modulo de estudo - 7º ano ef - olímpico

MÓDULO DE ESTUDO
3ª Etapa/2015
7º Ano Olímpico
Ensino Fundamental
LINGUAGENS, CÓDIGOS E SUAS TECNOLOGIAS
• Língua Portuguesa .......................................................................................... 5
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
• Matemática I .................................................................................................. 12
• Matemática II .................................................................................................. 30
CIÊNCIAS DA NATUREZA E SUAS TECNOLOGIAS
• Ciências ......................................................................................................... 48
CIÊNCIAS HUMANAS E SUAS TECNOLOGIAS
• História .......................................................................................................... 49
• Geografia ....................................................................................................... 52
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
3.
LINGUAGENS, CÓDIGOS E SUAS TECNOLOGIAS
LÍNGUA PORTUGUESA
CONTEÚDO
LEITURA: CRÔNICA ARGUMENTATIVA – DIÁLOGO NA
NARRATIVA (TIPOS DE DISCURSOS) – FUNÇÕES DA
LINGUAGEM – ELEMENTOS DA COMUNICAÇÃO.
GRAMÁTICA TEXTUAL – VARIAÇÕES
LINGUÍSTICAS/PATRIMÔNIO LINGUÍSTICO
MÓDULO DE ESTUDO
• TERMOS ESSENCIAIS DA ORAÇÃO
• SUJEITO E PREDICADO
• TIPOS DE SUJEITO
• ORAÇÃO SEM SUJEITO
• ORDEM FRASAL
MÚLTIPLAS LINGUAGENS – LYGIA CLARK – TARSILA
DO AMARAL – FOLCLORE
http://elogiodaliteratura.blogspot.com.br/2010/08/campanhas-de-leitura.html
De acordo com a imagem, percebe-se que a leitura:
a) é prejudicial.
b) estimula a imaginação.
c) aproxima as pessoas.
d) relaciona-se à tecnologia.
e) oferece o mesmo que o computador.
LEITURA – CLASSE
• Leia o texto para as questões 1 e 2.
4. A propaganda, quando apresentada a um consumidor,
de produtos ou ideias, tenta convencê-lo, por isso há
nela o predomínio, muitas vezes, da função:
a) fática.
b) poética.
c) emotiva.
d) referencial.
e) apelativa.
AQUI MORAVA UM REI
“Aqui morava um rei quando eu menino
Vestia ouro e castanha no gibão,
Pedra da sorte sobre meu destino,
Pulsava junto ao meu, seu coração.
Para mim, o seu cantar era divino,
Quando ao som da viola e do bordão,
Cantava com voz rouca, o Desatino,
O sangue, o riso e as mortes do sertão.
• Leia o texto para responder às questões de 5 a 7.
MEUS AMIGOS
Mas mataram meu pai. Desde esse dia
Eu me vi, como cego sem meu guia
Que se foi para o sol, transfigurado.
Tenho amigos cuja companhia me é extremamente
agradável: são de todas as idades e vêm de todos os países.
Eles se distinguiram tanto nos escritórios quanto nos
campos, e obtiveram altas honrarias por seu conhecimento
nas ciências. É fácil ter acesso a eles: estão sempre à
disposição, e eu os admito em minha companhia, e os
despeço, quando bem entendo. Nunca dão problemas, e
respondem prontamente a cada pergunta que faço. Alguns
me contam histórias de eras passadas, enquanto outros me
revelam os segredos da natureza. Alguns, pela sua
vivacidade, levam embora minhas preocupações e
estimulam meu espírito, enquanto outros fortificam minha
mente e me ensinam a importante lição de refrear meus
desejos e de depender só de mim. Eles abrem, em resumo,
as várias avenidas de todas as artes e ciências, e eu confio
em suas informações inteiramente, em todas as emergências.
Em troca de todos esses serviços, apenas pedem que eu os
acomode em algum canto de minha humilde morada, onde
possam repousar em paz – pois esses amigos deleitam-se
mais com a tranquilidade da solidão do que com os tumultos
da sociedade.
Sua efígie me queima. Eu sou a presa.
Ele a brasa que impele ao fogo acesa
Espada de ouro em pasto ensanguentado.
Ariano Suassuna
www.escritas.org.br
1. Analisando o poema de Ariano Suassuna, pode-se
identificar esse rei como:
a) o rei que governava aquele lugar.
b) a mãe que era sua eterna companheira.
c) o pai que era o seu guia.
d) um amigo imaginário da época de menino.
e) o sol que a tudo iluminava.
2. Observando o poema anterior, percebe-se que há a
predominância da função:
a) fática.
b) poética.
c) metalinguística.
d) apelativa.
e) referencial.
PETRARCA, Francesco. A Paixão pelos Livros.
Editora Casa da Palavra e organização de Martha Ribas e Júlio Silveira.
5
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
5. De acordo com o texto, de que amigos o autor fala?
(
) Pessoas
(
CASA
11. Elabore uma pesquisa sobre as características da crônica
argumentativa.
) Livros
Comprove com trecho do texto.
GRAMÁTICA – CLASSE
Variação linguística – A língua em movimento
6. Para o autor, seus amigos são mais que companheiros.
O que eles lhe trazem?
A variação linguística é um interessante aspecto da língua
portuguesa. Pode ser compreendida através de influências
históricas e regionais sobre os falares.
7. Qual o tipo de discurso predominante no texto?
Justifique.
A variação linguística é um fenômeno que acontece
com a língua e pode ser compreendida através das variações
históricas e regionais. Em um mesmo país, com um único
idioma oficial, a língua pode sofrer diversas alterações feitas
por seus falantes. Como não é um sistema fechado
e imutável, a língua portuguesa ganha diferentes nuances.
O português que é falado no Nordeste do Brasil pode ser
diferente do português falado no Sul do país. Claro que um
idioma nos une, mas as variações podem ser consideráveis
e justificadas de acordo com a comunidade na qual se
manifesta.
As variações acontecem porque o princípio fundamental
da língua é a comunicação, então é compreensível que seus
falantes façam rearranjos de acordo com suas necessidades
comunicativas. Os diferentes falares devem ser considerados
como variações, e não como erros. Quando tratamos as
variações como erro, incorremos no preconceito linguístico
que associa, erroneamente, a língua ao status. O português
falado em algumas cidades do interior do Estado de São
Paulo, por exemplo, pode ganhar o estigma pejorativo de
incorreto ou inculto, mas, na verdade, essas diferenças
enriquecem esse patrimônio cultural que é a nossa língua
portuguesa.
As variações linguísticas acontecem porque vivemos
em uma sociedade complexa, na qual estão inseridos
diferentes grupos sociais. Alguns desses grupos tiveram
acesso à educação formal, enquanto outros não tiveram
muito contato com a norma culta da língua. Podemos
observar também que a língua varia de acordo com suas
situações de uso, pois um mesmo grupo social pode se
comunicar de maneira diferente, de acordo com
a necessidade de adequação linguística. Prova disso é que
você não vai se comportar em uma entrevista de emprego da
mesma maneira com a qual você conversa com seus amigos
em uma situação informal, não é mesmo?
• Leia o texto para responder às questões de 8 a 10.
INFÂNCIA
Meu pai montava a cavalo, ia para o campo.
Minha mãe ficava sentada cosendo.
Meu irmão pequeno dormia.
Eu sozinho menino entre mangueiras
lia a história de Robinson Crusoé,
comprida história que não acaba mais.
No meio-dia branco de luz uma voz que aprendeu
a ninar nos longes da senzala – e nunca se esqueceu
chamava para o café.
Café preto que nem a preta velha
café gostoso
café bom.
Minha mãe ficava sentada cosendo
olhando para mim:
– Psiu… Não acorde o menino.
Para o berço onde pousou um mosquito.
E dava um suspiro... que fundo!
Lá longe meu pai campeava
no mato sem fim da fazenda.
E eu não sabia que minha história
era mais bonita que a de Robinson Crusoé.
http://www.portugues.com.br/redacao/variacao-linguistica-linguamovimento.html
Carlos Drummond de Andrade
1. Tendo em vista que “as gírias” compõem o quadro de
variantes linguísticas ligadas ao aspecto sociocultural,
analise os excertos a seguir, indicando o significado de
cada termo destacado de acordo com o contexto:
a) Possivelmente não iremos à festa. Lá, todos os
convidados são patricinhas e mauricinhos!
b) Nossa! Como meu pai é careta! Não permitiu que
eu assistisse àquele filme.
c) Os namoros resultantes da modernidade baseiam-se
somente no ficar.
d) E aí mano? Estás a fim de encontrar com uma mina
hoje? A parada vai bombar!
e) Aquela aula de matemática foi péssima, não saquei
nada daquilo que o professor falou.
8. Mesmo em forma de poesia, pode-se afirmar que o texto
“Infância” é um relato? Justifique.
Comprove com um trecho do texto.
9. De acordo com o texto:
a) Como o eu lírico (narrador) ocupava seu tempo?
b) O que a mãe do eu lírico fazia na fazenda? E o pai?
10. A vida na fazenda era tranquila? Comprove com trecho
do texto.
6
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
Conclusão
O patrimônio linguístico de um país é um dos seus
maiores bens, além de seu maior legado às gerações futuras,
pois com a transmissão dos idiomas transferem-se milhares
de características, fatores e costumes especiais e únicos.
Por consequência a morte de um idioma implica na perda
imensurável a um país e inclusive à humanidade, pois perde-se,
além da forma básica de comunicação, uma cultura com
todas as suas expressões como folclore, história, musicalidade,
religião etc.
Portanto, a manutenção de um idioma é um fator
importantíssimo para a identidade de um povo, por se
constituir em um de seus principais suportes culturais, além
de ser uma expressão preservadora de sua dignidade
e orgulho. Daí a necessidade de conhecermos nosso
riquíssimo patrimônio linguístico, nos conscientizarmos de
sua importância e da necessidade de protegê-lo, inclusive
com uma efetiva aplicação da legislação, se for preciso.
CAPITULAÇÃO
Delivery
Até para telepizza
É um exagero.
Há quem negue?
Um povo com vergonha
Da própria língua.
Já está entregue.
Luis Fernando Verissimo
2. Responda:
a) O título dado pelo autor está adequado, tendo em
vista o conteúdo do poema? Justifique sua resposta.
b) O exagero que o autor vê no emprego da palavra
“delivery” se aplicaria também à “telepizza”?
Justifique sua resposta.
por Antonio Silveira.
http://www.aultimaarcadenoe.com.br/patrimonio-linguistico/
PATRIMÔNIO LINGUÍSTICO: IMPORTÂNCIA
E PROTEÇÃO
3. (Enem/2011)
NÃO TEM TRADUÇÃO
Introdução
Temos dado muito pouca atenção a uma de nossas
mais importantes riquezas nacionais, trata-se de nosso
patrimônio linguístico. Exatamente as línguas ou idiomas
e dialetos falados em nosso país. Qual é a sua situação atual
e importância? Há proteção legal para eles? É o que
tentaremos analisar.
Quando falamos em idiomas, logo vem a nossa
mente aqueles mais conhecidos como o inglês, o francês,
alemão, espanhol e o nosso português. Porém, há uma
imensidão de idiomas ou línguas e dialetos em todo
o planeta. Na verdade a Terra é um grande mosaico
linguístico, com cerca de 6.800 línguas atualmente, o que
forma hipoteticamente uma verdadeira Torre de Babel, aliás
é praticamente impossível catalogar todos os idiomas
e dialetos existentes, tanto que há muitas divergências em
relação aos números e estatísticas. Mas muitos deles
encontram-se ameaçados de extinção, já que são falados por
poucos indivíduos. Isto mesmo, ameaçados de extinção,
exatamente como dizemos dos animais e plantas, inclusive
seus processos de extinção podem ser parecidos.
No Brasil
Por sua vez, o Brasil é o oitavo país com maior
diversidade linguística, pois temos 234 idiomas, dos quais
mais de 200 são línguas indígenas e inclusive 41 já foram
extintas e muitas ameaçadas de extinção, como por exemplo
o yuruti com cerca de 250 indivíduos que a falam. Aliás,
atualmente temos muitas línguas indígenas que possuem
pouquíssimas pessoas que as utilizam, sendo 50 no Brasil
e o restante na Colômbia.
O xipaya no Pará é falada por duas mulheres,
o arikapu em Rondônia falada por seis pessoas, o puruborá
também em Rondônia falada por duas pessoas e o máku
falada apenas por um índio, que contava com 70 anos
e vivia em Boa Vista, Roraima e que não está mais sendo
localizado.
[…]
Lá no morro, se eu fizer uma falseta
Risoleta desiste logo do francês e do inglês
A gíria que o nosso morro criou
Bem cedo a cidade aceitou e usou
[…]
Essa gente hoje em dia que tem mania de exibição
Não entende que o samba não tem tradução no idioma
francês
Tudo aquilo que o malandro pronuncia
Com voz macia é brasileiro, já passou de português
Amor lá no morro é amor pra chuchu
As rimas do samba não são I love you
E esse negócio de alô, alô boy e alô Johnny
Só pode ser conversa de telefone
ROSA, N. In: SOBRAL, João J. V. A tradução dos bambas.
Revista Língua Portuguesa.
Ano 4, nº 54. São Paulo: Segmento, abr. 2010 (fragmento).
As canções de Noel Rosa, compositor brasileiro de Vila
Isabel, apesar de revelarem uma aguçada preocupação
do artista com seu tempo e com as mudanças
político-culturais no Brasil, no início dos anos 1920,
ainda são modernas. Nesse fragmento do samba “Não
tem tradução”, por meio do recurso da metalinguagem,
o poeta propõe:
a) incorporar novos costumes de origem francesa
e americana, juntamente com vocábulos estrangeiros.
b) respeitar e preservar o português padrão como
forma de fortalecimento do idioma do Brasil.
c) valorizar a fala popular brasileira como patrimônio
linguístico e forma legítima de identidade nacional.
d) mudar os valores sociais vigentes à época, com
o advento do novo e quente ritmo da música
popular brasileira.
e) ironizar a malandragem carioca, aculturada pela
invasão de valores étnicos de sociedades mais
desenvolvidas.
Jornal Correio Braziliense, 03/07/2001.
7
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
Sujeito da Oração: Rafael e Gustavo. Núcleo do
Sujeito: Rafael, Gustavo. Dois núcleos representam um
sujeito composto.
Sujeito subentendido, desinencial, implícito, oculto
ou elíptico.
Embora nestes casos o sujeito não apareça, qualquer
um pode facilmente identificá-lo:
CLASSE
Termos essenciais da oração
Termos essenciais da oração: Sujeito e predicado
e seus tipos.
Conheça os termos essenciais da oração na Língua
Portuguesa: Sujeito simples, composto, implícito,
indeterminado e inexistente. Predicado e seus tipos
Sujeito e Predicado são os termos fundamentais de
uma oração e formam sua estrutura. Lidamos com eles
o tempo todo e nem sempre percebemos que eles estão ali
no que escrevemos. Veja abaixo os tipos de sujeito
e predicado e os exemplos para melhor entendimento.
Exemplo:
• Comemos fora hoje.
O pronome “nós” não aparece, mas pela conjugação
do verbo podemos identificar que “nós” é o sujeito
subentendido da oração.
SUJEITO INDETERMINADO
Neste caso, a ação do verbo ocorre, mas não podemos
identificar quem é o sujeito. Acontece com verbos na
3ª pessoa do plural ou na 3ª pessoa do plural acompanhados
da partícula “se”.
Exemplo:
• Falaram mal do garoto.
SUJEITO
Sujeito é aquele que na oração realiza ou sofre uma
ação ou estado.
Por exemplo:
Pessoas falaram mal do garoto, houve uma ação,
o verbo foi conjugado, mas não podemos identificar o sujeito.
Não se sabe como isto aconteceu. Foi praticada uma ação,
há um sujeito, mas não sabemos quem é.
• Alexandre socorreu o garoto. “Alexandre” é o sujeito da
oração; ele realizou a ação de socorrer alguém.
• Alexandre está triste hoje. “Alexandre” é o sujeito que
se sente triste hoje, está num “estado” de tristeza.
Para encontrarmos o sujeito de uma oração, basta
fazer uma simples pergunta “ao verbo”: “quem é que”. No
caso das orações acima: quem é que socorreu o garoto?
Quem é que está triste hoje? Resposta: Alexandre.
SUJEITO INEXISTENTE (OU ORAÇÃO SEM SUJEITO)
Em algumas orações o predicado não se refere
a nenhum ser. A oração não tem sujeito. O verbo é impessoal
e estará sempre na 3ª pessoa do singular. Geralmente são
verbos relacionados a fenômenos da natureza (trovejar,
ventar, chover, anoitecer…), como também com os verbos
“haver, fazer, ser” quando empregados de maneira
impessoal.
Exemplo:
• Anoiteceu em Florianópolis.
• Choveu muito nesta madrugada.
• Há anos que não o vejo.
• Fez frio ontem.
• São 10 horas da manhã.
TIPOS DE SUJEITO
Existem cinco tipos de sujeito, eles podem ser
simples, compostos, implícitos, indeterminados e inexistentes.
Veja cada um deles.
SUJEITO SIMPLES
Na análise sintática, todo sujeito apresenta um núcleo
(sujeito simples) ou mais que um núcleo (sujeito composto).
Núcleo do sujeito é a parte essencial do próprio sujeito.
PREDICADO
É tudo o que se diz do sujeito da oração.
Exemplo:
• O galo cantou nesta madrugada.
http://www.educacao.cc/lingua-portuguesa/termos-essenciais-da-oracao-sujeito-epredicado-e-seus-tipos/
Exemplo:
• O menino Rafael comprou um chocolate branco.
4. A única oração com sujeito simples é:
a) Existem algumas dúvidas.
b) Compraram-se livros e revistas.
c) Precisa-se de ajuda.
d) Faz muito frio.
e) Há alguns problemas.
O menino Rafael é o sujeito da oração. Rafael é o
termo mais importante do sujeito. Rafael é o núcleo do
sujeito. Há apenas um núcleo, portanto é um sujeito simples.
5. Leia as orações a seguir, retire o sujeito e classifique-o.
a) Uma cigarra apareceu.
b) A safra estava excelente.
c) O monstro e Bela eram amigos.
d) Retornou ao palácio e encontrou Bela no chão.
e) Levaram vários dias para que voltassem.
SUJEITO COMPOSTO
Contém dois ou mais núcleos.
Exemplo:
• Rafael e Gustavo compraram chocolate.
8
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
6. Em qual das orações a seguir não existe sujeito?
a) Há vários estudantes no show de calouros.
b) Existiam vários alunos no show.
c) João e Maria corriam pelo parque.
d) Tocaram a campainha de sua casa.
e) José tocou flauta no concerto.
9. Leia.
A RAPOSA E AS UVAS
Morta de fome, uma raposa foi até um vinhedo
sabendo que ia encontrar muita uva. A safra tinha sido
excelente. Ao ver a parreira carregada de cachos enormes,
a raposa lambeu os beiços. Só que sua alegria durou pouco:
por mais que tentasse, não conseguia alcançar as uvas.
Por fim, cansada de tantos esforços inúteis, resolveu ir
embora, dizendo:
— Por mim, quem quiser essas uvas pode levar.
Estão verdes, estão azedas, não me servem. Se alguém me
desse essas uvas eu não comeria.
7. Numere de acordo com o caso, sublinhando, quando
possível, o termo indicado:
(1) sujeito simples
(2) sujeito composto
(3) sujeito oculto (determinado)
(4) sujeito indeterminado
(5) oração sem sujeito
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
Fábula de Esopo.
Moral da história: Desprezar o que não se consegue
conquistar é fácil.
Estude a lição, minha filha.
Havia muitas notas baixas na prova.
Nesta escola encontram-se alunos inteligentes.
Falaram muito de você no clube.
Come se bem nos restaurantes paulistas.
Come se, no Rio Grande do Sul, um bom churrasco.
Conversávamos animadamente eu e Paulo.
Conversávamos todos os dias após as aulas.
Num galho de mangueira brincam dois passarinhos.
Fazia muito calor em Brasília.
a) Qual é o sujeito da oração “Uma raposa foi até um
vinhedo”?
b) Que tipo de sujeito aparece em “Lambeu os beiços”?
c) Retire o predicado da oração “As uvas estão verdes
e azedas”.
10. Sublinhe o sujeito nas frases a seguir:
a) Chegou cansado da viagem o empresário.
b) As pessoas educadas portam-se com discrição.
c) Corriam os automobilistas a toda velocidade.
d) Voava tranquilo sobre as árvores, o passarinho.
e) São fundamentais na vida do homem a flora e a
fauna.
f) A maior parte dos alunos cumpre o seu dever.
g) Naquela tarde de outono, caía uma chuva fina.
h) Por causa de um defeito, fez o avião uma aterrissagem
forçada.
i) Meus pais deixaram-me viajar com uns amigos.
j) A necessidade fê-lo trabalhar para seu sustento.
8. Leia o texto a seguir:
A CIGARRA E A FORMIGA
Num belo dia de inverno as formigas estavam tendo
o maior trabalho para secar suas reservas de comida. Depois
de uma chuvarada, os grãos tinham ficado molhados. De
repente aparece uma cigarra:
— Por favor, formiguinhas, me deem um pouco de
comida!
As formigas pararam de trabalhar, coisa que era
contra seus princípios, e perguntaram:
— Mas por que? O que você fez durante o verão?
Por acaso não se lembrou de guardar comida para o inverno?
Falou a cigarra:
— Para falar a verdade, não tive tempo, passei
o verão todo cantando!
Falaram as formigas:
— Bom…. Se você passou o verão todo cantando,
que tal passar o inverno dançando? E voltaram para
o trabalho dando risadas.
CASA
1. Identifique e classifique o sujeito das orações:
a) Terminado o serviço, ela fazia o pagamento.
b) Não gosto de morangos.
c) Os homens disputavam um pedaço de terra.
d) Construíram casas onde, antes, havia um lixão.
e) Alguém gostaria de ler o texto?
f) O povo brasileiro aspira a melhores condições de
vida.
g) Fui lá, olhei tudo e não comprei nada.
h) Conserta-se bicicletas.
i) Surfe, alpinismo e exploração de cavernas são
esportes perigosos.
j) Precisa estudar gramática, pois comete muitos erros
de concordância.
k) Pastavam vacas brancas e malhadas.
l) Telefonaram para você.
m) Eram mágicos o cheiro do café e o barulho da
pipoca.
n) Com saudades, saí à procura do amigo.
o) No lixo da feira, crianças garantiam o seu almoço.
Fábula de Esopo
Moral da história:
Os preguiçosos colhem o que merecem.
a) Retire o sujeito da oração “Num belo dia de inverno
as formigas estavam tendo o maior trabalho”:
b) Ainda na mesma oração, retire o predicado.
c) Como se classifica o sujeito da oração?
9
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
2. Marque a alternativa em que a oração possui sujeito.
a) Faz tempo que andam poluindo os rios.
b) Haverá grandes desertos no lugar das florestas.
c) Existem pessoas passando fome no Brasil.
d) São duas horas da tarde.
e) No verão, amanhece mais cedo.
10. Observe as orações a seguir, analisando-as
minuciosamente:
Temos vagas para vendedores
Existem vagas para vendedores
Há vagas para vendedores
a) De acordo com nossa percepção, deduzimos que as
mesmas são semelhantes no que refere-se
à informação. Tomando como ponto de partida
o tipo de sujeito por elas representado, aponte
a diferença, classificando-o.
b) Mediante a análise feita no exercício anterior,
justifique sua resposta.
c) Agora considere esta informação: Precisa-se de
vendedores. Classifique o sujeito da mesma,
apresentando sua justificativa.
3. Circule o núcleo do sujeito nas orações abaixo:
a) O novo romance policial americano venderá bastante.
b) Aquela velha senhora doente mora sozinha.
c) Trabalhar e estudar fazia dele um homem feliz.
d) Eu, tu e ele resolvemos o exercício rápido.
e) Nos galhos da pitangueira, brincavam livremente os
pássaros.
f) Aqueles poucos professores protestaram em frente
a prefeitura.
MÚLTIPLAS LINGUAGENS
4. Escreva uma frase nominal e outra verbal.
CLASSE
5. O sujeito pode ser agente ou paciente. Classifique-o:
a) A garota caminhava, sozinha, rente ao meio-fio.
b) O torcedor foi agredido por policiais.
c) Os policiais agrediram o torcedor.
d) Os livros foram comprados por mim.
1. Folclore é o conjunto de tradições e manifestações
populares constituído por lendas, mitos, provérbios,
danças e costumes que são passados de geração em
geração. A palavra tem origem no Inglês, em que
folklore significa “sabedoria popular”. A palavra
é formada pela junção de folk (povo) e lore (sabedoria
ou conhecimento).
6. Identifique e classifique os sujeitos das formas verbais
em destaque no texto a seguir.
http://www.significados.com.br/folclore/
O tempo passou e, um dia, alguns meses depois que
o menino havia completado quinze anos, o imperador
e sua comitiva viajavam pela região quando caiu uma
tempestade muito forte.
Considerando essas informações, as manifestações
folclóricas devem possuir:
a) finalidade, objetividade, clareza e aceitação coletiva.
b) funcionalidade, receptividade, individualidade
e inovação.
c) tradicionalidade, dinamicidade, funcionalidade
e aceitação coletiva.
d) subjetividade, transparência, dinamicidade e inovação.
e) tradicionalidade, clareza, veracidade e individualidade.
“Os três cabelos de ouro do diabo”. In: Histórias da Carochinha. 6 ed.
São Paulo: Ática, 2003. P. 53.
7. (UFG-GO) Em uma das alternativas abaixo,
o predicativo inicia o período. Assinale-a.
a) A dificílima viagem será realizada pelo homem
b) Em suas próprias inexploradas entranhas descobrirá
a alegria de viver.
c) Humanizado tornou-se o sol com a presença humana.
d) Depois da dificílima viagem, o homem ficará
satisfeito?
e) O homem procura a si mesmo nas viagens a outros
mundos.
2. “Um objeto ou, nos estudos e pesquisas realizadas pelo
Grupo Sarandeiros, uma festa, música ou uma dança,
são sempre um veículo de expressão de relações
humanas, de valores e visões de mundo. Um país
é essencialmente seu povo. Um povo é essencialmente
sua cultura. E a única forma de um povo conhecer outro
povo é conhecer sua cultura.”
8. (UFMA) Há sujeito indeterminado em:
a) O pássaro voou assustado.
b) Surgiram reclamações contra o cruzado.
c) Ouvem-se vozes na sala vizinha.
d) Ali, rouba-se no atacado e no varejo.
e) Vendeu a casa.
http://www.sarandeiros.com.br
Considerando a afirmação acima, extraída do site do
Grupo Sarandeiros, pode-se afirmar que:
a) o grupo busca novas formas de música e dança para
que possa ser gerada a cultura de um determinado
povo.
b) os Sarandeiros procuram divulgar e valorizar as
manifestações populares através da dança e da
música.
c) um povo não pode ser reconhecido somente através
do conhecimento de sua cultura.
d) os Sarandeiros buscam reprimir toda forma de
manifestação artística por meio de manifestações.
e) a cultura não determina o comportamento das
pessoas e nem é possível conhecê-las através dela.
9. (PUC-SP) O verbo ser, na oração:
“Eram cinco horas da manhã…”, é:
a) pessoal e concorda com o sujeito indeterminado.
b) impessoal e concorda com o objeto direto.
c) impessoal e concorda com o sujeito indeterminado.
d) impessoal e concorda com a expressão numérica.
e) pessoal e concorda com a expressão numérica.
10
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
3. A palavra frevo vem de “ferver”, que passou a designar:
efervescência, agitação, confusão, rebuliço; aperto nas
reuniões de grande massa popular no seu vai-e-vem em
direções opostas. A respeito do frevo, suas
manifestações e características, pode-se dizer que:
a) é uma dança que surgiu no Estado da Bahia durante
o carnaval.
b) caracteriza-se pelo ritmo extremamente lento
e é pouco conhecido nacionalmente.
c) é considerado Patrimônio Imaterial da Humanidade
pela Unesco.
d) o primeiro frevo gravado foi “Pelo Telefone” em
1917.
e) está presente em festas brasileiras, principalmente
no período natalino.
Assim sendo, podem ser observadas como
características das obras de Tarsila do Amaral:
a) uso de tonalidades claras e geometrização das
obras. Temática ligada às classes dominantes.
b) uso de cores vivas, influência do cubismo,
abordagem de temas sociais, cotidianos e paisagens
do Brasil.
c) estética fora do padrão (influência do surrealismo)
e uso de cores claras.
d) obras abstratas, tentativa de criar de maneira mais
próxima aos modelos europeus.
e) representação fiel da realidade por meio de traços
delicados e ausência de críticas sociais nas suas
obras.
6. A partir da imagem abaixo, caracterize a obra de Lygia
Clark.
CASA
4. Observe a imagem abaixo que nos mostra uma obra de
Lygia Clark, apresentada em 1968.
CLASSE
7. Caracterize o grupo de dança Sandeiros.
“A casa é o corpo”, uma instalação de oito metros, que
permite a passagem das pessoas por seu interior, para
que elas tenham a sensação de penetração, ovulação,
germinação e expulsão do ser vivo. As criações de
Lygia Clark nos permitem deduzir que:
a) a arte precisava estar a serviço da libertação do ser
humano, que hoje existe em células, comunidades,
perfis on-line.
b) a arte é uma expressão objetiva inconsciente.
c) arte é a ciência que se ocupa do belo artístico,
excluindo o belo natural.
d) a arte, assume, como se vê, novas direções, mas
principalmente cresce como potencialidade no
campo temático da expressão.
e) a arte é algo inerente à vida, isto é, a arte significa o
que é a vida.
8. Qual o objetivo de Lygia Clark com a Série Bichos?
9. Por que Ligya Clark é pioneira na criação da arte
participativa?
CASA
10. Elabore uma pesquisa sobre o folclore brasileiro.
Anotações
5. Tarsila do Amaral foi uma das mais importantes
pintoras brasileiras do movimento modernista.
Participou da Semana de Arte Moderna de 1922. Pintou
obras importantíssimas para o mundo das arte, podemos
citar duas bastante conhecidas: Abaporu (1928)
e Operários (1933). Ela foi responsável pela criação dos
movimentos Pau-Brasil e Antropofágico e defendia que
os artistas brasileiros deveriam conhecer a arte europeia
para servir de inspiração, mas que deveriam criar uma
estética brasileira.
11
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
7. Quantos números inteiros são comuns aos conjuntos
solução das inequações 4 (2x – 3) < – (x – 8) e
x − 1 4x + 7
?
<
3
6
a) 2
b) 3
c) 6
d) 7
e) 8
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
MATEMÁTICA I
CONTEÚDO
RAZÕES
PROPORÇÕES
REGRA DE TRÊS SIMPLES
8. Qual é o conjunto solução de uma inequação expressa
pela sentença: “A soma de um número natural com
quatro é maior que a diferença entre o quádruplo desse
número e um”?
a) S = {0; 1; 2; 3; 4; 5}
b) S = {6; 7; 8; 9; 10; ...}
c) S = {0; 1}
d) S = {1; 2; 3; 4; 5}
CLASSE
Inequações do 1º Grau
Denominamos inequação toda sentença matemática
aberta por uma desigualdade.
As inequações do 1º grau com uma variável podem
ser escritas numa das seguintes formas:
ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0, como a
e b racionais (a ≠ 0). Exemplos:
2x − 7 ≥ 0
3x 7
+ <0
5 2
2x −
9. Resolva as inequações e as equações de 1º grau, sendo
U = Q.
a) 3(x + 1) < 2(x – 8)
b) 3(x + 2) + 2 ≥ 5 + 2x
x−4
1 x
c) −
≤− +
2
4 2
x x
x
d)
+ =−
2 3
6
x − 4 −3 − 2x 1 − 5x
e)
+
≥
2
3
6
2(x − 1) 3(1 − x) 3( − x − 2) 7(x + 1)
f)
−
=
−
3
5
2
10
1
1
2
7
g)
(x + 2) − (2x − 1) =  x − 
4
5
7
2
1
≤0
2
1. Quais das sentenças abertas abaixo são inequações?
a) 2x < 8
b) 3(x + 1) < 1 – 5x
x x +1
c)
+
>2
2
3
d) x + 1 < 1 – x
e) x + 7 = 3
f) x2 + x > 0
g) 2x – 7 > 3 – 2x
h)
2. O número –5 é solução de quais das inequações abaixo?
a) 2x < 10
b) 1 – 2x < 2
x
c)
≥0
3
d) x > –2
i)
j)
2
2
6
( − x − 3) + (5 − x) ≥ − ( x − 11)
5
3
7
x +1 x + 2 x + 3 1
+
=
−
−3
5
−4 10
x x −1
x −2 x −3
+
+x≤
−
3
2
5
4
10. Quantos números inteiros maiores que zero são comuns
aos conjuntos solução de 2(x + 3) > 3(x – 1) e
3x − 1 x
− ≤ 3?
2
3
3. O número –2 é solução de alguma das inequações
abaixo?
a) 1 – 4x < 11
b) 3 < –5 – 7x
c) 4x + 11 > 100x
11. Considere o conjunto universo igual aos naturais
x x + 1 2x 1
(U = N), resolva a inequação
−
>
+ e
3
2
4
4
determine o seu conjunto solução.
4. O número –1 é solução da inequação 5(x + 1) – 3(x – 1)
< 4(1 – x) – 2?
5. Adiciona-se ao triplo de um número racional x a quarta
parte desse mesmo x e, em seguida, subtrai-se a quinta
parte de x, encontrando-se um resultado menor que a
metade do número x. Quais são os possíveis valores de
x?
12. Sendo S a soma de todos os números inteiros negativos
pertencentes ao conjunto solução da inequação
2(x + 6) – 4(x – 2) ≥ – 7x, podemos afirmar que o valor
de S é:
a) –10
b) –9
c) –8
d) –7
e) –6
6. O número racional x é multiplicado por 3 e, a esse
produto, é adicionado um quarto do número x, obtendo-se,
como resultado, um número menor que a metade do
número x. Quais são os possíveis valores de x?
12
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
13. Sendo a e b dois números racionais tais que a < b,
analise as sentenças seguintes.
I. a + 7 < b + 7
II. a < b
5 5
III. 3a > 3b
IV. – 2a < – 2b
RAZÕES
Introdução
Vamos considerar um carro de corrida com 4 m de
comprimento e um kart com 2 m de comprimento.
Para compararmos as medidas dos carros, basta dividir o
comprimento de um deles pelo outro. Assim:
4
= 2 (o tamanho do carro de corrida é duas vezes o
2
tamanho do kart).
Podemos afirmar também que o kart tem a metade
1
  do comprimento do carro de corrida. A comparação
2
entre os dois números racionais, através de uma divisão,
chama-se razão.
1
A razão   pode também ser representada por 1 : 2
2
e significa que cada metro do kart corresponde a 2 m do
carro de corrida.
Dentre essas sentenças, são verdadeiras apenas:
a) II, III e IV
d) I e II
b) I, II e IV
e) I, II e III
c) III e IV
14. Um retângulo tem 2y centímetros de comprimento e y
centímetros de largura. Qual deve ser o menor valor
inteiro de y, sabendo que o perímetro desse retângulo é
maior que o perímetro de um triângulo equilátero com
15 cm de lado?
a) 9 cm
d) 11 cm
b) 8 cm
e) 10 cm
c) 7 cm
Denominamos de razão entre dois números a e b
a
(b diferente de zero) o quociente
ou a : b.
b
15. Carol e Vinícius estavam brincando de um jogo em que
um deles tinha de resolver enigmas que envolviam
números. Vinícius propôs o seguinte enigma para Carol
resolver:
A palavra razão, vem do latim ratio, e significa
“divisão”. Como no exemplo anterior, são diversas as
situações em que utilizamos o conceito de razão. Exemplos:
• Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240
candidatos. Razão dos candidatos aprovados nesse
concurso:
: 240
240 : 1200 =
Quais são os números?
a) ... , –1, 0, 1, 2, 3, 4
b) 4,5,6,...
c) 5,6,7,8,...
d) ..., –2, –1, 0, 1, 2, 3.
e) 0,1,2,3,4
240 1
=
1200 5
: 240
(de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado)
•
16. Quais são os números inteiros positivos que satisfazem
simultaneamente as inequações 5x – 3 ≥ 7 ⋅ (x – 1) e x/2
+ 3 ≥ 1 – x? Resolva cada uma delas para responder
corretamente.
Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres. Razão
entre o número de mulheres e o número de convidados:
: 25
75 : 100 =
R:
17. Para quais valores inteiros de x o perímetro do triângulo
é maior que o perímetro de um quadrado com 25 cm2 de
área?
75
3
=
100 4
: 25
(de cada 4 convidados, 3 eram mulheres).
x
Observações:
x − 1 cm
1. A razão entre dois números racionais pode ser
apresentada de três formas. Exemplo:
1
Razão entre 1 e 4 : 1 : 4 ou ou 0, 25.
4
x + 3 cm
13
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
19. As proporções no corpo humano representam a base dos
estudos para as pessoas que se dedicam às artes
plásticas, à comunicação, à produção de histórias em
quadrinhos, aos filmes de animação etc. Um esquema
básico para os estudantes de desenho do corpo humano
está representado a seguir, no qual um quadrado maior
está dividido em 64 quadrados menores iguais.
2. A razão entre dois números racionais pode ser expressa
com sinal negativo, desde que seus termos tenham
sinais contrários. Exemplos:
A razão entre 1 e − 8 é
−1
8
TERMOS DE UMA RAZÃO
Conforme
mostram
os
exemplos
dados
anteriormente, a razão é representada por um número
racional, mas é lida de modo diferente.
Exemplo:
a) A fração
b) A razão
3
lê-se: “três quintos”.
5
3
lê-se “3 para 5”.
5
Tomando por base o esquema, responda qual é a razão
(simplificada, quando possível) entre:
a) o comprimento da cabeça e o comprimento do
restante do corpo.
b) a altura e o comprimento das pernas.
c) a largura dos ombros e a largura dos braços abertos.
d) a largura dos ombros e o comprimento das pernas.
Os termos da razão recebem nomes especiais.
o número 3 é numerador.
3 ր
a) Na fração
5 ց o número 5 é denominador.
20. Após realizar algumas atividades físicas, três alunos de
uma turma do 7° ano contaram seus batimentos
cardíacos por um período de 10 segundos. O quadro que
segue apresenta o resultado da contagem.
o número 3 é antecedente.
3 ր
b) Na razão
5 ց o número 5 é consequente.
18. Represente a razão entre o primeiro e o segundo
número, nos seguintes casos:
a) 2 e 3
b) 6 e 8
c) 5 e 15
d) 3 e
e)
Número de batimentos
cardíacos
Paola
27
Tiago
31
Juliana
28
a) Qual a razão entre o número de batimentos
cardíacos da Juliana e da Paola?
b) Mantendo-se o mesmo ritmo, qual o número de
batimentos cardíacos de Paola em um minuto?
c) Algum desses alunos apresentou mais de 180
batimentos cardíacos por minuto? Qual?
2 3
e
3 4
f) 3 e
g)
4
5
Aluno
2
5
2
e4
9
21. Em 1993, Ayrton Senna foi vice-campeão de Fórmula 1,
conquistando 73 pontos num total de 16 provas.
Qual é a razão entre o número de pontos conquistados e
o número de provas?
h) 0,6 e 0,8
i) 2,4 e 3,6
14
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
Veja o exemplo:
RAZÕES INVERSAS
Uma sala tem 18 m2. Um tapete que ocupa o centro
dessa sala mede 384 dm2. Vamos calcular a razão entre a
área do tapete e a área da sala.
3 4
e . Observe que o produto das
4 3
duas razões é igual a 1, pois:
Considere as razões
3 4 12
· =
=1
4 3 12
Nessas condições, dizemos que as razões são inversas.
3
3
Portanto é razão inversa de , ou vice-versa.
4
4
Outros exemplos:
5 6
a) A razão inversa de é .
6 5
1 3
b) A razão inversa de é .
3 1
22. Se a razão
Primeiro, devemos transformar as duas grandezas em
uma mesma unidade.
Área da sala: 18 m2 = 1800 dm2
Área do tapete: 384 dm2
Estando as duas áreas na mesma unidade, podemos
escrever a razão:
a
7
b
é igual a
, qual o valor da razão ?
b
10
a
384 dm 2
384 16
=
=
1800 dm 2 1800 75
23. Que número se obtém como produto de duas razões
inversas?
24. Se
26. Determine a razão entre:
a) 10 m e 15 m
b) 18 m2 e 36 m2
c) 21 m3 e 18 m3
d) 15 kg e 35 kg
3
· a = 1, qual o valor de a?
8
25. Se a · b = 1 e a =
6
, qual o valor de b?
5
e)
f)
g)
h)
20 cm e 3 m
5 kg e 2 000 g
20 m2 e 2 dam2
2,40 m3 e 3 200 dm3
27. Na figura abaixo, calcule:
RAZÃO ENTRE GRANDEZAS
DA MESMA ESPÉCIE
Compare a medida das alturas dos triângulos I e II:
II
I
2 cm
3 cm
a) a razão entre a área destacada e a área em branco.
b) a razão entre a área destacada e a área da figura.
•
•
O triângulo I tem 2 cm de altura.
O triângulo II tem 3 cm de altura.
28. Observe o retângulo e determine:
A razão entre a medida da altura do triângulo I e a
medida da altura do triângulo II é:
4m
2 cm 2
=
3cm 3
6m
a) A razão entre as medidas da base e da altura do
retângulo.
b) a razão entre a medida da altura e o perímetro do
retângulo.
A razão entre duas grandezas de mesma espécie é o
quociente dos números que expressam as medidas dessas
grandezas numa mesma unidade.
15
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
29. De acordo com as figuras, determine:
6m
30. Um comprimento real de 12 m foi representado num
desenho por 6 cm. Nesse caso, qual foi a escala usada?
8m
A
31. A distância entre duas cidades, em linha reta, é 240 km e
foi representada num mapa por um segmento de 12 cm.
Qual foi a escala usada nesse mapa?
6m
8m
a) a razão entre os perímetros dos quadrados A e B.
b) a razão entre as áreas dos quadrados A e B.
32. A planta do apartamento mostrada a seguir foi
construída na escala 1 : 100. Calcule as dimensões reais
da sala e do banheiro.
ESCALA
No mapa, a distância entre o Monte Caburaí (extremo
norte do Brasil) e o Arroio Chuí (extremo sul) é
representada por um segmento de 7,2 cm. A distância
real entre esses extremos é de 4 320 km.
Cozinha
Sala
Dormitório
4,5 cm
3 cm
Banheiro
3 cm
1,8 cm
RAZÃO ENTRE GRANDEZAS DE ESPÉCIES
DIFERENTES
VELOCIDADE MÉDIA
Calculemos a razão entre a distância que está no
mapa e a distância real. Para isso, vamos primeiramente
transformar 4 320 km em centímetros.
Considere um carro que às 9 horas passa pelo
quilômetro 30 de uma estrada e, às 11 horas, pelo
quilômetro 170:
4 320 km = 432 000 000 cm
Logo, a razão é dada por:
7, 2
1
=
ou 1 : 60 000 000
432 000 000 60 000 000
A esse tipo de razão damos o nome de escala.
1
A escala
indica que cada centímetro no
60 000 000
mapa equivale a 60 000 000 cm, ou seja, 600 km.
Escala é a razão entre um comprimento no desenho e o
correspondente comprimento real.
Distância percorrida: 170 km – 30 km = 140 km
Tempo gasto: 11 h – 9 h = 2 h
Calculemos a razão entre a distância percorrida e o
tempo gasto para isso:
Vejamos outros exemplos:
a) Uma sala tem 8 m de comprimento. Esse
comprimento é representado num desenho por 20 cm.
Qual é a escala do desenho?
Escala =
140 km
= 70 km / h
2h
comprimento no desenho 20 cm
=
=
comprimento real
8m
20 cm
1 cm
1
=
=
ou 1 : 40
800 cm 800 cm 40
b) Num mapa, a distância entre Brasília e João Pessoa
foi representada por 5,5 cm. Esse mapa foi
1
desenhado na escala
. Qual é a distância
31 000 000
aproximada, em quilômetro, entre essas cidades?
A esse tipo de razão dá-se o nome de velocidade
=
média.
Observe que:
•
A escala indica que cada centímetro, no mapa,
representa 31 000 000 cm, o que equivale a 310 km.
Logo, 5,5 cm equivalem a 5,5 · 310 km = 1 705 km.
A distância entre as duas cidades é de 1 705 km.
•
16
as grandezas quilômetro e hora são de naturezas
diferentes.
a notação km/h (lê-se: “quilômetro por hora”) deve
acompanhar a razão.
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
DENSIDADE DEMOGRÁFICA
A região Sudeste (Espírito Santo, Minas Gerais, Rio
de Janeiro e São Paulo) tem uma área aproximada de 927
286 km2 e uma população de 66 288 000 habitantes,
aproximadamente, segundo estimativas projetadas pelo
Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) para o
ano de 1995.
Uno Mille 1.0
Corsa Wind 1.0
Carros
Uno Mille 1.0
Corsa Wind 1.0
Gol CL 1.6
•
Gol CL 1.6
km/L
16,5
16,3
14,4
O texto que segue serve de base para responder às
questões 16 e 17.
O guepardo, um felino típico das savanas africanas, é
considerado o animal terrestre mais veloz do mundo.
Seu corpo é moldado para correr. Entre outras
características, esse animal possui a cabeça pequena, o
que lhe permite ter menor resistência do ar.
Observe a distância que o guepardo e outros animais
podem percorrer em determinado tempo.
Dividindo-se o número de habitantes pela área, obteremos o número de
habitantes por km2 (hab./km2):
66 288 000
≃ 71,5 hab. / km 2
927 286
Guepardo
Adulto:
1,1 m a 1,5 m de
comprimento
Peixe agulhão-vela
Distância: 266 m
Tempo: 10 s
Distância: 30 m
Tempo: 1 s
Até 3,4 m de
comprimento
A esse tipo de razão dá-se o nome de densidade
demográfica.
A notação hab./km2 (lê-se “habitantes por quilômetro
quadrado”) deve acompanhar a razão.
Entre os Estados brasileiros de maior densidade
demográfica, temos:
Estados
Rio de Janeiro
São Paulo
Alagoas
Leão
Densidade demográfica*
≃ 302,8 hab./km2
≃ 135,4 hab./km2
≃ 96,1 hab./km2
Adulto:
1,75 m a 2,5 m de
comprimento
Gazela
Adulto:
1,5 m de comprimento
* Para o cálculo da densidade demográfica, também levamos em
conta, em relação à população desses Estados, as projeções do
IBGE para 1995.
CONSUMO MÉDIO
Distância: 69 m
Tempo: 5 s
*Um carro percorreu, na cidade, 83,76 km 8 ℓ de
gasolina. Dividindo-se o número de quilômetros percorridos
pelo número de litros de combustível consumidos, teremos o
número de quilômetros que esse carro percorre com um litro
de gasolina:
Distância: 333 m
Tempo: 15 s
33. De acordo com as informações contidas no texto,
determine a razão entre:
a) a altura mínima e máxima de um guepardo adulto.
b) as alturas máximas de um peixe agulhão-vela e de
uma gazela, adultos.
c) a altura máxima e mínima de um leão adulto.
83,76 km
= 10, 47 km/ℓ
8ℓ
34. Considerando os animais destacados no texto, responda.
a) Qual deles atinge a maior velocidade? Quanto é o
valor dessa velocidade?
b) Considerando a velocidade da gazela, quantos
quilômetros ela percorre em 1 minuto?
c) Em quantos segundos um peixe agulhão-vela
percorre 1,5 km?
A esse tipo de razão dá-se o nome de consumo médio
A notação km/L (lê-se: “quilômetro por litro”) deve
acompanhar a razão.
Entre os carros brasileiros mais econômicos nas
estradas, temos:
17
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
40. Em 1995, o preço médio de arroba de algodão foi de
R$ 6,50. Determine a razão entre o preço médio e o
peso correspondente de algodão, em quilos (lembre que
cada arroba equivale a 15 kg).
35. Um fundista percorreu a prova dos 10 000 m em 32
min. Qual foi a sua velocidade média por minuto?
36. O Estado do Amapá tem um área aproximada de
143 453 km2 e uma população de 326 200 habitantes
(projeção do IBGE para 1995). Dê a densidade
demográfica do Amapá.
41. A população de Brasília (DF) é uma das que mais
cresceram no Brasil nos últimos anos. De 1996 a 2007,
a população desse município, que tem 5 802 km2 de
área territorial, passou de 1 821 946 para mais de
2 milhões de habitantes.
Usando apenas a parte inteira, desprezando a parte
decimal, responda.
a) Qual era a densidade de Brasília em 1996?
b) Quantos habitantes havia em 2007, se a densidade
demográfica era de 423,29 hab/km2?
37. Enchi o tanque do meu carro. Andei 474,6 km e, para
tornar a enchê-lo, coloquei 42 L de álcool. Quantos
quilômetros meu carro faz com 1 L de álcool?
38. De acordo com o gráfico, indique a razão entre o custo
do transporte hidroviário e o do rodoviário, no Brasil?
TRANSPORTAR NA ÁGUA
É MAIS BARATO
1 000 km
42. Numa prova de vestibular concorreram 2 400
candidatos para 120 vagas. A razão entre o número de
vagas e o número de candidatos foi de:
1
a)
2
1
b)
20
1
c)
200
1
d)
2 000
Custo em USS por tonelada,
ao longo de 1.000 km
50
40
40
30
27
20
10
0
10
Hidroviário
Ferroviário
•
Rodoviário
As questões 43, 44 e 45 referem-se às figuras A e B.
Cesp. Folha de São Paulo.
5 cm
3 cm
39. No Brasil, os principais meios de transporte coletivo
intermunicipal (de um município a outro) são os ônibus
e os aviões. Outros países adotaram como alternativa os
trens, inclusive os chamados trens-bala.
A seguir, estão apresentados o percurso e o tempo gasto
em algumas viagens, conforme o meio de transporte.
A
1 023 km
Salvador
(BA)
País: China
Meio de transporte: trem-bala
Tempo gasto: 0,5 h ou 30 min
Pequim
(China)
115 km
Tianjin
(China)
841 km
B
44. A razão entre o perímetro do retângulo A e o do
retângulo B é:
5
a)
9
2
b)
5
9
c)
5
3
d)
4
País: Brasil
Meio de transporte: ônibus
Tempo gasto: 14,5 h ou 14 h 30 min
São José do
Rio Preto (SP)
4 cm
43. A razão entre o comprimento do retângulo A e o do
retângulo B é:
5
a)
4
4
b)
5
3
c)
5
1
d)
2
País: Brasil
Meio de transporte: avião
Tempo gasto: 1,1 h ou 1 h 6 min
Fortaleza
(CE)
2 cm
Juiz de Fora
(MG)
a) Qual desses meios de transporte atinge uma maior
velocidade? Qual é essa velocidade?
b) Quantas horas, aproximadamente, um trem-bala
gastaria para percorrer o equivalente à distância
entre São José do Rio Preto e Juiz de Fora?
18
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
45. A razão entre a área do retângulo A e a do retângulo B é:
3
a)
5
2
b)
5
3
c)
10
4
d)
5
50. A velocidade média é definida com o quociente do
espaço percorrido, em quilômetros, pelo tempo gasto
para percorrê-lo, em horas. Um automóvel percorreu a
distância entre duas cidades, com velocidade média de
60 km/h e fez a viagem de regresso com velocidade
média de 40 km/h. Então, pode-se afirmar que a
velocidade média do percurso total, ida e volta, foi de:
a) 48 km/h
d) 60 km/h
b) 50 km/h
e) 100 km/h
c) 52 km/h
46. Numa escola estão matriculados 800 alunos, dos quais
450 são meninas. A razão entre o número de meninos e
o número de meninas é:
7
a)
9
9
b)
7
9
c)
16
7
d)
16
51. Qualquer mapa, planta ou maquete tem uma escala. A
escala do mapa indica a razão ou o coeficiente de
proporcionalidade entre as distâncias representadas e as
distâncias reais. O mapa seguinte, por exemplo, é uma
representação do Brasil vista de cima, em tamanho
reduzido e que preserva as relações de tamanho.
47. No campeonato colegial mirim, Reginaldo percorreu
60 m em 8 s. Sua velocidade média foi:
a) 6 m/s
b) 7 m/s
c) 7,5 m/s
d) 8 m/s
3
, a razão entre o
5
quíntuplo do primeiro e a terça parte do segundo é igual a:
1
a)
9
1
b)
3
c) 1
d) 3
e) 9
Com base nesse mapa, complete corretamente cada uma
das sentenças.
a) A escala nos diz que 1 cm no mapa corresponde
a_______ km na realidade.
b) Se, no mapa, a distância, em linha reta, de Porto
Alegre a Cuiabá é de 3,5 cm, a distância real entre
essas cidades será de _______ km.
c) De Porto Velho a Brasília são 2000 km, que no
mapa serão representados por, aproximadamente,
_______ cm (use duas casas decimais).
48. Se a razão entre dois números é
49. Um bar vende suco e refresco de tangerina. Ambos são
fabricados diluindo em água um concentrado desta
fruta. As proporções são de uma parte de concentrado
para três de água, no caso do suco, e de uma parte de
concentrado para seis de água no caso do refresco.
O refresco também poderia ser fabricado diluindo x
x
partes de suco em y partes de água, se a razão
fosse
y
igual a:
1
a)
2
3
b)
4
c) 1
4
d)
3
e) 2
PROPORÇÕES
Introdução
Rogerião e Claudinho com seus cachorros. Rogerião
pesa 120 kg, e seu cão, 40 kg. Claudinho, por sua vez, pesa
48 kg, e seu cão, 16 kg.
Observe a razão entre o peso dos dois rapazes.
: 24
120 kg 5
=
48 kg
2
: 24
19
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
O produto dos extremos é igual ao produto dos meios.
Veja esta outra proporção:
Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros.
:8
6 18
=
5 15
40 kg 5
=
16 kg
2
•
•
:8
O produto dos extremos é igual ao produto dos
meios. Considerando outras proporções, você irá verificar
que sempre o produto dos extremos será igual ao produto
dos meios. Isso nos permite estabelecer a propriedade
fundamental das proporções. Em toda proporção, o
produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Essa
propriedade possibilita reconhecer quando duas razões
formam ou não uma proporção.
Veja os exemplos:
Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse
120 40
=
caso, podemos afirmar que a igualdade
é uma
48 16
proporção. Assim:
Proporção: é uma igualdade entre duas razões.
De modo geral:
Dados os números racionais a, b, c e d, diferentes de
zero, dizemos que eles formam, nessa ordem, uma
proporção quando a razão de a para b for igual à razão
de c para d.
a)
Representamos a proporção por:
a c
= ou a : b = c : d ou a : b : : c : d
b d
b)
(lê-se: “a está para b assim como c está para d”)
• Os termos a e d são chamados extremos da
proporção.
• Os termos b e c são chamados meios da proporção.
Meios
a c
=
b d
ou
Extremos
4 12
e
formam uma proporção, pois:
3 9
2 5
e não formam uma proporção, pois o produto
4 3
dos extremos (2 · 3 = 6) é diferente do produto dos
meios (4 · 5 = 20).
52. Verifique se os pares de razões formam uma proporção
aplicando a propriedade fundamental das proporções.
9 12
4 3
a)
e
d)
e
3 4
3 8
12 20
0, 2 1
b)
e
e)
e
3 15
3
5
15 18
0,5 2
c)
e
f)
e
0, 4 4
8
6
Meios
a :b = c:d
Extremos
CÁLCULO DE UM TERMO DESCONHECIDO EM
UMA PROPORÇÃO
5 3
= , lemos: “5 está para
Por exemplo, na proporção
10 6
10 assim como 3 está para 6”
• Os extremos são 5 e 6.
Produto dos extremos: 6 · 15 = 9
Produto dos meios: 5 · 18 = 90
Podemos calcular o valor de um termo desconhecido em
uma proporção aplicando a propriedade fundamental.
Acompanhe os exemplos a seguir.
• Os meios são 10 e 3.
Exemplo 1
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS
PROPORÇÕES
Calcule o valor de x na proporção
6 16
= .
3 x
Solução
Considere a seguinte proporção:
2 4
=
3 6
Observe o que acontece com o produto dos extremos e o
produto dos meios dessa proporção:
• Produto dos extremos: 2 · 6 = 12
• Produto dos meios: 3 · 4 = 12
20
Produto
dos
extremos
6· x
6x
x
=
=
=
x
=
Produto
dos
meios
3 · 16
48
48
6
8
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
53. Determine o valor de x nas proporções:
x 9
5
10
=
a)
j)
=
4 12
6 x+8
15 10
2
4
=
b)
k)
=
3
x
x+2 6
6 x
x − 5 x −1
=
=
c)
l)
9 15
3
5
7 14
3x + 2 16
=
d)
m)
=
x 12
2x − 1 9
3
2x 24
2
=
e)
n) 7 =
5
15
x 5
1
3 5x
2
=
f)
o) 3 =
2 5
4 20
5
x + 3 12
2x − 1 3x
=
p)
g)
=
2
4
6
4
3
2
6
h)
=
x + 4 51
4 x +1
=
i)
3
6
Exemplo 2
2x − 1 5
Calcule o valor de x na proporção
= .
x+2 8
Solução
Produto
dos
extremos
8 · (2x – 1)
16x – 8
16x – 5x
11x
Produto
dos meios
=
=
=
=
x
=
5 · (x + 2)
5x + 10
10 + 8
18
18
11
Exemplo 3
3
x
Calcule o valor de x na proporção 5 = .
2 5
3 6
Solução
Produto dos
Produto dos
extremos
meios
1 1
2
3 5
·
·x
=
5 6
3
1 2
54. Os números cinco e sete são respectivamente
proporcionais aos números 2x – 1 e 3x + 1. Nessas
condições, qual é o valor de x?
55. Qual deve ser o valor de t para que os números 10, 2t,
35 e 4t + 33 formem, nessa ordem, uma proporção?
1 2x
=
2
3
56. Desejo construir um retângulo de modo que a razão
5
entre a base e altura seja . Se a base tiver 25 cm,
3
quanto deverá medir a altura?
Aplicamos novamente a propriedade fundamental.
2 · 2x = 3 · 1
4x = 3
3
x=
4
57. As fotos ampliadas (ou reduzidas) apresentam as
dimensões proporcionais às dimensões das respectivas
fotos em tamanho normal. Cristina tirou uma foto cujas
dimensões são 1,5 cm (largura) e 2,3 cm
(comprimento).
Considerando uma cópia dessa foto com largura de
4,5 cm, responda.
a) Qual será a medida do comprimento dessa cópia?
b) A cópia é uma ampliação ou redução? Quantas
vezes ela está sendo ampliada ou reduzida?
Exemplo 4
A maquete de um ginásio de esportes foi feita na razão
de 9 para 250. A maquete tem 54 cm de altura.
Calcule a altura desse ginásio.
Solução
Para isso vamos montar a proporção:
58. Extraído da soja, da mamona ou do dendê, o biodiesel
ainda é inviável economicamente e precisa de pesados
subsídios governamentais para ganhar mercado. Com
relação à produção de biodiesel, o quadro seguinte
mostra a situação atual e a meta a ser cumprida.
9
54
=
250
x
Resolvendo a proporção:
9x = 54 · 250
Para cumprir
a meta
840 milhões de
70 milhões de litros
Produção
litros
? mil hectares
Área plantada 80 mil hectares
Mantendo-se a mesma produtividade por hectare, qual
deverá ser a área plantada para que a produção de 840
milhões de litros de biodiesel seja atingida?
6
Hoje
54 · 250
x=
9
1
x = 6 · 250
x = 1 500 cm = 15 m
21
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
59. Sabe-se que José é 9 anos mais velho que Paulo. Se a
idade de José está para a idade de Paulo assim como 8
está para 5, qual é a idade de José?
60. Calcule x e y na proporção
61. Na proporção
OUTRAS PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES
x 8
= , sabendo que x = y = 132.
y 3
a 9
= , calcule a e b, sabendo que
b 2
a + b = 198.
1ª Propriedade
Considere a seguinte proporção:
 x + y = 85

62. Determine o valor de x e y, sabendo que  x
5
 y = 12

5 10
=
2
4
Observe que a partir dela podemos formar duas outras
proporções:
2ª Propriedade
Considere a seguinte proporção:
7 14
 5 + 2 10 + 4
 5 = 10 ⇒ 5 = 10

5 10
=
⇒
ou
2 4
 5 + 2 10 + 4
7 14

=
⇒ =
4
2 4
 2
4 8
=
3 6
Observe que a partir dela podemos formar duas outras
proporções.
1 2
4 − 3 8 − 6
 4 = 8 ⇒ 4 = 8
4 8
= ⇒
3 6
4 − 3 = 8 − 6 ⇒ 1 = 2
 3
6
3 6
Esse procedimento é valido para toda proporção.
Isso nos leva à seguinte propriedade:
Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos está
para o primeiro (ou para o segundo termo) assim como
a soma dos dois últimos está para o terceiro (ou para o
quarto termo).
a


a c
De modo geral, se = , temos: 
b d
a


Esse procedimento é válido para toda proporção.
Isso nos leva à seguinte propriedade:
Numa proporção, a diferença entre os dois primeiros
termos está para o primeiro (ou para o quarto termo).
+b c+d
=
a
c
ou
+b c+d
=
b
d
a


a c
De modo geral, se = , temos: 
b d
a


Vejamos um exemplo de aplicação dessa propriedade.
x 2
Vamos calcular o valor de x e y na proporção
= ,
y 5
sabendo que x + y = 42.
Vejamos em exemplo de aplicação dessa propriedade.
x 5
Vamos calcular x e y na proporção = , sabendo que
y 2
x – y = 21.
Apliquemos à proporção a 2ª propriedade:
Apliquemos à proporção a 1ª propriedade:
42
42
x 2
x+y 2+5
x+y 2+5
= ⇒
+
ou
=
y 5
x
2
y
5
21
21
x 5
x−y 5−2
x− y 5 − 2
= ⇒
=
ou
=
y 2
x
5
y
2
Substituindo x + y por 42 e resolvendo as proporções,
temos:
42 7
42 7
=
=
y
5
x
2
7x = 2 · 42
7y = 42 · 5
6
42 · 5
y=
7
x = 12
y = 30
1
Substituindo x – y por 21 e resolvendo as proporções,
temos:
21 3
21 3
=
=
y 2
x 5
3x = 5 · 21
3y = 21 · 2
6
2 · 42
x=
7
−b c−d
=
a
c
ou
−b c−d
=
b
d
7
5 · 21
x=
3
1
7
21 · 2
=
y
3
1
x = 35
Portanto x = 12 e y = 30.
1
y = 14
Portanto x = 35 e y = 14.
22
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
63. Calcule a e b na proporção
Resolvendo as proporções, temos:
a 5
= , sabendo que a – b = 60.
b 2
40 x
=
8
3
8x = 3 · 40
x 11
64. Na proporção
= , calcule x e y, sabendo que
y 3
x – y = 96.
5
5
3 · 40
x=
8
a − b = 165

65. Determine o valor de a e b, sabendo que  a 15
 b = 4
66. Indique dois números na razão
40 y
8 5
8y = 40 · 5
y=
1
x = 15
40 · 5
8
y = 25
1
Portanto x = 15 e y = 25
4
, cuja diferença seja – 36.
7
Exemplo 2
Vamos calcular x, y e z sabendo que x + y + z = 120 e
3ª propriedade
x y z
= = .
4 5 6
Considere a seguinte proporção:
12 3
=
8
2
Apliquemos a 3ª propriedade das proporções.
120
x y z
x+y+z x y z
= = ⇒
= = = ⇒
4 5 6
4+5+6 4 5 6
Observe que a partir dela podemos formar outras duas
proporções.
15 12
12 + 3 12
 8 + 2 = 8 ⇒ 10 = 8

12 3
= ⇒
ou
8 2
12 + 3 3
15 3

= ⇒
=
10 2
 8 + 2 2
15
120 x
120 y
120 z
⇒
= ou
= ou
=
15
4
15
5
15
6
Resolvendo as proporções, temos:
Esse procedimento é válido para toda proporção.
Isso nos leva à seguinte propriedade:
Numa proporção, a soma dos antecedentes está para a
soma dos consequentes assim como cada antecedente
está para o seu consequente.
120 x
=
15
4
15x = 120 · 4
120 y
=
15
5
15y = 120 · 5
120 z
=
15
6
15z = 120 · 6
120 · 4
x=
15
120 · 5
y=
15
120 · 6
z=
15
a c
a+c a c
De modo geral, se = , temos
= = .
b d
b+d b d
x = 32
8
1
8
y = 40
8
1
z = 48
1
Portanto x = 32, y = 40 e z = 48.
Observações:
67. Calcule x e y na proporção
a c e
a+c+e a c e
Se = = , então
= = = .
b d f
b+d+f b d f
Vejamos alguns
propriedade.
exemplos
de
aplicações
x + y = 84.
dessa
68. Calcule
o
valor
de
a, b
e
c,
sabendo
que
a + b + c = 168

a b c
 2 = 5 = 7
Exemplo 1
Vamos calcular x e y na proporção
x y
= , sabendo que
5 2
x y
= , sabendo que
3 5
x + y = 40.
Apliquemos à proporção a 3ª propriedade.
4ª Propriedade
Considere a seguinte proporção:
40
x y
x+y x y
40 x
40 y
= ⇒
= = ⇒
= ou
=
3 5
3
+5 3 5
8
3
8
5
3 1
=
15 5
8
23
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
Observe que a partir dela podemos formar duas outras
proporções.
72. Calcule o valor de x e y, sabendo que:
 x − y = 45
 x + y = 72


a)  x y
f)  x 4
=
 3 6
y = 1

3
2
3
 3 −1
15 − 5 = 15 ⇒ 10 = 15

3 1
= ⇒
ou
15 5
 3 −1 1
2 1

= ⇒
=
10 5
15 − 5 5
Esse procedimento é válido para toda proporção.
Isso nos leva à seguinte propriedade:
Numa proporção, a diferença dos antecedentes está
para a diferença dos consequentes assim como cada
antecedente está para o seu consequente.
De modo geral, se
a c
a−c a c
= , então:
= = .
b d
b−d b d
x y
= e x − y = 42.
5 2
Aplicando a 4ª propriedade das proporções, temos:
Vamos calcular x e y, sabendo que
42
x y
x−y x y
42 x
42 y
= ⇒
= = ⇒
= ou
=
5 2
5
−2 5 5
3
5
3
2
3
Resolvendo as proporções, temos:
14
1
14
42
y
=
2
3
1
14
x
=
1
5
x = 5 · 14
x = 70
14
y
=
1
2
x = 2 · 14
x = 28
70. Na proporção
 x + y = 40

c)  x y
 7 = 2
 x − y = 36

d)  x y
 8 = 5
 x − y = 18

h)  x 3
y = 2

x y z
 + =
i)  4 3 5
 x + y + z = 72
 x + y = 56

e)  x 2
y = 5

x y z
 + =
j)  4 3 5
 x + y + z = 96
 x + y + z = 30

74. A solução do sistema  x y z
é:
 7 = 3 = 5
Portanto x = 70 e y = 28
69. Calcule x e y, sabendo que
 x + y = 28

g)  x 8
y = 6

73. Resolva os problemas.
a) A soma de dois números de 45 e a razão entre eles é
4
. Determine esses números.
5
b) A diferença entre dois números é 36 e a razão entre
7
eles é . Determine esses números.
4
2
.
c) A razão entre as idades de dois irmãos é
3
Determine essas idades, sabendo-se que sua soma é
20 anos.
3
d) Encontre a razão equivalente a , sabendo-se que a
7
soma de seus termos é 50.
9
e) Determine a razão equivalente a , sabendo-se que
4
a diferença entre seus termos é 35.
Vejamos um exemplo de aplicação dessa propriedade.
42
x
=
5
3
 x + y = 35

b)  x y
 5 = 2
a)
b)
c)
d)
e)
x y
= e x − y = 20.
9 5
x y
= , sabe-se que x – y = 90. Quanto
8 2
x = 6, y = 14, z = 10
x = 14, y = 6, z = 10
x = 8, y = 5, z = 4
x = 4, y = 5, z = 21
x = 5, y = 4, z = 21
75. Água e tinta estão misturadas na razão de 9 para 5.
Sabendo-se que há 81 litros de água na mistura, o
volume total em litros é de:
a) 45
b) 81
c) 85
d) 181
e) 126
vale x?
71. A diferença entre dois números é 65. Sabe-se que o
primeiro está para 9 assim como o segundo está para 4.
Calcule esses números.
24
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
NÚMEROS PROPORCIONAIS
NÚMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Exemplo 1
Vamos verificar se as sucessões são diretamente
proporcionais
Considere a seguinte situação:
•
–
–
–
–
–
–
–
–
6 9 15

8 12 20
Márcia gosta de queijadinhas e por isso resolveu
aprender a fazê-las. Adquiriu a receita de uma amiga.
Nessa receita, os ingredientes necessários são:
3 ovos
1 lata de leite condensado
1 xícara de leite
2 colheres das de sopa de farinha de trigo
1 colher das de sobremesa de fermento em pó
1 pacote de coco ralado
1 xícara de queijo ralado
1 colher das de sopa de manteiga
Temos:
6 3
=
8 4
9
3
=
12 4
15 3
=
20 4
Veja que:
•
•
•
•
Como as razões são iguais, as sucessões são diretamente
proporcionais.
Para se fazerem 2 receitas seriam 6 ovos para 4 colheres
de farinha;
Para se fazerem 3 receitas seriam usados 9 ovos para 6
colheres de farinha;
Para se fazerem 4 receitas seriam usados 13 ovos para 8
colheres de farinha;
Observe agora as duas sucessões de números:
Exemplo 2
Vamos determinar x e y, de modo que as sucessões
sejam diretamente proporcionais:
2 8 y

3 x 21
Sucessão do número de ovos:
6
9
Como as sucessões são diretamente proporcionais, as
razões são iguais, isto é:
12
Sucessão do número de colheres de farinha:
4
6
8
Nessas sucessões as razões
correspondentes são iguais:
6 3
=
4 2
9 3
=
6 2
2 8
y
= =
3 x 21
entre
os
termos
12 3
=
8
2
6 9 12 3
= =
=
4 6 8
2
Dizemos, então, que:
•
2
y
=
3 21
3y = 2 · 21
2x = 24
3y = 42
24
x=
2
x = 12
y=
42
3
y = 14
Logo, x = 12 e y = 14.
Assim:
•
2 8
=
3 x
2x = 3 · 8
Exemplo 3
Vamos decompor o número 65 em partes diretamente
proporcionais a 3, 4 e 6.
Representando as partes por x, y e z, temos:
os números da sucessão 6, 9, 12 são diretamente
proporcionais aos da sucessão 4, 6, 8;
 x + y + z = 65

x y z
 3 = 4 = 6
3
o número
, que é a razão entre dois termos
2
correspondentes, é chamado fator de proporcionalidade.
Aplicando a 3ª propriedade das proporções, temos:
Duas sucessões de números não nulos dão
diretamente proporcionais quando as razões entre cada
termo da primeira sucessão e o termo correspondente da
segunda sucessão são iguais.
Acompanhe os exemplos a seguir:
65 x y z x+y+z
= = =
3 4 6 3
+
4 +6
13
25
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
77. Determine a e b, sabendo que as sucessões de números
são diretamente proporcionais.
3 9 12
a) 
5 a b
12 14 b
b) 
 a 21 30
Resolvendo as proporções:
x 65
=
3 13
13x = 3 · 65
y 65
=
4 13
13y = 4 · 65
z 65
=
6 13
13z = 6 · 65
13x = 195
13y = 260
13z = 390
195
13
x = 15
260
13
y = 20
x=
390
13
z = 30
a 6 4
c) 
 35 21 b
z=
y=
78. Reparta 180 em partes diretamente proporcionais a 6, 2
e 1.
Os números procurados são 15, 20 e 30.
Exemplo 4
79. Num concurso escolar, para a escolha dos melhores
trabalhos sobre Tiradentes, foi oferecido um prêmio de
R$ 360,60, que deveria ser dividido entre os dois
primeiros
colocados
em
partes
diretamente
proporcionais aos pontos obtidos. Sabendo-se que o
primeiro conseguiu 10 pontos e o segundo 8, qual o
prêmio de cada um?
Para montar uma pequena empresa, Júlio César e
Toni formaram uma sociedade. Júlio entrou com
R$ 24 000,00, César com R$ 27 000,00 e Toni com
R$ 30 000,00. Depois de 6 meses houve um lucro de
R$ 32 400,00 que foi repartido entre eles em, partes
diretamente proporcionais à quantia investida. Calcule parte
que coube a cada um.
80. Um terreno de 11 600 m2 foi repartido, entre Júlio
(12 anos), Ricardo (10 anos) e Leonardo (7 anos) em
partes diretamente proporcionais à idade de cada um.
Qual a parte, em metros quadrados, que coube a
Ricardo?
Solução
Representado a parte de Júlio por x, a de César por y e a
de Toni por z, podemos escrever:
81. Antônio, João e Pedro trabalham na mesma firma há 8,
6 e 2 anos, respectivamente. A firma distribuiu uma
gratificação de R$ 60 000,00 entre os três, em partes
diretamente proporcionais ao tempo de serviço de cada
um. Quantos reais coube a Pedro?
 x + y + z = 32 400

y
z
 x
 24 000 = 27 000 = 30 000

Aplicando a 3ª propriedade das proporções, temos:
Números Inversamente Proporcionais
32 400
x
y
z
x+y+z
=
=
=
24 000 27 000 30 000 24 000 + 27 000 + 30 000
Considere os seguintes dados, referentes à produção de
sorvetes por uma máquina da marca X-5.
– 1 máquina X-5 produz 32 litros de sorvete em 120 min.
– 2 máquinas X-5 produzem 32 litros de sorvete em 60 min.
– 4 máquinas X-5 produzem 32 litros de sorvete em 30 min.
– 6 máquinas X-5 produzem 32 litros de sorvete em 20 min.
81 000
Resolvendo as proporções:
Observe agora as duas sucessões de números:
4
32 400
x
=
24 000
81 000
y
4
z
4
=
=
27 000 10 30 000 10
Sucessões do número de máquinas: 1
2 4 6
Sucessões do número de minuto: 120 60 30 20
10
10x = 96 000
x = 9 600
10y = 108 000
Nessas sucessões as razões entre cada termo da primeira
sucessão e o inverso do termo correspondente da
segunda são iguais:
10z = 120 000
y = 10 800
z = 12 000
Logo, Júlio recebeu R$ 9 600,00, César recebeu R$ 10 800,00
e Toni, R$ 12 000,00.
1
2
4
6
=
=
=
= 120
1
1
1
1
120 60 30 20
76. Verifique se os números das sucessões são diretamente
proporcionais. Caso sejam, indique por k o fator de
proporcionalidade e dê o seu valor.
4 6 10
3 12 15
a) 
c) 
10 15 25
7 28 30
5 15 25
b) 
3 9 12
6
d) 
3
Dizemos, então que:
• os números da sucessão 1, 2, 4, 6 são inversamente
proporcionais aos da sucessão 120, 60, 30, 20;
• o número 120, que é razão entre cada termo da
primeira sucessão e o inverso do seu correspondente
fator
de
na
segunda,
é
chamado
proporcionalidade.
8 10 18
4
5
9
26
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
Para
Observando que
que
as
sucessões
sejam
inversamente
proporcionais, os produtos dos termos correspondentes
1
é o mesmo que 1 × 120 = 120;
1
120
2
é o mesmo que 2 × 60 = 120;
1
60
4
é o mesmo que 4 × 30 = 120;
1
30
6
é o mesmo que 6 × 20 = 120;
1
20
deverão ser iguais. Então devemos ter:
4 ⋅ 20 = 16 ⋅ x = 8 ⋅ y
16 ⋅ x = 4 ⋅ 20
8 ⋅ y = 4 ⋅ 20
16x = 80
8y = 80
80
80
x=
y=
16
8
x=5
y = 10
Logo : x = 5 e y = 10.
Exemplo 3
Podemos dizer que:
Vamos dividir o número 104 em partes inversamente
Duas sucessões de números não nulos são
inversamente proporcionais quando os produtos de cada
termo da primeira sucessão pelo termo correspondente da
segunda sucessão são iguais.
proporcionais aos números 2, 3 e 4.
Representamos os números procurados por x, y e z.
E como as sucessões (x, y, z) e (2, 3, 4) devem ser
inversamente proporcionais, escrevemos:
Vejamos alguns exemplos.
x
y z
= =
1 1 1
2 3 4
Exemplo 1
Vamos verificar se as sucessões são inversamente
proporcionais.
Aplicando a 3ª propriedade das proporções, temos:
2 3 4 5

30 20 15 12
104
x y z
x+y+z
= = =
1 1 1
1 1 1
+ +
2 3 4 2 3 4
Temos:
2 × 30 = 60
3 × 20 = 60
4 × 15 = 60
5 × 12 = 60
Como:
104
104
104
=
=
=
1 1 1 6 + 4 + 3 13
+ +
2 3 4
12
12
8
13
12 96
104 : = 104 ⋅
= , vem:
12
1
13
Os produtos entre os termos correspondentes das
duas sucessões são iguais. Logo, essas sucessões são
inversamente proporcionais.
1
x 96
=
1
1
2
Exemplo 2
48
x = 96 ⋅
Vamos determinar x e y, de modo que as sucessões
sejam inversamente proporcionais:
y 96
=
1 1
3
1
2
32
y = 96 ⋅
1
x = 48
4 x 8

20 16 y
z 96
=
1
1
4
1
3
24
z = 96 ⋅
1
1
y = 32
1
4
z = 24
Logo, os números procurados são 48, 32 e 24.
27
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
92. Divida 132 em partes inversamente proporcionais a 2, 5 e 8.
82. Verifique se os números das sucessões são inversamente
proporcionais. Caso sejam, indique por k o fator de
proporcionalidade e dê o seu valor.
4 6 8
5 4 2
a) 
c) 
8 12 16
8 10 20
2 3 4 6
6 4 3
d) 
b) 
42 28 21 14
8 12 15
83. Determine a e b nas sucessões
inversamente proporcionais.
1 a 4
a) 
16 8 b
3
b) 
a
6
8
de
93. Reparta 91 em partes inversamente proporcionais a
1 1 1
, e .
3 4 6
94. Divida
3 5
, e
4 2
números
95. Marcelo repartiu entre seus filhos Rafael (15 anos) e
Matheus (12 anos) 162 cabeças de gado em partes
diretamente proporcionais à idade de cada um. Qual a
parte que coube a Rafael?
b
6
96. Evandro, Sandro e José Antônio resolveram montar um
pequeno negócio, para isso formaram uma sociedade.
Evandro entrou com R$ 24 000,00, Sandro com
R$ 30 000,00, José Antônio com R$ 36 000,00
Depois de 4 meses tiveram um lucro de R$ 60 000,00
que foi repartido entre eles. Quanto recebeu cada um?
Nota: A divisão do lucro é diretamente proporcional à
quantia que cada um empregou.
84. Divida 210 em partes inversamente proporcionais a
1 1 1
, e .
2 5 7
85. Determine o fator de proporcionalidade das sucessões
diretamente proporcionais.
6 8 12
a) 
3 4 6
5 15 20
b) 
7 21 28
97. Leopoldo e Wilson jogaram juntos na Sena e acertaram os
seis
números,
recebendo
um
prêmio
de
R$ 750 000,00. Como Leopoldo participou com
R$ 80,00 e Wilson com R$ 70,00, o prêmio foi dividido
entre eles em partes diretamente proporcionais à
participação de cada um. Qual a parte que coube a Wilson?
86. Determine o fator de proporcionalidade das sucessões
inversamente proporcionais.
9 4 6
a) 
8 18 12
15
b) 
4
215 em partes diretamente proporcionais a
1
.
3
98. O proprietário de uma chácara distribui 300 laranjas a
três famílias em partes diretamente proporcionais ao
número de filhos. Sabendo-se que as famílias A, B e C
têm respectivamente 2, 3 e 5 filhos, quantas laranjas
recebeu cada família?
12
5
87. Calcule x e y nas sucessões diretamente proporcionais.
1 x 7
 x y 21
a) 
c) 
5
15
y

14 35 49
5 10 y
8 12 20
b) 
d) 
 x 8 24
 x y 35
99. João, Paulo e Roberto formam uma sociedade comercial
e combinam que o lucro advindo da sociedade será
dividido em partes diretamente proporcionais às
quantias que cada um dispôs para formarem a
sociedade. Se as quantias empregadas por João, Paulo e
Roberto foram, nesta ordem, R$ 1 500 000,00,
R$ 1 000 000,00 e R$ 800 000,00, e o lucro foi de
R$ 1 650 000,00, que parte do lucro caberá a cada um?
88. Calcule x e y nas sucessões inversamente proporcionais.
 4 x y
 2 10 y
c) 
a) 
 25 20 10
 x 9 15
100. As
30 15
b) 
x 8
10
y
x
d) 
12
y
4
de
15 20 a
são

 9 b 15
Então, o fator de
números
diretamente proporcionais.
proporcionalidade é:
5
a)
c) 25
3
b) 12
d) 135
2
6
89. Quais são os números diretamente proporcionais a 6, 8 e
10 que têm por soma 480?
15 20 6
inversamente

x 3 y
proporcionais. Então o fator de proporcionalidade é:
20
3
c)
a)
3
20
b) 4
d) 60
101. As
90. Reparta 280 em partes diretamente proporcionais a 2, 3,
4 e 5.
91. Encontre três números proporcionais a
sucessões
1 1
, e 2 que
2 3
tenham por soma 340.
28
sucessões
são
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
REGRA DE TRÊS SIMPLES
12 8 6
são

x 3 y
diretamente proporcionais. Então x e y valem,
respectivamente:
a) 12 e 9
c) 4 e 3
b) 9 e 1
d) 3 e 4
112. Com 9,6 metros de malha podem ser feitas 12
camisetas iguais. Quantos metros serão necessários
para fazer 20 camisetas desse mesmo tamanho e
modelo?
 40 6 15
são

b
3 a
proporcionais. Então a + b é igual a:
a) 63
c) 28
63
d) 21
b)
40
113. Um shopping tem dois cinemas com a mesma
quantidade de lugares. O cinema 1 tem 18 filas com 20
poltronas em cada fila. No cinema 2 cada fila tem 30
poltronas.
a) O cinema 2 tem mais filas ou menos filas que o
cinema 1? Justifique sua resposta
b) Quantas filas tem o cinema 2?
102. As
103. As
sucessões
sucessões
de
números
inversamente
114. Manoel produz 4 camisas em 1 dia. 8 camisas em 2 dias.
104. Os números que dividem 60 em parte inversamente
1 1
proporcionais a e são :
3 2
a) 40 e 20
c) 36 e 24
b) 45 e 15
d) 48 e 12
Dias trabalhados
Camisas feitas
1
4
2
8
3
12
4
16
5
20
Nesta proporção, ele vai produzindo camisas como
mostra a tabela a seguir. Agora responda: a quantidade
de camisas que Manuel conseguirá produzir em 20
dias será:
a) 85
d) 60
b) 90
e) 80
c) 35
105. Dividindo 90 em partes diretamente proporcionais a 7
e 2, obtemos dois números. O maior deles é:
a) 70
c) 36
b) 20
d) 64
106. As sucessões (9, 3, 12) e (8, 24, 6) são:
a) diretamente proporcionais.
b) inversamente proporcionais.
c) diretamente e inversamente proporcionais.
d) nem diretamente nem inversamente proporcionais.
115. Com um saco de ração eu alimento 12 galinhas,
durante 8 dias. Se aumentar o número de galinhas para
16, um saco dessa ração vai durar:
a) 8 dias.
d) 6 dias.
b) 9 dias.
e) 7 dias.
c) 5 dias.
107. A sucessão (3, 9 , a) é diretamente proporcional à
sucessão (4, b, 16). Então podemos afirmar que:
a) a = b
c) a > b
b) a < b
d) a = b – 4
116. Uma loja fez, em um determinado dia, a seguinte
promoção: um lote com 5 peças era vendido por
R$2,00. Aproveitando a promoção, levei 200 peças,
então, gastei:
a) R$200,00
d) R$800,00
b) R$80,00
e) R$100,00
c) R$1.000,00
108. Se dois gatos comem dois ratos em dois minutos, para
comer 60 ratos em 30 minutos são necessários:
a) 4 gatos.
d) 5 gatos.
b) 3 gatos.
e) 6 gatos.
c) 2 gatos.
109. As idades de um pai e seus dois filhos são diretamente
proporcionais
aos
números
27,
14,
11,
respectivamente. Se a soma de suas idades é de 104
anos, então as idades de cada um deles, na mesma
ordem, são:
a) 54 anos, 28 anos, 22 anos.
b) 50 anos, 28 anos, 26 anos.
c) 56 anos, 26 anos, 22 anos.
d) 59 anos, 23 anos, 22 anos.
e) 55 anos, 27 anos, 22 anos.
117. Veja na tabela abaixo a quantidade de farinha
necessária para a fabricação de pães franceses.
Quantidade de farinha (dag)
13
65
130
Quantidade de pães
3
15
30
Nesse caso, as grandezas “quantidade de farinha” e
“quantidade de pães” são diretamente proporcionais e
a constante de proporcionalidade é:
a) 14/2
d) 13/2
b) 14/3
e) 13/3
c) 12/3
118. Representando por x, o número de DVD’s que Fabiana
tem, e sabendo que 40 está para x assim como 25 está
para 10, é possível identificar que a quantidade de
DVD’s que Fabiana possui é:
a) 19
b) 20
c) 16
d) 17
e) 18
110. Dividindo-se o número 204 em partes diretamente
1
proporcionais aos números 4 e , a menor das partes
4
será:
a) 8
d) 48
b) 12
e) 68
c) 34
111. Uma empresa com 2 sócios, após 2 meses de
operação, apurou um lucro de R$ 252 000,00. Assinale
o lucro do sócio que entrou com R$ 760 000,00,
sabendo que o outro participou com R$ 500 000,00
iniciais e que o lucro de cada sócio é diretamente
proporcional ao capital empregado.
a) R$ 144 000,00
d) R$ 168 000,00
b) R$ 152 000,00
e) R$ 180 000,00
c) R$ 160 000,00
29
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
119. Em uma reserva ecológica há viveiros de reprodução
de jacarés. Para estimar a produção de filhotes foram
etiquetados 4220 espécies. Examinou-se em uma
amostra de 900 animais que 150 eram etiquetados.
MATEMÁTICA II
CONTEÚDO
PARALELOGRAMOS E TRAPÉZIOS: DEFINIÇÃO E
CLASSIFICAÇÃO
PARALELOGRAMO, RETÂNGULO, QUADRADO, LOSANGO
E TRAPÉZIO: PROPRIEDADES DE SEUS ÂNGULOS, LADOS
E DIAGONAIS
POLÍGONOS REGULARES: NOMENCLATURAS, ELEMENTOS
E RELAÇÕES ENTRE OS ELEMENTOS (ÂNGULOS INTERNOS
E EXTERNOS)
TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO: ÂNGULOS E CONSTRUÇÃO
Sabendo-se que o número de espécies etiquetadas e a
amostra são proporcionais, podemos afirmar que o
número total de jacarés na reserva ecológica é:
a) 25.200
d) 24.320
b) 25.320
e) 25.000
c) 24.300
DE TABELAS
CEVIANAS DO TRIÂNGULO E SUAS PROPRIEDADES
• PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO E SUAS PROPRIEDADES:
BARICENTRO, INCENTRO, ORTOCENTRO E CIRCUNCENTRO
CLASSE
120. Em uma receita de bolo, são necessários 2 ovos para
cada 0,5kg de farinha utilizada. Quantos ovos serão
necessários para 2kg de farinha? Apresente o resultado,
aplicando a propriedade fundamental das proporções.
QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS – DEFINIÇÕES
–
Os quadriláteros notáveis são os trapézios, os
paralelogramos, os retângulos, os losangos e os
quadrados.
•
Paralelogramo
Um quadrilátero plano convexo é um paralelogramo se,
e somente se, possui os lados opostos paralelos.
D
121. A tabela a seguir apresenta 3 itens de alimentos de
uma cesta básica. Sabendo-se que com R$100,00 era
possível comprar a quantidade indicada de cada
alimento nos anos de 2002 e 2008, faça o que se pede:
BANANA
CARNE
A
76 dúzias
38 dúzias
14kg
10kg
B
ABCD é paralelogramo ⇔ AB//CD// e AD//BC
CAFÉ
•
2002
2008
C
Retângulo
Um quadrilátero plano convexo é um retângulo se,
e somente se, possui os quatro ângulos congruentes.
≡B
≡C
≡D
ABCD é retângulo ⇔ A
16kg
8kg
a) Nos retângulos abaixo, indique as razões de cada
um dos itens citados na tabela, comparando dessa
forma a quantidade que poderia ser comprada em
2002 com a quantidade em 2008.
b) Quais das razões acima formam proporção?
30
D
C
A
B
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
•
Losango
Se dois segmentos de reta interceptam-se nos respectivos
pontos médios, então suas extremidades são vértices de
um paralelogramo.
Um quadrilátero plano convexo é um losango se, e
somente se, possui os quatro lados congruentes.
•
D
A
C
Dois lados paralelos e congruentes
a) Todo quadrilátero convexo que tem dois lados
paralelos e congruentes é um paralelogramo.
b) Consequência:
Se dois segmentos de reta são paralelos e congruentes,
então suas extremidades são vértices de um
paralelogramo.
B
ABCD é losango ⇔ AB ≡ BC ≡ CD ≡ DA
•
PROPRIEDADES DO RETÂNGULO
DO LOSANGO E DO QUADRADO
Quadrado
•
Um quadrilátero plano convexo é um quadrado se, e
somente se, possui os quatro ângulos congruentes e os
quatro lados congruentes.
D
A
Retângulo – diagonais congruentes
Além das propriedades do paralelogramo, o retângulo
tem a propriedade característica que segue.
a) Em todo retângulo as diagonais são congruentes.
C
B
D
C
A
B
( BC ≡ AD, B ≡ A, AB comum ) ⇒ ∆ABC ≡ ∆BAD ⇒ AC ≡ BD.
≡ B
≡ C
≡ D
e
ABCD é quadrado ⇔ (A
AB ≡ BC ≡ CD ≡ DA)
b) Todo paralelogramo que tem diagonais congruentes
é um retângulo.
PROPRIEDADES DOS PARALELOGRAMOS
•
•
Ângulos opostos congruentes
a) Em todo paralelogramo dois ângulos opostos
quaisquer são congruentes.
b) Todo quadrilátero convexo que tem ângulos opostos
congruentes é paralelogramo.
c) Consequência:
Losango – diagonais perpendiculares
Além das propriedades do paralelogramo, o losango tem
a propriedade característica que segue.
a) Todo losango tem diagonais perpendiculares.
D
Todo retângulo é paralelogramo.
•
A
Lados opostos congruentes
a) Em todo paralelogramo, dois lados opostos
quaisquer são congruentes.
b) Todo quadrilátero convexo que tem lados opostos
congruentes é paralelogramo.
c) Consequência:
B
Demonstração
Todo retângulo é paralelogramo.
ABCD é losango ⇒ ABCD é paralelogramo
⇒
•
C
M
Diagonais dividem-se ao meio
a) Em todo paralelogramo, as diagonais interceptam-se
nos respectivos pontos médios.
b) Todo quadrilátero convexo em que as diagonais
interceptam-se nos respectivos pontos médios é
paralelogramo.
c) Consequência:
(AM ≡ CM, BM ≡ DM)
Pelo caso LLL, temos as congruências:
∆AMB ≡ ∆AMD ≡ ∆CMB ≡ ∆CMD e, então, os
ângulos de vértice M são congruentes suplementares.
Logo, AC ⊥ BD.
31
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
b) Todo
paralelogramo
que
perpendiculares é um losango.
•
tem
diagonais
Quadrado – diagonais congruentes e perpendiculares
Pelas definições, podemos concluir que:
PROPRIEDADES DOS TRAPÉZIOS
Todo quadrado é retângulo e também é losango.
Destacamos alguns trapézios:
Portanto, além das propriedades do paralelogramo, o
quadrado tem as propriedades características dos retângulos
e do losango.
D
•
Trapézio qualquer
A
C
B
D
A
C
Em qualquer trapézio ABCD (notação cíclica) de
+D
≡B
+C
= 180º
bases AB e CD temos: A
B
ABCD é quadrado ⇔ (ABCD é paralelogramo
AC ≡ BD, AC ⊥ BD)
•
Trapézio isósceles
A
B
A
Notas:
P
Notemos, em resumo, que se um quadrilátero
convexo tem as diagonais que se cortam ao meio, então é
um paralelogramo; tem diagonais que se cortam ao meio e
são congruentes, então é um retângulo; tem diagonais que se
cortam ao meio e são perpendiculares, então é um losango;
tem diagonais que se cortam ao meio, são congruentes e são
perpendiculares, então é um quadrado.
D
AC ≡ BD
As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.
•
Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se, e somente
se, possui dois lados paralelos.
Trapézio retângulo
É aquele que apresenta dois ângulos retos.
)
ABCD é trapézio ⇔ AB//CD ou AD//BC .
Exemplo:
Os lados paralelos são as bases do trapézio.
De acordo com os outros dois lados não bases, temos:
D
D
A
C
C
B
A
C
Os ângulos de cada base de um trapézio isósceles
são congruentes.
Trapézio
(
D
C
( C ≡ D e A ≡ B )
– trapézio isósceles, se estes lados são congruentes.
– trapézio escaleno, se estes lados não são
congruentes.
•
B
AD//BC
B
( )
()
=m B
= 90°
m A
Trapézio retângulo (ou birretângulo) é um trapézio que tem
dois ângulos retos.
AB é a altura do trapézio.
32
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
3. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F).
a. ( ) As diagonais de um losango são congruentes.
b. ( ) As diagonais de um retângulo são
perpendiculares.
c. ( ) As diagonais de um retângulo são bissetrizes
dos seus ângulos.
d. ( ) As diagonais de um paralelogramo são
bissetrizes dos seus ângulos.
e. ( ) As diagonais de um quadrado são bissetrizes
de seus ângulos e são perpendiculares.
f. ( ) Se as diagonais de um quadrilátero são
bissetrizes de seus ângulos, então ele é um
losango.
g. ( ) Se as diagonais de um quadrilátero são
perpendiculares, então elas são bissetrizes dos
ângulos dele.
h. ( ) Se as diagonais de um quadrilátero são
congruentes e perpendiculares, então ele é um
quadrado.
i. ( ) Se as diagonais de um quadrilátero são
bissetrizes e congruentes, então ele é um
quadrado.
j. ( ) Se uma diagonal de um quadrilátero é bissetriz
dos dois ângulos, então ela é perpendicular a
outra diagonal.
BASE MÉDIA E MEDIANA DE EULER
É o quadrilátero que apresenta somente dois lados
paralelos chamados bases.
Exemplo:
A
D
AD // BC
F
G
H
B
I
C
E
BC → base maior.
AD → base menor.
FG → base média: segmento que une os pontos médios
dos lados não paralelos.
AD + BC
2
AE → altura do trapézio: é a menor distância entre as
bases.
FG =
4. Calcule os lados de um retângulo cujo perímetro mede
40 cm, sabendo que a base excede a altura em 4 cm.
HI → mediana de Euler: segmento da base média,
compreendido entre as diagonais.
HI =
5. Determine a base e a altura de um retângulo, sabendo
que o perímetro vale 288 m e que a base excede em 4 m
o triplo da altura.
BC − AD
2
6. Calcule os lados de um paralelogramo, sabendo que o
seu perímetro mede 84 m e que a soma dos lados
2
da soma dos lados maiores.
menores representa
5
Denominamos trapezoide o quadrilátero que não apresenta
lados paralelos.
EXERCÍCIOS
7. Em um paralelogramo, um dos ângulos agudos mede
75°. Quais são as medidas dos outros três ângulos desse
paralelogramo?
1. Classifique em verdadeiro (V) ou (F).
a. ( ) Todo retângulo que tem dois lados congruentes
é quadrado.
b. ( ) Todo paralelogramo que tem dois lados
adjacentes congruentes é losango.
c. ( ) Se um paralelogramo tem dois ângulos de
vértices consecutivos congruentes, então ele é
um retângulo.
d. ( ) Se dois ângulos opostos de um quadrilátero são
congruentes, então ele é um paralelogramo.
8. No paralelogramo abaixo, dê as medidas x e y
indicadas.
D
C
x
y
3 cm
2. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F).
a. ( ) Se dois lados de um quadrilátero são
congruentes, então ele é um paralelogramo.
b. ( ) Se dois lados opostos de um quadrilátero são
congruentes, então ele é um paralelogramo.
c. ( ) Se dois lados opostos de um quadrilátero são
congruentes e paralelos, então ele é um
paralelogramo.
A
2
cm
B
9. As medidas de dois ângulos opostos de um
paralelogramo são expressas por 4x + 1° e 6x – 21°.
Nessas condições, determine as medidas dos quatro
ângulos do paralelogramo.
33
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
10. Determine a medida x indicada no paralelogramo
abaixo.
D
35°
x
15. Um retângulo e um quadrado têm o mesmo perímetro.
No retângulo, um dos lados mede 15 cm e a medida de
3
outro é igual aos
dessa medida. Qual é a medida de
5
cada lado do quadrado?
C
82°
A
16. Observando o losango ABCD, determine:
C
B
11. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F).
a. ( ) Todo retângulo é um paralelogramo.
b. ( ) Todo paralelogramo é retângulo.
c. ( ) Todo quadrado é retângulo.
d. ( ) Todo retângulo é quadrado.
e. ( ) Todo paralelogramo é losango.
f. ( ) Todo quadrado é losango.
M
16
B
y
A
( ) = x, med ( PC ) = 2y, med ( BP ) = 4 cm
med ( PD ) = x − y. Nessas condições, determine as
a) as medidas x e y indicadas.
b) os perímetros dos seguintes triângulos:
∆AMB, ∆ABC e ∆ABD.
med AP
medidas x e y, bem como as medidas das diagonais
AC e BD.
D
x
D
12. Considerando o paralelogramo abaixo, temos que
e
20
12
17. No losango ABCD da figura seguinte, temos:
( )
( )
med ( BM ) = x + y e med ( MD) = 30 cm.
med AM = 40cm, med MC = x + 3y,
C
P
Qual é o valor da expressão x – y?
A
B
D
13. No paralelogramo abaixo, temos que
( )
( )
med ( ST ) = 2x − y e med ( TV ) = 4 cm.
med RT = x + 2y, med TU = 10 cm,
M
A
C
Nessas condições, determine as medidas x e y.
V
U
B
T
R
18. Observando as indicações feitas no losango abaixo,
determine as medidas x e y.
S
14. A figura abaixo é um quadrado. De acordo com as
indicações, escreva o polinômio que indica:
5
5x – y
2x + y
11
2x – y
5x – y
19. A diagonal BD de um retângulo ABCD determina um
ângulo de 39° com o lado AB. Determine a medida do
a) o perímetro do quadrado.
b) a área do quadrado.
ângulo que essa diagonal forma com o lado AD.
34
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
20. A diagonal menor de um losango decompõe esse
losango em dois triângulos congruentes. Se cada ângulo
obtuso do losango mede 110º, quais as medidas dos três
ângulos de cada um dos triângulos considerados?
27. Antônio desenhou parte do projeto de sua casa.
Veja o modelo matemático.
B
C
21. Quando a diagonal menor divide um losango em dois
triângulos equiláteros, quais são as medidas dos ângulos
desse losango?
22. No quadrilátero da figura, tem-se BC = CD,
= 60º, ABC
= 90º e BÂD = 110°.
ADC
A
E
D
C
B
60°
D
A
Calcule, em graus, as medidas dos ângulos:
a) BCD
b) CBD
A parte representada pelo quadrilátero ABCD é um
trapézio retângulo e o triângulo ABE é equilátero.
Baseado nessas informações, responda:
a) Qual a medida do ângulo BÂE?
C ?
b) Qual a medida do ângulo EB
c) CDB
d) BDA
23. Em um quadrilátero, as medidas de seus ângulos são
diretamente proporcionais aos números 8, 3, 5 e 2.
Nessas condições, determine as medidas dos quatro
ângulos desse quadrilátero.
c) Quanto mede o ângulo BÊD?
28. Determine as medidas x e y indicadas.
24. Sabe-se que a, b, c e d são as medidas dos ângulos de um
quadrilátero. Se a + b = 160°, 3a = 7b e b – c = 22°, quais
as medidas a, b, c e d dos ângulos desse quadrilátero?
x + 30°
x+y
25. Na figura seguinte, o triângulo MBN é isósceles
( BM ≅ BN) . Qual é, em graus, o valor da medida y?
70°
50°
D
x
29. Em um trapézio isósceles, a medida de cada ângulo
4
corresponde a
da medida de cada ângulo obtuso.
5
Nessas condições, determine as medidas dos quatro
ângulos desse trapézio.
A
X
3x
2
2
2x
C
B
y
M
30. A figura abaixo é um trapézio isósceles. Sabendo que
AM está contido na bissetriz do ângulo A e BM está
contido na bissetriz do ângulo B, determine a medida x
indicada.
N
26. ABCD é trapézio de bases AB e CD. Se DP e CP são
bissetrizes, determine x e BCD.
110°
C
D
B
A
106°
X
M
106°
P
x
X – 15°
D
C
A
35
B
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
31. Os pontos assinalados sobre os lados não paralelos do
trapézio ABCD da figura vão dividir esses lados em
partes de medidas iguais. Calcule as medidas x e y
indicadas.
40 cm
D
37. A base maior de um trapézio isósceles mede 12 cm e a
base menor 8 cm. Calcule o comprimento dos lados não
paralelos, sabendo que o perímetro é 40 cm.
38. Um dos ângulos internos de um trapézio isósceles é os
2
do ângulo externo adjacente. Determine os quatro
7
ângulos do trapézio.
C
x
G
E
28 cm
39. A soma dos ângulos consecutivos de um trapézio é igual
a 78° e sua diferença é 4°. Determine o maior ângulo do
trapézio.
H
F
y
A
B
40. Um terreno tem a forma de um trapézio retângulo
ABCD, conforme mostra a figura, e as seguintes
dimensões: AB = 25 m, BC = 24 m, CD = 15 m.
32. Na figura que segue, podemos destacar alguns dos
polígonos representados:
• Triângulos retângulos: XVD, ABC e CFE;
• Quadrados: BYFC, ADXB e UECA.
D
C
F
Y
E
C
A
a) Se cada metro quadrado desse terreno vale
R$ 50,00, qual é o valor total do terreno?
b) Divida o trapézio ABCD em quatro partes da mesma
área, por meio de três segmentos paralelos ao lado
BC. Faça uma figura para ilustrar sua resposta,
indicando nela as dimensões das divisões no lado
AB.
U
B
A
X
B
D
41. Se as diagonais de um retângulo formam um ângulo de
114° entre si, quais são as medidas dos ângulos que as
diagonais formam com os lados do retângulo?
V
Observando a figura e aplicando as propriedades
adequadas, associe (V) verdadeiro ou (F) falso às
afirmações seguintes.
a. ( ) VXBC é um trapézio.
b. ( ) UEBA e FYBE são trapézios retângulos.
c. ( ) O triângulo FYC é retângulo e isósceles.
d. ( ) ABXVD é um pentágono regular.
42. A medida de cada ângulo obtuso de um losango é
expressa por 2x + 5°, enquanto a medida de cada ângulo
agudo é expressa por x + 40°. Nessas condições,
determine as medidas dos quatro ângulos desse losango.
43. Sobre os ângulos, triângulos, quadriláteros e suas
propriedades,
julgue
as
afirmações
abaixo,
classificando-as em verdadeiras (V) ou falsas (F).
a. ( ) A medida de um ângulo obtuso supera 90°.
b. ( ) Quando dois ângulos apresentam um lado
comum são chamados consecutivos.
c. ( ) Ângulos adjacentes serão, necessariamente,
congruentes.
d. ( ) O triângulo retângulo apresenta dois ângulos
agudos.
e. ( ) A soma dos ângulos internos de um
quadrilátero é 180°.
33. Em um trapézio, vamos indicar por x a medida da base
maior e por y a medida da base menor. Sabendo que a
base média mede 25 cm e que x – y = 14 cm, determine
as medidas das bases desse trapézio.
34. Em um trapézio retângulo, a diagonal maior forma com
a base maior um ângulo de 37º e com o lado não
paralelo, um ângulo de 37°. Nessas condições, quais as
medidas dos quatro ângulos desse trapézio?
35. Em um trapézio retângulo, a bissetriz de um ângulo reto
forma com a bissetriz do ângulo agudo do trapézio um
ângulo de 110°. Determine o maior ângulo do trapézio.
44. O perímetro de um paralelogramo é igual a 84 cm, e a
2
da
soma das medidas dos lados menores é igual a
5
soma das medidas dos lados maiores. Calcule, em
centímetros, a medida dos lados maiores.
36. A bissetriz de um ângulo obtuso do losango faz com um
dos lados um ângulo de 55°. Determine o valor dos
ângulos agudos.
36
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
50. No trapézio ABCD seguinte, M e N são pontos médios
dos lados AD e BC respectivamente.
45. Em um trapézio isósceles ABCD, de base menor AB e
base maior CD, a medida do ângulo obtuso representa o
dobro da medida do ângulo agudo. Determine as
medidas dos quatro ângulos A, B, C e D desse trapézio.
D
46. Em um quadrilátero, as medidas dos ângulos internos
são expressas por x, x + 25°; x + 30° e x + 5°. Qual é a
medida do maior ângulo desse quadrilátero?
C
2x + 2
M
47. No quadrilátero ABCD da figura abaixo, o valor de x e a
medida do ângulo A = 3x são, respectivamente, iguais a:
N
4x – 3
A
B
Considerando todas as medidas indicadas numa mesma
unidade de comprimento, o valor numérico de x é:
a) 4
d) 7
b) 5
e) 8
c) 6
A
x
3x
B
D
x+3
2x
51. Na figura seguinte, a, 2a, b, 2b e x representam as
medidas, em graus, dos ângulos assinalados.
2x – 20°
C
b
a)
b)
c)
d)
e)
35° e 105°
45° e 135°
30° e 90°
40° e 120°
50° e 150°
2b
48. O projeto da fachada de uma empresa de arquitetura tem
a forma de um paralelogramo, cujas medidas dos
ângulos internos estão indicadas na figura a seguir.
x
75°
D
2a
Considerando esses dados, o valor de x, em graus, é:
a) 100
b) 110
c) 115
d) 120
e) 130
B
A
x
a
y
52. A figura seguinte representa um paralelogramo, no qual
foram traçadas as suas diagonais e um de seus lados foi
prolongado.
C
De acordo com a figura, responda.
a) Qual a medida angular de x?
b) Qual a medida angular de y?
c
b
49. A respeito dos quadriláteros, são feitas as seguintes
afirmações:
I. Todo retângulo é um paralelogramo;
II. Todo quadrado é retângulo;
III. Todo paralelogramo é losango;
IV. Todo paralelogramo que tem dois lados adjacentes
congruentes é losango.
a
3x – 21°
2x + 6°
60°
Utilizando as propriedades dos paralelogramos e
considerando as medidas indicadas, podemos concluir
corretamente que o valor da medida do ângulo bɵ é
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s):
a) I, II, III e IV.
b) Somente I, II e IV.
c) Somente II e IV.
d) Somente I e IV.
e) Somente I e II.
igual a:
a) 90º
b) 80º
c) 70º
37
d) 60º
e) 50º
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
53. Um grupo de alunos combinou de passar um belo final
de semana no clube da cidade. Começaram a conversar
e um deles, Desmenielirson Jerry, fez uma afirmativa
correta relacionada à forma da piscina do clube.
Os alunos então começaram a dar suas opiniões sobre a
afirmativa feita pelo amigo.
56. Leia e calcule.
ABCD é um trapézio em que F é o ponto médio de AB
e G é o ponto médio de DC.
A
Aluna II
Aluno III
As diagonais da
piscina se
interceptam
formando ângulos
retos.
Aluno IV
Que legal!
A piscina então é um
retângulo de
ângulos internos
aproximadamente de 90°.
Podemos concluir, portanto,
que a piscina é retangular,
porque todo retângulo é um
losango.
D
Desmenielirson
Essa piscina possui a forma
de um losango, e o ângulo
formado entre a diagonal e
um dos seus lados é de 48°.
G
F
Então a piscina possui dois
ângulos congruentes de 96°
e dois de 84° cada.
H
I
Aluna I
B
E
C
Representação
matemética da afirmativa
feita por Desmenielirson
Sabendo que BC mede 21 cm e que AD mede 10 cm, é
correto afirmar que as medidas de FG e HI são,
respectivamente, iguais a:
a) 5,5 cm e 15 cm.
b) 15 cm e 5,5 cm.
c) 15 cm e 5 cm.
d) 15,5 cm e 5,5 cm.
e) 5 cm e 15 cm.
Marque a opção que apresenta os alunos que
formularam uma afirmativa correta.
a) I e III
b) II e IV
c) I e II
d) II e III
e) III e IV
57. As diagonais de um quadrilátero são perpendiculares e
interceptam-se no ponto médio, se, e somente se, o
quadrilátero é um:
54. Em um trapézio isósceles, os ângulos da base menor
x
medem, respectivamente, 2x + 15º e + 90º . Nessas
2
condições, a medida de cada um desses ângulos da base
menor é igual a:
a) 90º
d) 120º
b) 100°
e) 135°
c) 115º
55. Uma escadaria em formato trapezoidal é formada por 5
degraus de mesma largura, conforme mostra a figura.
Nessa escadaria, o maior degrau mede 100 cm e o
menor mede 10 cm. Utilizando a propriedade da base
média do trapézio, é possível calcular as medidas x, y e
z dos outros degraus.
a)
b)
c)
d)
e)
10
z
y
losango.
paralelogramo.
trapézio retângulo.
trapézio isósceles.
retângulo.
58. Em um losango, a soma das medidas dos ângulos
obtusos é o triplo da soma das medidas dos ângulos
agudos. Sabendo disso é correto afirmar que cada um
dos ângulos obtusos desse losango mede:
a) 150º
b) 160º
c) 100º
d) 120º
e) 135º
x
100 cm
A soma das medidas, em centímetros, de cada um dos
outros três degraus é igual a:
a) 165
b) 110
c) 77,5
d) 55
e) 32,5
38
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
59. Um arquiteto deve projetar uma pequena ponte sobre
um lago circular.
61. Joaquim gastou 500 m de arame, para cercar com 5
voltas, o contorno de seu terreno que tem a forma de um
retângulo como mostra a figura a seguir.
A
(2x + 10) m
B
(2x) m
(2x) m
D
Em seu projeto, a ponte deverá coincidir com o
diâmetro AB, cujos extremos distam 8 m e 12 m de uma
estrada reta tangente ao lago, conforme modelo abaixo.
AC = 8 m
BD = 12 m
O = centro do círculo
C
(2x + 10) m
De acordo com a figura, responda:
a) Qual a medida de x?
b) Qual a medida do comprimento?
62. Carla desenhou um trapézio isósceles ABCD com bases
AD e BC.
B
O
B
C
γ
β
A
α
C
δ
A
D
O raio (em metros) do lago mede:
a) 23
b) 18
c) 15
d) 10
e) 7
D
a) Qual a medida de α, se a medida de β é 43°?
b) Qual a medida de δ, se a medida de γ é 107°?
63. As figuras que seguem representam paralelogramos
ABCD. Utilize as propriedades e calcule os valores x e y,
em cada caso.
a)
B
x=? y=?
60. Observe a figura que segue, em que ABCD é um
quadrado e os triângulos ADE e ABF são equiláteros.
E
x + 10°
A
r
60°
y + 30°
M
C
D
A
b)
D
4 cm
B
A
F
5 cm
x+1
D
C
B
y + 0,5
C
64. De acordo com as definições sobre quadriláteros,
complete os itens abaixo utilizando, uma única vez, as
palavras do quadro a seguir.
Sabendo que os pontos C, A e M pertencem à reta r, a
medida do ângulo FÂC, em graus é:
a) 120º
b) 140º
c) 75º
d) 105º
e) 115º
Quadrado – Trapézio isósceles
Losango
Trapézio retângulo – Retângulo
39
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
a)
Um polígono irregular é aquele que não possui os
ângulos com medidas iguais e os lados não possuem o
mesmo tamanho.
tem os lados não paralelos
congruentes.
b)
é o paralelogramo com quatro
lados congruentes e não necessariamente possuem os
ângulos iguais a 90º.
c)
é um trapézio escaleno que tem
dois ângulos retos.
d)
é o paralelogramo que possui
congruentes e quatro lados
quatro ângulos
congruentes.
e)
Polígonos irregulares
é o paralelogramo com quatro
ângulos congruentes e não necessariamente possuem
os lados iguais.
DIAGONAIS DE UM POLÍGONO
Diagonal de um polígono é o segmento de reta que
liga um vértice ao outro, passando pelo interior da figura.
O número de diagonais de um polígono depende do número
de lados (n) e pode ser calculado pela expressão:
POLÍGONOS REGULARES
Um polígono regular é aquele que possui todos os
lados congruentes e todos os ângulos congruentes. Existem
duas circunferências associadas a um polígono regular.
D
d=
n ( n − 3)
2
D
Para um polígono regular de n lados, e medida de lado ℓ:
T
T
C
C
•
O
S
R
A
S
R
B
A soma dos ângulos internos de um polígono
convexo regular pode ser calculada dividindo-se a figura
com segmentos que ligam um vértice definido a cada um
dos outros. O polígono será dividido em η – 2 triângulos,
cada um com ângulo interno de 180° ou π radianos.
Somando, encontra-se Si.
B
A
Circunferência circunscrita: Em um polígono regular
com n lados, podemos construir uma circunferência circunscrita
(por fora), que é uma circunferência que passa em todos os
vértices do polígono e que contém o polígono em seu interior.
Circunferência inscrita: Em um polígono regular com
n lados, podemos colocar uma circunferência inscrita (por
dentro), isto é, uma circunferência que passa tangenciando
todos os lados do polígono e que está contida no polígono.
Si = (n – 2) x 180º
ou, em radianos,
Si = (n – 2) π
•
Ângulos Internos (Ai)
Um ângulo interno é aquele formado entre dois lados
consecutivos. Em um polígono regular, sendo todos os
ângulos congruentes, pode ser obtido dividindo-se a soma
dos ângulos internos pelo número de lados.
CONCEITO DE UM POLÍGONO REGULAR
•
Soma dos Ângulos Internos (Si)
O
Um polígono é chamado equiângulo quando possui
todos os ângulos internos congruentes, e equilátero
quando possui todos os lados congruentes.
Ai =
POLÍGONO REGULAR E IRREGULAR
Todo polígono regular possui os lados e os ângulos
com medidas iguais. Alguns exemplos de polígonos regulares.
Si ( n − 2 ) x 180º
=
n
n
ou, em radianos,
Ai =
A
B
G
( n − 2) π
n
ÂNGULOS EXTERNOS (Ae)
F
C
São os suplementos dos ângulos internos:
E
D
A e = 180º − A i =
360º
n
Note-se que a soma dos ângulos externos em
qualquer polígono regular é sempre 360º.
Polígonos regulares
40
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
EXERCÍCIOS
CEVIANAS E PONTOS NOTÁVEIS DO
TRIÂNGULO: BARICENTRO, INCENTRO,
ORTOCENTRO E CIRCUNCENTRO
65. Qual é o polígono em que a soma das medidas dos
ângulos internos é o quádruplo da soma das medidas
dos ângulos externos?
Altura
66. Os números que exprimem o número de lados de três
polígonos são n – 3, n e n + 3. Determine o número de
lados desses polígonos, sabendo que a soma de todos os
seus ângulos internos vale 3 240°.
Altura de um triângulo é o segmento de reta que une
um vértice ao lado oposto (ou ao seu prolongamento),
formando um ângulo de 90º com esse lado.
67. Qual é a soma das medidas dos ângulos internos do
polígono que tem um número de diagonais igual ao
quádruplo do número de lados?
A
68. Ache o valor de x na figura:
B
C
AH
x + 25°
BC
AH é a altura relativa ao lado BC.
2x − 20°
A
x + 15°
B
3
x
2
x
C
AH
H
BC
AH é a altura relativa ao lado BC.
Qual a soma dos ângulos internos do pentágono?
Todo triângulo possui três alturas, que se
encontram em um único ponto denominado ortocentro.
69. Os ângulos externos de um polígono regular medem
20°. Então, o número de diagonais desse polígono é:
a) 90
b) 104
c) 119
d) 135
e) 152
A
Ortocentro
0
70. Num eneágono regular ABCDEFGHI, calcular a
medida do ângulo GÂD.
Construindo o polígono inscrito em uma circunferência,
temos:
B
A
Mediana
B
I
Mediana de um triângulo é o segmento que une um
vértice ao ponto médio do lado oposto.
x
H
C
G
A
D
F
E
B
M
C
71. Os números dos lados de dois polígonos convexos são
consecutivos e um deles tem 9 diagonais a mais que o
outro. Que polígonos são esses?
BM ≅ MC → M é o ponto médio de BC.
72. A medida de cada ângulo externo de um polígono
1
da medida de um ângulo interno. Quantas
regular é
4
diagonais tem o polígono?
Todo triângulo possui três medianas, que se
encontram em um único ponto denominado baricentro.
AM é a medida relativa ao lado BC do ∆ABC.
41
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
As mediatrizes de um triângulo se interceptam num
ponto chamado circuncentro.
A
M`
M``
G
A
M
B
G
C
O
Baricentro
B
O baricentro é o centro de gravidade do triângulo.
Bissetriz
O
Bissetriz de um triângulo é o segmento que une um
vértice ao lado oposto, dividindo o ângulo desse vértice em
dois ângulos de mesma medida.
Circuncentro
EXERCÍCIOS
O circuncentro é o centro da circunferência
circunscrita ao triângulo.
73. Identifique com o nome a reta ou segmento destacado
em cada triângulo.
a)
Todo triângulo possui três bissetrizes que se
encontram em um único ponto denominado incentro.
b)
I
I
Incentro
∆ABC, calcule o seu
74. Sendo AM a mediana do
perímetro.
O incentro é o centro de uma circunferência inscrita
no triângulo.
A
8c
m
6c
m
Em geral, as alturas, as medianas e as bissetrizes de
um triângulo não coincidem. Porém, em alguns triângulos
especiais, pode haver coincidência entre esses três
elementos.
Mediatriz
É uma reta perpendicular a um dos lados desse
triângulo pelo seu ponto médio.
B
C
M
4 cm
A
75. Sendo AH a altura do ∆ABC, determine as medidas de
x e y.
A
B
y
C
M
x
70°
m
M
40°
mediatriz de BC BM ≅ MC
B
42
H
C
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
e AH é altura relativa
80. Na figura, AD é bissetriz de A
ao lado BC. Determine as medidas a, b e c indicadas.
76. Sabendo que o segmento AM é a mediana relativa ao
lado BC do triângulo ABC, determine o perímetro desse
triângulo considerando as medidas em centímetros.
A
A
b
2x + 5
x+8
a
45°
B
B
35°
C
HD
81. Sabendo que, na figura abaixo, I é o incentro do
triângulo ABC, determine a medida do ângulo AÎB.
C
M
2x – 3
c
x+4
A
77. Na figura, AH é altura e BI é outra altura. Determine as
medidas a, b e c indicadas.
A
I
c
40°
B
b
C
82. No ∆ABC, AH é altura relativa ao lado
medidas de x e y?
60°
a
BC. Quais as
A
B
C
H
y
x
78. Na figura, sabe-se que o triângulo MPQ é isósceles com
base MQ e que MH é a altura relativa ao lado PQ do
triângulo. Nessas condições, determine os valores dos
.
e MQP
ângulos PMQ
62°
B
Q
M
28°
C
H
83. No triângulo ABC desta figura, os ângulos
e ABC
medem, respectivamente, 80º e 60º, se
BAC
44°
o segmento AK é uma altura relativa ao lado BC e
. Então, a
CS é uma bissetriz interna do ângulo ACB
medida do ângulo α é igual a:
P
A
H
79. No ∆MPQ, MX e PY são bissetrizes. Calcule as
medidas a, b e c.
S
α
M
B
30°
Y
c
35°
b
X
C
84. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F).
( ) O incentro é o centro da circunferência inscrita
no triângulo.
( ) O circuncentro é o centro da circunferência
circunscrita ao triângulo.
( ) O incentro é interno ao triângulo.
( ) O baricentro é interno ao triângulo.
( ) O ortocentro é interno ao triângulo.
( ) O circuncentro é interno ao triângulo.
( ) O baricentro é o centro da circunferência inscrita
no triângulo.
a
P
K
Q
43
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
85. Diga que triângulo satisfaz a condição dada nos casos:
a) O ortocentro e o baricentro são coincidentes.
b) O incentro e o circuncentro são coincidentes.
c) O ortocentro é um dos vértices.
d) O ortocentro é externo.
e) O circuncentro está em um dos lados.
f) O ortocentro é um ponto interno.
91. Determine o perímetro do triângulo ARS da figura, onde
AB e AC medem 15 cm e 18 cm, respectivamente,
do
e C
sendo BQ e CQ as bissetrizes dos ângulos B
triângulo ABC e RS paralelo a BC.
A
86. Uma universidade organizou uma expedição ao sítio
arqueológico de Itaboraí, um dos mais importantes do
Rio de Janeiro. Para facilitar a localização dos locais de
escavação, foram marcados três pontos de escavação
A, B, C.
Q
R
S
B
C
92. O triângulo ABC da figura a seguir, tem ângulo reto em
B. O segmento BD é a altura relativa a AC e DE é
bissetriz do ângulo D. Sabendo que o ângulo  mede
38º, determine a medida dos seguintes ângulos.
B
O chefe da expedição pretende acampar em um ponto
equidistante dos locais de escavação. Dessa forma, ele
deverá escolher:
a) o baricentro do triângulo ABC.
b) o incentro do triângulo ABC.
c) o circuncentro do triângulo ABC.
d) o ortocentro do triângulo ABC.
e) o ponto médio do maior lado do triângulo ABC.
E
A
C
D
a) ABD
b) BDE
c) DEC
3. Na figura abaixo, AH é a altura relativa ao lado BC do
triângulo ABC. Descubra as medidas x e y indicadas na
figura.
87. Sendo G o baricentro do triângulo ABC, determine x, y
e z.
A
A
x
10
x
6
28°
14
y
G
z
B
x
y
C
B
88. O circuncentro de um triângulo isósceles é interno ao
triângulo e duas mediatrizes formam um ângulo de 50°.
Determine os ângulos desse triângulo.
H
C
94. Na figura, BD é bissetriz interna do ângulo B do
= 90º , BE ⊥ AC e A
= 70º ,
triângulo ABC. Sendo B
os ângulos ABE,
respectivamente:
89. Considerando congruentes os segmentos com “marcas
iguais”, determine os valores das incógnitas nos casos:
EBD
e
BDC
medem,
B
y
y+
2
x
7+
x
A
a)
b)
c)
d)
e)
90. Determine as medidas dos três ângulos obtusos
formados pelas mediatrizes de um triângulo.
44
E
D
C
20º, 25º e 115º
25º, 20º e 120º
20º, 25º e 115º
20º, 125º e 15º
120º, 20º e 115º
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
100. Na figura abaixo tem-se o triângulo retângulo ABC,
95. Conhecendo as propriedades dos triângulos e das
cevianas, assinale a opção que apresenta a propriedade
enunciada corretamente.
a) A mediana de um triângulo retângulo é também a
bissetriz.
b) As bissetrizes do triângulo isósceles (não equilátero)
são coincidentes com as mediatrizes.
c) No triângulo equilátero toda altura é também
bissetriz.
d) A altura relativa à base de um triângulo isósceles
divide o ângulo do vértice em dois ângulos, de modo
que um é o dobro da medida do outro.
e) Nos triângulos, altura, bissetriz, mediana e mediatriz
são segmentos internos ao triângulo.
no qual BD e CE são as bissetrizes dos ângulos de
vértices B e C, respectivamente.
Calcule as medidas, em
representados por x, y, z e t.
graus,
dos
ângulos
96. O triângulo ABC, dado, é retângulo. Sendo M o ponto
= 100º ,
101. Em um triângulo ABC, obtusângulo, com A
médio do lado BC e AH a altura relativa à hipotenusa,
calcule os valores, em graus, dos ângulos indicados por
x, y, z e w.
foram traçadas a altura AH e a mediana AM .
Sabendo que o ∆ABC é isósceles, calcule as medidas
a, b, c, d e e dos ângulos destacados.
B
A
H
Y
c
a
b
M
Z
W
35°
97. Os lados congruentes de um triângulo isósceles medem
18 cm. A mediana relativa ao terceiro lado desse
triângulo determina dois segmentos com medidas que
x
podemos representar por 2x e + 6.
2
a) Quanto vale x?
b) Qual é o perímetro desse triângulo?
C
E
+
2x
B
98. Considerando o ponto G o baricentro do triângulo
abaixo, calcule as medidas x e y, indicadas, em cm.
A
B
e
102. No triângulo abaixo, EM é a mediana relativa ao
lado BC .
C
A
M
d
60°
B
X
x+3
3
x+1
2x – 2
M
C
a) Qual é o valor de x?
b) Quanto mede o perímetro do ∆EBC ?
G
103. Calcule as medidas dos ângulos indicados por a, b e
c, na figura, sabendo que I é incentro do
= xe
= x − 40º , med(BAC)
∆ABC, med(ABC)
N
= 40º.
med(ACB)
C
99. Sobre as cevianas e pontos notáveis nos triângulos,
associe verdadeiro (V) ou falso (F) ao que se afirma a
seguir.
a. ( ) O ponto de encontro entre as mediatrizes de
um triângulo é chamado de baricentro.
b. ( ) O incentro de alguns triângulos pode estar
localizado na região externa do triângulo.
c. ( ) O ortocentro de um triângulo retângulo é o
vértice do ângulo reto.
d. ( ) No triângulo retângulo equilátero a mediana e
a altura são coincidentes.
A
I
b
a
c
B
45
C
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
107. AD e BE são as medianas da figura abaixo que se
cruzam no ponto Q. Sabe-se que AQ = 6,4 cm e
QE = 4 cm. Nessas condições, determine:
104. Observe abaixo o esboço de uma praça retangular.
Nos vértices dessa praça estão A(Ana), B(Beatriz),
C(Carlos) e D(Danilo). Sabendo que as posições entre
Ana, M(Mariana) e Beatriz são equidistantes e
Mariana está a mesma distância de Danilo e Carlos, é
correto afirmar que:
M
D
A
E
Q
C
P
B
D
a) O nome que recebe o ponto Q.
b) A medida do segmento AD.
c) A medida do segmento BE.
A
108. No triângulo a seguir, AB é a mediatriz relativa ao
lado MN.
B
A
a) ABCD é um quadrado.
b) Pedro está no baricentro do triângulo CAD.
(quem é Pedro? onde está?)
c) A distância entre P(Pedro) e Ana é o dobro da
distância entre Pedro e Beatriz.
d) A distância entre Beatriz e Danilo é igual a
distância entre Ana e Mariana.
e) O triângulo ABD é equilátero.
12
M
M
3y
4
A
a)
b)
c)
d)
e)
B
109. O ângulo interno B do triângulo abaixo mede 58º, e o
ângulo interno C mede 74º. O segmento BD é a
bissetriz do ângulo B, e CE é a bissetriz de C.
Determine as medidas x e y indicadas na figura.
3x
10
N
6
a) Qual é o segmento que corresponde a altura
relativa ao lado MN do triângulo AMN?
b) Qual a medida do ângulo ABN?
c) Qual é o perímetro do triângulo AMN?
d) Qual é a medida do ângulo AMB?
105. Sabendo que a mediana relativa à hipotenusa no ∆
retângulo é a metade da medida da hipotenusa, os
valores de x e de y, são, respectivamente.
B
12
A
C
10/3 e 30
30 e 3
3/2 e 3
3 e 3/2
2/3 e 30
E
D
y
x
C
B
106. Na figura, AP e BP são bissetrizes de A e B,
respectivamente. Determine x.
A
110. Na figura, AP e CP são bissetrizes de A e C,
respectivamente. Determine x.
A
D
45°
80°
x
X
50°
P
P
40°
B
D
B
C
C
46
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
111. Observe a figura, estabeleça as relações corretas e
determine a medida de α, β, e γ, em graus.
Anotações
D
α
C
β
F
50°
γ
B
E
a)
b)
c)
d)
e)
α = 40º, β = 120º e γ = 30º
α = 30º, β = 130º e γ = 40º
α = 40º, β = 130º e γ = 40º
α = 50º, β = 120º e γ = 40º
α = 30º, β = 120º e γ = 30º
112. Se o triângulo ABC é retângulo de hipotenusa BC e
AM é mediana, o valor de x, em graus, é:
A
X
65°
B
a)
b)
c)
d)
e)
M
C
25º
35º
45º
55º
65º
113. Na figura que segue tem-se um triângulo ABC no
qual BD e CE são as bissetrizes dos ângulos de
vértices B e C, respectivamente e que x + y = 135º.
A
D
x
F
C
y
E
B
A respeito do triângulo CBF podemos afirmar,
corretamente:
a) Ele tem todos os lados com medidas diferentes.
b) Ele é isósceles.
c) Ele é retângulo.
d) Ele é equilátero.
e) Ele é obtusângulo.
47
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
7. Os anfíbios são representados por sapos, rãs, pererecas,
salamandras e cobras-cegas. Animais dessa classe foram
os primeiros vertebrados a colonizar o meio terrestre.
Com base no estudo dos anfíbios, marque (V) para as
afirmativas verdadeiras e (F) para as falsas.
a. ( ) Dependem totalmente do meio aquático.
b. ( ) Todos os anfíbios adultos respiram por
pulmões.
c. ( ) Os anfíbios apresentam um coração com
três cavidades.
d. ( ) São animais carnívoros que comem desde
insetos e outros invertebrados até outros
anfíbios.
CIÊNCIAS DA NATUREZA E SUAS TECNOLOGIAS
CIÊNCIAS
CONTEÚDO
CAPÍTULO 19 – PEIXES
CAPÍTULO 20 – ANFÍBIOS
CAPÍTULO 21 – RÉPTEIS
CAPÍTULO 22 – AVES
CAPÍTULO 23 – MAMÍFEROS
8. Os anfíbios apresentam sexos separados; a maioria
é ovípara com fecundação externa. Explique como
ocorre a metamorfose do sapo desde a fecundação até
a fase adulta.
1. De acordo com o registro fóssil, há cerca de 500
milhões de anos surgiram os primeiros vertebrados.
Os fósseis encontrados sugerem que os primeiros
vertebrados eram semelhantes aos peixes atuais.
Cite algumas características dos peixes que favorecem
a vida desses animais no ambiente marinho.
9. Os répteis são representados por lagartos, lagartixas,
tartarugas, jacarés e serpentes. Responda: Em que tipo
de hábitat podemos encontrar répteis em maior
quantidade? Por quê?
2. O tipo de esqueleto é uma importante característica que
divide os peixes em dois grandes grupos: peixes com
esqueleto cartilaginoso e peixes com esqueleto ósseo.
Caracterize cada grupo e cite exemplos.
10. Os répteis juntamente com as aves e os mamíferos,
colonizaram de maneira mais eficiente o meio terrestre
do que os anfíbios, pois não dependem do ambiente
aquático para se reproduzir. Descreva as principais
adaptações que favorecem esses animais no meio em
que vivem.
3. Os peixes estão entre as classes mais antigas de
vertebrados. Apresentam uma grande variedade de
formas e tamanhos. São aquáticos e habitam tanto na
água doce quanto na salgada.
Sobre esses animais, descreva:
a) a pele.
b) a respiração.
c) o sistema digestório.
Anotações
4. Os principais órgãos sensoriais encontrados nos peixes
são os olhos, as bolsas olfatórias e a linha lateral.
Escreva uma característica para cada órgão.
5. Relacione a capacidade de movimento dos anuros com
o fato de esse grupo ser o mais diverso entre os anfíbios.
6. Os anfíbios podem ser classificados em três grupos:
anuros, urodelos e ápodes. De acordo com a característica
apresentada, marque (a) para os anuros, (u) para os
urodelos e (a) para ápodes.
a. ( ) São representados pelas salamandras.
b. ( ) São animais conhecidos como cecílias ou
cobras-cegas.
c. ( ) Os animais adultos não apresentam cauda.
d. ( ) Algumas espécies de animais apresentam
metamorfose incompleta.
e. ( ) O corpo é alongado e vermiforme.
48
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
4. Na Europa do século XVI a religião foi usada como
instrumento de fortalecimento do poder político, tanto
nos Estados católicos quanto nos protestantes. Explique
esse processo nos casos da Espanha e da Inglaterra.
CIÊNCIAS HUMANAS E SUAS TECNOLOGIAS
HISTÓRIA
5. No dia 31 de outubro de 1517, Martinho Lutero,
professor de teologia da Universidade de Wittemberg,
afixou na porta de uma igreja daquela cidade um
documento em que eram expostas noventa e cinco teses.
CONTEÚDO
CAPÍTULO 7 – O RENASCIMENTO CULTURAL
CAPÍTULO 8 – A REFORMA RELIGIOSA
CAPÍTULO 9 – O ESTADO ABSOLUTISTA EUROPEU
CAPÍTULO 10 – O MERCANTILISMO E A COLONIZAÇÃO
DA AMÉRICA
Baseado em Elton, G. R. História de Europa. México, Siglo Veintiuno, 1974, p. 2.
a) Que processo histórico o gesto de Lutero inaugurou?
b) Cite duas práticas adotadas pela Igreja Católica
condenadas por Lutero.
c) Por que se considera que esse processo histórico
acabou facilitando o desenvolvimento do capitalismo?
1. “Renascimento é o nome dado a um movimento cultural
italiano e às suas repercussões em outros países.
Caracteriza-se pela busca da harmonia e do equilíbrio nas
artes e na arquitetura acrescentando aos temas cristãos
medievais outros temas inspirados na mitologia e na
vida cotidiana.”
6. Criada no período da Reforma Católica do século XVI,
a Companhia de Jesus teve papel preponderante na
expansão da religião católica, tanto no campo europeu,
quanto nas missões do norte da África, da Ásia e da
América. No Brasil, a chegada dos jesuítas (1549)
inaugurou um novo período de conquista espiritual em
virtude, entre outros aspectos, da atuação de seus padres
junto aos indígenas e aos colonos.
a) Caracterize a atuação dos jesuítas em relação aos
colonos no Brasil.
b) Cite duas outras ações da Igreja Católica em seus
reforços para conter a Reforma Protestante do
século XVI.
Dicionário do Renascimento Italiano. Zahar Editores, 1988.
Em que momento da história europeia se situa esse
movimento e qual a principal fonte de inspiração para
os intelectuais e artistas renascentistas?
2. “O Renascimento é, primeiramente, esse conjunto de
mutações que tocam os homens no seu modo de viver
e sobretudo de pensar. A Itália foi, desde o século XIV,
um dos primeiros lugares dessa interrogação nova
e fecunda sobre o mundo. O Renascimento italiano
nasceu, antes de mais nada, do desenvolvimento e da
primazia das cidades…”
a) A que conjunto de mutações está se referindo o autor?
b) Cite o nome de duas cidades italianas que foram
centros de irradiação da arte renascentista nos
séculos XV e XVI.
c) Qual a importância das cidades para o surgimento
do Renascimento italiano?
7. “Aquele que deu reis aos homens, quis que os
respeitassem como seus lugares-tenentes, reservando
apenas a si próprio o direito de examinar sua conduta.
Sua vontade é que qualquer um nascido súdito obedeça
sem discernimento, e esta lei tão expressa e tão
universal não foi feita em favor dos príncipes apenas,
é salutar ao próprio povo ao qual é imposta.”
Memórias para a instrução do Delfim. Luís XIV.
O texto anterior, atribuído ao rei francês Luís XIV, bem
como sua frase “O Estado sou eu”, dão as indicações
sobre como se concebia a política e o poder real nos
séculos XVII e XVIII. Defina tal concepção e os
elementos em que se baseava.
3. “Já fiz planos de pontes muito leves (…) Conheço os
meios de destruir seja que castelo for (…). Sei construir
bombardas fáceis de deslocar, carros cobertos, inatacáveis
e seguros, armados com canhões. Estou (…) em
condições de competir com qualquer outro arquiteto,
tanto para construir edifícios públicos ou privados como
para conduzir água de um lugar para outro. E, em
trabalhos de pintura ou na lavra do mármore, do metal
ou da argila, farei obras que seguramente suportarão
o confronto com as de qualquer outro, seja ele quem
for.”
8. Contestando o Tratado de Tordesilhas, o rei da França,
Francisco I, declarou em 1540:
“Gostaria de ver o testamento de Adão para saber de
que forma este dividira o mundo.”
Citado por Cláudio Vicentino, História Geral, 1991.
a) O que foi o Tratado de Tordesilhas?
b) Por que alguns países da Europa, como a França,
contestavam aquele tratado?
9. Procure caracterizar a política econômica mercantilista
na fase de expansão comercial e marítima europeia.
Leonardo da Vinci (retirado de Jean Delumeau. A Civilização
do Renascimento. Lisboa, Editorial Estampa, 1984, vol. 1, p. 154.
O texto lido é parte da carta com que Leonardo da
Vinci, em 1482, pedia emprego na corte de Ludovico,
o Mouro. No trecho, estão alguns dos elementos
principais que caracterizam o Renascimento como
movimento cultural.
a) Identifique três desses elementos.
b) Como se dava o patrocínio dos artistas e técnicos do
Renascimento?
10. As relações entre metrópoles e colônias estabeleceram-se
desde a época dos descobrimentos em função dos
interesses da burguesia e das exigências dos Estados
Modernos.
Indique quais eram tais interesses e quais eram as
exigências que as metrópoles faziam de suas colônias,
do ponto de vista econômico e político.
49
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
11. O quadro de Leonardo da Vinci revela uma das facetas
do grande artista do Renascimento
que durante a vida transformou sua
experiência de mundo em arte,
sempre pronto a inovar.
Essa criatividade levou Leonardo da
Vinci a ser conhecido como um
homem que:
a) transformou a arte da escultura
ao e xp r e s sar atr a vé s d e la
a grandeza da vida espiritual.
b) abdicou de sua riqueza para se
dedicar à pintura de personagens da Corte de
Florença.
c) se envolveu com a natureza, com a sociedade e com
todos os ramos de artes, de modo tão intenso que
passou a ser conhecido como um artista-cientista.
d) se dedicou às artes e às ciências através da teoria do
direito divino, aplicada nos seus exercícios de
anatomia.
e) participou de várias sociedades secretas que tinham
por objetivo reescrever os textos bíblicos com
o intuito de apresentar a verdadeira face de Jesus.
14. Leia os textos seguintes.
Texto I
Dizendo “Fazei penitência…”, nosso Senhor e Mestre
Jesus Cristo quis que toda a vida dos fiéis seja uma
penitência. (…) Qualquer cristão, verdadeiramente
arrependido, tem plena remissão da pena e da falta, ela
é-lhe devida mesmo sem cartas de indulgências.
Citado de acordo com MARQUES, A., BERRUTTI, F. e FARIA, R. História
Moderna através de textos. São Paulo: Contexto, 2001, p. 119-120.
Texto II
“Se alguém diz que o ímpio se justifica unicamente pela
fé, de tal modo que entenda que nada mais é preciso
para cooperar com a graça com o fim de obter
a justificação, e que não é necessário que se prepare e se
disponha por um movimento da sua própria vontade –
que seja excomungado.”
Citado de acordo com MARQUES, A., BERRUTTI, F.
E FARIA, R. História Moderna através de textos. São Paulo:
Contexto, 2001, p. 120.
12. “Galileu, talvez mais que qualquer outra pessoa, foi
o responsável pelo surgimento da ciência moderna.
O famoso conflito com a Igreja Católica se demonstrou
fundamental para sua filosofia; é dele a argumentação
pioneira de que o homem pode ter expectativas de
compreensão do funcionamento do universo e que pode
atingi-la através da observação do mundo real.”
Estes textos expressam, respectivamente, princípios:
a) Calvinistas e Luteranos.
b) Luteranos e Contrarreformistas.
c) Contrarreformistas e Luteranos.
d) Luteranos e Calvinistas.
e) Contrarreformistas e Calvinistas.
HAWKING, Stephen. Uma breve história do tempo.
15. O Império colonial espanhol era gigantesco. Ocupava
um território maior que o império português (Brasil).
Para administrar tão vastas áreas, a Coroa espanhola
criou uma estrutura jurídico-administrativa, composta
de vários órgãos.
Na primeira coluna estão os principais órgãos criados
pela Espanha e na segunda coluna há a função de cada
um. Relacione corretamente as colunas e marque a letra
correspondente.
(1) Casa da Contratação
(2) Conselhos das Índias
(3) Audiências
(4) Cabildos
O “famoso conflito com a Igreja Católica” a que se
refere o autor corresponde:
a) à decisão de Galileu de seguir as ideias da Reforma
Protestante, favoráveis ao desenvolvimento das
ciências modernas.
b) ao julgamento de Galileu pela Inquisição, obrigando-o
a renunciar publicamente às ideias de Copérnico.
c) à opção de Galileu de combater a autoridade política
do Papa e a venda de indulgências pela Igreja.
d) à crítica de Galileu à livre interpretação da Bíblia,
ao racionalismo moderno e à observação da natureza.
e) à defesa da superioridade da cultura grega da
antiguidade, feita por Galileu, sobre os princípios
das ciências naturais.
13. Sobre o conjunto de ideias que marcou o Renascimento
é correto afirmar que:
a) a Renascença contribuiu para o reforço de valores
humanistas em toda a Europa. A valorização do
Homem como “medida para todas as coisas” se
tornou uma ideia importante para os pensadores
renascentistas.
b) as ideias dos pensadores renascentistas tornaram-se
populares, influenciando movimentos revolucionários.
Esses ideais seriam retomados no século XIX pelos
socialistas.
c) os pensadores do Renascimento recuperaram ideias
da Antiguidade clássica, estando de acordo com as
orientações religiosas da Igreja Romana.
d) a Igreja Católica, como principal compradora de
obras de arte, se tornou uma defensora das ideias
renascentistas.
e) como movimento intelectual, o Renascimento
provocou uma ruptura na Igreja, dividida a partir de
então em Igreja Ortodoxa e Igreja Romana.
(
(
(
(
) Órgão responsável pela aplicação da justiça nas
colônias: tribunais judiciários de última instância
na América.
) Órgão cuja função era controlar todas as questões
relativas ao comércio e navegação entre a Espanha
e suas colônias americanas.
) Espécie de câmara municipal, cuja função era
cuidar da administração local.
) Órgão com amplas atribuições, como administração
e elaboração de leis.
A numeração correta é:
a) 1 – 3 – 2 – 4
b) 3 – 1 – 4 – 2
c) 4 – 2 – 1 – 3
d) 2 – 4 – 3 – 1
e) 3 – 3 – 2 – 2
50
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
16. A política mercantilista assumiu diversas modalidades,
variando nos países europeus do século XV ao XVIII.
Sobre as práticas mercantilistas podemos afirmar que:
a) em geral, o mercantilismo fundamentava-se no
intervencionismo estatal e no equilíbrio da balança
comercial.
b) o modelo português caracterizava-se pelo metalismo
e por uma política econômica liberal exercida pela
Coroa.
c) na Espanha, o dirigismo estatal desenvolveu as
atividades industriais e agrícolas, permitindo sua
autossuficiência comercial.
d) na França, a concessão de monopólios estatais e o
incentivo das manufaturas aceleraram o desenvolvimento
comercial e industrial.
e) na Inglaterra, o comercialismo desprezou as
atividades manufatureiras, o que enfraqueceu
a participação inglesa no transporte naval
internacional.
20. A política dominante nas colônias inglesas na América
do Norte foi marcada, dentre outros fatores:
a) pelo extermínio sistemático das tribos indígenas.
b) pelo uso generalizado de mão de obra assalariada.
c) pela exploração em larga escala de metais preciosos.
d) pela ocupação exclusiva das regiões interioranas.
e) pela exploração da prata.
Anotações
17. No século XVI, a conquista e ocupação da América
pelos espanhóis:
a) desestimulou a economia da Metrópole e conduziu
ao fim do monopólio de comércio.
b) contribuiu para o crescimento demográfico da
população indígena, concentrada nas áreas de mineração.
c) eliminou a participação do Estado nos lucros obtidos
e beneficiou exclusivamente a iniciativa privada.
d) dizimou a população indígena e destruiu as estruturas
agrárias anteriores à conquista.
e) impôs o domínio político e econômico dos “criollos”.
18. Assinale a alternativa que caracteriza o sistema de
trabalho conhecido como “mita”.
a) Trabalho escravo de negros nas plantações de
açúcar do Caribe.
b) Trabalho forçado de índios e mestiços nas
plantações de café da Colômbia.
c) Trabalho forçado de índios nas minas de ouro
e prata do Peru e Alto Peru.
d) Trabalho escravo de índios nas minas de salitre
e cobre do Chile.
e) Trabalho escravo de negros nas plantações de
açúcar do Brasil.
19. As alternativas a seguir constituem características das
colônias sulistas da América do Norte. Marque a opção
correta.
a) A economia sulista baseava-se na pequena propriedade
(minifúndio) e na grande e hegemônica utilização
da mão de obra branca europeia assalariada.
b) A agricultura era do tipo policultura para
importação, ou seja, de consumo interno conforme
os moldes capitalistas prejudicando os grandes
fazendeiros.
c) A base da economia era a importação de produtos
manufaturados da Europa conforme moldes
mercantilistas e uma agricultura voltada para atender
o mercado interno.
d) A pirâmide social se constituía no topo de uma rica
e poderosa aristocracia rural, logo abaixo uma
reduzida classe média, e na base um grande número
de escravos.
e) A industrialização era extremamente incentivada,
por isso a produção agrícola era pequena, como
consequência não havia trabalho escravo negro.
51
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
9. Recentemente estudos feitos no território brasileiro
comprovaram a existência de um gigantesco aquífero na
porção norte do país, esse aquífero supera na capacidade
armazenada do aquífero Guarani. Responda:
Como é o nome desse aquífero?
Como ele é utilizado pelas populações no cotidiano?
GEOGRAFIA
CONTEÚDO
CAP. 8 – HIDROGRAFIA E BIOMAS.
CAP. 9 – PROBLEMAS AMBIENTAIS.
CAP. 10 – AS REGIÕES BRASILEIRAS.
10. Os rios e os lagos do Brasil sofrem com as ações
humanas próximas as suas áreas de abrangência. Como
as populações causam impactos aos rios e lagos, e como
essas ações poderiam ser evitadas?
1. A hidrografia brasileira possui grande destaque no
mundo por diversas razões, uma dessas é a presença da
bacia amazônica. Sobre o assunto:
Mencione o que é uma bacia hidrográfica.
11. Leia o texto abaixo e responda o que se pede:
Descreva três tipos de aproveitamento dos rios.
A VIAGEM DO LIXO NOS MARES
2. Algumas formas de se estudar os rios é sabendo o tipo
de alimentação que esse rio possui, existem três tipos de
alimentação. Caracterize os três tipos de alimentação:
PluvialNivealGlacial-
“ A viagem do lixo nos mares é feita por plásticos,
náilons, isopor...todo lixo capaz de flutuar è um potencial
viajante e colecionador de poluentes. Ao ser levado pelas
águas – da chuva, dos rios ou do mar – logo desaparece de
vista permanecendo no ambiente por muito tempo e todos os
pedacinhos de lixo flutuantes continuam sua jornada por
onde passam deterioram a paisagem contaminam as águas,
causam impactos sobre a fauna e afetam a qualidade de
vida.”
3. O Brasil por possuir dimensões territoriais continentais
e possuir um grande número de rios e bacias
hidrográficas é bastante privilegiado em relação as
demais nações do mundo. Você concorda com essa
afirmação? Justifique.
4. O nosso país é muito rico em águas superficiais,
rios,mas pobre em lagos de grande extensão .Os rios e
os lagos possuem importância significativa na vida das
pessoas. Como o brasileiro utiliza os seus rios e lagos?
•
5. O Brasil é um país de grandes e diversificadas fontes de
energia, uma dessas é a energia produzida pelas
hidroelétricas, estudos científicos comprovam o poder
impactante das hidroelétricas no contexto ambiental.
Você concorda com essa afirmação? Exemplifique
alguns problemas causados pelas hidroelétricas.
6. As águas subterrâneas representam uma fase do ciclo
hidrológico, os aquíferos fazem parte desse sistema
complexo, não só no Brasil, mas no mundo também.
Sobre o assunto:
O que é um aquífero?
Quais são as consequências para os oceanos e mares
quando o lixo não tem o destino certo? Marque o item
correto:
a) Deterioram a paisagem, contaminam as águas,
matam animais.
b) Melhora a qualidade da água e da vida dos peixes
c) São os melhores coletores de lixo: os mares, por isso
não apresentam consequências negativas nem
positivas.
d) Destroem os animais que vivem nas florestas da
Amazônia.
e) Melhora a qualidade de vida das populações que
vivem nas áreas litorâneas.
12. As paisagens brasileiras são marcadas pela presença de
rios. A rede hidrográfica no Brasil é abundante tanto em
rios quanto em águas subterrâneas. O Brasil é o país
com maior reserva de água potável no mundo. Sobre as
características da hidrografia brasileira marque a opção
correta:
a) O regime de alimentação dos rios brasileiros é
basicamente niveal (neve).
b) Do ponto de vista econômico os rios brasileiros não
são utilizados como fonte de energia (hidrelétrica).
c) Tecnicamente não é possível interligar bacias
hidrográficas.
d) O regime de alimentação dos rios brasileiros em sua
grande maioria é pluvial, exceto o rio Amazonas que
nasce no Peru (Na Cordilheira dos Andes).
e) A maior bacia hidrográfica brasileira é a Platina.
Quais são as suas possíveis utilizações?
7. Estudos comprovam que o Brasil possui uma grande
riqueza de oferta de águas e que essas águas são
divididas por regiões dentro do espaço Geográfico
brasileiro. Entre as seis principais bacias do Brasil
existe uma de grande destaque - Amazonas. Descreva as
principais características dessa bacia.
8. A região Nordeste do Brasil possui uma grande carência
de oferta de águas, todos os anos milhares de pessoas, e
toda a fauna e a flora sofrem com a falta de águas.
Nessa região castigada com a seca uma importante
bacia se faz presente e a sua área de influência fica livre
dos castigos da seca. Que bacia é essa e como ela é
utilizada economicamente?
52
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
13. Bacia hidrográfica que se localiza na região Norte, tem
o maior rio do mundo tanto em extensão quanto em
vazão possuindo inúmeros afluentes. Possui grande
potencial hidrelétrico, é a maior bacia do país. Sobre
este assunto marque abaixo a bacia com as
características citadas acima:
a) Amazônica
b) Platina
c) São Francisco
d) Tocantins – Araguaia
e) Bacias do Atlântico
17. Um dos grandes problemas ambientais é o lixo
produzido nas cidade, boa parte dele é jogada em
terrenos baldios que com as chuvas se infiltram no solo
poluindo ele e as águas subterrâneas. Existem muitos
problemas causados pelo lixo porém alguma coisa ainda
pode é feita para reaproveita-lo. Sobre este assunto
marque o item correto:
a) Poucas pessoas jogam lixo nas ruas, deixando
sempre as cidades limpas
b) Os catadores de lixo não ajudam no processo de
coleta eletiva.
c) A quantidade do lixo domiciliar é pequena no
Brasil: são de 220 kg/ano
d) Reciclagem e compostagem são feitas para o
reaproveitamento do lixo
e) Não se pode fazer nada em se tratando do
reaproveitamento do lixo.
14. Dentro do grupo das cinco grandes bacias hidrográficas,
esta bacia é uma das que pode ser considerada
totalmente brasileira, seu principal rio nasce em Minas
Gerais e percorre o interior nordestino, é um rio perene
muito utilizado para produção de energia, onde se
destaca a hidrelétrica de Paulo Afonso. Marque abaixo a
bacia hidrográfica que contém essas características.
a) Platina
b) Amazônica
c) Bacias do Atlântico Sudeste
d) São Francisco
e) Tocantins – Araguaia
18. O Campo também enfrenta problemas ambientais
especialmente as áreas que passam por um processo e
modernização agrária com a mecanização e uso de
adubos químicos, agrotóxicos. De acordo com este
assunto marque abaixo o item correto:
a) O uso de agrotóxicos trás consequências negativas
para o solo como: multiplicação das pragas e
eliminação de microorganismos benéficos às
plantas.
b) A vegetação nativa não sofre nenhum tipo de
alteração nas áreas destinadas a agricultura pois é
preservada.
c) O uso de agrotóxicos não polui os solos e os
alimentos.
d) O nordeste brasileiro sofre muito com a seca, a falta
de água hoje em dia deixou de ser um problema
porque chove bastante nas áreas de sertão.
e) A desertificação só ocorre em áreas de densa
vegetação, áreas com grande quantidade de árvores
pois estas prejudicam o solo.
15. Água subterrânea é aquela que fica no subsolo
preenchendo os poros das rochas sedimentares ou as
fraturas, falhas das rochas compactas. Calcula-se que as
águas do planeta totalizem cerca de 10,3 milhões de
quilômetros cúbicos. A maior reserva de água
subterrânea do mundo foi encontrada aqui no Brasil
localizado no Amazonas, Pará e Amapá tem volume de
86 mil quilômetros cúbicos de água doce, o que seria
suficiente para abastecer a população mundial cerca de
100 vezes. Estamos falando do aquífero:
a) Castanhão
b) Alter do Chão
c) Atlântico
d) Guarani
e) Pacífico
19. Além da seca algumas regiões brasileiras também
sofrem com a desertificação, processo em que o solo
começa a ficar menos fértil, a terra perde seus nutrientes
e a capacidade de fazer nascer qualquer tipo de
vegetação. Marque abaixo as causas da desertificação.
a) Excesso de chuvas, reflorestamento e pecuária.
b) Poluição do solo, excesso de fertilizante e
desmatamento.
c) A compostagem, reciclagem e agricultura.
d) Poluição atmosférica, poluição de rios e
reflorestamento.
e) Uso de agrotóxicos e reciclagem.
16. Os problemas ambientais hoje são consequências da
modernidade que por outro lado amplia a qualidade de
vida dos seres humanos e por outro lado destrói a
natureza, um desses problemas é a poluição atmosférica
ocorrida em grande parte nas grandes cidades. Sobre
este assunto marque o item correto:
a) No Brasil todas as cidades respeitam as leis
ambientais, pois todas elas possuem 16 metros
quadrados de área verde por habitante.
b) A poluição atmosférica é causada principalmente
pelo acúmulo de lixo.
c) Os maiores causadores da poluição atmosférica são
as indústrias, queimadas e automóveis.
d) O Brasil apresenta pouca poluição atmosférica pois
as cidades se preocupam em capturar todo o dióxido
de carbono produzido pelas indústrias.
e) As áreas rurais apresentam maior grau de poluição
que as áreas urbanas.
20. O Desmatamento da Amazônia subiu muito em maio de
2011 comparado em relação ao mesmo mês de 2010.
Foram desmatadas dos 267,9 km2, O estado que mais
desmatou foi o Mato Grosso com 93,7 km2 e florestas
cortadas. O desmatamento causa impactos terríveis ao
meio ambiente. Marque abaixo alguns desses impactos:
a) Limpeza dos rios e lagos
b) Aumento das chuvas e diminuição das secas
c) Extinção dos animais e diminuição da
biodiversidade
d) Renovação dos solos e do ar
e) Aumento das vegetações nativas.
53
OSG.: 094982/15
MÓDULO DE ESTUDO DA 3ª ETAPA – 7º ANO OLÍMPICO/ENSINO FUNDAMENTAL
21. Normalmente costuma-se dividir o Brasil em regiões,
sobre essa divisão ou Regionalização marque o item
correto:
a) O Brasil tem poucas regiões por causa do seu
pequeno território
b) O IBGE dividiu o Brasil em duas grandes regiões:
Amazônia e Nordeste.
c) A região Norte é formada pelos Estados do Paraná,
Santa Catarina e Rio Grande do Sul.
d) Amapá e Pará são os estados do nordeste brasileiro.
e) Regionalização é a divisão do país em áreas (partes)
com traços em comum.
Anotações
22. Região formada pelos estados do Amazonas, Pará,
Acre, Rondônia, Roraima, Amapá e Tocantins, localizase no norte é a maior das 5 regiões brasileiras. É onde
está a menor densidade demográfica do país: 4 hab/km2.
Marque abaixo a região que contém essas
características:
a) Sul
b) Nordeste
c) Norte
d) Centro oeste
e) sudeste
23. Região que compreende os estados do Maranhão, Piauí,
Ceará, Rio Grande do Norte, Paraíba, Pernambuco,
Alagoas, Sergipe e Bahia, tem uma população em torno
de 53 milhões de habitantes, 27,8% da população do
país. Estamos falando de qual região?
a) Sul
b) Nordeste
c) Norte
d) Centro oeste
e) Sudeste
24. Nova forma de regionalizar o Brasil, mostra nosso país
dividido em três grandes complexos regionais, sem se
preocupar com os limites dos estados procurando levar
em consideração as mudanças observadas ultimamente.
Esse tipo de regionalização divide o Brasil em TRE
grandes regiões. Quais são elas? Marque o item correto.
a) Nordeste, Amazônia e Sudeste
b) Centro – sul, Sudeste e Nordeste
c) Norte, Nordeste e Sudeste
d) Centro – Oeste, Amazônia e Nordeste
e) Amazônia, Nordeste e Centro – sul.
25. O Nordeste dos complexos regionais é o mesmo
nordeste da regionalização do IBGE? Marque a opção
com a resposta correta:
a) Sim. Representam as mesmas áreas.
b) Não. Pois na nova regionalização também estão
incluídos os estados do Pará e Minas Gerais
c) Não. Pois nos complexos regionais o novo nordeste
também inclui novas áreas como uma parte do norte
de Minas Gerais e perdeu o lado oeste do Maranhão.
d) Não. No novo nordeste está incluído o estado de
Tocantins
e) Não. Foi retirado o estado do Maranhão. Este agora
pertence a Amazônia.
André – 17/7/2015 – REV.: Amélia
54
OSG.: 094982/15