RESOLUÇÃO Matemática APLICADA FGV

RESOLUÇÃO
Matemática APLICADA
FGV Administração - 14.12.14
VESTIBULAR FGV 2015 – 14/12/2014
RESOLUÇÃO DAS 10 QUESTÕES DE MATEMÁTICA
DA PROVA DA TARDE – MÓDULO DISCURSIVO
QUESTÃO 1
Um mapa de um pequeno parque é uma região em forma de quadrilátero, limitado pelas retas y = x, y = x + 4,
y = –x + 4 e y = –x, sendo que as unidades estão em quilômetros. A altitude em relação ao nível do mar em
3
cada ponto (x , y) do parque é dada pela expressão
⋅ (0,75x + y3) quilômetros.
4
a) Demonstre que o quadrilátero do parque é um quadrado.
b) Qual é a altitude do centro do parque, ponto de encontro das diagonais, em relação ao nível do mar?
Resolução:
a) SendoABCDoquadrilátero,comoindicaafigura,temos:
(r):y=x⇒ mr = 1
4&
(s):y=–x⇒ ms = –1
e AB = BC = CD = DA = 2 2 .
Como os quatro lados têm medidas iguais e dois consecutivos são perpendiculares, ABCD é um quadrado.
b) O centro do parque é o ponto médio da diagonal AC dafigura.ComoA=(0,0)eC=(0,4),temosM=(0,2).
3
(0,75 · 0 + 23) km = 2 3 km.
Altitude:
4
Respostas:
a) Demonstração acima.
b) 2 3 km
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QUESTÃO 2
Certo município pode ser representado em um mapa como uma malha retangular, 0 # x # 5 e 0 # y # 5 com
uma cidade na origem. Uma construtora estimou que o valor do metro quadrado no ponto (x, y) do mapa, x e
y números naturais, é dado pela relação:
ln V = ln 45 – ln 10 – f
x y
p , sendo V expresso em milhares de reais.
100
2
2
a) Expresse V em termos de x e y.
b) Quais são o maior e o menor valor, em reais, do metro quadrado no município?
Se necessário, use as aproximações: ln 2 = 0,7; ln 3 = 1,1.
Observe que o número e é igual a 2,718... e que y = ln x se e somente se ey = x, com x > 0.
Resolução:
a) Primeiro modo:
ln V = ln (32 ⋅ 5) – ln (2 ⋅ 5) – f
x2  y2
p
100
ln V = 2 ln 3 + ln 5 – ln 2 – ln 5 – f
x2  y2
p
100
x2  y2
ln V , 2 ⋅ 1,1 – 0,7 – f
p
100
ln V , 1,5 – f
x2  y2
p
100
Portanto V , e1, 5 −
b) Na região com 0
cx
2
+y
100
Segundo modo:
In V – In 45 + In 10 = –
In
2
x +y
−
2V
= e 100
9
Portanto V =
2
1, 5 −
1
2
1
= e , 2, 718 (milhares de reais)
Respostas:
x2 + y2
2
2
x2 + y2
9 − 100
e
2
≤ x ≤ 5 e 0 ≤ y ≤ 5, V é máximo no ponto (0,0). E V é mínimo no ponto (5,5) da região
9
Logo, Vmáx = e0 = 4,5 (milhares de reais)
2
a) V = 9 e − 100
2
2
m
dada.
Vmín , e
2
x +y
10 V
=−
45
100
2
x y
100
1, 5 −
, e
2
2
x +y
100
b) R$ 4.500,00 o maior e R$ 2.718,00 o menor, aproximadamente.
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QUESTÃO 3
Atenda ao que se pede:
a) Determine o produto das raízes da equação cúbica x3 + 64 = 0 que não são números reais.
b) Para resolver uma equação cúbica expressa na forma x3 + 3ax = 2b, o matemático francês François Viète
a
– y e obteve a equação: y6 + 2by3 – a3 = 0. Obteve os valores
(1540–1603) substituiu a variável x por x =
y
de y e depois, os de x. Use esse método para determinar uma raiz da seguinte equação (considere x e y
números reais e positivos):
x3 + 3x ⋅
3
5 =4
Resolução:
a) x3 = – 64
Em R, x =
3
– 64 = –4
Por Girard, o produto das três raízes é – 64.
– 64
= 16.
O produto das raízes não reais é:
–4
a
– y, que gera a equação
y
3
5 e 2b = 4) & (a = 5 e b = 2)
b) Como x3 + 3ax = 2b pode ser resolvido através da substituição x =
y6 + 2by3 – a3 = 0, tem-se para x3 + 3x
3
5 = 4 que: (3a = 3
Substituindo a e b, tem-se: y6 + 4y3 – (
3
5 )3 = 0 & y6 + 4y3 – 5 = 0 & (y3 = – 5 ou y3 = 1)
y3 = – 5 & y =
3
−5 & y = –
3
5 < 0 (não convém).
y3 = 1 & y = 1
x=
x
a
–y & x=
y
3
3
5
–1
1
5 –1
Uma raiz da equação é (
Respostas:
a) 16
b)
3
5 –1
3
5 – 1).
3
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QUESTÃO 4
A figura mostra o gráfico da função f(x) = 2x3 – x2 – 20x + 28.
a) Se julgar conveniente, utilize-o para resolver a inequação:
b) Resolva a inequação:
2x3
–
x2
3
2
2x – x – 20x  28
2
(x  x  1)
– 20x + 28 2 28.
3
2 0.
f(x)
f(x) = 2x3 – x2 – 20x + 28
28
0
1
2
x
3
Resolução:
a) • Pelo gráfico, 2 é raiz dupla de f(x). Sendo r a outra raiz, por Girard:
( − 1)
2+2+r=–
& r=– 7
2
2
• O trinômio x2 + x + 1 tem ∆ = 12 – 4 ⋅ 1 ⋅ 1 = –3 < 0.
Então, x2 + x + 1 > 0, 6 x ! R e, também, (x2 + x + 1)3 > 0, 6 x ! R .
Daí:
2x3 − x2 − 20x + 28
2
( x + x + 1)
3
>0
,
f (x) > 0
cgrpelo
m
áfico
,
cx > −
7
e x ! 2m
2
y
b)
y = f(x)
28
–7
2
f(x) = 28
,
2x3 – x2 – 20x + 28 = 28
Então, no gráfico acima, a =
Logo, f(x) > 28
0
a
,
f
1−
1−
1−
x(2x2 – x – 20) = 0
161
1 + 161
e b=
4
4
161
1 + 161
< x < 0 ou x >
p.
4
4
Respostas:
7
e x ! 2.
a) x > –
2
b)
,
1  161
161
< x < 0 ou x >
.
4
4
b
2
,
x
f x  0 ou x 
1!
161
p
4
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QUESTÃO 5
Uma fábrica constrói dados com a forma de um tetraedro regular. A área de uma face do dado é igual a
9 3 cm2.
a) Qual é a soma das medidas das arestas de um dado?
b) As faces do dado são numeradas de 1 a 4. Lançamos dois desses dados. Qual é a probabilidade, expressa
em porcentagem, da soma dos números das faces visíveis ser um múltiplo de 5?
Resolução:
a) ,  medida da aresta
A face  9
2
3 cm &
6,  6 $ 6 cm  36 cm
,2 3  9 3 cm2 & ,  6 cm
4
b) Primeiro modo:
Esta tabela mostra a soma das faces visíveis nos dois tetraedros:
faces invisíveis
nos tetraedros
2º
1º
1
2
3
4
1
18
17
16
15
2
17
16
15
14
3
16
15
14
13
4
15
14
13
12
A probabilidade da soma ser um múltiplo de 5 é a probabilidade da soma ser 15, então:
p=
4
1
25


 25%
4 100
16
Segundo modo:
A soma das 8 faces é 20, que é múltiplo de 5. A soma das faces visíveis será um múltiplo de 5 se, e só se,
a soma das faces invisíveis também for. Então, as faces invisíveis devem ser 1 e 4, ou 2 e 3, ou 3 e 2, ou
4
1
25
4 e 1. A probabilidade é: p =


 25%
4 100
4$4
Respostas:
a) 36 cm
b) 25%
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QUESTÃO 6
Uma padaria entrega mensalmente certo tipo de pão, cobrando R$ 1,50 pelo pacote simples, que contém
1 unidade, e R$ 2,50 pelo pacote duplo, que contém 2 unidades.
Na
Na
Na
Na
primeira semana, ela entrega a um restaurante 100 pacotes simples e 40 pacotes duplos.
segunda semana, 200 pacotes simples e 80 pacotes duplos.
terceira semana, 200 pacotes simples e 60 pacotes duplos.
quarta semana, 300 pacotes simples e 80 pacotes duplos.
a) Escreva um produto de matrizes que expresse o total de pães entregues pela padaria mensalmente ao
restaurante e o valor total, em reais, recebido mensalmente pela padaria.
A matriz produto deve ter esta forma:
Número de pães
–
–
–
–
Valor total em reais
–
–
–
–
As colunas representam a primeira, segunda, terceira e quarta semanas, respectivamente.
b) Usando a matriz produto do item A, calcule o total de pães entregues mensalmente ao restaurante e o valor
total, em reais, recebido mensalmente pela padaria.
Resolução:
a) De acordo com os dados, temos:
Pacotes simples
Nº de pães por pacote
Preço do pacote
Pacotes duplos
1
2
1,50
2,50
1ª Sem.
2ª Sem.
3ª Sem.
4ª Sem.
100
200
200
300
Pacotes simples
Pacotes duplos
40
80
60
80
A=
f1, 50 2, 50 p
B=
f 40
1
2
100 200 200 300
p
80 60 80
Assim, o produto que expressa o total de pães e o valor total recebido é:
100 200 200 300
180 360 320 460
1
2
AB = f
p $ f 40 80 60 80 p = f250 500 450 650 p
1, 50 2, 50
b) O total de pães entregues é a soma da 1ª linha da matriz produto: 180 + 360 + 320 + 460 = 1 320.
O valor total recebido, em reais, é a soma da 2ª linha: 250 + 500 + 450 + 650 = 1 850.
Respostas:
a) Matriz AB acima.
b) 1 320 pães; R$ 1.850,00.
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QUESTÃO 7
a) Braille é um sistema de leitura para cegos inventado pelo francês Louis Braille no ano de 1827, em Paris.
Os caracteres são indicados por pontos de alto-relevo que podem representar letras, pontuações, números, sinais matemáticos, notas musicais. Cada célula Braille possui 6 pontos, arrumados num padrão três
linhas por duas colunas. Observe como são representadas, por exemplo, as letras A e B.
Considere que quando não há pontos de alto-relevo, não há representação de nenhum caractere:
Quantos caracteres podem ser representados no sistema Braille?
b) Nove cobaias numeradas de 1 a 9 são distribuídas igualmente em três grupos: um grupo de controle e dois
grupos experimentais. De quantos modos diferentes as cobaias podem ser distribuídas nos grupos, se os
três grupos têm tratamentos diferenciados?
Resolução:
a) Para cada ponto da célula temos 2 opções: com alto-relevo ou sem alto-relevo, exceto o caso de todos
ficarem sem alto-relevo. Então, o número de caracteres é:
2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 – 1 = 64 – 1 = 63
9$8$7
= 84 maneiras.
3!
6$5$4
=
= 20 maneiras.
3!
b) Para um dos grupos devemos selecionar 3 das 9 cobaias, e isto pode ser feito de C9,3 =
Para o próximo grupo, devemos selecionar 3 cobaias das 6 restantes, isto é, C6,3
E para o último grupo teremos C3,3 = 1 maneira. Assim, o número de modos de se distribuir as 9 cobaias
nos 3 grupos é: 84 $ 20 $ 1 = 1 680.
Respostas:
a) 63
b) 1 680
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QUESTÃO 8
Atenda ao que se pede.
a) Considerando que uma geração corresponde a 25 anos, determine o número de ancestrais (pais, avós,
bisavós etc.) que determinada pessoa pode ter em um período de 300 anos.
b) A figura mostra os quatro primeiros termos da sequência dos números piramidais de base quadrada.
Determineoquinto,osextoeosétimotermosdasequência.
Resolução:
a) Para uma pessoa que tenha nascido hoje, seus ancestrais nascidos nos últimos 300 anos são:
2 pais, 4 avós, 8 bisavós, e assim por diante, formando uma progressão geométrica de razão 2. Em 300
300
= 12 gerações, e a P.G. terá 12 termos, cuja soma é dada por:
anos, são
25
2 − 212 $ 2
= 213 − 2 = 8190
1− 2
Portanto, a pessoa pode ter 8 190 ancestrais nesse período.
b) Dafigura,temos:
a1 = 12 = 1
a2 = 12 + 22 = 5
a3 = 12 + 22 + 32 = 14
a4 = a3 + 42 = 14 + 16 = 30
a5 = a4 + 52 = 30 + 25 = 55
a6 = a5 + 62 = 55 + 36 = 91
a7 = a6 + 72 = 91 + 49 = 140
Respostas:
a) 8 190
b) a5 = 55; a6 = 91 e a7 = 140.
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QUESTÃO 9
Um retângulo em que a razão entre as medidas do maior e do menor lado é
de ouro.
1+
2
5
é chamado retângulo
Do retângulo de ouro da figura, retiramos um quadrado de lado 2a.
Demonstre que o retângulo resultante é um retângulo de ouro.
Resolução:
As dimensões do retângulo resultante são [(1 +
é:
(1 +
2a
=
5 ) a – 2a
2
=
5 –1
Resposta: Demonstração acima.
5 +1
.
2
5 )a – 2a] e 2a. Assim, a razão entre as medidas dos lados
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QUESTÃO 10
Considere um triângulo ABC de área 12 cm2, cujos lados medem AC = 8 cm e BC = 6 cm.
t . Faça um esboço de todos os triângulos possíveis.
a) Calcule a medida do ângulo C
b) Calcule a soma dos quadrados das possíveis medidas do lado AB.
Resolução:
1
t ⇒
(AC) · (BC) · sen C
2
1
t ⇒ sen C
t = 1 ⇒
⇒ 12 =
· 8 · 6 · sen C
2
2
t = 30° ou C
t = 150°)
⇒ (C
a) área (ABC) =
t = 30° ⇒ (AB)2 = 62 + 82 – 2 · 6 · 8 · cos 30°
b) C
t = 150° ⇒ (A’B’)2 = 62 + 82 – 2 · 6 · 8 · cos 150°
C
Somando essas duas igualdades, temos:
(AB)2 + (A’B’)2 = 2(62 + 82) = 200 cm2
Respostas:
a) 30°; 150°.
b) 200 cm2.