40 + 80 ) Vo = 80k × I 2 = 24V Simplificar resistências e usar divisor de tensão R12 = 60 // ( 80 + 40 ) = 40k Ω R12 R1=+∞ (circuito aberto) TCFE Leis de Kirchhoff e sua Aplicação na Análise de Circuitos i1 = 0 i2 = i V1 = R12 I12 = 40 × 0.9 = 36V Vo = Fevereiro de 2011 19 © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica 80 V1 = 24V 80 + 40 TCFE Leis de Kirchhoff e sua Aplicação na Análise de Circuitos 20 Exemplos de aplicação Calcular Vab Qual a potência fornecida por VS? Quanto vale VS? Fevereiro de 2011 Quanto vale IA? Calcular Io Quanto vale V1? identificar nós Pfonte I = 0W Pfonte I = V fonte I I fonte I = Veb I eb = 0 ⇒ Veb = 0 I1 = I12 Calcular VS sabendo que a potência posta em jogo na fonte de corrente é 0W Calcular I1, I2 e Vo Divisor de corrente e Lei de Ohm G1 i1 = G + G i 1 2 i = G2 i 2 G1 + G2 Exemplo de aplicação b i1 = i i2 = 0 18 Exemplo de aplicação a marcar corrente IE KCL nós a e f I E = I ab = I fa = I ef KVL malha elementar à esquerda (abefa) 18 3I E + Vbe + 2 I E − 18 = 0 I E = A 5 0 marcar corrente ID 33 IE + 3 = ID ID = A KCL nó b b ID IE f c e d 5 KCL nós c e d I D = I bc = I cd = I de KVL malha elementar à direita (bcdeb) 8 I D + VS + 6 I D + Veb = 0 VS = −14 I D = −92, 4V 0 © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Leis de Kirchhoff e sua Aplicação na Análise de Circuitos Fevereiro de 2011 © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Leis de Kirchhoff e sua Aplicação na Análise de Circuitos Fevereiro de 2011
