TeseMAN

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
Resultados do tipo Ambrosetti-Prodi
para problemas quasilineares
Moisés Aparecido do Nascimento
São Carlos - SP
Dezembro de 2015
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
Moisés Aparecido do Nascimento
Orientador: Prof Dr. Francisco Odair Vieira de Paiva
Resultados do tipo Ambrosetti-Prodi
para problemas quasilineares
Tese apresentada ao Programa de PósGraduação em Matemática da Universidade Federal de São Carlos como parte
dos requisitos para a obtenção do título de
Doutor em Matemática, área de concentração: Equações Diferenciais Parciais
São Carlos - SP
Dezembro de 2015
Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da Biblioteca Comunitária UFSCar
Processamento Técnico
com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)
N244rt
Nascimento, Moisés Aparecido do
Resultados do tipo Ambrosetti-Prodi para
problemas quasilineares / Moisés Aparecido do
Nascimento. -- São Carlos : UFSCar, 2015.
65 p.
Tese (Doutorado) -- Universidade Federal de São
Carlos, 2015.
1. Grau de Leray-Schauder. 2. Estimativas a
priori. 3. P-Laplaciano. 4. Problemas de Neumann. 5.
Problemas de Dirichlet. I. Título.
À minha Avó Maria, minha esposa Naiara, meus lhos Livia Maria, Ana Vitória e
Moisés Junior, aos meus pais, Sônia e Mozes.
AGRADECIMENTOS
Primeiramente agradeço a Deus pela sabedoria, paz e saúde que me tem dado. A minha
família que sempre me apoiou, em especial á minha avó Maria pelos conselhos durante
a vida toda. Ao professor Dr. Francisco Odair(orientador) pela dedicação durante esse
período da minha vida. Finalmente, à CAPES-REUNI pelo suporte nanceiro nos dois
primeiros anos de doutorado.
RESUMO
Neste trabalho apresentamos resultados do tipo Ambrosseti-Prodi para problemas
quasilineares envolvendo o operador p-Laplaciano. Consideramos o caso escalar e um problema com sistemas de equações. Para os casos escalares, trabalhamos com as condições
de Neumann e Dirichlet, já para o problema envolvendo sistema, consideramos a condição
de Dirichlet. Para obter tais resultados usamos a teoria do grau de Leray-Schauder e
estimativas a priori.
Palavras Chave: grau de Leray-Schauder, estimativas a priori, p-Laplaciano, problemas de Neumann, problemas de Dirichlet, sistemas quasilineares.
ABSTRACT
We present results of Ambrosseti-Prodi type to quasilinear problems involving the pLaplace operator. We consider the scalar case and a a problem with systems of equations.
In the scalar case, we work with the conditions of Neumann and Dirichlet. In the problem
involving system, we consider the condition of Dirichlet. In order to get the results we
use the theory of Leray-Schauder degree and a priori estimates.
Key Words: Leray-Schauder Degree, a priori estimates, p-Laplacian, Neumann pro-
blems, Dirichlet problems, quasilinear systems.
SUMÁRIO
Agradecimentos
i
Resumo
ii
Abstract
iii
Introdução
1
Preliminares
1
0.1
Princípios de comparação e do Máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
0.2
Estimativas a Priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
0.3
Alguns resultados de Regularidade
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
0.4
O Operador H
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1 Problemas com condição de Neumann
7
1.1
Resultados Príncipais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2
Primeira Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3
Demonstração do Teorema 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1
Não existência de solução para t sucientemente grande . . . . . . . 13
1.3.2
Conclusão da Demonstração do Teorema 1.1 . . . . . . . . . . . . . 14
iv
SUMÁRIO
v
1.4 Estimativa a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Demonstração do Teorema 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Problemas com condição de Dirichlet
21
2.1 Resultados Príncipais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Primeira Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Demonstração dos Teoremas 2.1 e 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3
2.3.1
Estimativa a-priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.2
Conclusão da Demonstração do Teorema 2.1 . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.3
Demonstração do Teorema 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Sistemas com condição de Dirichlet
35
3.1 Apresentação do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.1
Princípio do Máximo para Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.2
O Operador H na forma matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Demonstração do Teorema 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.1
Observações sobre Soluções de Viscosidade . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.2
Resultados Auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.3
Conclusão da Demonstração do Teorema 3.1 . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 Existência de subsolução para (St ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5 Estimativas a Priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.6 Demonstração do Teorema 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
A Identidade de Picone
58
B Grau de Leray-Schauder
60
Bibliograa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
INTRODUÇÃO
O principal objetivo deste trabalho, é o estudo de problemas do tipo Ambrosetti-Prodi
envolvendo o operador p-Laplaciano. Apresentaremos resultados para o caso escalar e para
sistemas, no caso escalar consideramos condições de Neumann e Dirichlet na fronteira, já
para o caso de sistemas a condição de fronteira será de Dirichlet.
O estudo de problemas do tipo Ambrosseti-Prodi foi iniciado com o trabalho pioneiro
de A. Ambrosetti e G. Prodi, que em [2] consideraram o seguinte problema semilinear:
⎧
⎨ −Δu = f (u) + v(x) ; x ∈ Ω
(PD )
⎩
u = 0 ; x ∈ ∂Ω
onde v ∈ C 0,α(Ω) e f ∈ C 2(R) satisfazendo as condições:
(I) f
(s) > 0 ∀s ∈ R,
f (s)
f (s)
< λ1 < lim
< λ2 .
(II) 0 < s→−∞
lim
s→+∞ s
s
Utilizando teoremas de inversão para aplicações diferenciáveis com singularidades em
espaços de Banach, eles provam a existência de uma variedade Γ conexa e fechada, de
classe C 1 em C 0,α(Ω) que divide o espaço em duas componentes conexas A0 e A1 de modo
que o problema (PD ) tem exatamente uma solução, nenhuma solução ou exatamente duas
soluções, respectivamente se v for considerado em Γ, A0 e A1. A condição (II) signica
1
2
Introdução
que a não-linearidade f cruza o primeiro auto-valor λ1 do problema,
⎧
⎨ −Δu = λu em Ω
(Pλ )
⎩ u = 0 sobre ∂Ω
quando s varia de −∞ á +∞.
Uma representação cartesiana de Γ foi introduzida por Berger e Podolak em [8], onde
os autores consideraram a seguinte decomposição de v : v(x) = tφ(x) + h(x), sendo φ(x) a
primeira autofunção positiva de (−Δ, W01,2 (Ω)) e h(x) ∈ {span(φ)}⊥ . Assim o problema
(PD ) pode ser reescrito como
⎧
⎨ −Δu = f (u) + tφ(x) + h(x) ; x ∈ Ω
(PDt )
⎩
u = 0 ; x ∈ ∂Ω
Usando o método de redução de Liapunov-Schmidt, eles mostraram precisamente o mesmo
resultado que Ambrosetti e Prodi, apresentado da seguinte maneira: Existe t1 ∈ R tal
que, (PD ) tem exatamente zero, uma ou duas soluções se t > t1 , t = t1 ou t < t1 ,
respectivamente.
Kazdan e Warner em [23] consideraram funções f mais gerais, enfraquecendo dessa
forma as hipóteses(e as conclusões) de Berger-Podolak, supondo que f satisfaz a condição
(1)
−∞ ≤ lim sup
s→−∞
f (s)
f (s)
< λ1 < lim inf
≤ ∞.
s→+∞
s
s
Em [23], os autores constroem uma apropriada supersolução e provam que existe t1 tal
que o problema (PDt ), possui pelo menos uma solução se t < t1 e não possui solução se
t > t1 . Dancer [13] estende os resultados de [23] para operadores diferenciais na forma
divergente. Além disso, limitando o crescimento de f para t ≥ 0 (tal crescimento pode ser
superlinear) o autor obtém estimativas a priori para as soluções, donde segue existência
de pelo menos duas soluções para t < t1 e uma solução para t = t1 .
Em [21], Hess enfraquece as hipóteses sobre φ: Supondo φsuave, φ ≥ 0 and φ = 0.
Como consequência, a construção da supersolução feita em [23] não é mais possível. Em
[21], uma primeira solução para t << −1 é encontrada com argumentos distintos dos que
estavam sendo considerados até então, e a teoria do grau. Em [7], Berestycki e Lions
consideraram um problema similar com f podendo ser superlinear e com condição de
Neumann na fronteira.
3
Introdução
Em [24], Koizumi e Schmidt consideraram o seguinte problema para o operador pLaplaciano, p > 1,
⎧
⎨ −Δ u = f (u) + tφ + h ; x ∈ Ω
p
(Pp )
⎩
u = 0 ; x ∈ ∂Ω
onde, φ, h ∈ C(Ω) com φ ≥ 0 e f ∈ C 1 satisfazendo
α = lim
t→−∞
f (t)
f (t)
< λ1 < β = lim p−2 ,
p−2
t→∞
|t| t
|t| t
em que λ1 é o menor autovalor do problema
⎧
⎨ −Δ u − λ|u|p−2 u = 0 ; x ∈ Ω
p
(Pa )
⎩
u = 0 ; x ∈ ∂Ω.
A primeira solução é obtida comparando (Pp ) com o problema limite
⎧
⎨ −Δ u = α|u+ |p−1 − β|u− |p−1 + h ; x ∈ Ω
p
⎩
u = 0 ; x ∈ ∂Ω.
Em [24], os autores provam que existe t(h) << −1 tal que para todo t ≤ t(h) o problema
(Pp ) tem uma solução negativa. Em seguida, supondo φ > 0 in Ω, eles mostram que
existem t1 , t2 , t1 ≤ t2 tal que (Pp ) tem pelo menos uma solução para t ≤ t2 , não possui
solução se t > t2 e possui pelo menos duas soluções se t < t1 . Por m, os autores mostram
multiplicidade de soluções quando φ ≥ 0, usando argumentos de limite.
Arcoya e Ruiz, em [4], supõem que f é contínua e satisfaz
lim sup
s→−∞
f (s)
f (s)
f (s)
< λ1 < lim inf p−2 ≤ lim sup p−2 = λ < ∞
p−2
s→+∞ |s|
|s| s
s
s
s→+∞ |s|
e que para todo M > 0, existe ξ > 0 tal que
f (s) + ξ|s|p−2 s é não decrescente em s ∈ [−M, M ].
Os autores obtem, entre outros resultados, que t1 = t2 quando p > 2 e φ satisfaz: φ > 0 em
Ωe
∂φ
∂ν
< 0 em ∂Ω. As principais técnicas utilizadas foram sub-supersolução, príncipios de
comparação e teoria do grau. Miotto, em [29], e Arias e Cuesta, em [5], usando blow-up
e as técnicas desenvolvidas em [4], estudaram uma versão superlinear do problema (Pp ).
4
Introdução
O problema para o p-Laplaciano com condição de Neumann foi considerado por De
Paiva e Montenegro [16]. Mais precisamente, em [16], os autores consideram o seguinte
problema
⎧
⎨ −Δp u = f (x, u) + t ; x ∈ Ω
(PN t )
⎩ |∇u|p−2 ∂u = 0 ; x ∈ ∂Ω
∂ν
com f : Ω × R → R uma função de Carathéodory satisfazendo condições como em [4].
Os autores provam que existe t0 ∈ R tal que (PN t ) não tem soluções se t > t0 , e (PN t )
tem pelo menos uma solução minimal se t < t0 . Se em adição f for localmente Lipschitz
contínua em s uniformemente q.t.p x ∈ Ω, então existe t1 ≤ t0 tal que para t < t1 o
problema (PN t ) tem pelo menos duas soluções distintas. Além disso, a igualdade t1 = t0
ocorre se f ∈ C(Ω × R).
Agora apresentaremos nossos resultados. No Capítulo 1, estudamos o seguinte problema de Neumann:
⎧
⎨ −Δp u = f (x, u) + tφ(x) + h(x) ; x ∈ Ω
(Pt )
∂u
⎩
|∇u|p−2
= 0 ; x ∈ ∂Ω
∂ν
onde φ(x) ≥ 0, φ(x) ≡ 0 e φ, h ∈ L∞ (Ω), Ω ⊂ RN um aberto, limitado e com fronteira ∂Ω
suave e f : Ω × R → R uma função de Caratheodory satisfazendo as seguintes condições:
lim sup
s→−∞
f (x, s)
f (x, s)
< 0 < lim inf p−2
p−2
s→+∞ |s|
|s| s
s
uniformemente em x ∈ Ω.
Supomos também que ∀M > 0, ∃λ > 0 tal que,
g(x, u) = f (x, u) + λ|u|p−2 u é não decrescente ∀u ∈ [−M, M ],
e a seguinte condição de crescimento
|f (x, s)| ≤ c(1 + |s|p−1 );
∀(x, s) ∈ Ω × R.
Provamos o seguinte resultado do tipo Ambrosetti-Prodi: existem t1 ≤ t0 ∈ R, tais que
(i) Se t < t1 , então (Pt ) possui pelo menos duas soluções.
(ii) Se t ≤ t0 , então o problema possui (Pt ) pelo menos uma solução.
(ii) Se t > t0 , então o problema (Pt ) não possui solução.
5
Introdução
Não conhecemos até o momento um resultado neste sentido, isto é, envolvendo o
operador p-Laplaciano, com condição de Neumann na fronteira e φ ≥ 0, φ ≡ 0. O que
torna este resultado relevante é o fato da não existência de supersolução para o problema
(Pt ), sendo assim, não podemos provar a existência da primeira solução tal como foi feito
nos trabalhos de De Paiva-Montenegro [16]. Em tal trabalho, para garantir a existência
de supersolução os autores precisaram da hipótese φ ≡ 1. Em um certo sentido, nosso
resultado estende o resultado de Berestycki-Lions [7] para o p-Laplaciano.
No Capítulo 2 consideramos o problema (Pp ) com φ(x) ≥ 0 em Ω̄, φ, h ∈ L∞ (Ω),
1 < p < ∞. Obtemos os mesmos resultados do Capítulo 1, entretanto alguns resultados
auxiliares precisaram de demonstrações diferentes das que foram feitas no problema de
Neumann. Nossos resultados também podem ser comparados aos obtidos por KoizumiSchmidt [24] e por Arcoya-Ruiz em [4]. Mas as técnicas utilizadas nestes trabalhos não
podem ser aplicadas na nossa situação. Nossos resultados completam os obtidos por estes
autores.
No que concerne problemas do tipo Ambrosseti-Prodi envolvendo sistemas de equações
com o operador Laplaciano, podemos citar por exemplo [11], [14], [30] e [15]. De Figueiredo
e Sirakov, em [14], estudam com auxilio da teoria de soluções de viscosidade, um problema
do tipo Ambrosetti-Prodi para operadores uniformemente elíticos na forma não-divergente
e com coecientes não suaves. Resultados similares envolvendo o operador p-Laplaciano
foram obtidos por Miotto em [28]. De fato, o principal resultado em [28] é uma versão
para sistema de [4, Teorema 3.6].
O Capítulo 3 é dedicado ao estudo do seguinte problema
⎧
⎪
⎪
⎨ −Δp u1 = f1 (x, u1 , u2 ) + t1 φ1 + h1 , ; x ∈ Ω
(St )
⎪
⎪
⎩
−Δp u2 = f2 (x, u1 , u2 ) + t2 φ2 + h2 , ; x ∈ Ω
u1 = u2 = 0 ; x ∈ ∂Ω
onde Ω ⊂ RN é um domínio suave limitado, φi , hi ∈ L∞ (Ω), com φi ≥ 0, i = 1, 2,
t = (t1 , t2 ) ∈ R2 é um parâmetro e fi : Ω × R × R → R, i = 1, 2, são funções contínuas
satisfazendo um certo conjunto de hipóteses como em [28]. O principal resultado obtido
é uma generalização do Capítulo 2 para sistemas. Para obter o resultado, adaptamos as
técnicas do Capítulo 2 juntamente com as utilizadas em [14] e [28].
PRELIMINARES
0.1 Princípios de comparação e do Máximo
Os resultados que enunciaremos aqui serão usados no decorrer deste trabalho. Começaremos enunciando um princípio de comparação devido a [20] e outro devido a [31] e
em seguida, dois príncipios do máximo bem conhecidos para o caso escalar. Para a demonstração da primeira proposição, podemos citar por exemplo ([17], Teorema 5). Para
a segunda proposição ver ([32], Teorema 5).
Lema 0.1. Sejam u, v ∈ W 1,p (Ω) funções não negativas satisfazendo
⎧
⎨ −Δp u + up−1 ≤ −Δp v + v p−1 ; em Ω
⎩ |∇u|p−2 ∂u ≤ |∇v|p−2 ∂v ; sobre ∂Ω
∂ν
∂ν
Então, u ≤ v em Ω.
Lema 0.2. Sejam u, v ∈ W 1,p (Ω) funções satisfazendo
⎧
⎨ −Δ u + λ|u|p−2 u ≤ −Δ v + λ|v|p−1 v ; em Ω
p
p
⎩
u ≤ v ; sobre ∂Ω
com λ > 0. Então, u ≤ v em Ω.
Proposição 0.3. Considere o problema
1
Preliminares
2
⎧
⎨ −Δ u = a|u|p−1 u + g(x) ; x ∈ Ω
p
⎩
u = 0 ; x ∈ ∂Ω
o princípio do máximo ocorre para esse problema se, e somente se,
a < λ1 , sendo λ1 o primeiro autovalor de (−Δp , W01,p (Ω)).
Para
g ∈ Lp (Ω),
O seguinte resultado é conhecido como Princípio do Máximo de Vázquez.
Proposição 0.4. Seja
com u ≥ 0 q.t.p em Ω e
Δp u ≤ ϑ(u) q.t.p em Ω, sendo ϑ : [0, +∞] → R contínua, não decrescente, ϑ(0) = 0 e
ainda ou ϑ(s) = 0 para algum s > 0 ou ϑ(s) > 0 para todo s > 0 e a seguinte relação
ocorre
u ∈ C 1 (Ω)
0
1
tal que
Δp u ∈ L2loc (Ω)
1
(ϑ(s)s)− p ds = ∞.
Então se u não é identicamente nula sobre Ω, temos que u é positiva em todo Ω. Além
disso, se u ∈ C 1 (Ω ∪ {x0 }) para algum x0 ∈ ∂Ω que satisfaz a condição da esfera interior
∂u
e u(x0 ) = 0 então (x0 ) > 0 onde ν é um vetor normal exterior a x0 .
∂ν
0.2 Estimativas a Priori
Para provar a limitação da parte negativa de uma eventual solução de (PDt ), foi usado
o seguinte resultado devido a Ladyzhenskaya e Ural'tseva, para mais detalhes sobre a
demonstração veja por exemplo ([25], Lema 5.1).
Lema 0.5. ([25], Lema
Seja u(x) uma função mensurável em Ω. Suponha que exista
k0 > 0 tal que para todo k ≥ k0 > 0,
5.1)
(2)
Ak
(u − k) dx ≤ γk α (m(Ak ))1+
onde Ak = {x ∈ Ω : u(x) > k}, m(Ak ) é a medida de Ak , γ , ,α são constantestais que
> 0 e 0 ≤ α ≤ 1 + . Nestas condições, existe C = C γ, α, , k0 , uL (A ) tal que
uL ≤ C .
1
∞
k0
Preliminares
3
0.3 Alguns resultados de Regularidade
Os próximos resultados podem ser encontrados em [4]
Lema 0.6. O operador p-Laplaciano denido por;
−Δp : W01,p (Ω) → W −1,p (Ω)
(3)
−Δp u, v =
(4)
é limitado e contínuo. Além disso,
também limitado e contínuo.
Ω
|∇u|p−2 ∇u · ∇v dx
−Δp
é bijetivo e seu inverso, denotado por K, é
Lema 0.7. Sejam fn , f ∈ L∞ (Ω) com fn L < C para alguma constante C > 0 e tal
que fn → f em W −1,p (Ω). Considere un = K(fn ), u = K(f ), então un → u em C 1,β (Ω)
para todo 0 ≤ β < α. Em particular, o operador K : L∞ (Ω) → C01,β (Ω) é contínuo e
compacto.
∞
O próximos lemas são combinações de um resultado de Ladyzhenskaya e Ural'tseva
([25], Teorema7.1) e estimativas C 1 de [31]
Lema 0.8. Seja u ∈ W01,p (Ω) uma solução do seguinte problema:
⎧
⎨ −Δ u = f (x, u) ; x ∈ Ω
p
(Pg )
⎩
u = 0 ; x ∈ ∂Ω
onde g é uma função de Caratheodory satisfazendo sgn[u].g(x, u) ≤ M (1+|u|q ) para algum
p
. Então, u ∈ C 1,α (Ω) para algum 0 < α < 1, e uC (Ω) ≤ C(M ). Em
1 < q < NN−p
particular, o operador K : L∞ (Ω) → C01,α (Ω) é limitado, isto é, K(f )C ≤ C(f L ),
para toda f ∈ L∞ (Ω).
1,α
1,α
Lema 0.9. Seja u ∈ W 1,p (Ω) uma solução do seguinte problema:
⎧
⎨ −Δp u = g(x, u) ; x ∈ Ω
(Pg )
⎩ |∇u|p−2 ∂u = 0 ; x ∈ ∂Ω
∂ν
∞
Preliminares
4
onde g é uma função de Caratheodory satisfazendo sgn[u].g(x, u) ≤ M (1+|u|q ) para algum
p
. Então, u ∈ C 1,α (Ω) para algum 0 < α < 1, e uC (Ω) ≤ C(M ). Em
1 < q < NN−p
particular, o operador K : L∞ (Ω) → C 1,α (Ω) é limitado, isto é, K(g)C ≤ C(gL ),
para toda g ∈ L∞ (Ω).
1,α
1,α
∞
0.4 O Operador H
Os próximos lemas foram motivados pelos resultados em [21] e [22]. A demonstração
segue as mesmas idéias de ([22], Proposição (a)), para o p-Laplaciano.
Lema 0.10. O problema
⎧
⎨ −Δp u + c|u|p−2 u = g(x) ; x ∈ Ω
(P∗ )
∂u
⎩
|∇u|p−2
= 0 ; x ∈ ∂Ω
∂ν
admite uma única solução em W 1,p (Ω), para toda g ∈ L∞ (Ω). Além disso, o operador H :
L∞ (Ω) → C 1 (Ω) dado por H(g) = u se, e somente se, u é solução de (P∗ ), é estritamente
crescente e compacto. Se S ⊂ L∞ (Ω) é L∞ (Ω)-limitado na topologia de Lp (Ω) induzida
pelo imersão L∞ (Ω) → Lp (Ω), então o operador HS : S → C 1 (Ω) : g → H(g) é contínuo.
Demonstração.
Note que, pelo fato de c > 0 podemos encontrar constantes M1 < 0 e
M2 > 0 tal que as funções φ1 (x) = M1 e φ2 (x) = M2 , são sub e supersoluções estritas do
problema (P∗ ). Seja A = [φ1 , φ2 ] conjunto das funções ϕ ∈ C 1 (Ω) tais que φ1 ≤ ϕ ≤ φ2 .
Suponha que u, v ∈ W 1,p (Ω) satisfaz
−Δp u + c|u|p−2 u ≥ −Δp v + c|v|p−2 v ; x ∈ Ω, |∇u|p−2
∂u
∂v
≥ |∇v|p−2
; x ∈ ∂Ω
∂ν
∂ν
Usando o Lema 0.1 de ([20], Lema 3.1)imediatamente concluimos que uma solução de (P∗ )
é única e que o operador solução, caso exista, é estritamente crescente. Seja AR = A ∩ BR ,
onde BR é a bola de raio R em C 1 (Ω). Pelo fato de φ1 (x) = M1 e φ2 (x) = M2 serem
sub e supersoluções estritas, uma solução u de (P∗ ) está no interior de A. Logo para R
sucientemente grande obtemos que
deg (I − P, AR , 0) = 1,
Preliminares
5
onde P : AR → C 1 (Ω) é denido por P u = K (g − c|u|p−2 u) e K é o operador dado
no Lema 0.9. Portanto, o problema (P∗ ) é unicamente resoluvel para cada g ∈ L∞ (Ω)
e o operador solução H : L∞ (Ω) → W 1,p (Ω) é estritamente crescente. Seja {gn } uma
sequência limitada em L∞ (Ω) e wn = Hgn , logo
−Δp wn + c|wn |p−2 wn = gn .
Pelo Lema 0.9 wn ∈ C 1,α (Ω) com wn C 1,α (Ω) < C . Como a imersão C 1,α → C 1,β ,
0 ≤ β < α é compacta, passando a uma subsequência se necessário, Hgn → w fortemente
em C 1,β (Ω), portanto H : L∞ (Ω) → C 1 (Ω) é compacto. Seja S ⊂ L∞ (Ω) é L∞ (Ω)limitado na topologia de Lp (Ω) induzida pelo imersão L∞ (Ω) → Lp (Ω). Suponha que
HS : S → C 1 (Ω) não seja contínuo, então existe uma sequência (gn ) ⊂ S convergindo em
Lp para alguma g ∈ S e tal que Hgn − HgC 1 (Ω) ≥ δ para um δ > 0 conveniente. Desde
que (Hgn ) é limitada em C 1,α (Ω) para algum 0 < α < 1, e C 1,α → C 1,β , 0 ≤ β < α é
compacto, passando a uma subsequência se necessário, Hgn → u fortemente em C 1 (Ω).
Passando ao limite em
−Δp Hgn + c|Hgn |p−2 Hgn = gn (x) ; x ∈ Ω |∇Hgn |p−2
∂Hgn
= 0 ; x ∈ ∂Ω
∂ν
concluimos que u satisfaz
−Δp u + c|u|p−2 u = g(x) ; x ∈ Ω |∇u|p−2
∂u
= 0 ; x ∈ ∂Ω
∂ν
e pela unicidade das soluções, segue que u = Hg . O que gera uma contradição com o fato
de que 0 < δ ≤ lim inf Hgn − HgC 1 (Ω) = 0.
O próximo lema é um análogo ao lema anterior, feito com condição de Dirichlet.
Lema 0.11. O problema
⎧
⎨ −Δ u + c|u|p−2 u = g(x) ; x ∈ Ω
p
(P ∗ )
⎩
u = 0 ; x ∈ ∂Ω
admite uma única solução em W01,p(Ω),para toda g ∈ L∞(Ω). Além disso, o operador
H : L∞ (Ω) → C01 (Ω) é estritamente crescente e compacto. Se S ⊂ L∞ (Ω) é L∞ (Ω)limitado na topologia de Lp(Ω) induzida pelo imersão L∞(Ω) → Lp(Ω), então o operador
HS : S → C01 (Ω) : g → H(g) é contínuo.
Preliminares
Demonstração.
6
Note que, pelo fato de c > 0 podemos encontrar constantes M1 < 0 e
M2 > 0 tal que as funções φ1 (x) = M1 e φ2 (x) = M2 , são sub e supersoluções estritas do
problema (P ∗ ). Seja A = [φ1 , φ2 ] conjunto das funções ϕ ∈ C01 (Ω), tais que φ1 ≤ ϕ ≤ φ2 .
Suponha que u, v ∈ W01,p (Ω) satisfaz
⎧
⎨ −Δ u + c|u|p−2 u ≥ −Δ v + c|v|p−2 v ; x ∈ Ω
p
p
⎩
u ≥ v ; x ∈ ∂Ω
Usando o Lema 0.2 de [31], concluimos que uma solução de (P ∗ ) é única e que o operador
solução, caso exista, é estritamente crescente. Seja AR = A∩BR , onde BR é a bola de raio
R em C01 (Ω). Pelo fato de φ1 (x) = M1 e φ2 (x) = M2 serem sub e supersoluções estritas,
uma solução u de (P ∗ ) está no interior de A. Logo para R sucientemente grande devemos
ter
deg (I − P, AR , 0) = 1,
onde P : AR → C 1 (Ω) é denido por P u = K (g − c|u|p−2 u) e K é o operador dado
no Lema 0.8. Portanto, o problema (P ∗ ) é unicamente resoluvel para cada g ∈ L∞ (Ω)
e o operador solução H : L∞ (Ω) → W01,p (Ω) é estritamente crescente. Seja {gn } uma
sequência limitada em L∞ (Ω) e wn = Hgn , logo
−Δp wn + c|wn |p−2 wn = gn .
Pelo lema 0.8 wn ∈ C01,α (Ω) com wn C 1,α (Ω) < C . Como a imersão C01,α → C01,β ,
0
0 ≤ β < α é compacta, passando a uma subsequência se necessário, Hgn → w em
C01,β (Ω), portanto H : L∞ (Ω) → C01 (Ω) é compacto. Seja S ⊂ L∞ (Ω), L∞ (Ω)-limitado
na topologia de Lp (Ω) induzida pelo imersão L∞ (Ω) → Lp (Ω) e {gn } ⊂ S tal que gn → g
em W −1,p (Ω), então pelo lema 0.6 temos que Hgn → Hg em W01,p (Ω) e passando a uma
subsequência se necessário, temos que Hgn → Hg em C01,β (Ω) e isso conclui a continuidade
de H.
CAPÍTULO 1
PROBLEMAS COM CONDIÇÃO DE
NEUMANN
1.1 Resultados Príncipais
Nesta seção, apresentaremos nossos resultados de existência e multiplicidade de soluções.
Sejam Ω ⊂ RN um aberto, limitado e com fronteira ∂Ω suave e f : Ω × R → R uma
função de Caratheodory satisfazendo as seguintes condições:
(1.1)
lim sup
f (x, s)
<0
|s|p−2 s
lim inf
f (x, s)
>0
|s|p−2 s
s→−∞
e
(1.2)
uniformemente em
problema,
s→+∞
x ∈ Ω.
No que segue,
t ∈ R
e 1 < p < ∞. Considere o seguinte
⎧
⎨ −Δp u = f (x, u) + tφ(x) + h(x) ; x ∈ Ω
(Pt )
∂u
⎩
|∇u|p−2
= 0 ; x ∈ ∂Ω
∂ν
7
SEÇÃO 1.2 ∗ Primeira Solução
8
onde φ(x) ≥ 0, φ(x) ≡ 0 e φ, h ∈ L∞ (Ω). Suponhamos também que ∀M > 0, ∃λ > 0 tal
que,
(1.3)
g(x, u) = f (x, u) + λ|u|p−2 u
é não decrescente ∀u ∈ [−M, M ].
Teorema 1.1. Suponhamos que as condições (1.1), (1.2) e (1.3) estejam satisfeitas e que
existe uma constante c tal que,
(1.4)
|f (x, s)| ≤ c(1 + |s|p−1 );
∀s ≤ 0
e uniformemente em x ∈ Ω . Então, existe t0 ∈ R, tal que
(i) Se t < t0 , então (Pt ) possui pelo menos uma solução.
(ii) Se t > t0 , então o problema (Pt ) não tem solução.
Restringindo a condição (1.4) para s → +∞ obtemos o seguinte resultado relativo a
multiplicidade.
Teorema 1.2. Supondo as condições (1.1), (1.2) e (1.3) e que existe uma contante c tal
que,
(1.5)
|f (x, s)| ≤ c(1 + |s|p−1 );
∀s ∈ R
e uniformemente em x ∈ Ω. Então existe t1 ∈ R com t1 ≤ t0 , tal que
(i) Se t = t0 , então (Pt ) possui pelo menos uma solução.
(ii) Se t < t1 , então o problema (Pt ) possui pelo menos duas soluções distintas.
1.2 Primeira Solução
Nesta seção usaremos a teoria do grau de Leray e Schauder para garantir a existência
de solução para o problema (Pt ).
SEÇÃO 1.2 ∗ Primeira Solução
9
Note que resolver o problema (Pt ) é equivalente a mostrar a existência de uma solução
para a equação
u = H f (x, u) + c|u|p−2 u + tφ + h
(1.6)
onde, H é o operador dado no Lema 0.10.
Mostraremos que a equação (1.6) tem uma solução para algum t ∈ R e para isso, precisaremos dos próximos lemas, que foram motivados pelos resultados em ([21], Lemas 1 e 2).
Lema 1.3. Para cada R1 > 0 dado, existe um número real T
= T (R1 ) tal que
v = H τ f (x, v) + c|v|p−2 v + tφ + h
(1.7)
para toda v ∈ C 1 (Ω) com v + = R1 , ∀τ ∈ [0, 1], ∀t ≤ T .
Demonstração. Suponha por absurdo que existam sequências {vn } ⊂ C 1 (Ω) com vn+ =
R1 , {τn } ⊂ [0, 1] e {tn } ⊂ R, tn → −∞, tal que
vn = H τn f (x, vn ) + c|vn |p−2 vn + tn φ + h
(1.8)
usando a hipótese (1.4) obtemos,
f (x, s) + c|s|p−2 s ≤ c|s|p−2 s + |f (x, s)|
(1.9)
(1.10)
≤ c|s|p−2 s + c + c|s|p−1
(1.11)
=c
(1.12)
≤ f (x, 0) + 2c
para s ≤ 0. Assim, para a sequência vn temos
τn f (x, vn ) + c|vn |p−2 vn + tn φ + h ≤ τn f (x, vn+ ) + c|vn+ |p−2 vn+ + 2c + tn φ + h
≤ τn (M + tn φ + h) ≤ M + tn φ + h.
onde, M =
max
+
x∈Ω,vn ∈[0,R1 ]
f (x, vn+ ) + c|vn+ |p−2 vn+ + 2c . Segue que
vn ≤ H(M + tn φ + h)
Seja wn = H((M + tn φ + h)), ou seja wn satisfaz
−Δp wn + c|wn |p−2 wn = (M + tn φ + h)
SEÇÃO 1.2 ∗ Primeira Solução
10
Dena sn tal que tn = |sn |p−2 sn , assim
−Δp (
Logo, ( M
+φ+
tn
h
)
tn
wn
wn
wn
M
h
) + c| |p−2 ( ) = ( + φ + )
sn
sn
sn
tn
tn
→ φ, quando tn → −∞. Pelo Lema 0.10 temos que H é fortemente
crescente e contínuo quando restrito a um conjunto S ⊂ L∞ (Ω) , L∞ (Ω)-limitado, segue
que
wn
→ H(φ) > 0.
sn
de onde segue que wn < 0. Logo vn+ = 0, contradizendo o fato de que vn+ = R1 .
Lema 1.4. Seja t ∈ R xo. Então existe R2 > 0 tal que
(1.13)
v = H τ f (x, v) + c|v|p−2 v + tφ + h
para toda v ∈ C 1 (Ω) com v − = R2 , ∀τ ∈ [0, 1].
Demonstração. A idéia é obtermos estimativas a priori para eventuais soluções da equação
τ ∈ [0, 1].
vτ = H τ f (x, vτ ) + c|vτ |p−2 vτ + tφ + h
segue das hipóteses (1.1) e (1.2) que existem > 0 e c1 ∈ R tal que
f (x, s) ≥ −|s|p−2 s + c1 ∀(x, s) ∈ Ω × R.
logo,
−Δp vτ + c|vτ |p−2 vτ = τ f (x, vτ ) + c|vτ |p−2 vτ + tφ + h
≥ τ c|vτ |p−2 vτ − |vτ |p−2 vτ + c1 + tφ + h
= τ (c − )|vτ |p−2 vτ + c1 + tφ + h
Por outro lado, seja wτ a única solução do problema
⎧
⎨ −Δp wτ + (c − τ (c − ))|wτ |p−2 wτ = τ (c1 + tφ + h) ; x ∈ Ω
∂wτ
⎩
|∇wτ |p−2
= 0 ; x ∈ ∂Ω
∂ν
Note que τ (c − ) < c, logo o conjunto (wτ )τ ∈[0,1] é limitado em C 1 (Ω), isto é, existe c2 tal
que wτ C 1 (Ω) ≤ c2 . Segue do princípio de comparação fraco Lema 0.1, que vτ ≥ wτ ≥
−c2 . Tomemos então R2 = c2 + 1 e o resultado segue.
SEÇÃO 1.3 ∗ Demonstração do Teorema 1.1
11
Mostraremos agora que a equação (1.6) tem uma solução para algum t usando o grau
de Leray-Shauder. Dado R1 > 0, xemos t ≤ T (R1 ) com T (R1 ) dado pelo Lema 1.3 e
considere R2 > 0 garantido no Lema 1.4. Considere o conjunto
Λ = v ∈ C 1 (Ω) : v + < R1 , v − < R2
Note que Λ é um conjunto aberto em C 1 (Ω) contendo 0. Pelos Lemas 1.3 e 1.4 temos que
v = H τ f (x, v) + c|v|p−2 v + tφ + h
∀v ∈ ∂Λ,
Logo, pela invariância homotópica do grau de Leray-Schauder segue que
deg I − H f (x, v) + c|v|p−2 v + tφ + h , Λ, 0 = deg (I, Λ, 0) = 1.
de onde segue que existe v ∈ Λ tal que
v = H f (x, v) + c|v|p−2 v + tφ + h
e portanto, o problema (Pt ) possui uma solução para t ≤ T (R1 ).
1.3 Demonstração do Teorema 1.1
Nesta seção seguiremos as idéias de De Paiva e Montenegro em [16] para garantirmos a
existência de subsolução para o problema (Pt ). Em seguida, mostraremos o bem conhecido
método de sub-supersolução. Usando estes resultados, mostraremos que se o problema
(Pt ) tem solução para algum t então para todo s ≤ t também tem solução e em seguida
faremos a demonstração do Teorema 1.1. Começaremos com o seguinte resultado:
Lema 1.5. O problema (Pt ) possui subsolução para todo t ∈ R.
Demonstração. Considere o seguinte problema
⎧
⎪
−Δp z ≤ f (x, z) + tφ(x) + h(x) ; x ∈ Ω
⎪
⎪
⎨
z ≤ 0 ;x ∈ Ω
⎪
⎪
∂z
⎪
⎩
|∇z|p−2
= 0 ; x ∈ ∂Ω
∂ν
Mostraremos que existe uma constante zt negativa satisfazendo o problema acima. De
fato, usando a hipótese (1.1) segue que existem constantes > 0 e C > 0 tais que
f (x, s) ≥ −|s|p−2 s − C , s < 0. Dena
SEÇÃO 1.3 ∗ Demonstração do Teorema 1.1
zt = −
(1.14)
|t| φ∞ + h∞ + C
segue que para todo t ∈ R,
f (x, zt ) + tφ + h ≥ −|zt |
p−2
12
zt − C + tφ + h = 1
(p−1)
|t| φ∞ + h∞ + C
− C + tφ + h
≥ |t| φ∞ + tφ + h∞ + h
≥ 0.
De onde segue que zt é subsolução de (Pt ). Além disso, como f (x, k)+tφ+h ≥ −|k|p−2 k−
C + tφ + h ≥ −|zt |p−2 zt − C + tφ + h é fácil ver que toda constante k < zt é subsolução
estrita de (Pt ).
O próximo Teorema é conhecido como Método de sub e supersolução.
Teorema 1.6. Sejam zt,w ∈ C 1(Ω) sub e supersolução de (Pt) respectivamente tais que
zt ≤ w em Ω. Então existe u ∈ C 1 (Ω) solução de (Pt ) tal que zt ≤ u ≤ w em Ω e
∂u
= 0 sobre ∂Ω.
|∇u|p−2
∂ν
Demonstração. Dena os operadores Nt : C 1 (Ω) → L∞ (Ω) por
Nt (v) = f (x, v) + λ|v|p−2 v + tφ + h , v ∈ C 1 (Ω)
e T : L∞ (Ω) → C 1 (Ω) por T (v) = w se, e somente se, w é solução de
⎧
⎨ −Δp w + λ|w|p−2 w = v ; x ∈ Ω
∂w
⎩
|∇w|p−2
= 0 ; x ∈ ∂Ω
∂ν
t : C 1 (Ω) → C 1 (Ω) por K
t = T ◦ Nt .
Dena também K
t se, e somente se, u é uma solução de (Pt ). Mostremos
Note que u é um ponto xo de K
t = T ◦ Nt e Nt é contínua, basta mostrar que T
t é compacto. Com efeito, como K
que K
é compacto. De fato, seja {un } uma sequência limitada em L∞ (Ω) e wn = T (un ), logo
−Δp wn + λ|wn |p−2 wn = un .
Pelo Lema 0.9 wn ∈ C 1 (Ω) com wn C 1 (Ω) < C .
Obtemos pela imersão compacta
C 1,α (Ω) → C 1,β (Ω) que, a menos de subsequência, wn → w em C 1,β (Ω), portanto T
SEÇÃO 1.3 ∗ Demonstração do Teorema 1.1
13
é compacto.
Agora, dena
A = u ∈ C 1 (Ω) : zt (x) ≤ u(x) ≤ w .
Note que A é fechado e convexo. Pela hipótese (1.3) e pelo princípio de comparação temos
t (A) é limitado. Assim, pelo Teorema do Ponto Fixo
t (A) ⊂ A, e pelo Lema 0.9 K
que K
t , ou seja, existe u ∈ C 1 (Ω) solução de (Pt )
de Schauder existe u ∈ C 1 (Ω) ponto xo de K
tal que zt (x) ≤ u(x) ≤ w em Ω.
O próximo resultado nos diz que, o conjunto dos t para os quais o problema (Pt ) tem
solução é um intervalo não degenerado.
Lema 1.7. Se o problema
(Pt ) tem solução para algum t ∈ R, então (Pt ) tem solução
para todo s ≤ t.
Demonstração. Seja ut uma solução de (Pt ). Para todo s ≤ t temos que ut é supersolução
do problema (Pt ) correspondente a s, pois
−Δp u = f (x, u) + tφ(x) + h(x) ≥ f (x, u) + sφ(x) + h(x).
Por outro lado, segue do Lema 1.5 que existe uma subsolução zs < ut . Logo, pelo Teorema
1.6 existe uma solução us de (Pt ) para todo s ≤ t.
1.3.1 Não existência de solução para t sucientemente grande
O lema que apresentaremos agora mostra que o problema (Pt ) não possui solução para
t grande o suciente.
Lema 1.8. O problema (Pt ) não possui solução para t > 0 sucientemente grande.
Demonstração. Suponhamos por que (Pt ) possui solução ut para algum t. Segue das
hipóteses (1.1) e (1.2) que para todo s ∈ R
(1.15)
f (x, s) ≥ |s|p−1 − C.
SEÇÃO 1.3 ∗ Demonstração do Teorema 1.1
14
Usando ϕ ≡ 1 como função teste em (Pt ) temos
p−2
|∇ut | ∇ut · ∇ϕ dx =
f (x, ut ) dx + tφ dx + h(x) dx
0=
Ω
Ω
Ω
Ω
p−1
≥ (|ut |
− C) dx + tφ dx + h(x) dx
Ω
Ω
Ω
p−1
= |ut | dx − C|Ω| + t φ dx + h(x) dx
Ω
Ω
Ω
logo,
Ω
|ut |
p−1
dx + t
φ dx +
Ω
Ω
h(x) dx ≤ C|Ω|.
Portanto
φ dx +
t
Ω
Assim t é limitado, o que prova o lema.
Ω
h(x) dx ≤ C|Ω|.
1.3.2 Conclusão da Demonstração do Teorema 1.1
Prova de (i)
Considere o seguinte conjunto,
S = {t : (Pt ) tem pelo menos uma solução } .
pelo que foi feito na seção (1.2) temos que S é não vazio. Além disso, segue dos Lemas
1.7 e 1.8 que S é limitado superiormente logo, podemos denir t0 = sup t. Além disso,
S
note que se t ∈ S então (−∞, t] ⊂ S . Logo, que para cada t < t0 , o problema (Pt ) possui
pelo menos uma solução.
Prova de (ii)
Segue do Lema 1.8 e da denição de supremo que para todo t > t0 , (Pt ) não tem
solução.
SEÇÃO 1.4 ∗ Estimativa a priori
15
1.4 Estimativa a priori
Para obtermos a segunda solução via teoria do grau, precisamos de estimativas a priori
para eventuais soluções de (Pt ). Nesta seção, obtemos estimativas a priori para as partes
negativa e positiva de uma eventual de (Pt ). Em seguida, obtemos uma estimativa na
norma L∞ e por m estimativa na norma C 1 .
Lema 1.9. Seja
u ∈ W 1,p (Ω) uma solução fraca de (Pt ). Se t pertence a um intervalo
limitado então, existe M = M (t) > 0 tal que u− ∞ ≤ M .
Demonstração. Seja u uma solução de (Pt ). Considerando a função ϕ = max(u− − k, 0) ∈
W 1,p (Ω), com k > 0 xo como função teste obtemos
p−2
|∇u| ∇u∇ϕ =
(f (x, u) + tφ + h) ϕ
Ω
Ω
Denindo Ωk = {x ∈ Ω : u− > k}, como ∇u− = ∇(u− − k) = −∇u em Ωk , temos que
−
p
f (x, −u− ) + tφ + h ϕ
|∇(u − k)| = −
Ωk
Ωk
Como f satisfaz a hipótese (1.1) temos que existem constantes > 0 e C1 > 0 tal que
f (x, u) ≥ −|u|p−2 u − C1 , para todo u < 0. Então,
(1.16)
−
p
f (x, −u− ) + tφ + h ϕ
|∇(u − k)| = −
Ωk
Ωk
− p−1
(u )
(1.17)
+ C1 + |t| φ∞ + h∞ (u− − k)
≤
Ωk
− p−1 −
(1.18)
(u ) (u − k) + (C1 + |t| φ∞ + h∞ )
(u− − k)
=
Ωk
Ωk
−
(1.19)
C2 (u − k)p + k p−1 (u− − k)
≤
Ωk
(1.20)
(u− − k)
+ (C1 + |t| φ∞ + h∞ )
Ωk
−
p
p−1
(1.21)
(u − k) + C2 k
+ C1 + |t| φ∞ + h∞
(u− − k).
= C2
Ωk
Ωk
Por outro lado, usando a desigualdade de Holder e imersão de Sobolev segue que
SEÇÃO 1.4 ∗ Estimativa a priori
(1.22)
−
Ωk
p
(u − k) ≤ |Ωk |
(1.23)
16
p
n
np
(n−p)
−
(n−p)
n
(u − k)
p
−
p
−
p
|∇(u − k)| +
(u − k) ,
≤ |Ωk | n C3
Ωk
Ωk
Ωk
de (1.16) e (1.22) segue que
(1.24)
p−1
p
−n
−
p
−
p
|Ωk | − C3
(u − k) ≤ C3
(u − k) + C4 k
+ 1 + |t| φ∞ + h∞
(u− − k)
Ωk
logo,
|Ωk |
p
−n
− C3
Ωk
−
Ωk
Ωk
p
(u − k) ≤ C4 k
p−1
+ 1 + |t| φ∞ + h∞
Ωk
(u− − k).
Usando o mesmo racíocinio na demonstração do Lema 1.8, obtemos que
(u− )
|Ωk | =
(1.25)
≤
≤ C5 k 1−p .
p−1
k
u− >k
Ωk
logo, a medida |Ωk | → 0 quando k → +∞, de onde segue que existe uma constante k0
p
não dependente de u tal que |Ωk |− n − C3 > 0, para todo k ≥ k0 . Segue da desiguldade
de Holder e de (1.24),
−
Ωk
(u − k) ≤ |Ωk |
(p−1)
p
−
Ωk
≤ C6 |Ωk |
(p−1)
p
(u − k)
p
p1
k p−1 + 1 + |t| φ∞ + h∞
p
|Ωk |− n − C3
−
Ωk
(u − k)
p1
logo,
−
Ωk
(u − k)
(p−1)
p
≤ C6 |Ωk |
(p−1)
p
k p−1 + 1 + |t| φ∞ + h∞
p
|Ωk |− n − C3
p1
como consequência,
1
k p−1 + 1 + |t| φ∞ + h∞ p−1
(u − k) ≤ C7 |Ωk |
p
|Ωk |− n − C3
Ωk
p−1
1
p
k
+ 1 + |t| φ∞ + h∞ p−1
1+( n(p−1)
)
= C7 |Ωk |
p
1 − |Ωk | n C3
−
SEÇÃO 1.4 ∗ Estimativa a priori
17
p
1
2
Podemos assumir que 1 − |Ωk | n C3 ≥
(u− − k) ≤ C8 |Ωk |1+(
Ωk
para k ≥ k0 e então
p(p−1)
)
n
k p−1 + 1 + |t| φ∞ + h∞
p−1
p−1
1 + |t| φ∞ + h∞
= C8 |Ωk |
k 1+
k p−1
p−1
p(p−1)
1 + |t| φ∞ + h∞
1+( n )
≤ C8 |Ωk |
k 1+
k0p−1
1+(
p(p−1)
)
n
≤ C9 |Ωk |1+(
p(p−1)
)
n
k.
Agora, aplicando o Lema 0.5 concluimos que u− ∞ é limitada por uma constante que
depende apenas de t,k0 ,,p,n e u− L1 (Ωk ) . Vamos melhorar essa estimativa, obtendo
0
uma limitação para u− L1 (Ωk ) . De fato, usando −u− como função teste e a desigualdade
0
f (x, u) ≥ −|u|p−2 u − C1 para u < 0 temos
0≤
Ω
|∇u− |p
−
−f (x, −u )u − t φu − hu−
Ω
Ω
Ω
− p
−
−
≤ − (u ) + C1 u − t φu − hu−
=
−
Ω
logo,
− p
Ω
|∇u | + −
Ω
Ω
Ω
− p
(u ) ≤ (C1 + |t| φ∞ + h∞ ) u−
Ω
Ω
≤
(u− )p + (C1 + |t| φ∞ + h∞ )
2 Ω
de onde segue que u− W 1,p é limitada. Logo,
Ωk 0
|u− | ≤
Ω
|u− | ≤ C
p1
Ωk 0
|u− |p
≤ (C1 + |t| φ∞ + h∞ )
portanto, a norma u− L∞ é limitada por uma constante que depende apenas de t,,p e
n. Lema 1.10. Seja u ∈ W 1,p (Ω) uma solução fraca de
(Pt ). Se t pertence a um intervalo
limitado então, existe C = C(t) > 0 tal que u∞ ≤ C .
SEÇÃO 1.4 ∗ Estimativa a priori
18
Demonstração. Em virtude do Lema 1.9 basta mostrarmos que u+ ∞ é limitada por
uma constante que depende apenas de t,,p e n. Seguindo o mesmo raciocínio do lema
anterior podemos mostrar que u+ ∞ é limitada por uma constante que depende apenas de t,k1 ,,p,n e u+ L1 (Ak ) , onde Ak = {x ∈ Ω : u+ > k}. Vamos obter agora uma
1
estimativa para u+ L1 (Ak ) . Para isso, é suciente mostar que u+ Lp é limitada. De
1
p → ∞ com tn ∈ [a, b].
fato, suponhamos por absurdo que existam a,b ∈ R tal que u+
t
n
L
u+
Dena wn = +tn . Note que wn é limitado em W 1,p , pois usando utn como função
ut p
n L
teste e a hipótese (1.5) temos
p
|∇utn | =
f (x, utn )utn + t φutn + hutn
Ω
Ω
Ω
Ω
p
≤ c |utn | dx + c (1 + |t| φ∞ + h∞ ) |utn |
Ω
Ω
≤ c (1 + |t| φ∞ + h∞ ) |utn |p
Ω
de onde segue que wn é limitado em W 1,p . Logo, podemos assumir que wn w em W 1,p ,
wn → w em Lp e wn → w q.t.p x ∈ Ω. Tome ϕ ∈ W 1,p (Ω), ϕ ≥ 0, então
Ω
|∇wn |
p−2
∇wn · ∇ϕ =
Ω
≥
fazendo n → ∞, obtemos
Ω
|∇w|
tomando ϕ ≡ 1, segue que que w ≥ 0 e w ≡ 0.
Lema 1.11. Seja
Ω
f (x, utn )
+ ϕ + tn
ut n
Ω
p−2
ϕ
+
φ
u+
Ω
t
n
Ω
h
ϕ
u+
tn
|wn |p−1 ϕ + o(n)
∇w · ∇ϕ ≥ wp−1 ϕ
Ω
wp−1 dx ≤ 0, o que gera uma contradição com o fato de
u uma solução fraca de (Pt ). Se t pertence a um intervalo limitado,
existe R > 0 tal que a norma uC 1 (Ω) ≤ R.
Demonstração. Segue dos Lemas 1.9 e 1.10 que se u é uma solução de (Pt ) então u− ∞ ≤
M , u∞ ≤ C e
−Δp u = f (x, u) + tφ + h
SEÇÃO 1.5 ∗ Demonstração do Teorema 1.2
19
como u ∈ [−M, C], temos |f (x, u)| ≤ R1 para (x, u) ∈ Ω × [−M, C] e então segue que
l(x, u) = f (x, u) + tφ + h é uma função de Caratheodory que satisfaz,
φ + h = R2
|l(x, u)| ≤ R1 + R
∞
∞
Assim pelo Lema 0.9 u ∈ C 1,α (Ω), para 0 ≤ α < 1 e uC 1 (Ω) ≤ R (R2 ).
1.5 Demonstração do Teorema 1.2
Primeiramente, mostraremos que o o problema (Pt ) tem uma solução para t = t0 . De
fato, da denição de supremo existe {tn } ⊂ S tal que tn → t0 . Sem perda de generalidade
podemos assumir que {tn } é crescente. Como tn ∈ S , existe un solução de (Ptn ), isto é,
para todo ψ ∈ W 1,p (Ω),
(1.26)
|∇un |
Ω
p−2
∇un · ∇ψ dx =
Ω
(f (x, un ) + tn φ + h) ψ dx
Temos pelos Lemas 1.10 e 1.11 que un ∈ [−M, R], logo |f (x, un )| ≤ K e
|f (x, un ) + tn φ + h| ≤ K + R φ∞ + h∞ ≤ M ,
logo, pelo Lema 0.9 segue que {un } é limitada em C 1,α (Ω) e portanto possui uma subsequência convergente unk → u∗ em C 1,β (Ω), 0 ≤ β < α. Assim, tomando o limite quando
nk → ∞ em (1.26) obtemos
∗ p−2
∗
|∇u | ∇u · ∇ψ dx =
(f (x, u∗ ) + t0 φ + h) ψ dx
Ω
Ω
isto é, u∗ é solução de (Pt0 ). Por outro lado, já mostramos que existe t0 ∈ R tal que o
problema (Ps ) não possui solução para todo s > t0 . Fixemos t < T (R1 ) com T (R1 ) dado
pelo Lema 1.3 e seja t1 = T (R1 ), pela denição de t0 temos que t1 ≤ t0 . Segue do Lema
1.11 que para todo s ∈ [t, t0 ] existe R > 0 grande o suciente tal que us C 1 (Ω) < R e
Λ ⊂ BR , onde Λ é denido na Seção (1.2). Note que u é solução de (Ps ) se e somente se
u é ponto xo do operador compacto Hs v = u, onde u é uma solução de
⎧
⎨ −Δp u + λ|u|p−2 u = f (x, v) + λ|v|p−2 v + sφ + h, ; x ∈ Ω
∂u
⎩
|∇u|p−2
= 0 ; x ∈ ∂Ω
∂ν
SEÇÃO 1.5 ∗ Demonstração do Teorema 1.2
20
Consideremos a seguinte homotopia admissivel,
H : [t, t0 + 1] × BR → CN1 (Ω), H(s, u) = Hs u.
então,
deg(I − Hs , BR , 0) = deg(I − Ht0 +1 , BR , 0) = 0.
pois, pela denição de t0 , Ht0 +1 não possui ponto xo. Usando agora a propriedade da
excisão do grau de Leray-Schauder, segue que
deg(I − Hs , BR − Λ, 0) = deg(I − Hs , BR , 0) − deg(I − Hs , Λ, 0) = −1,
Portanto, o problema (Ps ) possui outra solução que não pertence a Λ. Logo, exite t1 ≤ t0
tal que para todo t < t1 o problema (Pt ) possui pelo menos duas soluções distintas, e isso
conclui nossa demonstração.
CAPÍTULO 2
PROBLEMAS COM CONDIÇÃO DE
DIRICHLET
2.1 Resultados Príncipais
Nesta seção, apresentamos nossos resultados com condição de Dirichlet na fronteira.
Sejam Ω ⊂ RN um domínio aberto, limitado e com fronteira ∂Ω suave e f : Ω × R → R
uma função de Caratheodory satisfazendo as seguintes condições,
(2.1)
lim sup
f (x, s)
= α < λ1 ,
|s|p−2 s
(2.2)
lim inf
f (x, s)
= β > λ1 ,
|s|p−2 s
(2.3)
s→−∞
s→+∞
lim inf
s→+∞
f (x, s)
f (x, s)
≤ lim sup p−2 = λ < ∞,
p−2
|s| s
s
s→+∞ |s|
uniformemente em x ∈ Ω e tal que λ1 é o menor autovalor do problema,
⎧
⎨ −Δ u − λ|u|p−2 u = 0 ; x ∈ Ω
p
(Pa )
⎩
u = 0 ; x ∈ ∂Ω
21
SEÇÃO 2.2 ∗ Primeira Solução
22
Além disso, vamos assumir que para todo M > 0, existe ξ > 0 tal que
(2.4)
f (x, u) + ξ|u|p−2 u é não decrescente em u sobre [−M, M ].
Considere o seguinte problema,
⎧
⎨ −Δ u = f (x, u) + tφ(x) + h(x) ; x ∈ Ω
p
(PDt )
⎩
u = 0 ; x ∈ ∂Ω
onde φ(x) ≥ 0 em Ω̄, φ, h ∈ L∞ (Ω), com t ∈ R e 1 < p < ∞.
Teorema 2.1. Suponhamos que as condições (2.1), (2.2) e (2.4) estejam satisfeitas e que
existe uma contante c tal que,
(2.5)
|f (x, s)| ≤ c(1 + |s|p−1 );
∀s ≤ 0.
e uniformemente em x ∈ Ω. Então, existem t0 tal que
(i) Se t < t0 , então (PDt ) possui pelo menos uma solução.
(ii) Se t > t0 , então o problema (PDt ) não possui solução.
Teorema 2.2. Suponha que as hipóteses (2.1), (2.2), (2.3), (2.4) estam satisfeitas. Então, existe t1 , com t1 ≤ t0 tal que
(i) Se t = t0 , então (PDt ) possui pelo menos uma solução.
(ii) Se t < t1 o problema (PDt ) tem pelo menos duas soluções distintas.
2.2 Primeira Solução
Note que resolver o problema (PDt ) é equivalente a mostrar a existência de uma solução
para a equação
(2.6)
u = H f (x, u) + c|u|p−2 u + tφ + h
onde H é dado no Lema 0.11.
Mostraremos que a equação (2.6) tem uma solução para algum t ∈ R e para isso,
precisaremos dos próximos resultados que foram motivados por [21]. A demonstração do
próximo lema segue de perto a demonstração feita no Lema 1.3, já para o lema subsequente
a demonstração é ligeiramente diferente do que foi feito no Lema 1.4.
SEÇÃO 2.2 ∗ Primeira Solução
23
Lema 2.3. Para cada R1 > 0 dado, existe um número real T
= T (R1 ) tal que
v = H τ f (x, v) + c|v|p−2 v + tφ + h
(2.7)
para toda v ∈ C01 (Ω) com v + = R1 , ∀τ ∈ [0, 1], ∀t ≤ T .
Demonstração. Suponha por absurdo que exitam sequências {vn } ⊂ C01 (Ω) com vn+ =
R1 , {τn } ⊂ [0, 1] e {tn } ⊂ R, tn → −∞, tal que
vn = H τn f (x, vn ) + c|vn |p−2 vn + tn φ + h
(2.8)
usando a hipótese (2.5) obtemos,
f (x, s) + c|s|p−2 s ≤ c|s|p−2 s + |f (x, s)|
(2.9)
(2.10)
≤ c|s|p−2 s + c + c|s|p−1
(2.11)
=c
(2.12)
≤ f (x, 0) + 2c
para s ≤ 0.
Assim, para a sequência vn temos
τn f (x, vn ) + c|vn |p−2 vn + tn φ + h ≤ τn f (x, vn+ ) + c|vn+ |p−2 vn+ + 2c + tn φ + h
≤ τn (M + tn φ + h) ≤ M + tn φ + h.
onde, M =
max
+
x∈Ω,vn ∈[0,R1 ]
f (x, vn+ ) + c|vn+ |p−2 vn+ + 2c . Segue que
vn ≤ H(M + tn φ + h)
Seja wn = H(M + tn φ + h), ou seja wn satisfaz
−Δp wn + c|wn |p−2 wn = (M + tn φ + h)
Dena sn tal que tn = |sn |p−2 sn , assim
−Δp (
Logo, ( M
+φ+
tn
h
)
tn
wn
wn
wn
M
h
) + c| |p−2 ( ) = ( + φ + )
sn
sn
sn
tn
tn
→ φ, quando tn → −∞. Pelo Lema 0.11 temos que H é fortemente
crescente e contínuo quando restrito a um conjunto S ⊂ L∞ (Ω) , L∞ (Ω)-limitado, segue
que
wn
→ H(φ) > 0.
sn
de onde segue que wn < 0. Logo vn+ = 0, contradizendo o fato de que vn+ = R1 . SEÇÃO 2.2 ∗ Primeira Solução
24
Enunciarmos um análogo para o caso de Dirichlet do Lema 1.4, e cuja demonstração
é uma consequência direta do teorema que vem a seguir. Note que os argumentos usados
aqui são diferentes do que foi feito no caso de Neumann.
Lema 2.4. Seja t ∈ R xo. Então existe R2 > 0 tal que
v = H τ f (x, v) + c|v|p−2 v + tφ + h
(2.13)
para toda v ∈ C01 (Ω) com v − = R2 , ∀τ ∈ [0, 1].
Argumentando como na Seção 1.4 provaremos a limitação da parte negativa de uma
eventual solução da equação (2.6). Obtendo assim, o seguinte resultado.
Teorema 2.5. Seja t ∈ R, t ≤ 0 xo. Existe
M = M (t) > 0 tal que se u ∈ W01,p (Ω) é
uma solução da equação (2.13) para algum τ ∈ [0, 1], então u− ∞ ≤ M .
Demonstração. Seja u uma solução da equação (2.13), isto é
−Δp u + c|u|p−2 u = τ f (x, u) + c|u|p−2 u + tφ + h
Considerando a função ϕ = max(u− − k, 0) ∈ W 1,p (Ω), com k > 0 xo como função teste
na equação acima temos
Ω
|∇u|
p−2
∇u∇ϕ + c
Ω
|u|
p−2
f (x, u) + c|u|
uϕ = τ
p−2
u + tφ + h ϕ
Ω
Denindo Ωk = {x ∈ Ω : u− > k}, como ∇u− = ∇(u− − k) = −∇u em Ωk , temos que
−
p
− p−2 −
−
f (x, −u ) + tφ + h ϕ + τ c
|∇(u − k)| + c
|u | u ϕ = −τ
|u− |p−2 u− ϕ
Ωk
Ωk
Ωk
Ωk
de onde segue que
−
Ωk
p
|∇(u − k)| ≤ −τ
Ωk
f (x, −u− ) + tφ + h ϕ
Como f satisfaz (2.1), para todo ∈ (0, λ1 − α), existe C1 > 0 grande o suciente tal
que
(2.14)
f (x, u) ≥ (α + )|u|p−1 − C1
SEÇÃO 2.2 ∗ Primeira Solução
25
para u < 0. Então,
(2.15)
−
p
f (x, −u− ) + tφ + h ϕ
|∇(u − k)| ≤ −τ
Ωk
Ωk
−τ (α + )(u− )p−1 + C1 − τ t φ∞ + h∞ (u− − k)
(2.16)
≤
Ωk
− p−1 −
(2.17)
−τ (α + )(u ) (u − k) + (C1 − τ t φ∞ + h∞ )
(u− − k)
=
Ωk
Ωk
−
(2.18)
C2 (u − k)p + k p−1 (u− − k)
≤
Ωk
(2.19)
(u− − k)
+ (C1 − τ t φ∞ + h∞ )
Ωk
−
p
p−1
(2.20)
(u − k) + C2 k
+ C1 − τ t φ∞ + h∞
(u− − k).
= C2
Ωk
Ωk
Por outro lado, usando a desigualdade de Holder e imersão de Sobolev segue que
(2.21)
−
Ωk
p
(u − k) ≤ |Ωk |
(2.22)
p
n
−
np
(n−p)
(n−p)
n
(u − k)
p
−
p
−
p
|∇(u − k)| +
(u − k) ,
≤ |Ωk | n C3
Ωk
Ωk
Ωk
de (2.15) e (2.21) segue que
(2.23)
p−1
p
−n
−
p
−
p
(u − k) ≤ C3
(u − k) + C4 k
+ 1 − t φ∞ + h∞
(u− − k)
|Ωk | − C3
Ωk
logo,
Ωk
Ωk
p−1
p
−n
−
p
(u − k) ≤ C4 k
+ 1 − t φ∞ + h∞
(u− − k).
|Ωk | − C3
Ωk
Ωk
Usando o mesmo racíocinio no Lema 1.9, obtemos que
(u− )
(2.24)
≤
≤ C5 k 1−p .
|Ωk | =
p−1
k
−
u >k
Ωk
logo, a medida |Ωk | → 0 quando k → +∞, de onde segue que existe uma constante k0
p
não dependente de u tal que |Ωk |− n − C3 > 0, para todo k ≥ k0 . Segue da desiguldade
de Holder e de (2.23),
SEÇÃO 2.2 ∗ Primeira Solução
Ωk
(u− − k) ≤ |Ωk |
(p−1)
p
26
Ωk
≤ C6 |Ωk |
(p−1)
p
(u− − k)p
p1
k p−1 + 1 − t φ∞ + h∞
p
|Ωk |− n − C3
−
Ωk
(u − k)
p1
logo,
−
Ωk
(u − k)
(p−1)
p
≤ C6 |Ωk |
(p−1)
p
k p−1 + 1 − t φ∞ + h∞
p
|Ωk |− n − C3
p1
como consequência,
1
p−1
k
+ 1 − t φ∞ + h∞ p−1
−
(u − k) ≤ C7 |Ωk |
p
|Ωk |− n − C3
Ωk
p−1
1
p
k
+ 1 − t φ∞ + h∞ p−1
1+( n(p−1)
)
= C7 |Ωk |
p
1 − |Ωk | n C3
p
Podemos assumir que 1 − |Ωk | n C3 ≥
Ωk
1
2
(u− − k) ≤ C8 |Ωk |1+(
para k ≥ k0 e então
p(p−1)
)
n
k p−1 + 1 − t φ∞ + h∞
p−1
p−1
1 − t φ∞ + h∞
= C8 |Ωk |
k 1+
k p−1
p−1
p(p−1)
1 − t φ∞ + h∞
1+( n )
≤ C8 |Ωk |
k 1+
k0p−1
1+(
p(p−1)
)
n
≤ C9 |Ωk |1+(
p(p−1)
)
n
k.
Agora, aplicando o Lema 0.5 concluimos que u− ∞ é limitada por uma constante que
depende apenas de t, k0 ,,p,n e u− L1 (Ωk ) . Vamos melhorar essa estimativa, obtendo
0
uma limitação para u− L1 (Ωk ) . De fato, usando −u− como função teste e a desigualdade
0
f (x, u) ≥ (α + )|u|p−2 u − C1 para u < 0 temos
0≤
Ω
|∇u− |p
−
Ω
−
−f (x, −u )u − t φu − hu−
Ω
Ω
Ω
− p
−
−
≤ −(α + ) (u ) + C1 u − t φu − hu−
=
−
Ω
Ω
Ω
SEÇÃO 2.3 ∗ Demonstração dos Teoremas 2.1 e 2.2
27
logo,
− p
Ω
|∇u | + (α + )
− p
(u ) ≤ (C1 − t φ∞ + h∞ ) u−
Ω
Ω
α+
≤
(u− )p + (C1 − t φ∞ + h∞ )
2
Ω
de onde segue que u− W 1,p é limitada. Logo,
Ωk 0
|u− | ≤
Ω
|u− | ≤ C
p1
Ωk 0
|u− |p
≤ (C1 − t φ∞ + h∞ )
portanto, a norma u− L∞ é limitada por uma constante que depende apenas de t,,p e
n. Mostraremos agora que a equação (2.6) tem uma solução para algum t usando o grau
de Leray-Shauder. Dado R1 > 0, xemos t ≤ T (R1 ) com T (R1 ) dado pelo Lema 2.3 e
considere R2 > 0 garantido no Lema 2.4. Considere o conjunto
Λ = v ∈ C01 (Ω) : v + < R1 , v − < R2
Note que Λ é um conjunto aberto em C01 (Ω) contendo 0. Pelos Lemas 2.3 e 2.4 temos que
v = H τ f (x, v) + c|v|p−2 v + tφ + h
∀v ∈ ∂Λ,
Logo, pela invariância homotópica do grau de Leray-Schauder segue que
deg I − H f (x, v) + c|v|p−2 v + tφ + h , Λ, 0 = deg (I, Λ, 0) = 1.
de onde segue que existe v ∈ Λ tal que
v = H f (x, v) + c|v|p−2 v + tφ + h
e portanto, o problema (PDt ) possui pelo menos uma solução.
2.3 Demonstração dos Teoremas 2.1 e 2.2
Nesta seção seguiremos as idéias de Arcoya-Ruiz [4] para garantirmos a existência de
subsolução para o problema (PDt ). Em seguida mostraremos que se o problema (PDt )
SEÇÃO 2.3 ∗ Demonstração dos Teoremas 2.1 e 2.2
28
tem solução para algum t, então (PDs ) tem solução para todo s ≤ t. Além disso, obtemos estimativas a priori para eventuais soluções e por m, faremos a demonstração dos
Teoremas 2.1 e 2.2. Começaremos com o seguinte resultado que garante a existência de
subsolução para (PDt ) para todo t ∈ R.
Proposição 2.6. Para cada w ∈ C01(Ω), t ∈ R, existe u ∈ C01,α(Ω) tal que u << w e
−Δp (u) ≤ f (x, u) + tφ + h em Ω
(2.25)
Demonstração. Sejam w ∈ C01 (Ω), t ∈ R xos, mas arbitrários. Por (2.1) temos que para
∈ (0, λ1 − α), existe constante C > 0 tal que
f (x, u) ≥ (α + )|u|p−2 u − C,
para todo u < 0. Seja u ∈ W01,p (Ω) solução de
−Δp u = (α + )|u|p−2 u − C + tφ + h em Ω, u = 0 sobre ∂Ω
onde, sem perda de generalidade, tomamos C grande o suciente para obter −C +tφ+h <
0. Além disso, podemos tomar C grande tal que u << w. De fato, seja {Cn } uma
sequência tal que Cn → ∞ (sem perda de generalidade assumimos que Cn > 1) e {un }
uma sequência de soluções de
(2.26)
−Δp un = (α + )|un |p−2 un − Cn + tφ + h em Ω, un = 0 sobre ∂Ω
Logo, se vn =
un
1
(Cn ) p−1
, então temos que vn é solução de
−Δp vn = (α + )|vn |p−2 vn − 1 +
tφ + h
em Ω, vn = 0 sobre ∂Ω
Cn
Pelo Lema 0.8 obtemos vn ∈ C 1,α (Ω), para algum 0 < α < 1, vn C 1,α (Ω) ≤ M . Assim, pela imersão compacta C 1,α (Ω) → C 1,β (Ω), 0 ≤ β < α temos que, a menos de
subsequência, vn → v em C 1,β (Ω). Segue do Lema 0.7 que v é solução de
⎧
⎨ −Δ (v) = (α + )|v|p−2 v − 1 ; x ∈ Ω
p
⎩
v = 0 ; x ∈ ∂Ω
Pelo Princípio do Máximo, Teorema 0.3, e Princípio do Máximo de Vázquez, Teorema
un
∂un
<0e
→ v << 0, logo un < 0,
0.4, obtemos v << 0. Notemos que vn =
1
∂ν
(Cn ) p−1
SEÇÃO 2.3 ∗ Demonstração dos Teoremas 2.1 e 2.2
29
∂un
, un → −∞ quando n → ∞. Como un , w ∈ C 1,α (Ω) temos que para n grande
∂ν
o suciente, un << w. Seja n0 tal que un0 << w e Cn0 ≥ C . Então, denindo u = un0 ,
ainda
como un0 é solução de (2.26) temos,
−Δp u = (α + )|u|p−2 u − Cn0 + tφ + h
≤ (α + )|u|p−2 u − C + tφ + h
≤ f (x, u) + tφ + h
isto é, u é subsolução de (PDt ).
O proximo teorema é o Método da sub e supersolução.
Teorema 2.7. Sejam u, u ∈ C 1(Ω) sub e supersolução de (PDt) respectivamente tais que
u ≤ u em Ω, com u ≤ 0 ≤ u sobre ∂Ω. Então existe u ∈ C 1 (Ω) solução de (PDt ) tal que
u ≤ u ≤ u em Ω e u = 0 sobre ∂Ω.
Demonstração. Dena os operadores Nt : C01 (Ω) → L∞ (Ω) por
Nt (v) = f (x, v) + ξ|v|p−2 v + tφ + h , v ∈ C01 (Ω)
e T : L∞ (Ω) → C01 (Ω) por T (v) = w se, e somente se, w é solução de
⎧
⎨ −Δ w + ξ|w|p−2 w = v ; x ∈ Ω
p
⎩
w = 0 ; x ∈ ∂Ω
t = T ◦ Nt .
t : C01 (Ω) → C01 (Ω) por K
Dena também K
t se, e somente se, u é uma solução de (PDt ). Mostremos
Note que u é um ponto xo de K
t = T ◦ Nt e Nt é contínua, basta mostrar que T
t é compacto. Com efeito, como K
que K
é compacto. De fato, seja {un } uma sequência limitada em L∞ (Ω) e wn = T (un ), logo
−Δp wn + ξ|wn |p−2 wn = un .
Pelo Lema 0.8 wn ∈ C01 (Ω) com wn C 1 (Ω) < C .
0
Obtemos pela imersão compacta
C 1,α (Ω) → C 1,β (Ω) que, a menos de subsequência, wn → w em C 1,β (Ω), portanto T
é compacto.
Agora, dena
A = u ∈ C01 (Ω) : u(x) ≤ u(x) ≤ u .
SEÇÃO 2.3 ∗ Demonstração dos Teoremas 2.1 e 2.2
30
Note que A é fechado e convexo. Pela hipótese (2.4) e pelo princípio de comparação
t (A) é limitado. Assim, pelo
t (A) ⊂ A e pelo Lema 0.8 K
fraco Lema 0.2, temos que K
t , ou seja, existe
Teorema do Ponto Fixo de Schauder B.4 existe u ∈ C 1 (Ω) ponto xo de K
0
u∈
C01 (Ω)
solução de (PDt ) tal que u(x) ≤ u(x) ≤ u em Ω.
Usando os resultados anteriores, mostramos o seguinte resultado:
Lema 2.8. Se o problema (PDt ) tem solução para algum t ∈ R, então (PDt ) tem solução
para todo s ≤ t.
Demonstração. Seja ut uma solução de (PDt ). Para todo s ≤ t temos que ut é supersolução
do problema (PDt ) correspondente a s, pois
−Δp u = f (x, u) + tφ(x) + h(x) ≥ f (x, u) + sφ(x) + h(x).
Por outro lado, segue do Lema 2.6 que existe uma subsolução u < ut . Logo, pelo Teorema
2.7 existe uma solução us de (PDs ) para todo s ≤ t.
2.3.1 Estimativa a-priori
Para obtermos a segunda solução usando a teoria do grau, precisamos obter estimativas
a priori para eventuais soluções de (PDt ). Os próximos resultados foram motivados por
[4]. A demonstração da seguinte proposição pode ser feita substituíndo-se t ≥ −C0 por
−C0 na prova do Lema 2.5.
Proposição 2.9. Seja
C0 ∈ R xo. Existe M = M (C0 ) > 0 tal que se u ∈ W01,p (Ω) é
uma solução de (PDt ) para t ≥ −C0 , então u− ∞ ≤ M .
Uma consequência do resultado precedente é o seguinte resultado a respeito da norma
L∞ (Ω) de u.
Lema 2.10. Para todo t0 ∈ R, existe R > 0 tal que o problema (PDt ) não possui solução
com norma u ≥ R para t ≥ t0 .
Demonstração. Suponha por absurdo que {un } é uma sequência de soluções de (PDtn )
com 0 < un → +∞ onde {tn } é uma sequência de reais tal que t0 < tn . Dena
SEÇÃO 2.3 ∗ Demonstração dos Teoremas 2.1 e 2.2
wn =
31
un
, segue que
un −Δp (wn ) =
(2.27)
f (x, un )
tn
h
,x ∈ Ω
p−1 +
p−1 φ +
un un un p−1
usando as hipóteses (2.2) e (2.3), podemos garantir a existência de constantes C1 ,C2 > 0
tal que para ∈ (0, β − λ1 )
(2.28)
(β − )|un (x)|p−1 − C1 ≤ f (x, un (x)) ≤ (λ + )|un (x)|p−1 + C2 , x ∈ Ω.
Então,
C1
f (x, un (x))
C2
≤ (λ + )|wn (x)|p−1 +
,
p−1 ≤
p−1
un un un p−1
f (x, un (x))
para todo x ∈ Ω, pela Proposição 2.9 segue que a sequência
é limitada em
un p−1
Lp (Ω) e portanto, é limitada em W −1,p (Ω). Pelo Lema 0.6 temos que −Δp (wn ) é limitado
h(x)
−1,p
em W −1,p (Ω), e como
tende
a
zero,
segue
que
é
limitada
em
W
(Ω). Logo,
un p−1
tn
é limitada e passando a uma subsequência se necessário, podemos
a sequência
un p−1
assumir que converge apara algum ρ ≥ 0. Por outro lado, temos que o operador K :
(2.29)
(β − )|wn (x)|p−1 −
Lp (Ω) → W01,p (Ω) é contínuo e compacto, de onde segue que a sequência,
f (x, un )
tn
h
wn = K
(2.30)
+
φ+
un p−1 un p−1
un p−1
possui uma subsequência fortemente convergente para algum w, com w = 1, em
W01,p (Ω). Consequentemente, usando ψ ∈ W01,p (Ω),ψ ≥ 0 como função teste em (2.27) e
a desigualdade (2.29),
f (x, un (x)
tn
h
p−2
|∇wn | ∇wn · ∇ψ dx =
p−1 ψ dx +
p−1 φψ dx +
p−1 ψ dx
Ω
Ω un Ω un Ω un C1
tn
p−1
≥ (β − ) wn ψ −
ψ+
p−1 φψ dx
Ω
Ω un Ω un h
+
p−1 ψ dx
Ω un e passando ao limite para n → +∞,
p−2
p−2
|∇w| ∇w · ∇ψ dx ≥ (β − ) w wψ + φρψ dx
Ω
Ω
Ω
SEÇÃO 2.3 ∗ Demonstração dos Teoremas 2.1 e 2.2
32
para toda ψ ∈ W01,p (Ω),ψ ≥ 0. Assim, temos que w ≥ 0, w ≡ 0 e satisfaz no sentido
fraco,
⎧
⎨ −Δ w ≥ (λ − ) wp−2 w + ρφ ,x ∈ Ω
p
⎩
w = 0 ,x ∈ ∂Ω
segue do principio do máximo de Vázquez (Teorema 0.4) que w > 0. Considere φ1 a
autofunção associada ao primeiro autovalor λ1 , pela Identidade de Picone A.1 tem-se que
p φ1
p−2
p
|∇w| ∇w dx ≤
∇
|∇φ1 | = λ1 φp1 dx
p−1
w
Ω
Ω
Ω
de onde segue que,
p p φ1
φ1
p−1
(β
−
)
w
(−Δp w) dx
+
ρφ
dx
≤
wp−1
wp−1
Ω
Ω
≤ λ1 φp1 dx
Ω
logo,
(β − )
Ω
φp1
dx +
Ω
ρφφp1
dx ≤ λ1
wp−1
Ω
φp1 dx
como, foi escolhido de forma que β − > λ1 , temos uma contradição e portanto segue
o resultado.
Note que, como consequência do lema anterior temos que o problema (PDt ) não possui
solução para t grande.
Lema 2.11. O problema (PDt ) não possui solução para t sucientemente grande
Demonstração. De fato, considere t0 = 0 e seja R > 0 dado pelo Lema 2.10, se u é solução
de (PDt ) para t > 0 grande o suciente, então u ≤ R, e por argumentos de regularidade
garantidos no Lema 0.8, segue que uC 1 é limitada independentemente de t. Por outro
lado, u resolve em W −1,p (Ω) a equação
−Δp u = f (x, u) + tφ + h
onde os termos −Δp u, f (x, u) são limitados em W −1,p (Ω). Consequentemente, obtemos
que o conjunto dos valores t para os quais o problema (PDt ) tem solução é limitado
superiormente. Isto é, existe t ∈ R tal que o problema (PDt ) não tem solução para
t > t. SEÇÃO 2.3 ∗ Demonstração dos Teoremas 2.1 e 2.2
33
2.3.2 Conclusão da Demonstração do Teorema 2.1
Prova de (i)
Considere o seguinte conjunto,
S = {t : (PDt ) tem pelo menos uma solução } .
pelo que foi feito na Seção 2.2 temos que S é não vazio. Além disso, segue do Lema
2.11 que S é limitado superiormente. Portanto, podemos denir t0 = sup t. Além disso,
S
usando (2.8) segue que, se t ∈ S então (−∞, t] ⊂ S e isso conclui o item (i).
Prova de (ii)
Segue do Lema 2.4 e da denição de supremo que para todo t > t0 , (PDt ) não possui
solução.
2.3.3 Demonstração do Teorema 2.2
Prova de (i)
Seja t0 denido no Teorema 2.1, da denição de supremo existe {tn } ⊂ S tal que
tn → t0 . Sem perda de generalidade podemos assumir que {tn } é crescente. Como tn ∈ S ,
existe un solução de (PDtn ), isto é, para todo ψ ∈ W01,p (Ω),
(2.31)
|∇un |
Ω
p−2
∇un · ∇ψ dx =
Ω
(f (x, un ) + tn φ + h) ψ dx
Temos pelos Lemas 2.5 e 2.10 que un ∈ [−M, R], logo |f (x, un )| ≤ K e
|f (x, un ) + tn φ + h| ≤ K + R φ∞ + h∞ ≤ M ,
logo, pelo Lema 0.8 segue que {un } é limitada em C 1,α (Ω) e portanto, possui uma subsequência convergente unk → u∗ em C 1,β (Ω), 0 ≤ β < α. Assim, tomando o limite quando
nk → ∞ em (2.31) obtemos
∗ p−2
∗
|∇u | ∇u · ∇ψ dx =
(f (x, u∗ ) + t0 φ + h) ψ dx
Ω
∗
Ω
isto é, u é solução de (Pt0 ) e isto conclui o item(i).
SEÇÃO 2.3 ∗ Demonstração dos Teoremas 2.1 e 2.2
34
Prova de (ii)
Já mostramos que existe t0 ∈ R tal que o problema (PDs ) não possui solução para
todo s > t0 . Fixemos t < T (R1 ) com T (R1 ) dado pelo Lema 2.3 e seja t1 = T (R1 ),
pela denição de t0 temos que t1 ≤ t0 . Segue do Lema 2.10 que para todo s ∈ [t, t0 ]
existe R > 0 grande o suciente tal que us C 1 (Ω) < R e Λ ⊂ BR , onde Λ é denido na
demonstração da primeira solução, ver Seção 2.2. Note que u é solução de (PDs ) se e
somente se u é ponto xo do operador compacto Hs v = u, onde u é uma solução de
⎧
⎨ −Δ u + λ|u|p−2 u = f (x, v) + λ|v|p−2 v + sφ + h, ; x ∈ Ω
p
⎩
u = 0 ; x ∈ ∂Ω
Consideremos a seguinte homotopia admissivel,
H : [t, t0 + 1] × BR → C01 (Ω), H(s, u) = Hs u.
então,
deg(I − Hs , BR , 0) = deg(I − Ht0 +1 , BR , 0) = 0.
pois, pela denição de t0 , Ht0 +1 não possui ponto xo. Usando agora a propriedade da
excisão do grau de Leray-Schauder, segue que
deg(I − Hs , BR − Λ, 0) = deg(I − Hs , BR , 0) − deg(I − Ks , Λ, 0) = −1,
Portanto, o problema (PDs ) possui outra solução que não pertence a Λ. Logo, exite t1 ≤ t0
tal que para todo t < t1 o problema (PDt ) possui pelo menos duas soluções distintas.
CAPÍTULO 3
SISTEMAS COM CONDIÇÃO DE
DIRICHLET
3.1 Apresentação do Problema
Consideremos o seguinte sistema
⎧
⎪
⎪
⎨ −Δp u1 = f1 (x, u1 , u2 ) + t1 φ1 + h1 , ; x ∈ Ω
(St ) −Δp u2 = f2 (x, u1 , u2 ) + t2 φ2 + h2 , ; x ∈ Ω
⎪
⎪
⎩
u1 = u2 = 0 ; x ∈ ∂Ω
onde Ω ⊂ RN é um domínio suave limitado, φi, hi ∈ L∞(Ω), com φi ≥ 0, φi ≡ 0, i = 1, 2,
t = (t1 , t2 ) ∈ R2 é um parâmetro e fi : Ω × R × R → R, i = 1, 2 são funções contínuas
satisfazendo as seguintes condições,
(I) |fi (x, s1 , s2 )| ≤ C (1 + |s1 |p−1 + |s2 |p−1 ) i = 1, 2
(II)
existe σ > 0 tal que fi(x, s1, s2) + σ|si|p−2si é não decrescente,
para todo (x, sj ) ∈ Ω × R, i = j , i = 1, 2.
e fi é quase-monótona para todo (x, si) ∈ Ω × R, isto é, para cada
i = j , i = 1, 2, fi (x, si , sj ) é não decrescente em sj .
(III) fi (x, 0, 0) = 0
35
SEÇÃO 3.1 ∗ Apresentação do Problema
36
(IV) Existem matrizes limitadas e cooperativas, isto é, (aij , cij ≥ 0) para i = j ,
⎛
A1 = ⎝
⎞
a11 a12
a21 a22
⎛
⎠ , A2 = ⎝
⎞
c11 c12
⎠
c21 c22
satisfazendo a11 + a12 ≤ 0, a21 + a22 ≤ 0, c11 , c22 < 0 tal que,
λ1 (Δp + A1 ) > 0, λ1 (Δp + A2 ) < 0,
onde
λ1 (Δp + Ai ) = sup E(Ai ),
1,p
2
E(Ai ) = λ ∈ R : ∃ϕ ∈ W0 (Ω) : ϕ > 0, Δp ϕ + (Ai + λI) Ψp (ϕ) ≤ 0 ,
com Ψp (s) = (ψp (s1 ), ψp (s2 ))T e ψp (si ) = |si |p−2 si . Além disso, existem constantes
b1 , b2 > 0 tais que
f (x, s) ≥ A1 Ψp (s) − b1 e , ∀s ≤ 0
e
f (x, s) ≥ A2 Ψp (s) − b2 e , ∀s ≥ 0
para s = (s1 , s2 ) ∈ R2 , onde e = (1, 1)T .
+
(V) Para cada sequência {sn } ⊂ R2 tal que s−
n é limitado e sn → ∞ quando n → ∞
lim inf
n→∞
f (x, sn ) − f (x, s+
n)
≥ 0.
p−1
s+
n
Nossos resultados principais neste capítulo são os seguintes,
Teorema 3.1.
Suponha que as hipóteses (I)-(IV ) estejam satisfeitas. Existe T ∈ R tal
que o sistema (St ) tem pelo menos uma solução fraca para t ≤ T e, onde e = (1, 1).
Teorema 3.2.
Suponha que as hipóteses (I)-(V ) ocorrem. Então existem curvas Lips-
chitzianas Υ∗ e Υ∗ que dividem R2 em três conjuntos disjuntos M, N e O tais que o
problema (St ):
i)
possui pelo menos uma solução para t ∈ Υ∗ ∪ Υ∗ ∪ O,
ii)
iii)
não possui solução para t ∈ N ,
possui pelo menos duas soluções distintas para t ∈ M.
SEÇÃO 3.2 ∗ Preliminares
37
3.2 Preliminares
Enunciaremos alguns resultados a respeito de sistemas envolvendo o operador pLaplaciano e que serão úteis neste capítulo. O seguinte teorema é um resultado de
regularidade, cuja demonstração pode ser encontrada em ([18], Teorema B).
Teorema 3.3. Suponha que (u, v) ∈
W01,p (Ω)
2
é uma solução do sistema
⎧
⎪
⎪
⎨ −Δp u = g1 (x, u, v) ; x ∈ Ω
−Δp v = g2 (x, u, v) ; x ∈ Ω
⎪
⎪
⎩
u = v = 0 ; x ∈ ∂Ω
onde g1 , g2 são funções Caratheodory tais que
max {|g1 (x, s, t)|, |g2 (x, s, t)|} ≤ C (1 + |s|σ1 + |t|σ2 )
2
para 1 < σi ≤ p − 1, i = 1, 2 e (s, t) ∈ R2 , então (u, v) ∈ C01,α (Ω) , 0 < α < 1. Além
disso, se
max {|g1 (x, s, t)|, |g2 (x, s, t)|} ≤ C
então (u, v)(C 1,α (Ω))2 < M (C).
0
3.2.1 Princípio do Máximo para Sistemas
Os próximos resultados trazem uma relação entre a hipótese (IV ) do Teorema 3.2 com
o problema de autovalor. Começamos com a denição de M -matriz não singular.
Denição 3.4. Para 1 ≤ k ≤ N
denotamos por Bk a matriz obtida tirando as (N − k)
linhas e colunas da matriz B . Dizemos que B = (bij ) é uma M -matriz não singular se
bij ≤ 0 para i = j , bii > 0 e det Bk > 0 para 1 ≤ k ≤ N .
Sejam λ1 o primeiro autovalor de (−Δp , W01,p (Ω)), ϕ1 a autofunção positiva e de norma
unitária associada a λ1 . Seja I = (δij ) a matriz identidade e A = (aij ) uma matriz
arbitrária, denimos
μ1,A = sup F(A)
onde F(A) = {μ ∈ R : det ((λ1 − λ)I − A) = 0 ∀λ < μ}.
SEÇÃO 3.2 ∗ Preliminares
38
O próximo resultado trás uma relação entre a matriz de um sistema com a propriedade
das soluções deste sistema, e sua demonstração pode ser encontrada em [19].
Teorema 3.5. Suponha que p ∈ (1, ∞), Ω seja um domínio limitado em RN cuja fronteira
é de classe C 2,α para algum α < p − 1. Suponha também que os coecientes aij , 1 ≤ i, j ≤
N são constantes satisfazendo aii < 0 e aij ≥ 0 para i = j . Então o problema de autovalor
⎧
N
⎪
⎪
⎨ −Δp ui =
aij Ψp (uj ) + ΛΨp (ui ) ; x ∈ Ω
j=1
⎪
⎪
⎩
ui = 0 ; x ∈ ∂Ω
tem uma uma solução positiva limitada Φ1 associada com um autovalor Λ ∈ R se, e
somente se, Λ = μ1,A . Neste caso temos que Φ1 é única a menos de um múltiplo escalar
1
T
positivo, Φi1 = cip−1 ϕ1 , onde c = (c1 , ..., cN ) ∈ int(RN
+ ) satisfaz ((λ1 − μ1,A )I − A) c = 0.
Teorema 3.6. ([17], teorema 8) Suponha que aij ≥ 0 para i = j e gi ∈ Lp (Ω).
problema
⎧
⎪
⎪
⎨ −Δp ui =
⎪
⎪
⎩
Então o
N
aij |uj |p−2 uj + gi ; x ∈ Ω
j=1
ui = 0 ; x ∈ ∂Ω
satisfaz o Princípio do Máximo se, e somente se, (λ1 I − A) é uma M -matriz não singular.
Seguindo o mesmo racíocinio em ([1], Teorema 2.8) pôde-se provar o seguinte resultado.
Teorema 3.7.
([1], teorema 2.8) Sejam f1 , f2 ≥ 0, não triviais e αa + βd ≥ λ1 , para
α, β ≥ 0 e α + β = 1. Se b, c ≥ 0, então o sistema
⎧
p−2
p−2
⎪
⎪
⎨ −Δp u1 ≥ a|u1 | u1 + b|u2 | u2 + f1 ; x ∈ Ω
−Δp u2 ≥ c|u1 |p−2 u1 + d|u2 |p−2 u2 + f2 ; x ∈ Ω
⎪
⎪
⎩
u1 = u2 = 0 ; x ∈ ∂Ω
não tem solução positiva.
Observação 3.8. Note que, pelo Teorema 3.5, μ1,A ≤ λ1(Δp + A) para A = (aij ), aii < 0
e aij ≥ 0, i = j . Logo, devemos ter E(A), F(A) = ∅, e sendo E(A), F(A) intervalos
limitados superiormente, segue que λ1 (Δp +A) está bem denido. Assim, com as hipóteses
sobre A1 e A2 temos que λ1 (Δp + Ai ), i = 1, 2 estão bem denidos.
SEÇÃO 3.2 ∗ Preliminares
39
Precisaremos do próximo reultado para provarmos uma estimativa a priori para parte
negativa de uma eventual solução do sistema (St ).
A demonstração pode ser encontrada
com os detalhes em [29].
Teorema 3.9.
Sejam Ω um aberto de RN , f ∈ C Ω × R × R e v ∈ W01,p (Ω) ∩ C(Ω).
Suponha que u ∈ W01,p (Ω) ∩ C(Ω) é uma solução de
Δp u ≤ g(x, u, v) emΩ.
Se x0 ∈ Ω e ϕ ∈ C 2 (Ω) são tais que Dϕ(x0 ) = 0, u(x0 ) = ϕ(x0 ) e u ≥ ϕ em uma
vizinhança de x0 , então
Δp ϕ(x0 ) ≤ g(x0 , u(x0 ), v(x0 )).
3.2.2 O Operador H na forma matricial
O próximo resultado foi motivado pelos casos escalares. A demonstração segue as idéias
do Teorema
7
e Teorema
9
em [17].
da primeira solução para o sistema
Usaremos este resultado para garantir a existência
(St ).
Lema 3.10. Seja C > 0 dado em (I), então o sistema
⎧
p−2
⎪
⎪
⎨ −Δp u1 + C|u1 | u1 = g1 (x) ; x ∈ Ω
(S∗ ) −Δp u2 + C|u2 |p−2 u2 = g2 (x) ; x ∈ Ω
⎪
⎪
⎩
u1 = u2 = 0 ; x ∈ ∂Ω
2
admite uma única solução u = (u1 , u2 ) ∈ W01,p (Ω) , para toda G = (g1 , g2 ) ∈ (L∞ (Ω))2 .
Além disso, o operador H : (L∞ (Ω))2 → C01 (Ω)
2
denido por
H(g1 , g2 ) = (H1 (g1 ), H2 (g2 ))
onde Hi : L∞ (Ω) → C01 (Ω), dado por Hi (gi ) = ui se e só se ui é solução de
−Δp ui + C|ui |p−2 ui = gi (x)
é estritamente crescente e compacto. Se S ⊂ (L∞ (Ω))2 é limitado na topologia de (Lp (Ω))2
induzida pelo imersão L∞ (Ω) → Lp (Ω), então o operador HS : S → C01 (Ω)
é contínuo.
2
: g → H(g)
SEÇÃO 3.2 ∗ Preliminares
40
Demonstração. Note que podemos escrever o sistema (S∗ ) na forma matricial,
⎧
⎨ −Δ u = AΨ u + G(x) ; x ∈ Ω
p
p
(SG )
⎩
u = 0 ; x ∈ ∂Ω
com A = (aij ), aii = −C e aij = 0, i = j , Ψp u = (|u1 |p−2 u1 , |u2 |p−2 u2 )
T
e G(x) =
(g1 (x), g2 (x))T . Temos que a matriz λ1 I − A é uma M-matriz não singular logo, o Passo
1 do Teorema 9 em [17] garante a existência de sub-supersolução para (SG ).
2
(Existência) Seja A = [φ1 , φ2 ] um conjunto de funções ϕ em C01 (Ω) , tais que, φ1 ≤ ϕ ≤
φ2 , onde φ1 , φ2 são as sub supersolução estritas de (SG ) respectivamente. Considere
2
AR = A ∩ BR , onde BR é a bola de raio R em C01 (Ω) . Pelo fato de φ1 (x) e φ2 (x)
serem sub e super soluções estritas, uma solução u de (S∗ ) está no interior de A.
Logo para R sucientemente grande obtemos que
deg (I − P, AR , 0) = 1,
2
onde P : AR → C01 (Ω) é denido por P u = K (G + AΨp u) onde, K : (L∞ (Ω))2 →
2
1
C0 (Ω) é dado por KG = u se e somente se u = (u1 , u2 ) é solução de
⎧
⎨ −Δ u = G(x) ; x ∈ Ω
p
⎩
u = 0 ; x ∈ ∂Ω
(Unicidade) Sejam u e v soluções de (SG ), isto é
⎧
⎪
⎪
⎨ −Δp u = AΨp u + G(x)
⎪
⎪
⎩
temos que
Ω
−Δp v = AΨp v + G(x)
u=v=0
−Δp u −Δp v
Ψp u
Ψp v
p
p
+ p−1 [u − v ] =
A p−1 − p−1 [up − v p ] ≤ 0
up−1
v
u
v
Ω
Por outro lado, pelo Teorema 7 em [17] devemos ter
−Δp u −Δp v
+ p−1 [up − v p ] > 0
p−1
u
v
Ω
se u, v > 0, u = kv . Logo, concluimos que u = kv e substituindo em (SG ) vemos
que k = 1.
SEÇÃO 3.3 ∗ Demonstração do Teorema 3.1
41
Portanto, o problema (S∗ ) é unicamente resoluvel para cada G = (g1 , g2 ) ∈ (L∞ (Ω))2 e o
2
operador solução H : (L∞ (Ω))2 → W01,p (Ω) é estritamente crescente.
(Contínuidade) Seja {g n } uma sequência limitada em (L∞ (Ω))2 e wn = Hg n , logo
−Δp wn = AΨp wn + g n (x) ; x ∈ Ω
2
2
Pelo Lema 3.3 wn ∈ C01 (Ω) com wn C 1 (Ω) 2 < M (C). Como a imersão C01,α (Ω) →
( 0 )
2
C01,β (Ω) é compacta para 0 ≤ β < α, passando a uma subsequência se necessá
2
2
1,β
n
rio, Hg → w em C0 (Ω) logo, H : (L∞ (Ω))2 → C01 (Ω) é compacto. Seja
S ⊂ (L∞ (Ω))2 é (L∞ (Ω))2 -limitado na topologia de (Lp (Ω))2 induzida pelo imersão
2
(L∞ (Ω))2 → (Lp (Ω))2 . Suponha que HS : S → C01 (Ω) não seja contínua, então
existe uma sequência (g n ) ⊂ S convergindo em (Lp (Ω))2 para alguma g ∈ S e tal que
Hg n − Hg C 1 (Ω) 2 ≥ δ para um δ > 0 conveniente. Desde que (Hg n ) é limitada
( 0 )
2
1,p
em W0 (Ω) , passando a uma subsequência se necessário, Hg n → u fortemente
2
em C01 (Ω) . Passando ao limite em
−Δp Hg n = AΨp (Hg n ) + g n (x) ; x ∈ Ω Hg n = 0 ; x ∈ ∂Ω
concluimos que u satisfaz a equação matricial
−Δp u = AΨp u + g(x) ; x ∈ Ω u = 0 ; x ∈ ∂Ω
e pela unicidade das soluções, segue que u = Hg . O que gera uma contradição com
o fato de que 0 < δ ≤ lim inf Hg n − Hg
(C01 (Ω))
2
= 0.
3.3 Demonstração do Teorema 3.1
Nesta seção mostraremos que o sistema (St ) admite pelo menos uma solução, para
isso, faremos uso da teoria do grau de Leray-Schauder. Note que resolver o problema (St )
é equivalente a mostrar a existência de uma solução para o seguinte sistema de equações
SEÇÃO 3.3 ∗ Demonstração do Teorema 3.1
42
⎧
⎨ u = H (f (x, u , u ) + C|u |p−2 u + t φ + h )
1
1
1
1
2
1
1
1 1
1
(S )
p−2
⎩ u2 = H2 (f2 (x, u1 , u2 ) + C|u2 | u2 + t2 φ2 + h2 )
onde H1 , H2 são dados no Lema 3.10. Além disso, note que o sistema (S ) pode ser escrito
na forma matricial
p (u) + tφ + h
u = H f (x, u1 , u2 ) + Ψ
(3.1)
onde u = (u1 , u2 ), f (x, u) = (f1 (x, u1 , u2 ), f2 (x, u1 , u2 )),
p (u) := C|u1 |p−2 u1 , C|u2 |p−2 u2
Ψ
sendo, tφ = (t1 φ1 , t2 φ2 ), h = (h1 , h2 ).
3.3.1 Observações sobre Soluções de Viscosidade
A proposta para esta subseção, é enunciar um resultado sobre solução de viscosidade,
o qual será usado para obter uma limitação para parte negativa de uma eventual solução
de (St ), detalhes sobre a demonstração e um aprofundamento sobre teoria de soluções de
viscosidade pode ser encontrado em [14] , veja também [29]. Começaremos com algumas
denições.
Denição 3.11. Sejam Ω ⊂ R
N
aberto, G : S(N ) × RN − {0} → R operador contínuo e
g uma função contínua denida sobre RN × R.
i) u ∈ C(Ω) é uma subsolução de viscosidade de
G D2 u, Du = g(x, u)
se para cada x0 ∈ Ω, uma das seguintes condições é satisfeita:
- ou existe uma bola aberta Bδ (x0 ) ⊂ Ω, δ > 0, sobre a qual u é constante, u = c
e g(x, u) ≤ 0, ∀x ∈ Bδ (x0 ).
- ou para toda ϕ ∈ C 2 (Ω) tal que ϕ(x0 ) = u(x0 ), ϕ ≥ u em uma vizinhança de x0
e Dϕ(x0 ) = 0, temos
G D2 ϕ(x0 ), Dϕ(x0 ) ≥ g(x0 , u(x0 )).
SEÇÃO 3.3 ∗ Demonstração do Teorema 3.1
43
ii) u ∈ C(Ω) é uma supersolução de viscosidade de
G D2 u, Du = g(x, u)
se para cada x0 ∈ Ω, uma das seguintes condições é satisfeita:
- ou existe uma bola aberta Bδ (x0 ) ⊂ Ω, δ > 0, sobre a qual u é constante, u = c
e g(x, u) ≥ 0, ∀x ∈ Bδ (x0 ).
- ou para toda ϕ ∈ C 2 (Ω) tal que ϕ(x0 ) = u(x0 ), ϕ ≤ u em uma vizinhança de x0
e Dϕ(x0 ) = 0, temos
G D2 ϕ(x0 ), Dϕ(x0 ) ≤ g(x0 , u(x0 )).
iii) u ∈ C(Ω) é uma solução de viscosidade se é ao mesmo tempo sub e supersolução de
viscosidade.
Para o caso de sistema, temos a seguinte denição de soluções de viscosidade:
Denição 3.12. Sejam Ω ⊂ R
N
aberto, G : S(N ) × RN − {0} → R operador contínuo e g
uma função contínua denida sobre RN × Rm . Dizemos que u = (u1 , ..., um ) ∈ C (Ω, Rm )
é uma solução de viscosidade do sistema
⎧
⎨ G (D2 u , Du ) = g (x, u) em Ω
i
i
i
i
⎩
i = 1, ..., m
se para cada i ∈ {1, ..., m}, ui é solução de viscosidade da equação
Gi D2 ui , Dui = gi (x, u)
O próximo teorema será útil para obtermos estimativas a priori para a parte negativa
de uma eventual solução de (St ), a demonstração pode ser encontrada em [29].
Teorema 3.13. Seja u ∈ C Ω, R
m
⎧
⎪
⎪
⎨ Δ p ui +
⎪
⎪
⎩
uma supersolução de viscosidade do sistema
m
aij ψp (uj ) = fi (x) ; x ∈ Ω
j=1
i = 1, ..., m
SEÇÃO 3.3 ∗ Demonstração do Teorema 3.1
44
onde f = (f1 , f2 , ..., fm ), com fi ∈ LN (Ω) ∩ C(Ω) e A = (aij ) ∈ S(m) satisfaz aij ≥ 0 para
m
aij ≤ 0 para todo i = 1, ..., m. Então
todo i = j e
j=1
1
p−1
− inf {min {u1 , ..., um }} ≤ sup max (u1 )− , ..., (um )− + Cdiam(Ω) f
Ω
LN (Ω)
∂Ω
sendo f = max f1+ , ..., fm+ .
3.3.2 Resultados Auxiliares
Mostraremos que a equação matricial (3.1) tem pelo menos uma solução para algum t e
para isso, precisaremos dos próximos resultados que são adaptações para o caso matricial
dos resultados em ([21], Lemas 1 e 2).
Lema 3.14. Para cada R1 > 0 dado, existe um número real T
= T (R1 ) tal que
v=
H τ f (x, v) + Ψp (v) + tφ + h
(3.2)
para toda v ∈ C01 (Ω)
2
com v + (C 1 (Ω))2 = R1 , ∀τ ∈ [0, 1], ∀t ≤ T e, onde e = (1, 1).
0
Demonstração. Suponha por absurdo que exitam sequências {v n } ⊂ C01 (Ω)
n +
(v ) (C01 (Ω))
2
= R1 ,
{τn } ⊂ [0, 1] e {tn } ⊂ R2 , tni → −∞, i = 1, 2, tal que
(3.3)
p (v n ) + tn φ + h
v n = H τn f (x, v n ) + Ψ
usando a hipótese (I) obtemos,
fi (x, s1 , s2 ) + C|si |p−2 si ≤ C|si |p−2 si + |fi (x, s1 , s2 )|
≤ C|si |p−2 si + C + C|s1 |p−1 + C|s2 |p−1
= C + C|si |p−1
2
com
SEÇÃO 3.3 ∗ Demonstração do Teorema 3.1
45
para si ≤ 0. Assim, para a sequência v n temos
p (v n ) + tn φ + h ≤ τn f (x, (v n )+ ) + Ψ
p (v n )+ + C + C|(v n )+ |p−1 + tn φ + h
τn f (x, v n ) + Ψ
i
≤ τn (M + tn φ + h) ≤ M + tn φ + h.
onde, M = (M1 , M2 ) =
gue que
!
max
x∈Ω,(v n )+ ∈[0,R1 ]2
"
n +
n + p−1
f (x, (v ) ) + Ψp ((v ) ) + C + C|(vi ) |
. Sen +
v n ≤ H(M + tn φ + h)
Seja wn = H(M + tn φ + h), ou seja wn satisfaz
p (wn ) = (M + tn φ + h)
−Δp wn + Ψ
Dena sn = (sn1 , sn2 ) tal que tn = (|sn1 |p−2 sn1 , |sn2 |p−2 sn2 ), assim
Logo,
M
tn
⎧
⎨ −Δp ( wn1n ) + C| wn1n |p−2 ( wn1n ) = ( Mn1 + φ1 + hn1 )
s1
s1
s1
t1
t1
⎩ −Δp ( wn2n ) + C| wn2n |p−2 ( wn2n ) = ( Mn2 + φ2 + hn2 )
s2
s2
s2
t2
t2
1
2
+ φ + thn := M
+ φ1 + htn1 , M
+ φ2 + htn2 → φ, quando tni → −∞. Pelo
tn
tn
1
1
2
2
Lema 3.10 temos que H é fortemente crescente e contínuo, logo
wn
→ H(φ1 , φ2 ) > 0.
sn
de onde segue que wn < 0. Logo (v n )+ = 0, contradizendo o fato de que (v n )+ (C01 (Ω))
R1 . 2
=
O seguinte corolário é uma consequência imediata do teorema que vem em seguida, e
cuja demostração será feita adaptando as idéias de [28].
Corolário 3.15. Seja t = (t1, t2) ∈ R2, ti < 0, i = 1, 2 xo. Então existe R2 > 0 tal que
p (v) + tφ + h
v = H τ f (x, v) + Ψ
(3.4)
para toda v ∈ C01 (Ω)
2
com v − (C 1 (Ω))2 = R2 , ∀τ ∈ [0, 1].
0
Teorema 3.16. Seja t = (t1, t2) ∈ R2, ti < 0, i = 1, 2 xo.
Se u ∈ W01,p (Ω)
solução da equação (3.1), então existe M > 0 tal que u− (L∞ (Ω))2 ≤ M .
2
é uma
SEÇÃO 3.3 ∗ Demonstração do Teorema 3.1
46
Demonstração. Seja (u1 , u2 ) uma solução da equação (3.1), temos que
Δp ui + fi (x, u1 , u2 ) = −ti φi − hi ≤ −ti φi ∞ + hi ∞ ≤ mti
onde mti = maxi {−ti φi ∞ + hi ∞ }, i = 1, 2. Usando o fato de que fi é quasemonótona, temos que
−
f1 (x, u1 , −u−
2 ) ≤ f1 (x, u1 , u2 ) e f2 (x, −u1 , u2 ) ≤ f2 (x, u1 , u2 ),
logo
⎧
−
⎪
⎪
⎨ Δp u1 ≤ mti − f1 (x, u1 , −u2 ) em Ω
(Smti ) Δp u2 ≤ mti − f2 (x, −u−
1 , u2 ) em Ω
⎪
⎪
⎩
u1 = u2 = 0 sobre ∂Ω
Mostraremos que (u1 , u2 ) é supersolução de viscosidade de (Smti ). Seja x0 ∈ Ω qualquer.
Se u1 = k constante em uma vizinhança Bδ (x0 ) de x0 , segue que mti − f1 (x, k, −u−
2) ≥
Δp u1 = 0 em Bδ (x0 ). Se u1 não é constante em uma vizinhança de x0 , considere ϕ ∈ C 2 (Ω)
tal que Dϕ(x0 ) = 0, ϕ(x0 ) = u1 (x0 ), ϕ ≤ u1 em uma vizinhança de x0 . Então pelo
Teorema 3.9 segue que
Δp ϕ(x0 ) ≤ mti − f1 (x0 , u1 (x0 ), −u−
2 (x0 )).
Fazendo demonstração análoga para u2 obtemos que (u1 , u2 ) é supersolução de viscosidade
de (Smti ). Além disso, como −u−
i ≤ 0, i = 1, 2 e fi (x, 0, 0) = 0, segue que
−
mti − f1 (x, 0, −u−
2 ) ≥ 0 , mti − f2 (x, −u1 , 0) ≥ 0
logo, (0, 0) é supersolução de viscosidade de (Smti ). Como o infímo de duas supersoluções
de viscosidade é supersolução de viscosidade, temos que w = min {(0, 0), (u1 , u2 )} =
−
(−u−
1 , −u2 ) é supersolução de viscosidade de (Smti ).
−
Agora provaremos que (−u−
1 , −u2 ) é supersolução de viscosidade de
⎧
⎪
⎪
⎨ Δp u1 + a11 ψp (u1 ) + a12 ψp (u2 ) = mti + b1 em Ω
Δp u2 + a21 ψp (u1 ) + a22 ψp (u2 ) = mti + b1 em Ω
⎪
⎪
⎩
u1 = u2 = 0 sobre ∂Ω
De fato, seja x0 ∈ Ω arbitrário. Se −u−
1 = k constante em Bδ (x0 ), temos pela hipótese
−
(IV ) e pelo fato de que (−u−
1 , −u2 ) é supersolução de (Smti ) que
−
−
mti + b1 − a11 ψp (k) − a12 ψp (−u−
2 ) ≥ mti − f1 (x, −u1 , −u2 ) ≥ 0 em Bδ (x0 ).
SEÇÃO 3.3 ∗ Demonstração do Teorema 3.1
47
2
Suponhamos que −u−
1 não é constante em uma vizinhança de x0 , considere ϕ ∈ C (Ω)
−
tal que Dϕ(x0 ) = 0, ϕ(x0 ) = −u−
1 (x0 ), ϕ ≤ −u1 em uma vizinhança de x0 . Como
−
(−u−
1 , −u2 ) é supersolução de (Smti ) e pela hipótese (IV ) segue que
−
−
Δp ϕ(x0 ) ≤ mti − f1 (x0 , −u−
1 (x0 ), −u2 (x0 )) ≤ mti + b1 − a11 ψp (k) − a12 ψp (−u2 )
Precedendo de forma análoga para a segunda equação obtemos a armação.
Dessa forma, pelo Teorema 3.13 temos que
1
p−1
−
− −
− −
,
−u
≤
sup
max
(−u
+
Cdiam(Ω)
m
)
,
(−u
)
+
b
− inf min −u−
ti
1 LN (Ω)
1
2
1
2
Ω
∂Ω
Como (u1 , u2 ) é solução do sistema (St ) temos que u1 = u2 = 0 sobre ∂Ω. Além disso,
−
−
− inf min −u−
= − inf −max u−
1 , −u2
1 , u2
Ω
Ω
− −
= u (L∞ (Ω))2
= sup max u−
1 , u2
Ω
−
Portanto u (L∞ (Ω))2 ≤ M .
3.3.3 Conclusão da Demonstração do Teorema 3.1
Dado R1 > 0, xemos t ≤ T (R1 )e com T (R1 ) dado pelo Lema 3.14 e considere R2 > 0
garantido no Corolário 3.15. Considere o conjunto
−
1 2 + Λ = v ∈ C0 (Ω ) : v C 1 (Ω 2 < R1 , v C 1 (Ω 2 < R2
( 0 )
( 0 )
2
Note que Λ é um conjunto aberto em C01 (Ω) contendo 0. Pelo Lema 3.14 e Corolário
3.15 temos que
∀v ∈ ∂Λ,
v=
H τ f (x, v) + Ψp (v) + tφ + h
Logo, pela invariância homotópica do grau de Leray-Schauder segue que
deg I − H f (x, v) + Ψp (v) + tφ + h , Λ, 0 = deg (I, Λ, 0) = 1.
de onde segue que existe v ∈ Λ tal que
v = H f (x, v) + Ψp (v) + tφ + h
e portanto, existe t = (t1 , t2 ) ≤ T (R1 )e tal que o sitema (St ) possui pelo menos uma
solução.
SEÇÃO 3.4 ∗ Existência de subsolução para (St )
48
3.4 Existência de subsolução para (St)
Nesta seção, começamos com um resultado a respeito da existência de subsolução para
o sitema (St ) e cuja demonstração pode ser seguida também em [29]. Em seguida, faremos
para o caso de sistema o método da sub-supersolução.
Proposição 3.17.
2
Para todo w = (w1 , w2 ) ∈ C01 (Ω) , t = (t1 , t2 ) ∈ R2 , existe u =
2
(u1 , u2 ) ∈ C01 (Ω) subsolução de (St ) tal que u << w.
2
Demonstração. Sejam w ∈ C01 (Ω) , t = (t1 , t2 ) ∈ R2 xos, mas arbitrários. Seja u ∈
C01 (Ω)
2
solução de
−Δp u = A1 Ψp (u) − d1 e + tφ + h, em Ω u = 0 sobre ∂Ω.
onde sem perda de generalidade tomamos d1 > 0 grande o suciente para −d1 +ti φi +hi <
0, i = 1, 2. Note que, desde que −d1 + ti φi + hi ∈ Lp (Ω), A1 é uma matriz cooperativa
e λ1 I − A1 é uma M -matriz não singular, a existência de tal solução é garantida pelo
Teorema 3 de [9]. Além disso, podemos tomar d1 grande o suciente para que u << w.
De fato, seja {dn1 } sequência tal que dn1 → ∞(sem perda de generalidade assuma que
dn1 > 1) e {un } uma sequência de soluções de
−Δp un = A1 Ψp (un ) − dn1 e + tφ + h, em Ω un = 0 sobre ∂Ω.
n
n
n
u
u
u
1
2
Logo, se v n =
=
, então v n é solução de
1
1 ,
1
n p−1
n p−1
n p−1
(d1 )
(d1 )
(d1 )
⎧
t1 φ 1 + h 1
⎪
⎪
;x ∈ Ω
−Δp v1n = a11 ψp (v1n ) + a12 ψp (v2n ) − 1 +
⎪
⎪
dn1
⎨
t2 φ 2 + h 2
n
n
n
−Δ
v
=
a
ψ
(v
)
+
a
ψ
(v
)
−
1
+
;x ∈ Ω
p
21
p
22
p
2
1
2
⎪
⎪
dn1
⎪
⎪
⎩
v1n = v2n = 0 ; x ∈ ∂Ω
(3.5)
Agora, note que
#
#
# 2
#
n p−1
φ
+
h
t
#
#
i
i
i
n
n p−1
≤
M
|v
aij ψp (vj ) − 1 +
|
+
|v
|
+
1
para i = 1, 2,
#
#
i
1
2
#
#
dn1
j=1
2
com Mi = Mi (ai1 , ai2 , ti , φi , hi ). Pelo Teorema 3.3 temos que (v1n , v2n ) ∈ C 1,α (Ω) para
algum 0 < α < 1, e (v1n , v2n )
(C 1,α (Ω))
2
≤ M (M1 , M2 ). Logo, pela imersão compacta
SEÇÃO 3.4 ∗ Existência de subsolução para (St )
49
2
→ C 1,α (Ω) , 0 ≤ β < α temos que, a menos de subsequência, (v1n , v2n ) →
2
(v1 , v2 ) em C 1,β (Ω) . Pelo Lema 0.7 segue que (v1n , v2n ) → (v1 , v2 ) , a qual é solução de
⎧
⎪
⎪ −Δp v1 = a11 ψp (v1 ) + a12 ψp (v2 ) − 1 ; x ∈ Ω
⎨
C 1,β (Ω)
2
⎪
⎪
⎩
−Δp v2 = a21 ψp (v1 ) + a22 ψp (v2 ) − 1 ; x ∈ Ω
v1 = v2 = 0 ; x ∈ ∂Ω
Pelo Princípio do Máximo 3.6 segue que vi ≤ 0, i = 1, 2. Considerando cada equação
separadamente e sabendo que aij > 0 para i = j , obtemos, aplicando o Princípio do
Máximo de Vázquez com β(s) = −aii ψp (s) para a i-ésima equação, i = 1, 2, que v << 0.
∂uni
∂uni
un
∂uni
n
<
0
e
ainda
<
0,
→ −∞
→
v
<<
0
,
temos
que
u
<
0
,
Como v n =
1
i
∂ν
∂ν
∂ν
(dn1 ) p−1
quando n → ∞.
∂w1
∂un1 1
<
.
Sendo wi , uni ∈ C01 (Ω), temos que existe n1 ∈ IN tal que un1 1 < w1 e
∂ν
∂ν
n2
∂w2
∂u2
<
. Seja n0 = max {n1 , n2 } e
Analogamente existe n2 ∈ IN tal que un2 2 < w2 e
∂ν
∂ν
tal que dn1 0 > b1 , onde b1 é dado pela hipótese (IV ). Então, como (un1 0 , un2 0 ) é solução de
(3.5) temos para i = 1, 2,
−Δp uni 0
2
=
aij ψp (unj 0 ) − bn1 0 + ti φi + hi
j=1
2
≤
aij ψp (unj 0 ) − b1 + ti φi + hi
j=1
≤ fi (x, un0 ) + ti φi + hi
isto é u = (un1 0 , un2 0 ) é subsolução de (St ) que satisfaz u << w.
O próximo resultado é o método de sub e supersolução para sistemas.
Teorema 3.18. Sejam u, u ∈ C 1(Ω) 2 sub e supersolução de (St) respectivamente tal
2
que u ≤ u em Ω, com u ≤ 0 ≤ u sobre ∂Ω. Então existe u ∈ C 1 (Ω) solução de (St )
tal que u ≤ u ≤ u em Ω e u = 0 sobre ∂Ω.
Demonstração. Consideremos os operadores
2
2
Nt : C01 (Ω) → (L∞ (Ω))2 e T : (L∞ (Ω))2 → C01 (Ω)
denidos para cada i = 1, 2, por
Nt (v) = (N1 (v), N2 (v)) , onde Ni (v) = fi (x, v) + σ|vi |p−2 vi + ti φi + hi
SEÇÃO 3.5 ∗ Estimativas a Priori
50
e T (v) = (T1 (v), T2 (v)) = (w1 , w2 ) se, e somente se, (w1 , w2 ) é solução de
⎧
p−2
⎪
⎪
⎨ −Δp w1 + σ|w1 | w1 = v1 ; x ∈ Ω
⎪
⎪
⎩
−Δp w2 + σ|w2 |p−2 w2 = v2 ; x ∈ Ω
Denimos também Qt : C01 (Ω)
2
w1 = w2 = 0 ; x ∈ ∂Ω
2
→ C01 (Ω) por Qt = T ◦ Nt .Temos que u e ponto xo
de Qt se, e somente se, u é uma solução de (St ), utilizando o Teorema 3.3 temos que Qt
é compacto. Considerando
B= u∈
2
C01 (Ω)
: u(x) ≤ u(x) ≤ u(x) ,
temos que B é um conjunto fechado e convexo. Ainda, por princípio de comparação, (II)
e (III) temos que Qt (B) ⊂ B , e pelo Teorema 3.3 Qt (B) é limitado. Assim, pelo Teorema
2
do Ponto Fixo de Schauder existe u ∈ C01 (Ω) o qual é ponto xo de Qt , ou seja, existe
2
u ∈ C01 (Ω) solução de (St ) tal que u ≤ u ≤ u em Ω. 3.5 Estimativas a Priori
A seguinte proposição pode ser obtida diretamente do Teorema 3.16 tomando-se t =
−C0 e.
Proposição 3.19. Seja C0 ∈ R xo. Existe M = M (C0) > 0 tal que se u é uma solução
de (St ) para t ≥ −C0 e, então u− ∞ ≤ M .
Uma consequência da Proposição 3.19 é o seguinte resultado a respeito da norma
(L∞ (Ω))2 de u.
Teorema 3.20. Para todo t0 ∈ R, existe R > 0 tal que o problema (St) não possui solução
u com norma u ≥ R para t ≥ t0 e.
Demonstração. Suponha por absurdo que {un } é uma sequência de soluções de (Stn ) com
+∞ onde {tn } é uma sequência tal que tn ≥ t0 e. Dena wn = (w1n , w2n ) =
0 < un → n
n
u1
u
, 2n , segue que
n
u u (3.6)
−Δp (win ) =
fi (x, un )
tni
hi
+
,i = 1, 2.
p−1
p−1 φi +
n
n
n
u u u p−1
SEÇÃO 3.5 ∗ Estimativas a Priori
51
Pelo Teorema 3.16 temos que (un )− ≤ M , logo un = (un )+ para n sucientemente
grande. Como fi é quase-monótona e pelas hipóteses (V ) e (IV ) temos que existe uma
constante C1 > 0 tal que
p−1
f1 (x, un1 , un2 ) ≥ f1 (x, un1 , −M ) − C1 ≥ f1 (x, (un1 )+ , 0) − o(1) (un )+ − C1
≥ c11 |(un1 )+ |p−1 − b2 − o(1) un p−1 − C1
e,
p−1
f2 (x, un1 , un2 ) ≥ f2 (x, −M, un2 ) − C1 ≥ f2 (x, 0, (un2 )+ ) − o(1) (un )+ − C1
≥ c12 |(un2 )+ |p−1 − b2 − o(1) un p−1 − C1
Por outro lado, usando a hipótese (I) temos que existe constante C2 > 0 tal que,
fi (x, un1 , un2 ) ≤ C 1 + |un1 |p−1 + |un2 |p−1 + C2
Logo, obtemos
c11 |(un1 )+ |p−1 − b2 − o(1) un p−1 − C1 ≤ f1 (x, un1 , un2 ) ≤ C 1 + |un1 |p−1 + |un2 |p−1 + C2
e,
c12 |(un2 )+ |p−1 − b2 − o(1) un p−1 − C1 ≤ f2 (x, un1 , un2 ) ≤ C 1 + |un1 |p−1 + |un2 |p−1 + C2
Então,
(3.7)
C11 |w1n |p−1
e,
C2
b2
C1
f1 (x, un1 , un2 )
−
− o(1) −
≤
≤ C 1 + |w1n |p−1 + |w2n |p−1 +
p−1
p−1
p−1
un un un un p−1
SEÇÃO 3.5 ∗ Estimativas a Priori
52
(3.8)
C2
b2
C1
f2 (x, un1 , un2 )
n p−1
n p−1
+
−
o(1)
−
≤
≤
C
1
+
|w
|
+
|w
|
1
2
p−1
p−1
p−1
n
n
n
n
u u u u p−1
fi (x, un1 , un2 )
logo, segue que a sequência
é limitada em Lp (Ω) e portanto, é limitada
p−1
un em W −1,p (Ω). Pelo Lema 0.6 temos que −Δp (win ) é limitado em W −1,p (Ω), e como
hi (x)
tni
−1,p
tende
a
zero,
segue
que
é
limitada
em
W
(Ω)
.
Logo,
a
sequência
un p−1
un p−1
é limitada e passando a uma subsequência se necessário, podemos assumir que converge
C12 |w2n |p−1 −
apara algum ρi ≥ 0, i = 1, 2. Por outro lado, temos que o operador K : Lp (Ω) → W01,p (Ω)
é contínuo e compacto, de onde segue que a sequência,
fi (x, un1 , un2 )
tni
hi
n
wi = K
(3.9)
+
φi +
un p−1
un p−1
un p−1
possui uma subsequência fortemente convergente para algum wi , com wi = 1, em
W01,p (Ω), i = 1, 2. Consequentemente, usando ψ ∈ W01,p (Ω),ψ ≥ 0 como função teste em
3.6 e as hipóteses (V ) e (IV ), temos
Ω
|∇w1n |p−2 ∇w1n ∇ψ
f1 (x, un1 , un2 )
tn1
h1
=
ψ+
φ1 ψ +
ψ
p−1
p−1
n
n p−1
un Ω
Ω u Ω u p−1
c11 |(un1 )+ |p−1 + c12 |(un2 )+ |p−1 − b2 − o(1) (un )+ ≥
un p−1
Ω
tn1
h1
+
φ1 ψ +
ψ
p−1
n
n p−1
Ω u Ω u e passando ao limite para n → +∞,
Ω
|∇w1 |
p−2
∇w1 ∇ψ ≥
Ω
c11 |w1+ |p−2 w1+
+
c12 |w2+ |p−2 w2+
ψ+
Ω
Fazendo o mesmo raciocínio para w2n , obtemos que (w1 , w2 ) é solução de
⎧
+ p−2 +
+ p−2 +
⎪
⎪
⎨ −Δp w1 ≥ c11 |w1 | w1 + c12 |w2 | w2 + ρ1 φ1 ; x ∈ Ω
−Δp w2 ≥ c21 |w1+ |p−2 w1+ + c22 |w2+ |p−2 w2+ + ρ2 φ2 ; x ∈ Ω
⎪
⎪
⎩
w1 = w2 = 0 ; x ∈ ∂Ω
φ 1 ρ1 ψ
SEÇÃO 3.5 ∗ Estimativas a Priori
53
Mostremos que wi ≥ 0, para i = 1, 2. De fato, suponha que existe xi ∈ Ω tal que
i = w−1 ((−∞, 0)) e Ωi ⊂ Ω
i a componente
wi (xi ) < 0. Como wi ∈ C 1 (Ω), considere Ω
i
conexa que contém xi . Assim, para i = j temos que
⎧
⎨ −Δ w ≥ c |w+ |p−2 w+ + ρ φ ; x ∈ Ω
p i
ij
i i
i
j
j
⎩
wi = 0 ; x ∈ ∂Ωi
Pelo princípio do máximo temos que wi ≥ 0 em Ωi , o que é uma contradição com a
denição de Ωi . Assim, não existe xi ∈ Ω tal que wi (xi ) < 0 e portanto vi ≥ 0, para
i = 1, 2. Como wi ≥ 0, segue da hipótese (IV ) e princípio do máximo de Vázquez que
wi > 0, para i = 1, 2. Por outro lado, pelas denições de E(A2 ) e λ1 (Δp + A2 ) temos que
0 ∈ E(A2 ) e assim 0 ≤ λ1 (Δp + A2 ), o que contradiz a hipótese (IV ). 2
Devido ao Teorema 3.20 obtemos as seguinte estimativa a priori na norma C 1 (Ω)
de uma eventual solução de (St ).
R > 0 tais que para todo t0 ≤ t ≤ Re, se u é
Teorema 3.21. Dado t0 ∈ R2, existem R,
.
uma solução de (St )então u(C 1 (Ω))2 ≤ R
Demonstração. Dado t0 ∈ R2 , dena C0 = max {(t01 )− , (t02 )− } ≥ 0. Segue do Teorema
3.20 que para todo t ≥ C0 e, se u é uma solução de (St ) então u ≤ R. Por outro lado,
como u é solução de (St ) temos
⎧
⎪
⎪
⎨ −Δp u1 = f1 (x, u1 , u2 ) + t1 φ1 + h1 , ; x ∈ Ω
⎪
⎪
⎩
−Δp u2 = f2 (x, u1 , u2 ) + t2 φ2 + h2 , ; x ∈ Ω
u1 = u2 = 0 ; x ∈ ∂Ω
como (u1 , u2 ) ∈ [−M, R]2 com M garantido no Teorema 3.16, |fi (x, u1 , u2 )| ≤ Ri para
(x, u1 , u2 ) ∈ Ω×[−M, R]×[−M, R], i = 1, 2 e então temos que di (x, u1 , u2 ) = fi (x, u1 , u2 )+
ti φi + hi é uma função de Caratheodory que satisfaz
|di (x, u1 , u2 )| ≤ Ri + R φi ∞ + hi ∞ ≤ C2 .
2
Pelo Teorema 3.3, u ∈ C 1,α (Ω) para 0 < α < 1 e u
> 0 tal que u
.
2 ≤ R
existe R
(C 1 (Ω))
(C 1,α (Ω))
2
(C2 ). Portanto
≤M
Com o auxilio dos resultados anteriores, provamos o seguinte resultado:
SEÇÃO 3.6 ∗ Demonstração do Teorema 3.2
54
Lema 3.22. Existe R > 0 tal que o problema (St ) não possui solução para t > Re.
Demonstração. De fato, considere t0 = (0, 0), e seja R > 0 dado pela Teorema 3.20, se
u é solução de (St ) para t > t0 e grande o suciente, então u ≤ R, e por argumentos
de regularidade garantidos no Lema 0.8, segue que u(C 1 )2 é limitada. Por outro lado, u
2
−1,p
resolve em W
(Ω) a equação vetorial,
−Δp u = f (x, u) + tφ + h
onde os termos −Δp u, f (x, u) são limitados em W
−1,p
2
(Ω) . Consequentemente, obte-
mos que o conjunto dos parâmetros t para os quais o problema (St ) tem solução é limitado.
Isto é, existe R ∈ R tal que o problema (St ) não tem solução para t > Re.
3.6 Demonstração do Teorema 3.2
Nesta seção, utilizando a teoria do grau de Leray-Schauder junto com o que já foi feito
em seções anteriores, demonstramos o Teorema 3.2. Denotemos
Y = (y1 , y2 ) ∈ R2 : (y1 , y2 ) = λ(t1 , t2 ), t1 = t2 , λ ∈ R
onde (t1 , t2 ) é o vetor para o qual o sistema (St ) tem solução(ver subseção 3.3.3).
Para cada y ∈ Y , consideremos o conjunto
S = {s ∈ R : (Sy+se ) tem ao menos uma solução }
Notemos que, pela que foi feito na Seção 3.3 temos que S = ∅, e pelo Lema 3.22, S é
limitado superiormente. Além disso, segue da Proposição 3.17 e do Teorema 3.18 que, se
t ∈ S então s ∈ S para todo s ≤ t. Dena, para y ∈ Y ,
υ ∗ (y) = sup S.
Armamos que a aplicação y → υ ∗ (y) é Lipschitziana.
SEÇÃO 3.6 ∗ Demonstração do Teorema 3.2
55
De fato, dados y, z ∈ Y com y = z , consideremos Υ∗ (y) = y + υ ∗ (y)e e Υ∗ (z) =
z + υ ∗ (z)e. Mostremos que Υ∗ (y) < Υ∗ (z) e Υ∗ (z) < Υ∗ (y). Suponhamos por absurdo
que Υ∗ (y) < Υ∗ (z), então existe > 0 tal que y + υ ∗ (y)e + e < z + υ ∗ (z)e, isto é
y + υ ∗ (y)e + e < z + υ ∗ (z)e − e
2
2
(3.10)
Como z + υ ∗ (z)e − 2 e < Υ∗ (z), (Sz+υ∗ (z)e− 2 e ) possui solução, e por (3.10), (Sy+υ∗ (y)e+ 2 e )
tem solução, o que contradiz a denição de υ ∗ (y). Da mesma forma provamos que Υ∗ (z) <
Υ∗ (y).
Assim, existem i, j ∈ {1, 2} tais que
yi + υ ∗ (y) ≥ zi + υ ∗ (z) e yj + υ ∗ (y) ≤ zj + υ ∗ (z)
Então
υ ∗ (z) − υ ∗ (y) ≤ yi − zi ≤ |y − z|
e
υ ∗ (y) − υ ∗ (z) ≤ zj − yj ≤ |y − z|
Portanto, |υ ∗ (y) − υ ∗ (z)| ≤ |y − z| como queriamos. Dena
Υ∗ = {y + υ ∗ (y)e : y ∈ Y} .
Temos que Υ∗ é uma curva Lipschitziana que divide R2 em duas componentes
L = {y + se : s < υ ∗ (y), y ∈ Y} e N = {y + se : s > υ ∗ (y), y ∈ Y} .
Prova de i) Segue da denição de
S e υ ∗ que se t ∈ L, então (St ) tem pelo menos
uma solução. Agora, se t ∈ Υ∗ , t = y ∗ + υ ∗ (y ∗ )e, para algum y ∗ ∈ Y . Pela denição de
υ ∗ (y ∗ ) existe {tn } ⊂ R tal que tn → υ ∗ (y ∗ ) e (Sy∗ +tn e ) tem solução un . Sem perda de
generalidade, suponhamos que tn é crescente. Como un é solução de (Sy∗ +tn e ), para todo
ϕ ∈ W01,p (Ω),
n p−2
n
(3.11)
|∇ui | ∇ui ∇ϕ =
(fi (x, un1 , un2 ) + (yi∗ + tn ) φi + hi ) ϕ, i = 1, 2.
Ω
Ω
Pela hipótese (I), Teorema 3.21 e Lema 3.22, com t0 = y ∗ + t1 e (t1 é o primeiro elemento
da sequência), temos, para i = 1, 2,
SEÇÃO 3.6 ∗ Demonstração do Teorema 3.2
56
|fi (x, un1 , un2 ) + (yi∗ + tn ) φi + hi | ≤ C 1 + |un1 |p−1 + |un2 |p−1 + |yi∗ + tn | φi ∞ + hi ∞
p−1
.
≤C 1+R
+ R + |t0 | φi ∞ + hi ∞ ≤ M
2
Logo pelo Teorema 3.3 segue que {un } é limitada em C01,α (Ω) e assim possui uma
2
1,β
nk
∗
subsequência convergente u → u em C0 (Ω) , 0 ≤ β < α. Dessa forma, tomando o
limite quando nk → ∞ em (3.11) obtemos
Ω
|∇u∗i |p−2 ∇u∗i ∇ϕ
=
Ω
(fi (x, u∗1 , u∗2 ) + ti φi + hi ) ϕ, i = 1, 2.
isto é, u∗ é solução de (St ). Portanto (St ) tem solução para t ∈ Υ∗ .
Prova de ii) Mostremos que para todo t ∈ N , o problema (St) não tem solução.
De
fato, se t ∈ N , existem y ∈ Y e s > υ ∗ (y) tais que ti = yi + s. Como s > υ ∗ (y), segue que
(St ) = (Sy+se ) não tem solução pela denição de υ ∗ (y).
Prova de iii) Fixemos s < T (R1) com T (R1) dado no Lema 3.14 e seja υ∗ = T (R1),
pela denição de υ ∗ (y) tem-se que υ∗ ≤ υ ∗ (y). Dena
Υ∗ = {y + υ∗ e : y ∈ Y} .
Temos que Υ∗ divide L em dois conjuntos
M = {y + se : s < υ∗ , y ∈ Y} , O = {y + se : υ∗ < s < υ ∗ (y), y ∈ Y}
Pelo Teorema 3.21, existe R > 0 grande o suciente tal que se ut0 é solução de (St0 ), com
t0 = y 0 + te e t ∈ [s, υ ∗ + 1] então ut0 2 < R. Além disso, podemos tomar R > 0
(C01 (Ω))
2
grande de forma que Λ ⊂ BR , sendo BR a bola em C01 (Ω) e Λ o conjunto denido na
Seção 3.3. Note que ut0 é solução de (St0 ) se e somente se ut0 é ponto xo do operador
compacto Ht0 v = u, onde u é uma solução do sistema matricial
⎧
⎨ −Δ u + Ψ
p (u) = f (x, v) + Ψ
p (v) + t0 φ + h, ; x ∈ Ω
p
⎩
u = 0 ; x ∈ ∂Ω
Consideremos a seguinte homotopia admissivel,
2
H : [s, υ ∗ + 1] × BR → C01 (Ω) , H(t, u) = H(y0 +te) u.
SEÇÃO 3.6 ∗ Demonstração do Teorema 3.2
57
então,
deg(I − H(y0 +te) , BR , 0) = deg(I − H(y0 +(υ∗ +1)e) , BR , 0) = 0.
pois, pela denição de υ ∗ , H(y0 +(υ∗ +1)e) não possui ponto xo. Usando agora a propriedade
da excisão do grau de Leray-Schauder, segue que
deg(I − H(y0 +te) , BR − Λ, 0) = deg(I − H(y0 +te) , BR , 0) − deg(I − H(y0 +te) , Λ, 0) = −1,
Portanto, o problema (St0 ) possui outra solução que não pertence a Λ. Logo, se t0 ∈ M
o problema (St0 ) possui pelo menos duas soluções distintas.
APÊNDICE A
IDENTIDADE DE PICONE
O Seguinte resultado é conhecido como identidade de Picone para p > 1. Para maiores
detalhes sobre a demonstração veja [1].
Teorema A.1 ([1],Teorema 1.1). Sejam v > 0, u ≥ 0 diferenciáveis. Dena
(A.1)
L(u, v) = |∇u|p + (p − 1)
up
up−1
p
|∇v|
−
p
∇u|∇v|p−2 ∇v
vp
v p−1
e,
(A.2)
p
R(u, v) = |∇u| − ∇
up
v p−1
|∇v|p−2 ∇v
Nestas condições, L(u, v) = R(u, v).Além disso, L(u, v) ≥ 0, e L(u, v) = 0 q.t.p em Ω se
e somente se ∇( uv ) = 0 q.t.p em Ω.
Demonstração. Note que basta desenvolver
∇
up
v p−1
para ver que L(u, v) = R(u, v).
O resto da demonstração segue da desigualdade de Minkowski
α = |∇u|
αβ ≤
|β|q
|α|p
+
p
q
1 1
e ( u|∇v|
)p−1 , onde + = 1.Mais especicamente, temos
v
p q
L(u, v) = |∇u|p − p
+p
up−1
up
p−2
|∇v|
|∇v||∇u|
+
(p
−
1)
|∇v|p
v p−1
vp
up−1
|∇v|p−2 [|∇v||∇u| − ∇v∇u] .
v p−1
58
com
59
Suponhamos que L(u, v)(x0 ) = 0, e u(x0 ) = 0, então devemos ter |∇v||∇u| = ∇v∇u
u
u
u
e |∇u| = ( )|∇v|, isto é, ∇u = ( )∇v ou ∇( )(x0 ) = 0. Consideremos agora S =
v
v
v
u
{x ∈ Ω : u(x) = 0}, então segue que ∇u = 0 q.t.p x ∈ S , e ∇( ) = 0 q.t.p x ∈ S ,
v
u
portanto concluimos que ∇( ) = 0 q.t.p x ∈ Ω e como consequência u = kv para alguma
v
constante k . APÊNDICE B
GRAU DE LERAY-SCHAUDER
Apresentaremos aqui alguns resultados e propriedades do Grau de Leray-Schauder.
Começaremos com a sua denição. Para maiores detalhes veja por exemplo [6].
Denição B.1. Sejam Ω um aberto limitado,
B espaço de Banach tal que Ω ⊂ B e
K : Ω → B aplicação contínua.
(i) Dizemos que K é compacto se K(Ω) é relativamente compacto, isto é, K(Ω) é compacto.
(ii) Dizemos que Φ = I − K : Ω → B é uma perturbação compacta da identidade quando
K é compacto.
Lema B.2. Sejam K : Ω → B um operador compacto,
Φ = I − K uma perturbação
compacta da identidade e b ∈ B − Φ(∂Ω). Então,
(i) Φ é uma aplicação fechada, isto é, a imagem por Φ de um fechado é fechado.
(ii) Φ é uma aplicação própria, isto é, a imagem inversa por Φ de um compacto é
compacto.
(iii) Seja r = dist (b, Φ(∂Ω)) > 0. Existe uma aplicação Kr : Ω → B de posto nito tal
que K − Kr ≤ 2r .
60
61
Denição B.3. Seja r = dist (b, Φ(∂Ω)) > 0, tomemos Φ
r
= I − Kr , onde Kr : Ω → B
de posto nito tal que Φ − Φr = K − Kr ≤ 2r . Note que dist (b, Φr (∂Ω)) ≥
r
2
> 0.
Denimos,
deg (I − K, Ω, b) := deg (I − Kr , Ω, b) .
Daremos agora algumas propriedades do grau de Leray-Schauder.
(G1)[Continuidade do Grau] Sejam Φ = I − K : Ω → B uma perturbação compacta,
existe uma vizinhança U de K no espaço dos operadores compactos K(Ω, B) tal que
para todo S ∈ U temos,
b∈
/ (I − S)(∂Ω) e deg (I − S, Ω, b) = deg (I − K, Ω, b) .
(G2)[Invariância por Homotopia] Seja H ∈ C Ω × [0, 1], B dada por
H(x, t) = x − K(x, t),
/ H(∂Ω × [0, 1]) então deg (H(., t), Ω, b)
onde K : Ω × [0, 1] → B é compacto. Se b ∈
é constante para todo t ∈ [0, 1].
(G3)[Normalização] Seja I a projeção canônica de Ω em B , isto é, I(x) = x, então
⎧
⎨ 1 ;b ∈ Ω
deg (I, Ω, b) =
⎩ 0 ;b ∈
/Ω
(G4) Se b ∈
/ Φ(Ω), então deg (Φ, Ω, b) = 0.
(G5)[Existência de Solução] Se deg (Φ, Ω, b) = 0, então existe x0 ∈ Ω tal que Φ(x0 ) = b.
(G6)[Excisão] Seja K um fechado contido em Ω tal que b ∈ Φ(K). Então,
deg (Φ, Ω, b) = deg (Φ, Ω − K, b) .
O Seguinte resultado é uma generalização do teorema do ponto xo de Brouwer para
espaços de dimensão innita. Para maiores detalhes sobre a demonstração veja por exemplo [12]
62
Teorema B.4.
Sejam B um espaço de Banach e K ⊂ B convexo e compacto. Se F :
K → K é uma aplicação continua então F admite ponto xo.
Demonstração. Sendo K compacto, para todo > 0 podemos cobrir K com N () boloas
abertas B (xk ), k = 1, ..., N = N (). Denote por K a envoltória convexa de xk e considere
a aplicação I : K → K dada por
$
dist (x, K − B (xi )xi )
I (x) = $i
i dist (x, K − B (xi ))
temos que I está bem denida e é contínua, além disso para todo x ∈ K
#
#$
# i dist (x, K − B (xi )(xi − x)) #
#
#
$
|I (x) − x| = #
#
dist
(x,
K
−
B
(x
))
i
i
$
dist (x, K − B (xi ))|xi − x|
≤ .
≤ i$
i dist (x, K − B (xi ))
Dena a aplicação F = I ◦ F . Temos que F : K →: K tem ponto xo x . Passando a
uma subsequência se necessário podemos assumir que x → x0 , logo
|F (x ) − x | = |F (x ) − I (F (x ))| ≤ .
sendo F contínua, fazendo → 0 temos que x0 é ponto xo de F .
Como consequência do teorema anterior temos
Corolário B.5.
Sejam B um espaço de Banach e K ⊂ B convexo e fechado. Se F :
K → K é uma aplicação continua tal que F (K) é pré-compacto, então F admite ponto
xo.
Demonstração. Basta aplicar o teorema anterior ao seguinte conjunto convexo-compacto
= Fecho da envoltória convexa de F (K). K
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