Risco e Retorno dos Investimentos

Risco e Retorno dos Investimentos
Paulo Pereira Ferreira – Miba 507
Agenda
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Risco e Retorno Esperados
Linha Característica
Linha do Mercado de Títulos
Linha de Combinação
Realidade Brasileira
Risco e Retorno Esperados
• Risco de um ativo
– Risco sistemático ou não diversificável: inerente a todos os ativos
do mercado, não pode ser reduzido pela diversificação da carteira.
• Ex: Inflação, taxa de juros, PIB
– Risco não-sistemático ou diversificável: identificado nas
características do próprio ativo, não se alastrando aos demais
ativos da carteira. Pode ser total ou parcialmente diluído pela
diversificação da carteira. A correlação entre os riscos nãosistemáticos de dois ativos é zero.
• Ex: descoberta de petróleo, aumento do preço do aço
– Risco total = Risco sistemático + Risco não-sistemático
Risco e Retorno Esperados
• Risco de um ativo
– Exemplo: Seja uma carteira com n ativos com mesma
variância (VAR) e mesma Covariância (COV) e com o
mesmo peso (1/n).
– É fácil provar (anexo 1) que a variância total da
carteira é igual a: (1/n)VAR + (1-1/n)COV.
• Logo, quando n tende para infinito, a variância da carteira
tende para COV. Ou seja, mesmo com uma diversificação total,
existe o risco da carteira, chamado de risco sistemático.
– Risco total (VAR) = Risco sistemático (COV) + Risco
não-sistemático ou diversificável (VAR – COV).
Risco e Retorno Esperados
• Risco de um ativo
– Se os retornos forem independentes e COV = 0, então,
se tivermos a diversificação integral, ou seja, com
infinitos ativos, o risco total será zero.
– O que ocorre na prática é que os retornos dos títulos
tendem a ser correlacionados pois são influenciados
pelos mesmos riscos sistemáticos.
– O problema da diversificação é o custo que ela gera
com corretagem, o qual é inversamente proporcional
ao valor da aplicação.
Risco e Retorno Esperados
• Risco de uma carteira
– Dado o retorno esperado de cada ativo i
(i=1,...,n) de uma carteira, o retorno esperado de
toda a carteira depende da proporção investida
em cada ativo (Wi) que a compõe e é calculado
por:
Risco e Retorno Esperados
• Risco de uma carteira
– A expressão geral de cálculo do risco de uma
carteira contendo n ativos, com base no modelo
de Markowitz, é:


2
2
σ c = ∑ Wi × σ i + 2 × ∑ Wi × W j × Cov (i, j )
i ≠ j =1
 i =1

n
n


σ c = ∑∑ Wi × W j × ρ (i, j ) × σ i × σ j 
 i =1 j =1

n
n
1
2
1
2
Linha Característica
• Carteira de mercado
É a carteira que contém todo e
qualquer ativo de risco do sistema
econômico internacional, na proporção
do seu valor de mercado em relação ao
valor total dos outros ativos.
Linha Característica
• Suponha que estejamos interessados em
analisar uma ação J e a carteira de mercado.
Os retornos obtidos nos últimos 5 meses
foram:
Mês
1
2
3
4
5
Ação J
2% 3% 6% -4% 8%
Carteira de mercado
4% -2% 8% -4% 4%
Linha Característica
• A reta de mínimos quadrados que
relaciona os retornos de uma ação com
a carteira de mercado é conhecida
como linha característica.
• Esta linha descreve o retorno que você
espera de uma particular ação dado um
retorno para a carteira de mercado.
Linha Característica
Linha Característica
• Fator Beta
– A inclinação da linha característica é conhecida
como o fator beta (β) daquela ação.
– Se A representa o intercepto, rJ os retornos da
ação J e rM os retornos da ação de mercado,
temos:
Cov ( rJ , rM )
ˆ
βJ =
2
σr
M
ˆ = r J − βˆ × r M
A
J
J
Linha Característica
• Fator Beta
– No caso do exemplo anterior, temos:
βˆ J =
0,0017
= 0,708
0,0024
Aˆ J = 0,03 − 0,708 × 0,02 = 0,0158
– O fator beta de uma ação representa um
indicador do nível com o qual a ação responde
a mudanças no retorno produzido pelo
mercado. É um indicador do risco da ação em
relação ao risco do mercado, ou seja, é uma
medida do risco sistemático da ação.
Linha Característica
• Fator Beta
– A função básica do beta é ser um indicador de
riscos. Ele pode ser classificado como agressivo
(maior que 1); neutro (igual a 1) e defensivo
(menor que 1). Dessa forma, o investidor
pode ter uma noção de qual será a tendência
de comportamento do investimento.
Linha Característica
• Fator Beta
– Quando uma ação se comporta exatamente
como o mercado, dizemos que ela tem beta
igual a 1. Se variar mais que o mercado mas
no mesmo sentido, terá beta maior que 1. Se
variar menos, mantendo o mesmo sentido, o
beta será menor que 1. Uma ação com beta
muito maior do que 1, por exemplo, tende a
subir mais que o mercado quando este está em
alta. Em compensação, tende a cair mais
quando há baixa na bolsa.
Linha do Mercado de Títulos
• Serve para verificar como o risco é remunerado no
mercado.
• Um ativo livre de risco possui beta igual a zero.
• Seja uma carteira formada pelo ativo livre de risco,
cujo taxa de retorno (taxa livre de risco) é de 8%, e
pelo ativo A, que tem um retorno esperado de 20% e
um beta de 1,6. Suponha ainda que 25% do capital
foi investido no ativo A.
Linha do Mercado de Títulos
• O retorno esperado e o beta da
carteira serão:
E ( Rc ) = 0,25 × 0,20 + (1 − 0,25) × 0,08 = 11%
β c = 0,25 × β A + (1 − 0,25) × 0 = 0,4
• Outras alocações fornecem o
seguinte quadro:
% do ativo A
E(Rc)
βc
0
8
0,0
25
11
0,4
50
14
0,8
75
17
1,2
100
20
1,6
125
23
2,0
150
26
2,4
Linha do Mercado de Títulos
Retornos esperados e betas de carteiras contendo o ativo A
30
Retorno esperado da carteira
25
1,6
20
15
10
5
0
0,0
0,5
1,0
1,5
Beta da carteira
2,0
2,5
3,0
Linha do Mercado de Títulos
• Note que todas as combinações situam-se sobre
uma linha reta.
• A inclinação dessa linha é dada por:
E ( RA ) − R f
βA
=
0,2 − 0,08
= 7,5%
1,6
• Isso nos diz que o ativo A oferece um quociente
recompensa/risco (índice de Treynor) de 7,5%.
Ou seja, o ativo A tem um prêmio por risco de
7,5% por unidade de risco sistemático.
Linha do Mercado de Títulos
• Considere agora um ativo B, que possua
beta igual a 1,2 e um retorno esperado de
16%.
• Qual investimento escolher A ou B?
• Para decidir, utilizaremos o
mesmo
procedimento realizado para o ativo A.
Linha do Mercado de Títulos
Assim, para diferentes alocações para o ativo B e
o ativo livre de risco, temos:
% do ativo B
E(Rc)
βc
0
8
0,0
25
10
0,3
50
12
0,6
75
14
0,9
100
16
1,2
125
18
1,5
150
20
1,8
Linha do Mercado de Títulos
Linha do Mercado de Títulos
• A linha que descreve as combinações para o ativo A é
mais alta do que a linha correspondente para o ativo
B.
• Isto significa que, para qualquer dado nível de risco
sistemático, sempre há alguma combinação entre o
ativo A e o ativo livre de risco que oferece retorno
mais alto.
• Logo, o ativo A deve ser preferido em relação ao
ativo B.
Linha do Mercado de Títulos
• Em um mercado eficiente, esta situação não pode
perdurar por muito tempo.
• Os investidores seriam atraídos para o ativo A e se
afastariam de B. Em consequência, o preço de A subiria e
o de B cairia.
• Como os preços e as taxas de retorno variam em direções
opostas, o retorno esperado de A cairia e o de B se
elevaria num processo que prosseguiria até que os dois
estivessem na mesma linha.
– Logo:
O quociente entre recompensa e risco deve ser o mesmo para
todos os ativos no mercado. Assim, todos os ativos devem
estar situados na mesma linha, que é conhecida como linha de
mercado de títulos (SML – Security Market Line).
Linha de Combinação
• É a reta que relaciona o valor esperado do
retorno de uma carteira para as diferentes
combinações de alocação de dois ativos a
seus respectivos desvios-padrão.
• Logo, a linha de combinação nos diz o
quanto o retorno esperado e o risco de
uma carteira de dois ativos muda quando
mudamos a alocação (pesos) dos ativos na
carteira.
Linha de Combinação – Exemplo 1
Considere uma carteira composta por 2 ativos,
X e Y, e calcule o seu risco e o seu retorno,
dados:
Estado da
natureza
Probabilidade
Retorno do ativo X
Retorno do ativo Y
Recessão
0,10
-5%
2%
Médio
0,35
10%
10%
Bom
0,45
25%
15%
Excelente
0,10
50%
20%
Linha de Combinação – Exemplo 1
• Considere diversas composições possíveis de
carteiras e calcule o retorno esperado e o risco
para estas diferentes composições.
• Faça um gráfico com a relação risco-retorno para
todo o conjunto possível de combinações (linha de
combinação).
• Deduza a expressão da alocação do ativo X para o
ponto que representa a carteira de ativos que
apresenta o menor risco possível (carteira de
variância mínima).
• Calcule este valor para o exemplo.
Linha de Combinação – Exemplo 1
Probabilidade
0,1
0,35
0,45
0,1
Retorno Médio
Risco (desvio
padrão)
Retorno X Retorno Y
-0,05
0,1
0,25
0,5
19,25%
12,45%
14,08%
4,65%
Covariância
Correlação
0,006309
0,963166
Alocação em X
-44,25%
Risco da
Carteira
0,02
0,1
0,15
0,2
1,82%
%X
%Y
Retorno C Risco C
-0,5
-0,44
0
0,1
0,2
0,3
0,4
1,5
1,44
1
0,9
0,8
0,7
0,6
9,05%
9,46%
12,45%
13,13%
13,81%
14,49%
15,17%
1,90%
1,82%
4,65%
5,56%
6,48%
7,41%
8,35%
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-0,1
-0,2
15,85%
16,53%
17,21%
17,89%
18,57%
19,25%
19,93%
20,61%
9,30%
10,25%
11,21%
12,16%
13,12%
14,08%
15,04%
16,00%
Linha de Combinações dos Ativos X e Y
20%
18%
16%
14%
Retorno
12%
10%
8%
6%
4%
2%
0%
-1%
1%
3%
5%
7%
Risco
9%
11%
13%
15%
Linha de Combinação – Exemplo 2
Considere uma nova carteira composta por 2
ativos, X e Y, e calcule o fator de alocação
para o ativo X que minimiza o risco da
carteira, dados:
Estado da
natureza
Probabilidade
Retorno do ativo X
Retorno do ativo Y
Recessão
0,10
45%
2%
Médio
0,35
35%
10%
Bom
0,45
-0,5%
15%
Excelente
0,10
10%
20%
Linha de Combinação – Exemplo 2
Probabilidade Retorno X Retorno Y
0,1
0,35
0,45
0,1
Retorno Médio
Risco (desvio
padrão)
Covariância
Correlação
Alocação em X
Risco da
0,45
0,35
-0,05
-0,1
0,02
0,1
0,15
0,2
13,50%
12,45%
21,69%
4,65%
-0,009033
-0,895240
16,65%
%X
%Y
Retorno
C
-0,5
0
0,1
0,1665
0,2
0,3
0,4
1,5
1
0,9
0,8335
0,8
0,7
0,6
11,93%
12,45%
12,56%
12,62%
12,66%
12,77%
12,87%
17,37%
4,65%
2,45%
1,73%
1,94%
3,87%
6,30%
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-0,1
-0,2
12,98%
13,08%
13,19%
13,29%
13,40%
13,50%
13,61%
13,71%
8,82%
11,38%
13,94%
16,52%
19,10%
21,69%
24,27%
26,86%
Risco C
Linha de Combinação – Exemplo 2
• Veja que com a correlação negativa, não
precisa ter uma participação negativa do ativo
X, mesmo este tendo um risco muito maior do
que Y.
• O efeito da diversificação foi forte neste
exemplo, principalmente pela correlação
negativa entre os ativos.
• A correlação negativa ajuda tanto na
diversificação que é melhor ter 16,65% no
ativo de maior risco para obtermos o risco
mínimo.
Realidade Brasileira
• A queda nas taxas de juros tem levado alguns
agentes a procurarem investimentos de maior risco.
• Seguradoras continuam assumindo pouquíssimo
risco.
• No Brasil a lógica de maior risco, maior retorno não
tem sido observada nos últimos 20 anos com taxas
reais de juros recordistas mundiais.
– Vários países com taxas reais de juros negativas.
• As condições econômicas e políticas não devem
favorecer investimentos de risco no curto prazo.
– Governo incentiva consumo e aumenta gastos públicos em
um cenário de inflação elevada e com Banco Central
executando aperto monetário  Taxas de juros
provavelmente terão que aumentar no futuro.
Realidade Brasileira
• Limite de 70% para aplicação em renda variável das
Fundações é mais uma aberração que só acontece no
Brasil.
– Os demais riscos das Fundações já são muito elevados.
• O Beta das empresas brasileiras é muito elevado, o
que reduz o valor em uma negociação.
• A volatilidade dos ativos brasileiros é muito alta.
– A gestão dos ativos casada com a gestão dos passivos
tornou-se ainda mais importante nesse cenário de
volatilidades.
– Estudos da Susep mostram que a necessidade de Capital no
risco de Mercado é enorme, podendo dobrar o Capital atual.
• Nós atuários precisamos evoluir muito na análise do
risco financeiro.
Anexo 1 - Demonstração
n
n
n
n
1 1
VTOTAL = ∑∑ wi w j COVij = ∑∑ × × COVij
n
i =1 j =1
i =1 j =1 n
Para i = j temos cov ij = VAR
Para i ≠ j temos cov ij = COV
1 1
1 1
Logo, VTOTAL = ( n × n − n ) × × × COV + n × × × VAR
n n
n n
1
1
VTOTAL = (1 − ) × COV + × VAR
n
n
Anexo 2 - Demonstração
Seja σ c2 a variância total da carteira
σ c2 = wA2σ A2 + (1 − wA ) 2 σ B2 + 2 wA (1 − wA )COV
σ = w σ + σ − 2 wAσ + w σ + 2 wACOV − 2 w COV
2
c
2
A
2
A
2
B
2
B
2
A
2
B
2
A
dσ c2
Para termos o risco mínimo, então wA é tal que:
=0
dwA
Anexo 2 - Demonstração
Logo, 2 wAσ A2 − 2σ B2 + 2 wAσ B2 + 2COV − 4 wACOV = 0
wAσ A2 − σ B2 + wAσ B2 + COV − 2 wACOV = 0
σ B2 − COV
→ wA = 2
σ A + σ B2 − 2COV
Se A e B forem independentes → COV = 0
σ B2
→ wA = 2
σ A + σ B2