FGV ADM – 14/dez/2014

CPV O Cursinho que Mais Aprova na GV
FGV ADM – 14/dez/2014
MATEMÁTICA APLICADA
01. Um mapa de um pequeno parque é uma região em forma
de quadrilátero, limitado pelas retas y = x, y = x + 4,
y = –x + 4 e y = –x, sendo que as unidades estão em
quilômetros. A altitude em relação ao nível do mar em
cada ponto (x, y) do parque é dada pela expressão
3 . (0,75x + y3) quilômetros.
4
a) Demonstre que o quadrilátero do parque é um
quadrado.
b) Qual é a altitude do centro do parque, ponto de
encontro das diagonais, em relação ao nível do mar?
Resolução:
a) Considere a repreasentação gráfica das retas
y = x (r)
y = x + 4 (s)
y = – x + 4 (t)
y = – x (u)
C (0,4)
M (0,2)
B (2,2)
2
a)Expresse V em termos de x e y.
b) Quais são o maior e o menor valor, em reais, do metro
quadrado no município?
-2
2
Observando que no quadrilátero da figura as diagonais são
perpendiculares e congruentes, portanto, o quadrilátero é
quadrado.
b) Considerando o ponto M (0, 2), temos:
3
. (0,75 . 0 + 8) =
4
CPV
FGVADMDEZ2014
(
x2 + y2
100
(
3
.8=2
4
3 cm
(
V . 10
x2 + y2
=–
45
100
–
V.2
=e
9
)
100
x2 + y2
100
Þ
x2 + y2
)
ln
)
9 –
V=
e
2
Þ
(
V.2
x2 + y2
=–
9
100
)
(x2 + y2)
100
(t)
(u)
(r)
a) Temos que 0 ≤ x ≤ 5 e 0 ≤ y ≤ 5
ln V = ln 45 – ln 10 –
Se necessário, use as aproximações: ln 2 = 0,7; ln 3 = 1,1.
Observe que o número e é igual a 2,718... e que y = ln x se e
somente se ey = x, com x > 0.
ln
A (0,0)
(s)-4
)
x2 + y2
,
100
sendo V expresso em milhares de reais.
ln V – ln 45 + ln 10 = –
D (-2,2)
(
ln V = ln 45 – ln 10 –
Resolução:
r // s e t // u
r t e s u
4
02. Certo município pode ser representado em um mapa como
uma malha retangular, 0 £ x £ 5 e 0 £ y £ 5 com uma
cidade na origem. Uma construtora estimou que o valor do
metro quadrado no ponto (x, y) do mapa, x e y números
naturais, é dado pela relação:
b) x = 0 e y = 0 Þ
Vmáx =
Vmáx
9 0
e = 4500 reais por m2
2
x=5 e y=5 Þ
Vmin
9 –1/2
e
2
9
1
ln Vmin = ln
–
2
2
Vmin =
Þ
ln Vmin = 2,2 – 0,7 – 0,5
Vmin = e1 = 2,718 = 2718 reais por m2
1
2
FGV-ADM 14/12/2014
CPV
o
Cursinho
03. Atenda ao que se pede:
a) Determine o produto das raízes da equação cúbica
x3+ 64 = 0 que não são números reais.
b) Para resolver uma equação cúbica expressa na forma
x3 + 3ax = 2b, o matemático francês François Viète
a
(1540-1603) substituiu a variável x por x =
– y
y
e obteve a equação: y6 + 2by3 – a3 = 0. Obteve os
valores de y e depois, os de x. Use esse método para
determinar uma raiz da seguinte equação (considere x
e y números reais e positivos): x3 + 3x . 3 5 = 4.
Mais Aprova
que
na
GV
04. A figura mostra o gráfico da função
f (x) = 2x3 – x2 – 20x + 28.
a) Se julgar conveniente, utilize-o para resolver a
2x3 – x2 – 20x + 28
inequação:
> 0.
(x2 + x + 1)3
b) Resolva a inequação: 2x3 – x2 – 20x + 28 > 28.
Resolução:
a)x3 + 64 = 0
fatorando temos que (x + 4) (x2 – 4x + 16) = 0
portanto, a raiz real é – 4,
logo x2 – 4x + 16 = 0 contém as raízes imaginárias.
c
O produto das raízes imaginárias é dado por
= 16.
a
Resposta: o produto das raízes imaginárias é 16.
b) Segundo François Vièle a equação x3 + 3ax = 2b resolve
a
substituindo x =
– y,
y
obtendo a equação y6 + 2by3 – a3 = 0.
Assim, a equação x3 + 3x 3 5 = 4
pode ser resolvida fazendo a = 3 5 e b = 2,
resultando na equação
Resolução:
a) De acordo com o gráfico dado, 2 é uma raiz dupla de f(x), a
outra raiz pode ser obtida por Biot-Ruffini.
2x + 7 = 0 Þ x = –
Como x2 + x + 1 > 0 para todo x Î , devemos ter:
2x3 – x2 – 20x + 28 > 0 Û (x – 2)2 (2x + 7) > 0 isto é
f(x) > 0.
Pelo gráfico:
3
y6 – 4y3 – ( 3 5 ) = 0, isto é, y6 – 4y3 – 5 = 0.
Substituindo y3 = t temos t2 – 4t – 5 = 0
cujas raíses são: t = – 5 (não convém)
t = 1
Se t = 1 então y3 = 1 Þ y = 1 (real positivo)
Como x =
3
5
– 1 temos x = 3 5 – 1
1
7
2
–
]
[
7
S = – 2 , + ¥ – { 2 }.
b) Temos: 2x3 – x2 – 20x + 28 > 28 Û x (2x2 – x – 20) > 0.
1 ± 161
As raízes de 2x2 – x – 20 = 0 são x =
4
Estudo de sinal:
–
S =
FGVADMDEZ2014
–
+
1–
CPV
7
.
2
+
0
161
]
161
1+
4
4
1–
161
4
,0
[
È
]
1+
161
4
[
,+¥ .
CPV
o
Cursinho
que
05. Uma fábrica constrói dados com a forma de um tetraedro
regular. A área de uma face do dado é igual a 9 3 cm2.
a) Qual é a soma das medidas das arestas de um dado?
b) As faces do dado são numeradas de 1 a 4. Lançamos
dois desses dados. Qual é a probabilidade, expressa
em porcentagem, da soma dos números das faces
visíveis ser um múltiplo de 5?
Resolução:
a) Devemos ter:
a2
3
= 9 3 Þ a = 6 que é a medida
4
4.3
de uma aresta do tetraedo. O tetraedo possui
arestas,
2
então a soma de todas elas é igual a 6 . 6 = 36 cm.
b) O número de elementos do espaço amostral é
N (E) = 4 . 4 = 16.
Os resultados possíveis cuja soma dos números das faces é
múltiplo de 5 são:
dado 1
dado 2
soma
(1, 2, 3)
(2, 3, 4)
15
(2, 3, 4)
(1, 2, 3)
15
(1, 2, 4)
(1, 3, 4)
15
(1, 3, 4)
(1, 2, 4)
15
Portanto: P =
4
= 25%
16
06.Uma padaria entrega mensalmente certo tipo de pão,
cobrando R$ 1,50 pelo pacote simples, que contém 1
unidade, e R$ 2,50 pelo pacote duplo, que contém 2
unidades.
— Na primeira semana, ela entrega a um restaurante
100 pacotes simples e 40 pacotes duplos.
— Na segunda semana, 200 pacotes simples e 80 pacotes
duplos.
— Na terceira semana, 200 pacotes simples e 60 pacotes
duplos.
— Na quarta semana, 300 pacotes simples e 80 pacotes
duplos.
a) Escreva um produto de matrizes que expresse o
total de pães entregues pela padaria mensalmente
ao restaurante e o valor total, em reais, recebido
mensalmente pela padaria.
Mais A prova
na
GV
3
FGV-ADM 14/12/2014
b) Usando a matriz produto do item A, calcule o total de
pães entregues mensalmente ao restaurante e o valor
total, em reais, recebido mensalmente pela padaria.
Resolução:
a)Seja P a matriz produto pedida. Do enunciado, P é do tipo
(pij)2x4, sendo:
número de pãesp11 p12 p13 p14
valor total em reais
p21 p22 p23 p24
=P
Seja Q a matriz que indica a quantidade de pacotes de pães
vendidos no mês. Q é do tipo (qij)2x4, sendo:
1a semana
2a semana
3a semana
4a semana
pacote 100 200 200 300
simples = Q
pacote duplo
40
80
60
80
Seja R a matriz que indica a quantidade de pães por pacote e
o preço de cada pacote, tal que R seja do tipo (rij)2x2, com
1
2
R = , temos o produto de matrizes:
1,502,50
R . Q = P
1 2100200200300
.
1,50 2,50
40 80 60 80
número de pães
180
360
320
460
valor total em reais
250
500
450
650
=P
=P
b) Usando o resultado do item A, o total de pães entregues
mensalmente ao restaurante e o valor total, em reais, recebido
mensalmente pela padaria pode ser obtido, respectivamente,
pela soma dos elementos da 1a e da 2a linhas da matriz
produto. Temos:
●
●
total de pães = 180 + 360 + 320 + 460 = 1320
valor total (em reais) = 250 + 500 + 450 + 650 = 1850
A matriz produto deve ter esta forma:
Número de pães ––––
Valor total em reais – – – –
As colunas representam a primeira, segunda, terceira e
quarta semanas, respectivamente.
FGVADMDEZ2014
CPV
4
FGV-ADM 14/12/2014
CPV
o
Cursinho
07. a) Braille é um sistema de leitura para cegos inventado
pelo francês Louis Braille no ano de 1827, em Paris. Os
caracteres são indicados por pontos de alto-relevo que
podem representar letras, pontuações, números, sinais
matemáticos, notas musicais. Cada célula Braille
possui 6 pontos, arrumados num padrão três linhas
por duas colunas. Observe como são representadas,
por exemplo, as letras A e B.
Mais Aprova
que
na
08. Atenda ao que se pede.
a) Considerando que uma geração corresponde a 25
anos, determine o número de ancestrais (pais, avós,
bisavós, etc.) que determinada pessoa pode ter em um
período de 300 anos.
b) A figura mostra os quatro primeiros termos da
sequência dos números piramidais de base quadrada.
Determine o quinto, o sexto e o sétimo termos da
sequência.
Considere que quando não há pontos de alto-relevo,
não há representação de nenhum caractere:
Resolução:
25 anos
a)
25 anos
Pai
Quantos caracteres podem ser representados no
sistema Braille?
b) Nove cobaias numeradas de 1 a 9 são distribuídas
igualmente em três grupos: um grupo de controle e dois
grupos experimentais. De quantos modos diferentes as
cobaias podem ser distribuídas nos grupos, se os três
grupos têm tratamentos diferenciados?
Resolução:
a) Considerando que pelo menos um ponto precisa de altorelevo, temos:
Resposta: Podem ser representados no sistema Braille
63 caracteres.
b) Escolhendo as pessoas dentro dos grupos, temos:
1o Grupo
C9,3
.
84
2o Grupo
3o Grupo
C6,3
.
C3,3
.
20
.
1
= 1680
Resposta: As cobaias podem ser distribuídas nos grupos
de 1680 modos diferentes.
CPV
FGVADMDEZ2014
Mãe
Pai
...
Mãe
...
Pai
...
Mãe
...
Montando uma sequência de ancestrais, temos (2, 4, 8, ...)
P.G. de razão 2 e a1 = 2.
O total de ancestrais em 300 anos é dado por
S 300 = S12 =
1 ponto 2 pontos 3 pontos 4 pontos 5 pontos 6 pontos
C
+ C6,2 + C6,3 + C6,4 + C6,5 + C6,6 =
6,1
26 – 1 = 63
GV
25
a1 (qn – 1)
q–1
=
2 (212 – 1)
= 8190
2–1
b) 1o termo = 1
2o termo = 1 + 4 = 12 + 22 = 5
3o termo = 1 + 4 + 9 = 12 + 22 + 32 = 14
4o termo = 1 + 4 + 9 + 16 = 12 + 22 + 32 + 42 = 30
Assim,
5o termo = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55
6o termo = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 = 91
7o termo = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 = 140
CPV
o
Cursinho
que
09. Um retângulo em que a razão entre as medidas do maior e
1+ 5
do menor lado é
é chamado retângulo de ouro.
2
Mais A prova
na
GV
10. Considere um triângulo ABC de área 12 cm2, cujos lados
medem AC = 8 cm e BC = 6 cm.
^
a) Calcule a medida do ângulo C. Faça um esboço de
todos os triângulos possíveis.
b) Calcule a soma dos quadrados das possíveis medidas
do lado AB.
Resolução:
5
FGV-ADM 14/12/2014
C
Do retângulo de ouro da figura, retiramos um quadrado de
lado 2a.
α
8
6
A
x
B
Resolução:
1
1
^
. AC . BC . sen C Þ 12 =
. 8 . 6 sen α
2
2
1
Þ sen α =
Þ α = 30º ou α = 150º
2
A partir do desenho, temos:
(1 +
Demonstre que o retângulo resultante é um retângulo de
ouro.
a)AABC =
Assim, os possíveis triângulos são:
C
5) a
30º
2a
2a
8
C
6
8
(
2a
5 – 1) a
A
Assim, a razão é dada por:
2a
=
2
=
1+ 5
2
(
Logo, o retângulo resultante é um retângulo de ouro.
5 – 1) a
5–1
x
figura 1
B
b) Na figura 1, temos:
Na figura 2, temos:
A
150º
6
x
figura 2
B
x21 = 82 + 62 – 2 . 8 . 6 cos 30º
x22 = 82 + 62 – 2 . 8 . 6 cos 150º
Assim, x21 + x22 = 64 + 36 – 96 cos 30º + 64 + 36 – 96 cos 150º
e como cos 150º = – cos 30º, temos:
x21 + x22 = 100 + 100 = 200
COMENTÁRIO
do
CPV
A prova de Matemática Aplicada da FGV de 2015 foi uma
prova abrangente no seu conteúdo, dentro da proposta de
selecionar os melhores alunos. Fica claro a preocupação da
banca em beneficiar o aluno conceitual e bem preparado.
FGVADMDEZ2014
CPV