Notas de Aulas - Equações Parciais

1
1.1
Condução de Calor
Introdução
Estudaremos agora o problema de condução de calor unidimensional, onde utilizaremos como
modelo uma barra cilı́ndrica maciça com uma distribuição inicial de temperatura dada por uma
função f . Este estudo, iniciado por Fourier, nos leva a uma equação diferencial parcial, que
solucionaremos utilizando Séries de Fourier.
1.2
Equação de Condução de Calor
Consideremos uma barra cilı́ndrica reta, de comprimento L, com eixo sobre o eixo das abscissas e
origem em x = 0 (Figura 1), sob as seguintes condições:
eixo - x
seção transversal
x=L
x=0
Figure 1: Barra Cilı́ndrica Maciça
1. seção transversal uniforme (a barra é perfeitamente cilı́ndrica e maciça);
2. laterais perfeitamente isoladas (não existe transferência de calor pelas laterais);
3. material isotrópico (homogêneo: a condutividade térmica k, a densidade ρ e o calor especı́fico
s são constantes em toda a barra);
4. a temperatura, denotada por u, é constante em qualquer seção transversal da barra, ou seja,
u varia somente com a direção axial x e com o tempo t e não varia na direção radial r. Logo
temos que u = u(x, t).
Sob estas hipóteses a variação da temperatura u = u(x, t) da barra é governada pela equação
diferencial parcial1 :
α2 uxx = ut , 0 < x < L , t > 0,
(1)
conhecida como equação de condução de calor. Em (1) o parâmetro α2 é chamado difusividade
térmica e dado por
comprimento2
k
[=]
,
α2 =
ρs
tempo
e como k, ρ e s são considerados constantes, a difusividade térmica também é constante. A
difusividade térmica é uma propriedade do material da barra, associada à sua maior ou menor
capacidade de conduzir calor.
1A
dedução deste modelo matemático pode ser encontrada em [?, págs. 473-476].
1
Observe que (1) é uma equação diferencial parcial, pois a função incógnita u, que nos dá a
temperatura da barra, é função do tempo t e da posição axial x, ou seja, a função incógnita é uma
função de duas variáveis, uma de tempo e uma de dimensão. Uma vez que a derivada com relação
ao tempo é de primeira ordem, necessitamos de uma única condição inicial (que nos informa a
situação da barra no tempo inicial t = 0). Por outro lado, a derivada com relação à dimensão é
de segunda ordem e desta forma necessitamos de duas condições de contorno (que nos informa a
condição da barra em seus contornos, ou seja, em suas extremidades x = 0 e x = L).
1.3
Condição Inicial
Consideremos que no instante inicial a barra apresenta um perfil de temperaturas dado por f (x).
Assim a equação diferencial (1) possui a seguinte condição inicial:
u(x, 0) = f (x) , 0 <= x <= L.
1.4
(2)
Condições de Contorno
Uma vez que calor não atravessa as extremidade da barra, consideraremos as temperaturas fixas nas
extremidades: T1 em x = 0 e T2 em x = L. Consideraremos estas temperaturas nulas, T1 = T 2 = 0
(o caso onde não são nulas será visto nos problemas). Assim a equação diferencial (1) possui as
seguintes condições de contorno:
u(0, t) = 0 , u(L, t) = 0 , t > 0.
(3)
Então, nosso problema é encontrar u = u(x, t) que satisfaz a equação (1), a condição inicial (2) e
as condições de contorno (3).
1.5
Separação de Variáveis
Para solucionar (1) utilizaremos um método conhecido como método da separação de variáveis,
cuja principal caracterı́stica é a substituição da equação diferencial parcial original por um sistema
de equações diferenciais ordinárias (que podem ser facilmente resolvidas). Especificamente falando,
o método supõe que a solução procurada é dada pelo produto de duas funções, uma somente da
variável x e outra somente da varivel t. Ou seja, supomos uma solução da forma
u(x, t) = X(x)T (t),
(4)
ou simplesmente
u = XT,
onde fica implı́cito que u é uma função de x e t, X é função somente de x e T é função somente
de t. Derivando (4) e substituindo em (1) obtemos
α2 X 00 T = XT 0 ,
(5)
onde as linhas representam derivadas ordinárias com relação a x ou t. Reescrevemos (5) como
X 00
1 T0
= 2 ,
X
α T
(6)
onde as variáveis estão separadas, uma vez que o membro esquerdo depende somente de x e o
membro direito depende somente de t. Como cada membro de (6) depende de uma única variável,
temos que ambos devem ser iguais a uma mesma constante. Para ver isto, considere x constante e
2
faça t variar. O primeiro membro de (6) será constante enquanto o segundo varia, violando assim
a igualdade. Chamando esta constante2 de σ obtemos
X 00
1 T0
= 2
= σ,
X
α T
donde obtemos duas equações diferenciais ordinárias, uma para X(x) e outra para T (t)
X 00 − σX = 0,
(7)
T 0 − α2 σT = 0.
(8)
Neste ponto fica clara a utilização do método: a equação diferencial parcial (1) foi substituı́da pelas equações diferenciais ordinárias (7) e (8), que podem ser facilmente resolvidas para qualquer valor da constante de separação σ. Assim, por (4) temos que a solução de (1) é
simplesmente o produto das soluções de (7) e (8).
Solução da equação X 00 − σX = 0
1.6
A princı́pio a constante de separação σ pode assumir qualquer valor. Mas, uma vez que nossa
solução de (1) deve satisfazer também as condições de contorno (3), veremos que os valores possı́veis
para σ são restritos. Para ver isto, observemos que pela primeira condição de contorno em (3),
temos
u(0, t) = X(0)T (t) = 0.
Aqui se fizermos T (t) ≡ 0 para todo t, terı́amos uma solução de (1) identicamente nula, u(x, t) ≡ 03 .
Logo, temos obrigatoriamente
X(0) = 0.
(9)
Pela segunda condição de contorno em (3), temos
u(L, t) = X(L)T (t) = 0
que nos leva, pelo mesmo raciocı́nio, a
X(L) = 0.
(10)
Desta forma, nossa equação ordinária (7) está sujeita as condições de contorno (9) e (10). Para
solucionar (7) devemos considerar três casos:
1. Caso σ = 0. A equação (7) torna-se
X 00 = 0,
cuja solução geral é imediatamente obtida (basta integrar duas vezes) e dada por
X(x) = c1 x + c2 .
Utilizando a condição de contorno (9) temos que
c2 = 0.
Em seguida, utilizando a condição de contorno (10) temos que
c1 = 0
2 tal
constante é chamada constante de separação. O motivo ficará claro adiante.
3 Observe que a equação (1) é homogênea, logo admite a solução identicamente nula u(x, t) ≡ 0, chamada
solução trivial. Evidentemente tal solução trivial não possui nenhum interesse e estamos exatamente interessados
em determinar soluõ
¸es não-triviais (se existirem).
3
(verifique estes cálculos). Obtemos então
X(x) = 0,
o que é inaceitável, pois desta forma (4) nos levaria a uma solução identicamente nula u(x, t) ≡
0 de (1). Logo σ não pode ser nulo.
2. Caso σ > 0. Neste caso substituı́mos σ por λ2 . A equação (7) torna-se4
X 00 − λ2 X = 0,
(11)
que reconhecemos ser uma equação ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, cuja equação caracterı́stica é
r2 − λ2 = 0,
donde obtemos as raı́zes
r2 = λ2 ⇒ r = ±λ.
Com estes valores de λ a solução geral de (11) é dada por
X(x) = c1 eλx + c2 e−λx ,
e aplicando as duas condições de contorno (9) e (10) obtemos o sistema linear
½
c1 + c2 = 0
c1 eλL + c2 e−λL = 0
(12)
(13)
nas variáveis c1 e c1 . Pela primeira equação de (13) temos que c2 = −c1 e a segunda torna-se
c1 eλx − c1 e−λx = c1 (eλx − e−λx ) = 0.
(14)
Uma vez que λ 6= 0 (hipótese descartada no caso anterior) e L 6= 0 (comprimento da barra),
temos que eλx − e−λx 6= 0 e desta forma
c1 = 0.
Consequentemente
c2 = 0
e por (12) obtemos novamente
X(x) = 0,
o que é inaceitável, pois desta forma (4) nos levaria novamente a uma solução identicamente
nula u(x, t) ≡ 0 de (1). Logo σ também não pode ser positivo.
3. Caso σ < 0 . Neste caso substituı́mos σ por −λ2 (aqui o parâmetro λ não é necessariamente
real, ou seja, pode ser complexo). A equação (7) torna-se
X 00 + λ2 x = 0,
(15)
que também reconhecemos ser uma equação ordinária linear homogênea de segunda ordem
com coeficientes constantes, cuja equação caracterı́stica é
r2 + λ2 = 0,
4 Esta substituição é feita somente para evitar raı́zes na resolução da equação caracterı́stica da equação diferencial (7). Obviamente tal substituição não afeta nossa solução.
4
donde obtemos as raı́zes
r2 = −λ2 ⇒ r = ±iλ.
Como as raı́zes da equação caracterı́stica são complexas, temos que a solução geral de (15) é
da forma
X(x) = Acos(λx) + Bsen(λx),
(16)
onde A, B ∈ R. Utilizando a condição de contorno (9) obtemos
A = 0.
Em seguida, utilizando a condição de contorno (10) obtemos
Bsen(λL) = 0
(verifique estes cálculos). Neste ponto observamos que, se B = 0, obterı́amos mais uma vez
X(x) = 0, o que seria inaceitável, pois desta forma (4) nos levaria uma terceira vez a uma
solução identicamente nula de (1). Somos então forçados a fazer sen(λL) = 0.
Da trigonometria sabemos que para que o seno de um ângulo seja nulo tal ângulo deve ser
um múltiplo inteiro de π. Logo devemos ter
λL = nπ ⇒ λ =
nπ
,
L
onde n ∈ Z ∗ (n não pode ser nulo, pois isto implicaria o caso 1). Para este valor de λ a
solução (16) fica
nπx
X(x) = Bsen(
).
L
Como n é qualquer valor inteiro, a expressão anterior nos fornece infinitas soluções da equação
diferencial (7) (uma para cada valor de n). Obviamente, para cada uma destas infinitas
soluções devemos esperar uma constante B diferente. Desta forma reescrevemos a solução
anterior na forma
nπx
X(x) = Bn sen(
) , b = ±1, ±2, . . .
(17)
L
onde fica explı́cito que teremos uma constante distinta para cada valor de n.
Resumindo: até este ponto mostramos que para obtermos uma solução não-trivial da equação (7)
que satisfaça as condições de contorno (9) e (10) a constante de separação σ deve assumir certos
valores reais negativos, dados por
n2 π 2
σ = −λ2 = − 2 ,
(18)
L
onde n é um inteiro não nulo5 . Além disto, mostramos também que para tais valores de σ a solução
de (7) é dada por
nπx
) , b = ±1, ±2, . . . ,
X(x) = Bn sen(
L
conforme encontramos em (17).
5 em outras palavras: só podemos solucionar a equação (7) se o valores da constante σ forem dados por (18). Tais
valores são chamados autovalores da equação diferencial (7)
5
1.7
Solução da equação T 0 − α2 σT = 0
Para solucionar (8) substituı́mos o valor de σ dado por (18) em (8). Obtemos
T0 +
α2 n2 π 2
T = 0,
L2
que é uma equação diferencial linear homogênea de primeira ordem com coeficientes constantes.
Transpondo o segundo termo, obtemos
T0 = −
Uma vez que T 0 =
dT
dt
α 2 n2 π 2
T.
L2
, separamos as variáveis para obter
dT
α 2 n2 π 2
=−
dt,
T
L2
e integrando ambos os membros
α 2 n2 π 2
t + c.
L2
Tomando a exponencial de ambos os membros, a solução é dada por
ln(T ) = −
T (t) = Ae−
α2 n 2 π 2 t
L2
,
onde A = ec é uma constante. Como antes, existem infinitas soluções, uma para cada valor de n.
Reescremos a solução anterior como
T (t) = An
1.8
α 2 n2 π 2 t
,
L2
(19)
Solução da Equação de Condução de Calor
De acordo com (4) a solução da equação de condução de calor (1) é dada pelo produto de (17) e (19):
un (x, t) = An e−
α2 n 2 π 2 t
L2
Bn sen(
nπx
).
L
Agrupando as constantes arbitrárias (An Bn = kn ), concluı́mos que as funções
un (x, t) = kn e−
α2 n2 π 2 t
L2
sen(
nπx
),
L
(20)
são soluções de (1) que satisfazem as condições de contorno (3). Tais soluções são denominadas
soluções fundamentais do problema de condução de calor dado por (1) e (3).
Uma vez que a equação diferencial parcial (1) e as condições de contorno (3) são lineares e
homogêneas, sabemos do prı́ncipio da superposição que a solução geral de (1) é dada pela
combinação linear das soluções fundamentais. Como existem infinitas soluções fundamentais (para
os infinitos valores de n), a solução geral é dada pela série
u(x, t) =
X
n∈Z ∗
un (x, t) =
X
n∈Z ∗
kn e−
α2 n 2 π 2 t
L2
sen(
nπx
).
L
Nesta solução n deve assumir apenas valores positivos, uma vez que valores negativos nos levaria
2
2
às mesmas soluções uma segunda vez: en t = e(−n) t e kn sen(nx) + k−n sen(−nx) = Kn sen(nx)
6
pois o seno é ı́mpar e simplesmente agrupamos as constantes. Logo reescrevemos a solução geral
como
∞
∞
X
X
α2 n2 π 2 t
nπx
u(x, t) =
un (x, t) =
kn e− L2 sen(
).
(21)
L
n=1
n=1
onde os coeficientes kn ainda são indeterminados. Uma vez que (21) é solução da equação diferencial
parcial (1) que satisfaz s condições de contorno (3), devemos determinar os kn de modo a satisfazer
a condição inicial (2). A princı́pio admitimos uma solução em série infinita, pois não sabemos
o número de soluções fundamentais que devem ser superpostas para satisfazer a condição inicial
dada em (2). Os exemplos a seguir ilustram algumas situações.
Exemplo 01: encontre a solução do problema de condução de calor (1), (2) e (3), tal que
4πx
).
L
Solução: conforme dito anteriormente, a solução (21) é solução de (1) que satisfaz s condições de
f (x) = 3sen(
contorno (3). Devemos agora obrigar (21) a satisfazer a condição inicial dada acima. Logo
u(x, 0) =
∞
X
kn e−
α2 n2 π 2 0
L2
sen(
n=1
∞
X
nπx
nπx
4πx
)=
) = 3sen(
),
kn sen(
L
L
L
n=1
(22)
assim, pela última igualdade em (22) observamos que é necessária apenas uma única solução
fundamental, aquela onde n = 4. Assim, tem-se que k4 = 3 e kn = 0 (para todo n 6= 4), e a solução
é
16α2 π 2 t
4πx
u(x, t) = 3e− L2 sen(
).
L
Exemplo 02: encontre a solução do problema de condução de calor (1),(2) e (3), tal que
πx
2πx
3πx
) + 7sen(
) + 9sen(
).
L
L
L
Solução: obrigando (21) a satisfazer a condição inicial dada acima, tem-se
f (x) = 5sen(
u(x, 0) =
∞
X
kn sen(
n=1
nπx
πx
2πx
3πx
) = 5sen( ) + 7sen(
) + 9sen(
),
L
L
L
L
(23)
assim, pela última igualdade em (23) observamos que são necessárias 3 soluções fundamentais,
aquelas para n = 1, 2, 3. tem-se que k1 = 5, k2 = 7, k3 = 9 e kn = 0 (para todo n > 3), e a solução
é
α2 π 2 t
4α2 π 2 t
9α2 π 2 t
πx
2πx
3πx
u(x, t) = 5e− L2 sen( ) + 7e− L2 sen(
) + 9e− L2 sen(
).
L
L
L
1.9
Considerações Finais
Neste ponto fica claro a necessidade de nosso estudo prévio sobre séries de Fourier. A menos que
a função f (x) da condição inicial (2) seja dada por uma combinação linear de senoidais da forma
sen( nπx
L ), como nos exemplos acima, devemos ser capazes de representá-la através de uma série de
senos. Vimos que isto pode ser conseguido para a maioria das funções periódicas, utilizando nosso
conhecimento sobre séries de Fourier.
Neste sentido, observamos que devemos representar f (x) por uma série de senos no intervalo
0 ≤ x ≤ L, e isto pode ser feito através de um desenvolvimento ı́mpar em meio perı́odo de f (x)
sobre este intervalo, de modo que para satisfazer a condição inicial (2), tem-se que
u(x, 0) =
∞
X
kn sen(
n=1
7
nπx
) = f (x),
L
(24)
ou seja, os coeficientes kn de nossa solução são os próprios coeficientes bn do desenvolvimento
periódico ı́mpar de f (x) no intervalo 0 ≤ x ≤ L. Assim a solução do problema de condução de
calor (1), sujeito condição inicial (2) e às condições de contorno (3) é dado por
u(x, t) =
∞
X
bn e−
α2 n2 π 2 t
L2
sen(
n=1
nπx
),
L
(25)
onde os coeficientes bn , com T = 2L, são dados por
Z
nπx
2 L
f (x)sen
dx
bn =
L 0
L
1.10
Problemas
Para resolver os problemas a seguir utilize os dados da Tabela 01:
Material
Ag
Cu
Al
Ferro Fundido
α2 (cm2 /s)
1.71
1.14
0.86
0.12
Table 1: Difusividade Térmica de Alguns Materiais Usuais [?, Pág. 421].
1. Estabeleça (sem resolver) o problema de valor de contorno que determina a temperatura numa
barra de cobre de 1m de comprimento, supondo que toda a barra está originalmente a 20o C
e uma das extremidades é aquecida subitamente para 60o C e mantida nesta temperatura
enquanto a outra extremidade é mantida a 20o C.
2. Estabeleça (sem resolver) o problema de valor de contorno que determina a temperatura num
bastão de prata de 2m de comprimento se os extremos forem mantidos às temperaturas de
30o C e 50o C respectivamente. Suponha que a distribuição inicial seja dada por uma função
linear da distância ao longo da barra consistente com as condições de contorno acima.
3. Estabeleça (sem resolver) o problema de valor de contorno que determina a temperatura numa
barra de alumı́nio de 4m de comprimento se ambos extremos forem mantidos à temperatura
de 0o C. Suponha que a distribuição inicial seja dada por uma função quadrática da distância
ao longo da barra consistente com as condições de contorno acima, e com a condição que a
temperatura no centro do bastão seja de 6o C.
4. Ache a solução do problema de condução de calor:
100uxx = ut , 0 < x < 1 , t > 0
u(0, t) = 0 , u(1, t) = 0 , t > 0
u(x, 0) = sen(2πx) − 2sen(5πx) , 0 ≤ x ≤ 1
5. Ache a solução do problema de condução de calor:
uxx = 4ut , 0 < x < 2 , t > 0
u(0, t) = 0 , u(2, t) = 0 , t > 0
u(x, 0) = 2sen(
πx
3πx
) − sen(πx) + 4sen(
), 0≤x≤2
2
2
8
6. Utilize (se possı́vel) o método de separação de variáveis para substituir cada equação diferencial parcial a seguir por um par de equações diferenciais ordinárias.
(a) xuxx + ut = 0
(b) uxx + Uxt + ut = 0
(c) xuxx + (x + y)uyy = 0
7. Considere a condução de calor num bastão de cobre de 100cm de comprimento cujos extremos
são mantidos a 0o C para t > 0. Ache uma expressão para a temperatura u(x, t), se a
distribuição inicial de temperatura no bastão é dada por:
(a)
½
u(x, 0) =
x
100 − x
0 ≤ x < 50
50 ≤ x ≤ 100
(b)

 0
50
u(x, 0) =

0
0 ≤ x < 25
25 ≤ x < 75
75 ≤ x ≤ 100
8. Resolver o problema de valor de contorno modelado no exercı́cio 3.
9. Aqueça uma barra metálica de 20cm de comprimento a uma temperatura uniforme de 100o C.
Suponha que em t = 0 os extremos da barra sejam mergulhados num banho de gelo à 0o C,
mantidos à esta temperatura, mas que não se permita que calor escape pelas superfı́cies laterais. Encontre uma expressão para a temperatura em qualquer ponto da barra em qualquer
tempo posterior. Use 5 termos da expansão em série de Fourier para determinar aproximadamente a temperatura no centro da barra no tempo t = 30 segundos, se a barra for feita
de:
(a) Prata.
(b) Alumı́nio.
(c) Ferro Fundido.
10. Para a situação do problema anterior, ache o tempo que decorre antes que o centro da barra
se resfrie para 20o C, se a barra for feita de:
(a) Prata.
(b) Alumı́nio.
(c) Ferro Fundido.
(obs.: utilize apenas um termo da Série)
9
2
2.1
Vibrações de uma Corda Elástica
Introdução
Suponha uma corda elástica de comprimento L firmemente esticada entre dois suportes nivelados
horizontalmente, de modo que o eixo − x se situe sobre a corda (Figura 2). Suponha agora que
eixo - x
x=L
x=0
Figure 2: Corda Elástica Firmemente Esticada
a corda se movimente no plano, de modo que o deslocamento vertical no ponto x e no tempo t
seja dado pela função u(x, t) (Figura 3). Desprezando o efeito de amortecimento causado pela
u(x,t)
u(x,t)
eixo - x
x=L
x=0
u(x,t)
Figure 3: Corda Elástica em Movimento (Vibração) Vertical
resistência do ar, o deslocamento vertical u(x, t) satisfaz a seguinte equação diferencial6
a2 uxx = utt , 0 < x < L , t > 0,
, 7
(26)
conhecida como Equação da Onda. O coeficiente a é a velocidade de propagação da onda ao
longo da corda e é dado por a2 = Tρ , onde T é a tensão aplicada na corda, em Kg sm2 ; e ρ é a
densidade linear da corda, em
Kg
m
. Assim as dimensões de a são:
a2 [=]Kg
m2
m
m m
=
⇒ a[=] .
s2 Kg
s2
s
Vemos que as dimensões de a são realmente de velocidade.
6A
dedução deste modelo matemático pode ser encontrada em [?, págs. 476-478].
válido para pequenas amplitudes de deslocamento vertical.
7 Resultado
10
2.2
Condições de Contorno
Uma vez que a equação diferencial parcial (26) é de segunda ordem com relação a dimensão x,
necessitamos de duas condições de contorno. Como as extremidades da corda se mantêm fixas
(presas), os deslocamentos verticais em x = 0 e em x = L são nulos. Assim, as condições de
contorno são
u(0, t) = 0 e u(0, L) = 0.
(27)
2.3
Condições Iniciais
Uma vez que a equação diferencial parcial (26) é de segunda ordem com relação ao tempo t,
necessitamos de duas condições iniciais. A primeira é a posição inicial da corda, dada por uma
função f (x). Assim
u(x, 0) = f (x) , 0 ≤ x ≤ L.
A segunda é um campo de velocidades verticais iniciais, dado por uma função g(x). Assim
ut (x, 0) = g(x) , 0 ≤ x ≤ L.
Logo, as duas condições iniciais são
u(x, 0) = f (x) e ut (x, 0) = g(x) , 0 ≤ x ≤ L.
(28)
Observação: para que as condições de contorno (27) e as condições iniciais (28) sejam consistentes,
devemos ter que
f (0) = 0 , f (L) = 0 , g(0) = 0 , g(L) = 0.
2.4
Vibração Livre
Trataremos agora do problema da corda elástica em vibração livre, ou seja, um deslocamento
inicial não-nulo e velocidade inicial nula. Um caso tı́pico é supor que inicialmente desloquemos a corda de sua posição de equilı́brio e então a liberemos com velocidade inicial zero, de
modo que ela vibre livremente (como a corda de um instrumento musical). Desta forma, o deslocamento vertical u(x, t) deverá satisfazer a equação (26), as condições de contorno (27) e as seguintes
condições iniciais
u(x, 0) = f (x) e ut (x, 0) = 0 , 0 ≤ x ≤ L.
(29)
onde f (x) é uma função que descreve a posição inicial da corda elástica.
2.5
Separação de Variáveis
Fazendo
u(x, t) = X(x)T (t),
(30)
uxx = X 00 T
(31)
utt = XT 00 .
(32)
ou simplesmente u = XT , temos que
e
Substituindo (31) e (32) em (26), obtemos
X 00 T =
ou
1
XT 00
a2
X 00
1 T 00
= 2
.
X
a T
11
(33)
Igualando (33) a constante de separação σ, podemos escrever
X 00 − σX = 0,
(34)
T 00 − a2 σT = 0.
(35)
Logo, usando o método de separação de variáveis transformamos a equação diferencial parcial (26)
em duas equações ordinárias homogêneas lineares de segunda ordem, uma para X(x), equação (34),
e outra para T (t), equação (35). Exatamente como no caso da condução de calor, determinaremos
os valores possı́veis de σ utilizando as condições de contorno (27).
2.6
Solução da Equação X 00 − σX = 0
Substituindo as condições de contorno (27) em (30) , temos que
½
u(0, t) = X(0)T (t)
u(L, t) = X(L)T (t)
e uma vez que T (t) não pode ser identicamente nula, (2.6) se reduz a
X(0) = 0 e X(L) = 0.
(36)
Assim, devemos resolver a equação (34), sujeita as condições de contorno (36). Este problema é
o mesmo que tratamos anteriormente na condução de calor. Utilizando os resultados lá obtidos,
temos que (34) e (36) possuem soluções não triviais se e somente se
σ = −λ2 = −
n2 π 2
, n = 1, 2, 3, . . . ,
L2
(37)
nπx
) , n = 1, 2, 3, . . . .
L
(38)
de modo que
X(x) = bn sen(
2.7
Solução da Equação T 00 − a2 σT = 0
Usando os valores de σ dados por (37), a equação (35) torna-se
T 00 +
cuja equação caracterı́stica é
r2 +
e as raı́zes são
r1 =
a2 n2 π 2
T = 0,
L2
a2 n2 π 2
= 0,
L2
ianπ
−ianπ
e r2 =
.
L
L
Logo, a solução geral de (35) é dada por
T (t) = An cos(
anπt
anπt
) + Bn sen(
).
L
L
12
(39)
2.8
Solução da Equação da Onda
Por (30) observamos que a solução de (26) é dada pelo produto das soluções (38) e (39). Agrupando
as constantes adequadamente as soluções fundamentais do problema da corda elástica são dadas
por
nπx
nπat
nπat
un (x, t) = sen(
)[αn sen(
) + βn cos(
)],
L
L
L
onde αn = bn Bn e βn = bn An . Pelo princı́pio da superposição, a solução geral é dada por
u(x, t) =
∞
X
un (x, t) =
n=1
∞
X
sen(
n=1
nπx
nπat
nπat
)[αn sen(
) + βn cos(
)].
L
L
L
(40)
Em (40) as constantes αn e βn devem ser escolhidas de modo a satisfazerem as condições iniciais (29). Utilizando a primeira, u(x, 0) = f (x), obtemos
u(x, 0) =
∞
X
sen(
n=1
∞
X
nπx
nπx
)(0 + βn ) =
) = f (x),
βn sen(
L
L
n=1
e consequentemente os βn devem ser os coeficientes de uma série de Fourier de senos de f (x), dados
por (T = 2L)
Z
2 L
nπx
bn =
f (x)sen
dx.
L 0
L
Para utilizar a segunda, diferenciamos (40) termo a termo8 com relação a t, obtendo
ut (x, t) =
∞
X
sen(
n=1
nπx
nπa
nπat
nπa
nπat
)[αn
cos(
) − βn
sen(
)].
L
L
L
L
L
Substituindo a segunda condição inicial, ut (x, 0) = 0 nesta última expressão obtemos
ut (x, 0) =
∞
X
sen(
n=1
∞
X
nπx
nπa
nπa
nπx
)[αn
− 0] =
αn
sen(
) = 0.
L
L
L
L
n=1
αn nπa
L
Assim, os termos
devem ser os coeficientes da série de senos de Fourier da função identicamente nula. Logo, como todos os coeficientes desta série devem ser nulos, temos que αn = 0 para
todo n. Assim, a solução (40) de (26), (27) e (29), torna-se
u(x, t) =
∞
X
sen(
n=1
onde
2.9
2
bn =
L
Z
nπx
nπat
)[βn cos(
)],
L
L
L
f (x)sen
0
nπx
dx.
L
Problemas
1. Utilizando o resultado do texto, encontre o deslocamento u(x, t) de uma corda elástica de
comprimento L, que é fixada em seus extremos e posta em movimento com velocidade inicial
nula a partir de uma posição inicial f (x) dada por: (esboce o gráfico da posição inicial)
(a)
½
f (x) = u(x, 0) =
8 Aqui
x
0 ≤ x ≤ L2
L − x L2 < x ≤ L
procedemos informalmente e supomos (40) uniformemente convergente
13
(b)


0 ≤ x < L4
L
3L
f (x) = u(x, 0) =
4 ≤x< 4

3L
L−x 4 ≤x≤L
x
L
4
2. Resolva novamente o problema da corda elástica supondo agora um deslocamento inicial nulo,
dado por u(x, 0) = 0 (posição inicial de equilı́brio), e velocidade inicial não nula, dada por
ut (x, 0) = g(x), onde g é uma função dada.
3. Utilizando o resultado do exercı́cio anterior, encontre o deslocamento u(x, t) de uma corda
elástica de comprimento L que é fixada em seus extremos e posta em movimento com posição
inicial de equilbrio u(x, 0) = 0 e velocidade inicial dada por: (esboce o gráfico da velocidade
inicial)
(a)
½
f (x) = u(x, 0) =
x
0 ≤ x ≤ L2
L − x L2 < x ≤ L
(b)


0 ≤ x < L4
L
3L
f (x) = u(x, 0) =
4 ≤x< 4

3L
L−x 4 ≤x≤L
x
L
4
4. Mostre que a solução u(x, t) do problema
a2 uxx = utt , 0 < x < L , t > 0,
sujeito s condições de contorno
u(0, t) = 0 e u(0, L) = 0,
e s condições iniciais
u(x, 0) = f (x) e ut (x, 0) = g(x) , 0 ≤ x ≤ L.
pode ser escrita na forma
u(x, t) = v(x, t) + w(x, t),
onde v(x, t) é a solução do mesmo problema com g(x) = 0 (conforme o texto) e w(x, t) é
a solução do mesmo problema com f (x) = 0 (conforme exercı́cio 02). Desta forma temos a
seguinte interpretação:
(i) v(x, t) representa o movimento da corda iniciado a partir do repouso com um deslocamento
inicial f (x),
(ii) w(x, t) representa o movimento da corda posta em movimento a partir do equilı́brio com
velocidade inicial g(x),
e a solução do problema genérico pode ser obtida resolvendo-se os dois problemas separadamente.
14
3
3.1
Equação de Laplace
Introdução
A ”Equação de Laplace”, em duas dimensões
uxx + uyy = 0,
(41)
uxx + uyy + uzz = 0,
(42)
ou em três dimensões
é uma equação diferencial parcial homogênea que ocorre com frequência em problemas tempoindependentes (também chamados estacionários). Por exemplo, o problema de condução de calor
no plano (bidimensional) é governado pela equação
α2 (uxx + uyy ) = ut
(43)
onde α é a difusidade térmica. Mas se por algum motivo a temperatura não depender do tempo,
ou seja u = u(x, y), então ut = 0 e (43) é exatamente (41).
Porém esta equação ocorre também em outras situações fı́sicas importantes: campos eletrostáticos, energia potencial, hidrostática, etc. A Equação de Laplace também é conhecida como
Equação do Potencial, devido ao aparecimento em situações que envolvem energia potencial
(gravitacional, elétrica, magnética).
Como em (41) não aparece nenhuma derivada com relação ao tempo t, então não há nenhuma
condição inicial a ser satisfeita. Porém, como existe uma derivada parcial segunda com relação
a x, (41) deve satisfazer duas condições de contorno em x. De modo idêntico, como existe uma
derivada parcial segunda com relação a y, (41) deve satisfazer duas condições de contorno em y.
Obviamente, no caso tridimensional, (42) deve satisfazer a duas condições de contorno em x, duas
em y e duas em z.
3.2
Problema de Dirichlet
O problema de encontrar a solução da Equação de Laplace que emprega como condições de contorno
valores da função u(x, y) em cada curva de contorno é conhecida como Problema de Dirichlet.
Um tipo de problema um pouco diferente, mas de solução análoga, emprega como condições de
contorno valores das derivadas de u(x, y) normais a cada curva de contorno, e é chamado Problema
de Neumann.
3.3
Problema de Dirichlet para um retângulo
Consideremos agora o problema de encontrar a solução u(x, y), com domnio restrito em uma região
R = 0 < x < a, 0 < y < b retangular do plano-xy (Figura 4).
Especificamente falando, consideremos a equação
uxx + uyy = 0 , 0 < x < a , 0 < y < b
sujeita às condições de contorno:
15
(44)
eixo - y
y=b
região de solução
eixo - x
y=0
x=0
x=a
Figure 4: Região Retangular - Problema de Dirichilet
• em y:
u(x, 0) = 0 ; u(x, b) = 0 ; 0 < x < a
(45)
u(0, y) = 0 ; u(a, y) = f (y) ; 0 ≤ y ≤ b
(46)
• em x:
onde f : [0, b] → R (Figura 5).
eixo - y
y=b
u(0,y) = 0
y=0
x=0
u(x,b) = 0
região de solução
u(a,y) = f(y)
x=a
u(x,0) = 0
eixo - x
Figure 5: Condições de Contorno para o Problema de Dirichilet
Inicialmente construiremos um conjunto fundamental de soluções de (44) que satisfaça as
condições de contorno homogêneas (45), com relação à varivel y. A seguir superpomos estas
soluções fundamentais (princı́pio da superposição: combinação linear das soluções fundamentais)
de modo a satisfazer às demais condições de contorno em x. Assim, temos
u(x, y) = X(x)Y (y)
(47)
ou simplesmente u = XY . Logo
e
ux = X 0 Y
e
uxx = X 00 Y
(48)
uy = XY 0
e
yy
= XY 00 .
(49)
Substituindo (48) e (49) em (44) obtemos
donde
X 00 Y + XY 00 = 0,
(50)
X 00
Y 00
=−
= σ,
X
Y
(51)
16
onde σ é a constante de separação. Assim podemos escrever
3.4
X 00 − σX = 0,
(52)
Y 00 + σY = 0.
(53)
Solução da equação Y 00 + σY = 0
Aplicando as condições de contorno (45) em (47), obtemos
u(x, 0) = X(x)Y (0) = 0
e
u(x, b) = X(x)Y (b) = 0.
(54)
Logo, como X(x) não pode ser identicamente nula, devemos escolher
Y (0) = 0
e
Y (b) = 0.
(55)
Vamos agora determinar a solução de (53) sujeita às condições de contorno (55). Este problema é
semelhante àquele que ocorre no problema de condução de calor. Pode-se mostrar (exercı́cio) que
uma solução não-trivial existe se e somente se a constante de separação for
n2 π 2
,
b2
σ=
e a solução torna-se
Yn (y) = Kn sen(
(56)
nπy
),
b
(57)
onde Kn são constantes dependentes de n.
3.5
Solução da equação X 00 − σX = 0
Por (56) a equação (52) fica
X 00 −
n2 π 2
X = 0,
b2
cuja equação caracterstica é
r2 −
n2 π 2
=0
b2
nπ
b
e
e as raı́zes são
r1 =
Logo a solução geral de (52) é
Xn (x) = c1n e
r1 = −
nπx
b
(58)
nπ
.
b
+ c2n e−
nπx
b
.
(59)
A condição de contorno homogênea u(0, y) = 0 em (46) nos mostra que
u(0, y) = X(0)Y (y) = 0,
donde devemos ter X(0) = 0. Aplicando esta última na solução (59) obtemos c1n = −c2n e reescrevemos a solução (59) como
Xn (x) = c1n (e
nπx
b
− e−
nπx
b
).
Lembrando da definição de seno hiperbólico: senh(θ) = 12 (eθ − e−θ ), escrevemos
Xn (x) = cn senh(
onde cn são constantes dependentes de n.
17
nπx
),
b
(60)
3.6
Solução de uxx + uyy = 0
Por (47) temos que a solução de (44) é dada pelo produto de (57) e (60). Agrupando as constantes
Kn e cn , podemos escrever as soluções fundamentais
nπy
nπx
un (x, y) = Cn sen(
)senh(
),
b
b
onde Cn é uma constante dependente de n. Pelo Princı́pio da Superposição a solução geral
de (44) é
∞
X
nπx
nπy
u(x, y) =
)senh(
),
(61)
Cn sen(
b
b
n=1
que foi obtida satisfazendo as duas condições de contorno homogêneas em y dadas por (45) e uma
condição de contorno homogênea em x dada por (46). Para determinar o valor das constantes
Cn a solução (61) deve satisfazer agora a condição de contorno não homogênea em (46), dada por
u(a, y) = f (y). Assim temos
u(a, y) =
∞
X
Cn sen(
n=1
nπy
nπa
)senh(
) = f (y),
b
b
donde observamos que os coeficientes Cn devem ser os coeficientes da série de senos de Fourier de
perodo T = 2b para f (y), dados por
Z
nπa
2 b
nπy
bn = Cn senh(
)=
sen(
)dy,
b
b 0
b
e então
Cn =
2
1
)
senh( nπa
b
b
Z
b
sen(
0
nπy
)dy.
b
Substituindo os valores de Cn assim encontrados na solução (61) obtemos a solução de (45) que
satisfaz todas as condições de contorno.
3.7
Problemas
1. Determine a solução da Equação de Laplace no retângulo que satisfaz também as seguintes
condições de contorno:
u(0, y) = 0
, u(a, y) = f (y) , 0 ≤ y ≤ b
e
u(x, 0) = 0
,
u(x, b) = 0
onde
½
f (y) =
y
b−y
,
0 < x < a,
0 ≤ y ≤ 2b
b
2 <y ≤b
2. Encontre a fórmula geral da solução da Equação de Laplace no retângulo satisfazendo também
as seguintes condições de contorno:
u(0, y) = 0
,
u(a, y) = 0
,
0<y<b
e
u(x, 0) = 0
,
Encontre a solução se
u(x, b) = g(x)
½
g(x) =
, 0 ≤ x ≤ a.
x
0 ≤ x ≤ a2
a − x a2 < x ≤ a
18
3. Encontre a fórmula geral da solução da Equação de Laplace no retângulo satisfazendo também
as seguintes condições de contorno:
u(0, y) = 0
,
u(a, y) = 0
,
0<y<b
e
u(x, 0) = h(x)
, u(x, b) = 0
, 0 ≤ x ≤ a.
4. Encontre a fórmula geral da solução da Equação de Laplace no retângulo satisfazendo também
as seguintes condições de contorno:
u(0, y) = 0
, u(a, y) = f (y) , 0 < y < b
e
u(x, 0) = h(x)
, u(x, b) = 0
, 0 ≤ x ≤ a.
5. Encontre a fórmula geral da solução da Equação de Laplace no retângulo satisfazendo também
as seguintes condições de contorno:
u(0, y) = e(y) ,
u(a, y) = f (y) , 0 < y < b
u(x, 0) = h(x) ,
u(x, b) = g(x)
e
19
,
0 ≤ x ≤ a.