matemática 2 - Cobertura Máxima GGE

LEIA COM ATENÇÃO
Matemática 2
Prova com gabarito
e
justificativas.
COMISSÃO DE PROCESSOS
SELETIVOS E TREINAMENTOS
Fone: (81) 3231-4000
Fax: (81) 3231-4232
MATEMÁTICA 2
As informações seguintes referem-se às questões 1, 2, 3 e 4.
A figura abaixo ilustra um prisma hexagonal regular reto ABCDEFA 1B1C1D1E1F1 com
altura medindo 7, e lado da base medindo 12.
A1
F1
E1
F
E
B1
C1
A
D1
D
B
C
01. Analise a veracidade das afirmações seguintes, referentes às posições relativas
de retas e planos contendo vértices do prisma ABCDEFA1B1C1D1E1F1.
0-0) A reta contendo a aresta AB e a reta contendo a aresta D 1E1 são
paralelas.
1-1) A reta contendo a aresta AB e a reta contendo a aresta C1D1 são
reversas.
2-2) O plano contendo a face ABB1A1 e o plano contendo a face DEE1D1 são
paralelos.
3-3) O plano contendo a face ABB1A1 e o plano contendo a face CDD1C1 são
paralelos.
4-4) A reta contendo a aresta AB é paralela ao plano contendo a face
CDD1C1.
Resposta: VVVFF
Justificativa:
0-0) Verdadeiro. A reta contendo AB é paralela à reta contendo DE que, por
sua vez, é paralela à reta por D1E1.
1-1) Verdadeiro. O plano contendo A, B e C1 não contém D1.
2-2) Verdadeiro. Veja a justificativa de 0-0).
3-3) Falso. A reta por AB e a reta por CD são concorrentes.
4-4) Falso. Veja a justificativa de 3-3).
02. As diagonais de um prisma são os segmentos com extremos nos vértices do
prisma, que não são arestas do prisma nem diagonais de suas faces. Calcule o
comprimento de uma diagonal do prisma ABCDEFA1B1C1D1E1F1, com maior
medida.
Resposta: 25
Justificativa:
As diagonais de maior comprimento são hipotenusas de triângulos retângulos
com catetos medindo 7 e 24; logo medem
7 2  24 2 = 25.
03. Analise a veracidade das afirmações seguintes, referentes a pontos no espaço
eqüidistantes de vértices do prisma.
0-0) Os pontos do espaço que estão à mesma distância de A e B formam um
plano.
1-1) Os pontos do espaço que estão à mesma distância de A, B e C formam
uma reta.
2-2) Os pontos do espaço que estão à mesma distância de A, B, C, D, E e F
formam uma reta.
3-3) Existe um único ponto do espaço que está à mesma distância de todos os
vértices do prisma.
4-4) O ponto da interseção de AD1 com DA1 eqüidista de todos os vértices do
prisma.
Resposta: VVVVV
Justificativa:
0-0) Verdadeiro. Os pontos do espaço situados à mesma distância de A e B
formam o plano mediatriz do segmento AB.
1-1) Verdadeiro. Os pontos situados à mesma distância de A, B e C formam a
reta de interseção dos planos mediatrizes de AB e BC.
2-2) Verdadeiro. Os pontos situados à mesma distância de A, B, C, D, E e F
formam a reta de interseção dos planos mediatrizes de AB, BC, CD, DE,
EF e FA.
3-3) Verdadeiro. O ponto mencionado é o ponto médio do segmento com
extremos nos centros das bases do prisma.
4-4) Verdadeiro. A interseção de AD1 e DA1 é o ponto mencionado em 3-3).
04. Existe uma esfera circunscrita ao prisma. Calcule seu diâmetro.
Resposta: 25
Justificativa:
As maiores diagonais do prisma são diâmetros da esfera circunscrita.
As informações a seguir referem-se às questões 5 e 6.
A ilustração abaixo representa uma região retangular onde será construída uma
casa, que ocupará a área hachurada. Na região do retângulo não ocupada pela casa
será construído um jardim. As medidas estão em metros, e todos os ângulos são
retos.
18
A
3
3
13
5
10
6
05. Calcule a área, em m2, do jardim e indique a soma dos dígitos do valor obtido.
Resposta: 13
Justificativa:
A área do retângulo é 13.18 = 234 m2 e a área da casa é 10.5 + 3.3 = 59m2.
Logo, a área do jardim é 234 – 59 = 175m2.
06. Instalando-se uma torneira no ponto A, qual é o comprimento mínimo, em
metros, da mangueira que permita alcançar todos os pontos do jardim, sem
passar pelo interior (ou por cima ou por baixo) da casa?
Resposta: 23
Justificativa:
A menor mangueira que permite alcançar todos os pontos tem comprimento
52  122 
62  82 = 13 + 10 = 23.
07. A figura abaixo ilustra o dodecaedro regular, que possui 12 faces pentagonais e
congruentes entre si. Escolhendo, ao acaso, dois vértices do dodecaedro, qual
a probabilidade (p) de eles serem extremos de uma mesma aresta? Indique
19p.
Resposta: 3
Justificativa:
O dodecaedro possui 12.5/3 = 20 vértices e o número de segmentos com
extremos nestes vértices é 20.19/2 = 190. O número de arestas do dodecaedro
é 12.5/2 = 30 e a probabilidade de um segmento com extremos nos vértices
ser uma aresta é p = 30/190 = 3/19.
08. A figura abaixo é a planificação de um sólido e é composta de 8 triângulos
equiláteros de lado 6 2 .
Calcule o volume do sólido e indique a soma dos dígitos do número obtido.
Resposta: 18
Justificativa:
O sólido é um octaedro regular, e seu volume é 2(6 2 )26/3 = 288.
09. A figura abaixo ilustra um círculo dividido em regiões usando 10 cordas. As
regiões devem ser coloridas de forma que duas regiões com um segmento (de
extremos distintos) de suas fronteiras em comum sejam pintadas com cores
diferentes. Qual o número mínimo de cores necessárias para colorir todas as
regiões?
Resposta: 2
Justificativa:
10. Um reservatório tem a forma de um cone circular reto invertido. Ele está
preenchido até ¾ de sua altura, como ilustrado abaixo. Calcule o percentual (p)
do volume que está preenchido e indique o inteiro mais próximo de p.
Resposta: 42
Justificativa:
A razão entre os volumes de cones semelhantes é dada pelo cubo da razão de
semelhança. Logo, o percentual de preeenchimento do reservatório é dado por
100.(3/4)3 = 42,18%.
11. Cada um dos círculos limitados pelas circunferências de equações
x2 + y2 - 4x - 6y + 12 = 0 e x2 + y2 - 10x - 2y + 22 = 0
fica dividido em duas regiões de mesma área por uma reta de equação
y = mx + n.
Assinale 3n.
Resposta: 13
Justificativa:
A reta é a que passa pelos centros das circunferências. As circunferências têm
centros (2,3) e ( 5,1), e a reta tem equação y – 3 = -2/3(x - 2) ou y = -2x/3 +
13/3
12. Se a água de um reservatório evapora-se à taxa de 15% ao mês, em quantos
meses (indique o inteiro mais próximo) ficará reduzida à terça parte? Dados:
use as aproximações ln(1/3)  -1,10 e ln(0,85)  -0,16.
Resposta: 7
Justificativa:
Passados t meses a quantidade de água no reservatório é q.0,85 t onde q é a
quantidade inicial. Esta quantidade ficará reduzida a q/3 para t tal que
1/3 = 0,85t ou t = ln(1/3)/ln(0,85) = 1,10/0,16 = 6,87.
13. Seja ABC um triângulo com perímetro 12 e área 6. Qual a área de um triângulo
semelhante a ABC, cujo perímetro e área têm o mesmo valor numérico?
Resposta: 24
Justificativa:
Se r é a razão de semelhança, então, o perímetro do novo triângulo será 12r, e
a sua área será 6r2 e serão numericamente iguais, quando 12r = 6r2 ou r = 2.
14. Na figura a seguir, ABCD é um quadrado de lado 6. Os pares de segmentos
com um extremo em cada vértice do quadrado e o outro extremo no interior do
quadrado trissectam o ângulo do quadrado com mesmo vértice. Calcule a área
S do quadrilátero hachurado na figura e indique S(2+ 3 ).
D
C
A
B
Resposta: 12
Justificativa:
Os ângulos do quadrado ficam divididos em ângulos de 30 o . Seja l o lado do
quadrado hachurado. Os segmentos que trissectam os ângulos do quadrado
medem 3/cos30o = 2 3 , e a área do quadrado hachurado é
l2 = (2 3 )2 + (2 3 )2 - 2(2 3 )2
3 /2 = 24 - 12 3 = 12(2 -
3 ).
15. Um queijo na forma de um cilindro reto de raio da base 15cm pode ser cortado
em três partes de mesmo volume, segundo as ilustrações a seguir. No primeiro
caso, as partes são obtidas cortando-se o cilindro por dois planos paralelos à
base; no segundo caso, o cilindro é cortado por três semiplanos
perpendiculares à base do cilindro e tendo seu eixo como fronteira. Seja h a
altura do queijo para a qual as partes cortadas têm a mesma área total da
superfície. Indique h/.
Resposta: 10
Justificativa:
As áreas das partes cortadas contidas na lateral do queijo são iguais. As partes
cortadas têm a mesma área se 2152 = 2152/3 + 2.15.h, o que implica
h = 10.
16. O plano de pagamento de um apartamento consiste em prestações mensais
calculadas da seguinte forma:
- A primeira mensalidade é de R$ 400,00.
- As mensalidades dos meses subseqüentes são obtidas multiplicando-se o
valor da mensalidade do mês anterior por 1,01.
Se o pagamento estende-se durante 10 anos, qual o valor total pago, em
milhares de reais? Dado: use a aproximação 1,01120  3,30.
Resposta: 92
Justificativa:
As prestações formam uma progressão geométrica com 120 termos; a soma
destes termos será 400(1,01120– 1)/(1,01-1) = 40000.2,30 = 92000 reais.
17. Um cilindro reto está inscrito em um cone, ou seja, a base do cilindro está
contida na base do cone, e a circunferência da outra base está contida na
superfície lateral do cone, como ilustrado abaixo. Se a medida do raio do cone
é o triplo da medida do raio do cilindro e a altura do cone é 12, indique a altura
do cilindro.
Resposta: 8
Justificativa:
Sejam R, r os raios respectivos do cone e do cilindro e h a altura do cilindro. Da
semelhança de triângulos temos 2r/(2R) = (12-h)/12 e daí 1/3 = 1-h/12;
portanto, h = 12.2/3 = 8.
As informações seguintes referem-se às questões 18 e 19.
A figura abaixo ilustra um triângulo com lados medindo 13, 14 e 15.
18. Indique a medida da altura relativa ao lado que mede 14.
Resposta: 12
Justificativa:
Sejam m e 14 - m as projeções respectivas dos lados medindo 13 e 15 sobre o
lado que mede 14, e h a altura relativa ao lado que mede 14. Temos
132 = m2 + h2 e 152 = (14 – m)2 + h2 e daí 225 = 196 – 28m + 169 ou
28m = 140 ou m = 5 e daí h2 = 169 – 25 = 144, logo h = 12.
19. Indique o raio da circunferência inscrita no triângulo.
Resposta: 4
Justificativa:
A área do triângulo é 14.12/2 = 84. Dividindo-se o triângulo em três triângulos
menores, tendo cada um, um vértice no incentro do triângulo e os outros dois
vértices sendo vértices do triângulo, temos que as áreas destes triângulos
valem 13r/2, 14r/2 = 7r e 15r/2, onde r é o raio da circunferência inscrita ao
triângulo dado. Portanto 13r/2+7r + 15r/2 = 84 e segue que 21r = 84 e r = 4.
20. A maquete de uma vila é feita na escala de 1dm para 20m. Se a vila tem área
de 8.000m2, qual a área correspondente na maquete, em dm 2?
Resposta: 20
Justificativa:
Cada dm2 da maquete equivale a 202 = 400 m2 da vila. Logo, 8.000m2
correspondem a 8.000/400 = 20 dm2 na maquete.
21. Dentre os paralelogramos com lados adjacentes medindo 4 e 5, existe um cuja
área é máxima. Indique tal área máxima.
Resposta: 20
Justificativa:
Se  é o ângulo formado por dois lados adjacentes, então a área é dada por
4.5.sen. Tal área será máxima quando sen = 1 ou  = 90°
22. O triângulo ABC ilustrado na figura abaixo tem lados medindo AB = 7 e BC =
13. Sabendo-se que BMNO é um quadrado com todos os vértices sobre os
lados do triângulo ABC, indique a soma dos dígitos da medida do lado do
quadrado.
A
N
M
B
O
C
Resposta: 14
Justificativa:
Seja d a medida do lado do quadrado. A semelhança de triângulos nos fornece
91
d
7d

, donde d 
= 4,55.
13
7
20
23. Sejam a e b as raízes da equação x2 – 5x + q = 0. Sabendo-se que
ab.ba.aa.bb = 243,
indique o valor de q.
Resposta: 3
Justificativa:
Como a.b = q e a + b = 5, temos ab.ba.aa.bb = (a.b)a+b = q5 = 243 = 35.
Logo q = 3.
24. Uma pirâmide reta de base quadrada tem lado da base medindo 2 2 cm e
arestas laterais medindo 5/2 cm. Indique o volume, em cm 3, desta pirâmide.
Resposta: 4
Justificativa:
2
A altura da pirâmide mede
( 2 2 )2 .
3
5
   22 
2
9 3
e seu volume é dado por

4 2
3
2  4.
25. Na figura abaixo, os quadrados são concêntricos, e as retas contendo os lados
dos quadrados são paralelas ou perpendiculares entre si. Sabendo que as
áreas dos quadrados medem 256 e 64, indique a área da região hachurada.
Resposta: 48
Justificativa:
A região se decompõe em dois triângulos retângulos congruentes com catetos
medindo 4 e 12. Logo a área da região é 2.1/2.4.12 = 48.
26. Em um estádio olímpico, ilustrado abaixo, existem um campo de futebol e uma
pista de corrida, com bordas cujos trechos curvos são semicircunferências
centradas nos pontos médios dos lados menores do campo. As medidas do
campo são 100 e 60 metros, e a largura da pista é de 10 m. Usando a
aproximação   3,14 , calcule a área da pista, em metros quadrados, e indique
a soma dos seus dígitos.
Resposta: 22
Justificativa:
A área é dada por 2.100.10+ (402 – 302) = 2000 + 3,14 (1600 – 900) = 4198.
27. A figura abaixo ilustra uma sala, em forma de ‘L’, que se pretende ladrilhar com
peças quadradas de lado 30cm. Indique a metade do número de peças
necessárias para ladrilhar a sala.
3,0 m
4,2 m
2,4 m
4,8 m
Resposta: 92
Justificativa:
Decompondo a sala em dois retângulos, medindo 300 x 480 e 120 x 240
centímetros, temos que o número de ladrilhos é dado por
1
300. 480  120. 240   10.16  4.6  184 .
30.30
28. Calcule a soma S dos ângulos internos do polígono, em forma de seta, ilustrado
na figura abaixo. Indique S/10.
Resposta: 90
Justificativa:
Triangulando-se a figura, como indicado a seguir, vê-se que S = 5.180° = 900°.
29. Se a área da superfície de um cubo é dada por 6x2 – 36x + 54, onde x é um
número real maior que 3, podemos representar o volume do cubo por:
0-0) x3 – 3
1-1) x3 – 27
2-2) (x – 3)3
3-3) 6x3 – 36 x2 + 54x
4-4) x3 – 9 x2 + 27x – 27
Resposta: FFVFV
Justificativa:
Seja d a aresta do cubo, então 6d2 = 6x2 – 36x + 54, donde
d2 = x2 – 6x + 9 = (x – 3)2. Assim, d3 = (x – 3)3 = x3 – 9x2 + 27x – 27.
30. Quais dos recortes de cartolina ilustrados abaixo, formados por um quadrado e
quatro triângulos eqüiláteros, podem ser dobrados, ao longo das linhas
pontilhadas, para formar uma pirâmide?
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
Resposta: FVFVF
Justificativa:
0-0) Falso. Existe vértice da base que também é vértice de três triângulos.
1-1) Verdadeiro. Dobrando-se, cada lado da base ficará identificado com um
lado de um triângulo.
2-2) Falso. Dobrando-se, existirá um lado da base que não ficará identificado
com algum lado de um triângulo.
3-3) Verdadeiro. Veja a justificativa de 1-1).
4-4) Falso. Veja a justificativa de 0-0).
31. Na figura abaixo, o triângulo ABC está inscrito na circunferência de centro em
O, e AB é um diâmetro. Indique o valor do ângulo , em graus.
B
53°
O
C

A
Resposta: 37
Justificativa:
Como ABC é retângulo em C, e AOC é isósceles,
 = 90° – 53° = 37°.
32. Se na figura abaixo o ponto O é o centro da circunferência de raio 8 e
OD = 3DB, indique 100sen.
A

O
D
B
C
Resposta: 60
Justificativa:
Desde que OD = 3DB e OD + DB = 8 temos OD = 6.
Daí sen =
OD

AD
6
2
8 6

2
6
.
10