Integral de Riemann e aplicações

DIANA MENDES, ROSÁRIO LAUREANO
1
Integral de Riemann e aplicações
— Caderno 2 —
–––––––––––––––––––––––––––––––– ANÁLISE
MATEMÁTICA I - 2013/14 - 1o Sem.
LEI / ETI / LEI-PL / ETI-PL
–––––––––––––––––––––––––––––––– Elaborado
por Diana Mendes e Rosário Laureano
DM — Dpto de Matemática
ISTA — Escola de Tecnologias e Arquitectura
DIANA MENDES, ROSÁRIO LAUREANO
1
2
Integral de Riemann
• Integral de Riemann:
n−1
b
f(x) dx = lim
n→∞
a
i=0
b−a
f(xi ) ·
n
soma de Riemann
em que f é uma função real de variável real definida e contínua no
intervalo limitado e fechado [a, b], com a < b.
A função f é designada por função integranda do integral.
O intervalo [a, b] é designado por intervalo de integração do integral.
São válidas as igualdades
a
f(x)dx = 0
a
e
a
b
f (x)dx = −
a
f (x)dx quando b < a.
b
• Identidade de Chasles:
b
c
b
f(x) dx =
f(x) dx +
f(x) dx
a
a
c
Garante a existência do integral mesmo que f tenha um número finito
de descontinuidade de 1a espécie (também designadas por descontinuidades de salto) no intervalo [a, b].
• Propriedades do integral de Riemann:
b
b
k · f(x) dx = k ·
f (x) dx em que k ∈ R
a
a
b
f(x) + g(x) dx =
a
a
b
f(x)dx ≤
a
a
b
b
f(x)dx +
b
g(x)dx
a
g(x)dx se f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b]
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3
• Teorema do valor médio para integrais ou Teorema da média:
b
1
f (x) dx = f(x0 ) para algum x0 ∈ [a, b]
b−a a
• Fórmulas de derivação do integral:
x
d
f (t) dt = f(x)
dx a
x
Tal significa que a f (t) dt é simplesmente uma primitiva de f (x).
• Teorema fundamental do cálculo integral ou Fórmula de Barrow:
b
f (x)dx = F (b) − F (a) = F (x) ba = [F (x)]ba
a
em que F (x) é uma primitiva de f(x).
• Integração por partes:
b
b
u (x) · v(x) dx = [u(x) · v(x)] ba −
u(x) · v (x) dx
a
a
em que u é uma função continuamente derivável em [a, b] .
• Integração por substituição:
b
f(x)dx =
a
t0
t1
f (g(t)) · g (t) dt =
g −1 (a)
g −1 (b)
f (g(t)) · g (t) dt
para x = g(t), em que g(t) é uma função injectiva e continuamente
derivável no intervalo [t0 , t1 ], com g(t0 ) = a e g(t1 ) = b.
1.1
Exercícios propostos
1. Calcule o valor de cada um dos integrais seguintes:
(a)
8√
2x +
√
3
x dx
0
(b)
2
3
x+1
dx
x−1
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(c)
2
x2 + 2x + 1 +
1
(d)
e
1
(e)
1
dx
x + x3
1 + sin (ln x)
+ ln (x) + ln3 (x) dx
x
π/2
sin3 (x) + x cos (x) dx
0
(f)
2
(x + exp x) dx
0
(g)
1
(i)
9
1
x
dx
+
2
+ 4x + 5 (x + 1)2
0
1
4
x
1
√
√ dx
(h)
dx +
4
1/2 1 − x
1 1+ x
x2
√
√
x
x−1
√
exp ( x) +
+√
dx
x−1
x+1
4
(j)
π
exp (x) sin (x) dx
0
(k)
2
(l)
1√
1
dx
−13
(3 − x)3
1 + x + (1 − x2 )3 dx
0
(m)
e−1
ln (x + 1) dx
0
(n)
3
(o)
8
x
√
dx
1+x
11 √
3 + 2x dx
0
(p)
−1
−2
1
dx
(11 + 5x)3
4
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(q)
1
0
x
dx
exp x
(r)
(s)
√
2 2
(t)
ln 5
π
sin5 (x) dx
0
1
dx
8/3 x (x2 − 2)5
√
0
(u)
1
0
(v)
x3
x2
√
dx
+
x8 + 1
x6 + 4
−2
x2
−3
(w)
(x)
(y)
(z)
exp (x) exp (x) − 1
dx
exp (x) + 3
1
dx
−1
√
x2 − 1
dx
x
1
3
4
1
1
dx +
dx
3
2
2
2 x − 2x + x
3 x − 3x + 2
4/3
1
√
dx
2
x +1
3/4
4
1
√ dx
0 1+ x
2
√
ln (x + x) +
2. Efectue o cálculo dos integrais seguintes:
(a)
√
3/2
1/2
(b)
2
3
x2
x arcsin x
√
dx
1 − x2
1
√
dx
x2 − 1
5
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2
6
Derivação do integral indefinido
• Generalizações da fórmula de derivação do integral:
ϕ2 (x)
dϕ
dϕ
d
f (t)dt = f(ϕ2 (x)) 2 − f (ϕ1 (x)) 1
dx ϕ1 (x)
dx
dx
e ainda
ϕ2 (x)
ϕ2 (x)
d
df
dϕ
dϕ
dt + f (ϕ2 (x), x) 2 − f(ϕ1 (x), x) 1
f (t, x)dt =
dx ϕ1 (x)
dx
dx
dx
ϕ1 (x)
2.1
Exercícios propostos
1. Determine a expressão geral das derivadas dos seguintes integrais indefinidos:
d x2
t dt
(a)
dx 4
d 5 t3 + 1
(b)
dt
dx 1 t7
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
d 5 t3 + 1
dt
dx x t7
d 3x 2
t + 5t + 7 dt
dx 5
3
d x
cos (t) dt
dx 5
d 1 t+1
dt
dx x2 t2 + t + 7
3
d x t2 + 1
dt
dx 2x
t
d 5x
exp t2 dt
dx 1
d 4x−1 t3 + 1
dt
dx 3
t2 − 7
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d
(j)
dx
x2
y 3 dy
0
d
dy
2y3
d
(l)
dx
x2
(k)
(m)
3
d
dx
7
t dt
5−y
4x
x2
sin t2 dt
t3 dt
2x
Integrais impróprios de 1a e de 2a espécie
• Integrais impróprios de 1a espécie:
Se f (a) = ∞ então
b
b
f (x) dx = lim
ε→a+
a
Se f (b) = ∞ então
f (x) dx = lim
ε→b−
a
b
ε
Se f (c) = ∞ para c ∈ ]a, b[ , então
b
f (x) dx =
a
c
f (x) dx +
a
=
lim
ε→c−
f (x) dx
ε
f (x) dx
a
b
f (x) dx
c
ε
f (x) dx + lim
ε→c+
a
b
f (x) dx
ε
• Integrais impróprios de 2a espécie ou de limite infinito:
+∞
ε
f (x) dx = lim
f (x) dx
ε→+∞ a
a
b
−∞
f (x) dx = lim
ε→−∞ ε
b
f (x) dx
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+∞
f (x) dx =
−∞
a
−∞
=
lim
f (x) dx +
8
+∞
f (x) dx
a
ε→−∞ ε
a
f (x) dx + lim
ε→+∞ a
ε
f (x) dx
para certo a ∈ R.
• Natureza de um integral impróprio: Um integral impróprio diz-se
convergente se tem valor finito. Caso contrário, diz-se divergente.
3.1
Exercícios propostos
1. Classifique quanto à natureza os seguintes integrais impróprios de 1a
espécie ou de limite infinito:
(a)
1
1
√ dx
x
3
1
dx
(x − 1)2
1
1
√
dx
1 − x2
0
(b)
0
(c)
0
(d)
(h)
1
x−1
√
dx
3
x2
−1
2
1
(e)
dx
2 − 4x + 3
x
0
+∞
1
(f)
dx
1 + x2
0
+∞
(g)
sin (x) dx
0
+∞
1
dx
x4
+∞
1
√ dx
exp ( x)
1
(i)
0
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(j)
+∞
a2
(k)
1/2
0
(l)
(m)
(n)
(o)
(p)
(q)
9
1
√
dx
x 1 + x2
1
dx
x ln x
1
1
√
dx
2
−1 1 − x
2
x
√
dx
x−1
1
1
1
dx
2
−1 x
+∞
1
dx
x
1
+∞
x
dx
exp (x2 )
0
+∞
x sin (x) dx
0
(r)
1
4
+∞
1
√
dx
x x2 − 1
Aplicações do integral de Riemann
• Cálculo de áreas planas:
— Consideremos que
f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] (com a < b).
A área do domínio plano limitado pelo gráfico de f, o eixo dos
xx e as rectas verticais x = a e x = b é dada pelo integral de
Riemann
b
A=
a
f(x)
positiva em [a,b]
dx.
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10
A
Figure 1:
NOTA: O integral de Riemann foi apresentado na Subsecção 1.1
como
b
n−1
b−a
f(x)dx = lim
f(xi ) ·
,
n→∞
n
a
i=0
soma de Riemann
após considerar uma partição do intervalo [a, b] e uma escolha
de elementos xi nos subintervalos da partição. Se a função f
é positiva em todo o intervalo [a, b], podemos interpretar cada
parcela
b−a
f(xi ) ·
n
de uma soma de Riemann como a área de um rectângulo de base
(b − a) /n e altura f(xi ). A soma de Riemann corresponde então
à soma das áreas de todos os n rectângulos considerados e corresponde, portanto, a uma estimativa da área da região do plano
limitada pelo gráfico da função f e pelo x-eixo, entre as rectas
x = a e x = b (Fig.1).
— Consideremos que
f (x) ≤ 0 para todo x ∈ [a, b] (com a < b).
A área do domínio plano limitado pelo gráfico de f, o eixo dos
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11
xx e as rectas verticais x = a e x = b é dada por
b
A=−
f (x)
dx.
a
negativa em [a,b]
— A área do domínio plano limitado pelas rectas verticais x = a
e x = b e pelos gráficos de duas funções f (x) e g (x), em que
g (x) ≤ f (x) em [a, b], é dada pelo integral
A=
a
b
f (x) − g(x) dx
em que g(x)≤f (x)
cuja função integranda é a diferença entre as expressões das duas
funções f (x) e g (x) na ordem
(função superior) − (função inferior).
• Cálculo de comprimentos de linha (no plano): O comprimento
de arco de uma curva plana de equação y = f (x) (em coordenadas
rectangulares) compreendido entre os pontos de abcissas x = a e x = b
é dado pelo integral de Riemann
b
1 + [f (x)]2 dx.
L=
a
— Se a curva está definida em coordenadas polares ρ e θ pela equação
ρ = f (θ) , então o comprimento de arco da curva plana é dado
pelo integral de Riemann
θ2 L=
[f (θ)]2 + [f (θ)]2 dθ,
θ1
onde θ 1 e θ2 são os valores do ângulo polar nos pontos extremos
do arco.
— Se a curva for definida através de um parâmetro t pelas equações
paramétricas
x = ϕ (t)
, para t ∈ I
y = ψ (t)
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12
(sendo I um intervalo contido em R), então o comprimento de
arco da curva plana é dado por pelo integral de Riemann
t2 2
L=
[ϕ (t)]2 + ψ (t) dt,
t1
onde t1 e t2 são os valores do parâmetro t nos pontos extremidade
do arco.
4.1
Exercícios propostos
1. Calcule a área de cada
(a) D = (x, y) ∈ R2
(b) D = (x, y) ∈ R2
(c) D = (x, y) ∈ R2
(d) D = (x, y) ∈ R2
(e) D = (x, y) ∈ R2
(f) D = (x, y) ∈ R2
(g) D = (x, y) ∈ R2
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
um dos seguintes domínios planos:
| 0 ≤ y ≤ 2x ∧ x ≤ 4
√
| 0≤y ≤ x−1 ∧ x≤5
| 0 ≤ y ≤ x2 ∧ 2 ≤ x ≤ 4
| x2 ≤ y ≤ 3x
| 0 ≤ y ≤ ln x ∧ x ≤ e
| 0 ≤ y ≤ exp(2x) ∧ 0 ≤ x ≤ 1
1
| y≤
∧ 0≤y≤x ∧ x≤4
x
D = (x, y) ∈ R2 | cos x ≤ y ≤ sin x ∧ 0 ≤ x ≤ π
1
2
2
D = (x, y) ∈ R | x ≤ y ≤
∧ x≥0 ∧ y≤2
x
D = (x, y) ∈ R2 | y ≤ 4 − x2 ∧ y ≥ 3x3 ∧ y ≥ −3x
1
D = (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ 2 ∧ x ≥ 1
x
D = (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ exp(−x) ∧ x ≥ 0
1
2
∧ x≥0
D = (x, y) ∈ R | 0 ≤ y ≤
1 + x2
2. Calcule a área da região do plano delimitada pelas seguintes curvas:
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13
(a) y = x3 , y = 8 e x = 0
(b) y = x2 − 4 e y = 4 − x2
(c) y2 = 4x e y 2 = 5x − 4
(d) y2 = 4x e x = 2
(e) y = exp(5x), x = 0, x = 1 e y = 0
(f) y = ln x, y = ln (x + 2) , y = ln (4 − x) e y = 0
3. Determine o comprimento das curvas de equação:
√
(a) y = 23 x x para x ∈ [0, 1] ;
√
(b) y = x para x ∈ [0, 1] ;
π
(c) y = ln (cos x) para x ∈ 0,
4
4. Determine o comprimento total da curva de equação x2/3 +y 2/3 = a2/3 .
3
5. Determine o comprimento total da curva ρ = a sin
varia de 0 a 3π.
6. Determine o comprimento total do arco de cicloíde

 x = a (t − sin t)
0 ≤ t ≤ 2π.

y = b (1 − cos t)
1
θ
3
onde θ
1
7. Mostre, por aplicação do cálculo integral, que o comprimento de do
4
1
2
2
2
arco da circunferência x + y = r é πr.
2
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5
Soluções dos exercícios propostos
5.1
Integral de Riemann
1. (a)
100
3
(b) 1 + 2 ln 2
19 1 8
+ ln
3
2 5
(d) 4 + cos (1) + 3e
(c)
(e)
π 1
−
2 3
(f)
3 + exp 4
2
(g) arctan (3) − arctan (2) +
1
(h)
2
π
1
− arcsin
2
4
1
4
+ 2 + ln
4
9
(i) 4 exp (3) − 2 exp (2) + 2 ln 2 +
(j)
exp (π) + 1
2
(k)
3
2
(l)
3π
2 √
2 2−1 +
3
16
(m) (e − 1) ln (e − 1) + 2 − e
(n)
32
3
(o)
98
3
(p)
7
72
74
3
14
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2
e
(q) 1 −
(r)
8
15
(s)
2
π
√ + √
9 6 24 2
(t) 4 − π
√
π
1 1+ 5
(u)
+ ln
16 3
2
3
(v) ln
2
√
√
π
8
√ + 2−1+ 3−
3
4+ 2
(w) ln
(x)
1
2
3
2
(y) ln
(z) 2 (2 − ln 3)
√ √
3
1− 3
1−
+
2
2
π
2. (a)
6
√
√
4 2−3 3
(b)
6
5.2
Derivação do integral indefinido
1. (a) x2
(b) 0
(c) −
x3 + 1
x7
(d) 27x2 + 45x + 21
15
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(e) 3x2 cos(x3 )
(f) −
x2 + 1
2x
x4 + x2 + 7
3x6 − 4x2 + 2
x
(h) 5 exp 25x2
(g)
(i)
4 (4x − 1)3 + 1
(4x − 1)2 − 7
(j) 2x7
(k) 12y5 − y + 5
(l) 2x sin x4 − 4 sin 16x2
(m) 0
5.3
Integral impróprio de 1a e de 2a espécie
1. (a) l = 2; convergente
(b) l = ∞; divergente
(c) l =
π
; convergente
2
(d) l = −6; convergente
(e) divergente
(f) l =
π
; convergente
2
(g) Não existe limite; divergente
1
(h) l = ; convergente
3
(i) l = 2; convergente
a2
(j) l = ln √
; convergente
a4 + 1 − 1
16
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17
(k) l = ∞; divergente
(l) l = π; convergente
8
(m) l = ; convergente
3
(n) l = ∞; divergente
(o) l = ∞; divergente
(p) l = 1/2; convergente
(q) O limite não existe; divergente
(r) l =
5.4
π
; convergente
4
Aplicações do integral de Riemann
1. (a) A = 16
y
8
y= 2x
4
2
(b) A =
x
4
16
3
y
2
y = (x-1) 1/2
1
5
x
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(c) A =
18
56
3
y
y=x 2
2
(d) A =
x
4
1
2
y
y=x2
y=3x
3
x
(e) A = 1
y
y=log x
1
1
e
x
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(f) A =
19
exp (2) − 1
2
y
e2
y=e 2x
1
1
(g) A =
x
1
+ ln 4
2
y
y=x
y=1/x
x
4
(h) A = 1
y
cosx
sinx
1
0
x
π/2
π
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(i) A =
20
2
1
− ln
3
2
y
y=x2
y=2
y=1/x
x
1
(j) A =
29
6
y
y=-3x
4
y=3x3
-2
2
-1
x
1
y=4-x2
(k) A = 1
y
y=1/x2
1
x
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21
(l) A = 1
y
y=e-x
x
+∞
(m) A =
π
2
y
y=1/(1+x2)
x
+∞
2. (a) A = 12
y
y=8
x=0
y=x3
2
x
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(b) A =
22
64
3
y
y = x2-4
4
-2
2
y = 4-x2
-4
(c) A =
x
44
3
y
y2=4x
y2=5x-4
4
x
√
16 2
(d) A =
3
y
y2=4x
2
x
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(e) A =
23
1
[exp(5) − 1]
5
y
y
e5
y= e 5 x
1
1
(f) A = 6 ln
x
3
−2
2
y
y=log(x+2)
y=logx
1
2
3
x
y=log(4-x)
2 √
2 2−1
3
√
√ 5 1 (b) L =
+ ln 9 + 4 5
2
8
√
(c) L = ln 2 + 1
3. (a) L =
4. L = 6a
5. L =
3π
a
6. L = 8a