mecânica dos fluidos

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA - CAMPUS JOINVILLE
CENTRO DE ENGENHARIAS DA MOBILIDADE
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Fernanda Hille
JULHO / 2014
Mecânica dos Fluidos
INTRODUÇÃO
Esta apostila foi desenvolvida como um projeto de ensino do Programa de
Educação Tutorial do Centro de Engenharias da Mobilidade (PET-CEM). O presente
trabalho apresenta um resumo da matéria, contendo os principais conceitos
fundamentais e exemplos de vários assuntos da mecânica dos fluidos. Somente a
leitura deste material não é suficiente para entendimento total da matéria. É
necessária a leitura de algum livro do assunto para analisar as demonstrações de
fórmulas e resolver outros exemplos.
PET - EMB
Mecânica dos Fluidos
SUMÁRIO
1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS .............................................................................1
2. ESTÁTICA DOS FLUIDOS .....................................................................................2
2.1. Manômetros de Coluna .............................................................................2
2.2. Forças Hidrostáticas Sobre Superfícies Submersas .................................5
3. EQUAÇÕES BÁSICAS NA FORMA INTEGRAL PARA UM VC .............................9
3.1. Conservação da Massa (Equação da Continuidade) ................................9
3.2. Equação da Quantidade de Movimento para um VC inercial ..................10
4. ANÁLISE DIFERENCIAL DOS MOVIMENTOS DOS FLUIDOS............................13
4.1. Conservação da Massa em Análise Diferencial ......................................13
4.2. Equação de Navier-Stokes ......................................................................15
4.3. Equação de Euler.....................................................................................16
4.3.1.Equação de Euler em Coordenadas de Linha de corrente .........16
4.4. Função de Corrente .................................................................................17
4.5. Potencial de Velocidade ..........................................................................17
4.6. Equação de Bernoulli ...............................................................................18
4.7. Escoamento em Planos Elementares ......................................................21
4.8. Superposição de Escoamentos em Planos Elementares.........................22
5. ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA ........................................................28
5.1. Determinação dos Grupos 𝜋 ...................................................................28
5.2. Grupos Adimensionais Importantes ........................................................31
5.3. Semelhança em Escoamentos e Estudos de Modelos ...........................32
6. ESCOAMENTO VISCOSO INTERNO E INCOMPRESSÍVEL .............................36
6.1. Escoamento Entre Placas Paralelas Infinitas ..........................................36
PET – EMB
Mecânica dos Fluidos
6.1.1. Ambas Estacionárias .................................................................36
6.1.2. Em um Pistão .............................................................................38
6.1.3. Em Dutos.....................................................................................39
6.2. Equação da Energia em Escoamentos em Tubos ...................................42
6.3. Perda de Carga ........................................................................................42
7. ESCOAMENTO VISCOSO, INCOMPRESSÍVEL E EXTERNO.............................45
7.1. Espessuras de Camada Limite ................................................................45
7.2. Escoamento Sobre Uma Placa Plana Horizontal (Blausius) ...................47
7.3. Força de Arrasto ......................................................................................47
8. SUGESTÃO DE ESTUDO.....................................................................................51
REFERÊNCIAS..........................................................................................................52
PET – EMB
Mecânica dos Fluidos
1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS
Fluido: É uma substância que se deforma continuamente sob ação de uma tensão
de cisalhamento. Podem estar em forma de gases ou líquidos.
Viscosidade (µ): Caracteriza a resistência de um fluido ao escoamento, ou seja,
quanto maior a viscosidade de um fluido mais dificuldade ele tem de se movimentar.
Escoamento Laminar: As secções do fluido se deslocam em planos paralelos ou
em círculos concêntricos coaxiais (quando em um tubo cilíndrico), sem se misturar.
Escoamento Turbulento: As partículas se misturam de uma forma não linear, ou
seja, caótica com turbulência e redemoinhos.
Zona de Transição: Os escoamentos mudam de laminar para turbulentos quando
atingem o Reynolds de transição. O Reynolds de transição é de 2.300 para
escoamentos internos e aproximadamente 500.000 para escoamentos externos.
Re =
𝜌𝑉𝐿
µ
Onde, 𝜌 e µ são referentes ao fluido, L refere-se ao objeto e V é velocidade do
objeto em relação ao fluido.
Escoamento Compressível: A densidade varia com a pressão. Geralmente são
gases.
Escoamento Incompressível: A densidade não varia com a pressão. Geralmente
são líquidos. Para um gás ser incompressível M =
𝑉
𝑐
se M < 0,3 o gás pode ser
tratado como incompressível.
Escoamento Interno: São os escoamentos que passam por dentro de dutos, tubos,
placas, etc.
Escoamento externo: O fluido pode estar livre ou sobre uma única placa.
PET – EMB
1
Mecânica dos Fluidos
2. ESTÁTICA DOS FLUIDOS
2.1. Manômetros de Coluna
Para descobrir a pressão em algum ponto do manômetro é utiliza-se a equação da
pressão:
p2 = p1 ± ρ.g.h
Quando o ponto 2 está a uma altura menor do ponto 1, há uma quantidade de fluido
maior sobre o ponto 1, portando:
p2 = p1 + ρ.g.h
Quando o ponto 2 está mais alto que o ponto 1 a pressão nele é menor do que do
ponto 1, assim:
p2 = p1 - ρ.g.h
Se os dois pontos estiverem na mesma altura:
p2 = p1
Para facilitar os cálculos em manômetros de coluna complexos e com diferentes
tipos de fluidos, são adicionados pontos em cada transição dos fluidos. Veja o
exemplo a seguir:
Exemplo 1
Qual é a pressão no ponto 2 em função da pressão no ponto 1, das alturas e das
densidades dos fluidos?
PET – EMB
2
Mecânica dos Fluidos
Resolução:
Observe onde os pontos A, B, C, D, E, F, G e H foram colocados. Para achar a
pressão no ponto 2 é necessário analisar cada ponto. Percorrendo o manômetro a
partir do ponto 1 até o ponto 2 e passando por todos os pontos no caminho, são
obtidas as seguintes equações:
pA = p1 + ρ(água).g.h1
pB = pA
( estão na mesma altura)
pC = pB – ρ(mercúrio).g.h2
pD = Pc
pE = pD + ρ(óleo).g.h3
pF = pe
pG = pF - ρ(mercúrio).g.h4
pH = pG - ρ (água).g.h5
p2 = pH
Resolvendo as equações:
p2 = g ( - ρ(água).g.h5 - ρ(mercúrio).g.h4 + ρ(óleo).g.h3 – ρ(mercúrio).g.h2 P1 +
ρ(água).g.h1)
Obs: Observe que a p2 tem que ser menor que p1, já que p2 está em um ponto mais
alto.
PET – EMB
3
Mecânica dos Fluidos
Manômetros Inclinados
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
ℎ
𝐿
Manômetros com Fluidos Diferentes
ρ1 > ρ2
PET – EMB
4
Mecânica dos Fluidos
Manômetros com Diâmetros Diferentes
Quando aplicada uma força em um lado do manômetro, as alturas deslocadas
serão diferentes devido aos diâmetros diferentes, porém o volume deslocado é o
mesmo. Assim:
D².Zb = d².Za
2.2. Forças Hidrostáticas Sobre Superfícies Submersas
Magnitude da força:
PET – EMB
5
Mecânica dos Fluidos
I Fr I = - ∫ p dA
Para:
_Fluidos estáticos
_Incompressíveis
_Onde a gravidade é a única força atuando
p= patm + ρ.g.h
Mas h = y.sen (θ)
Então:
IFrI = - ∫ ρ.g.y.sen(θ)dA
Ponto de ação da força:
y`. Fr = ∫y.pdA
∫
x`.Fr = x.pdA
Exemplo 2:
A profundidade (h) da represa é 10m. O ângulo (𝜃) da comporta com o chão é de
45°. O comprimento da comporta (L) é 14,142m. A largura da represa (w) é de 8m.
Qual é a força (Fr) na comporta?
Primeiramente é necessário definir as hipóteses do problema:
PET – EMB
6
Mecânica dos Fluidos
_Fluido estático
_Incompressível
_Nenhuma força externa atuando
_Pressão atmosférica atuando em ambos os lados da comporta
1. Magnitude da força:
p = ρ.g.h
h = y.sen(θ)
p = ρ.g.y.sen(θ)
Fr = - ∫𝐴 p dA
𝑳
𝒘
Fr = - ∫𝟎 ∫𝟎 ρ. g. y. sen(θ) dx dy
𝐿
Fr = -∫0 w ρ. g. y. sen(θ) dy
L
Fr =
Fr =
Fr =
− 𝑤.𝜌.𝑔.𝑦².𝑠𝑒𝑛(𝜃)
2
]
0
−𝑤.𝜌.𝑔.𝐿².𝑠𝑒𝑛(𝜃)
2
−8.1000.9,81.14,142².𝑠𝑒𝑛(45°)
2
Fr = 5.549kN
2. Ponto de ação da força:
y`. Fr = ∫𝐴 y p dA
𝐿
𝑤
y`. Fr = ∫0 ∫0 y. ρ. g. y. sen(θ). dx. dy
𝐿
y`. Fr = ∫0 y². ρ. g. sen(𝜃). w. dy
y`. Fr =
y` =
𝐿³.𝜌.𝑔.𝑠𝑒𝑛(𝜃).𝑤
3
14,142³.1000.9,81.𝑠𝑒𝑛(45°).8
PET – EMB
3.5549.10³
7
Mecânica dos Fluidos
y`=9,43m
x`.Fr = ∫𝐴 xpdA
𝐿
𝑤
x`. Fr = ∫0 ∫0 x. ρ. g. y. sen(θ). dx. dy
x`. Fr =
x`=
x` =
𝐿
1
∫ w². ρ. g. y. sen(𝜃). dy
2 0
𝑤².𝜌.𝑔.𝑠𝑒𝑛(𝑡𝑒).𝐿²
4.𝐹𝑟
8².1000.9,81.𝑠𝑒𝑛(45°).14,142²
4.5549x10³
x` = 4m
Obs: O valor de x obviamente deve ser 4, pois o ponto de atuação da força em x
deve ser a metade da largura total.
PET – EMB
8
Mecânica dos Fluidos
3. EQUAÇÕES BÁSICAS NA
VOLUME DE CONTROLE
3.1.
FORMA
INTEGRAL
PARA
UM
Conservação da Massa (Equação da Continuidade)
“A taxa de variação temporal da massa no interior do volume de controle é
igual ao fluxo líquido de massa através da superfície de controle”.

Onde  é a densidade do fluido, t é o tempo, dV é o volume infinitesimal, V é

a velocidade absoluta do fluido, n é o vetor unitário normal ao elemento de área dA.
O primeiro termo representa a taxa de variação da massa dentro do volume
de controle e o segundo termo representa a taxa líquida de fluxo de massa para fora
através da superfície de controle.
Casos especiais
Escoamento incompressível através de um Volume de Controle fixo
⃗ 𝑑𝐴 =0
∫𝑆𝐶 𝑉
Em alguns casos é possível aproximar uma velocidade uniforme em cada entrada e
saída. Nesse caso a equação pode ser simplificada para:
Σ 𝑉⃗𝐴 = 0
SC
O vetor da área deve estar sempre apontado para fora da superfície de controle.
Vazão volumétrica
∫
Q = V dA
A
Módulo de velocidade média de uma secção:
̅=Q
𝑽
A
PET – EMB
9
Mecânica dos Fluidos
Escoamento permanente compressível através de um volume de controle fixo
∫ ρ 𝑉⃗ d𝐴= 0
SC
Em alguns casos é possível aproximar uma velocidade uniforme em cada entrada e
saída. Nesse caso a equação pode ser simplificada para:
Σ ρ 𝑉⃗.𝐴 = 0
SC
3.2. Equação da quantidade de movimento para um volume de controle Inercial
Segunda lei de Newton para um volume de controle não acelerado:

 

F  FC  FS  VC

V  dV
t

SC
  
 V V.dA
Fc: Forças de campo. Na mecânica dos fluidos geralmente é a gravidade, mas ainda
podem ser campos elétricos ou magnéticos.
Fs: Forças de superfície. Na mecânica dos fluidos a mais comum é a pressão.
Exemplo 3:
Um jato de água é defletido por um bloco retangular (15 mm x 200 mm x 100mm)
que pesa 6N. Determine a vazão volumétrica mínima para derrubar o bloco.
PET – EMB
10
Mecânica dos Fluidos
Primeiramente é necessário traçar o volume de controle. No VC devem estar
presentes todas as saídas e entradas de água.
Agora, vamos definir as hipóteses do problema:
_ Escoamento permanente.
_ Escoamento incompressível.
_ Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do VC.
Com essas hipóteses podemos usar diretamente a equação da continuidade para
escoamento incompressível através de um volume de controle fixo e com
escoamento uniforme cm cada seção:
Σ 𝑉⃗𝐴 = 0
SC
-V1.A1 + V2.A2 + V3.A3 = 0
V1.A1 = V2.A2 + V3.A3
Porém, A1= A2+ A3 e A2=A3
V1=V2=V3
PET – EMB
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Mecânica dos Fluidos
Observe que quando o bloco estiver caindo ele irá girar em torno do ponto do canto
inferior direito. A força do jato de água precisa vencer a força de torque nesse ponto.
A força Fy é o peso do bloco: 6N. Fazendo a somatória dos momentos em ralação
ao ponto do torque igual à zero:
𝐹𝑦.𝑤
2
𝐹𝑥.𝐿
–
6.0,015
2
2
–
=0
𝐹𝑥.0,1
2
=0
Fx = 0,9 N
Então, sabe-se que a força que o jato precisa ter é de 0,9N. Agora é possível
encontrar a velocidade que ele precisa atingir para exercer essa força, utilizando a
equação da quantidade de movimento para um volume de controle inercial. As
forças de campo nesse casso é zero. Então a equação pode ser simplificada para:
∫
Fx = V ρ V dA
SC
Fx = - ρ.V².AJato
Fx = -1000.v². (π.r²)
0,9 = -1000.v².( π.0,005²)
V = 3,386 m/s
Com a velocidade, a vazão pode ser facilmente calculada:
Q = v. A
Q = 3,386.( π.0,005²)
Q= 2,66x10 −4 m³/s
PET – EMB
12
Mecânica dos Fluidos
4. INTRODUÇÃO À ANÁLISE DIFERENCIAL DOS MOVIMENTOS
DOS FLUIDOS
4.1. Conservação da massa
Forma diferencial da lei da conservação da massa em coordenadas retangulares:
Também pode ser escrita da seguinte forma:
Casos especiais
Incompressível: A massa específica não é função nem das coordenadas espaciais
nem do tempo.
Ou na forma vetorial:
Permanente: Todas as propriedades do fluido são, por definição, independente do
tempo assim:
Na forma vetorial:
Em coordenadas cilíndricas:
𝜕(𝑟𝜌𝑉𝑟) 1 ∂(ρVθ)
𝜕𝑟
PET – EMB
+
r
∂θ
+
𝜕(𝜌𝑉𝑧)
𝜕𝑧
+
𝜕𝜌
𝜕𝑡
=0
13
Mecânica dos Fluidos
Incompressível:
𝜕(𝑟𝑉𝑟) 1 ∂Vθ
𝜕𝑟
+
r ∂θ
+
𝜕𝑉𝑧
𝜕𝑧
=0
Permanente:
𝜕(𝑟𝜌𝑉𝑟) 1 ∂(ρVθ)
+
𝜕𝑟
r
∂θ
+
𝜕(𝜌𝑉𝑧)
𝜕𝑧
=0
Exemplo 4:
Um escoamento incompressível em regime permanente tem as componentes de
velocidade u= x³ +2z² e w = y³ - 2yz. Qual deve ser a componente v(x,y,z) para que
o escoamento satisfaça a equação da continuidade?
3x² +
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑦
- 2y= 0
= 2y -3x²
Integrando
(1)
𝜕𝑣
𝜕𝑦
:
∫ 𝑑𝑣 = ∫(2𝑦 − 3𝑥 2 )𝑑𝑦
𝑣 = 𝑦² − 3𝑥²𝑦 + 𝑓(𝑥, 𝑦)
(2)
Derivando e comparando com a equação 1:
𝑣` = 2𝑦 − 3𝑥² + 𝑓`(𝑥, 𝑦) = 2𝑦 − 3𝑥²
𝑓`(𝑥, 𝑦) = 0
Integrando
𝑓(𝑥, 𝑦)= C
Assim, substituindo na equação 2:
𝑣 = 𝑦² − 3𝑥²𝑦 + 𝐶
PET – EMB
14
Mecânica dos Fluidos
4.2. Equação de Navier-stokes
Para escoamentos incompressíveis com viscosidade constante:
Coordenadas retangulares
Na forma vetorial:
Coordenada cilíndricas
Exemplo 5:
Um escoamento sem atrito, em regime permanente, o campo de velocidade é dado
por: V=2xyi-y²j. Sendo a densidade constante e desprezando a gravidade, ache uma
expressão para o gradiente de pressão na direção x.
Solução
PET – EMB
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Mecânica dos Fluidos
Hipóteses
1. Escoamento invíscido
2.Escoamento em regime permanente
3.Gravidade desprezível
4.Escoamento Incompressível
5.Escoamento bidimensional
u= 2xy
v= -y²
Utilizando a equação de Navier-Stokes na direção x:
Com as simplificações a equação fica:
-
-
𝜕𝑃
𝜕𝑥
𝜕𝑃
𝜕𝑥
= 𝜌 (𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
)
= 𝜌[2𝑥𝑦(2𝑦) + (−𝑦 2 )(2𝑥)]
-
𝜕𝑃
𝜕𝑥
= 𝜌2xy²
4.3. Equação de Euler
A equação de Euler é usada para escoamentos invíscidos, ou seja, 𝜇=0:
É a equação de Navier-Stokes simplificada.
4.3.1 Equação de Euler em Coordenadas de Linhas de Correntes
Para um escoamento em regime permanente
Equação normal à linha de corrente:
PET – EMB
16
Mecânica dos Fluidos
Onde:
R: raio de curvatura da linha de corrente.
4.4. Função de Corrente para Escoamento Incompressível e Bidimensional 𝝋
Coordenadas retangulares
u=
𝜕𝜑
v =−
𝜕𝑦
𝜕𝜑
𝜕𝑥
Coordenadas cilíndricas
Vr =
1 𝜕𝜑
𝜕𝜑
V𝜃 = 𝜕𝑟
r 𝜕𝜃
Pontos de estagnação
Os pontos de estagnação são o x e y onde a velocidade é igual a zero.
4.5. Potencial de Velocidade ∅
Coordenadas retangulares
𝜕∅
u = − 𝜕𝑥
v =−
𝜕∅
𝜕𝑦
w =−
𝜕∅
𝜕𝑧
Coordenadas cilíndricas
𝜕∅
Vr = − 𝜕𝑟
V𝜃 =
−
1 𝜕∅
𝑟 𝜕𝜃
V𝑧 =
−
𝜕∅
𝜕𝑧
Exemplo 6:
Para as funções de corrente, em m²/s, determine a magnitude e ângulo dos vetores
velocidade com o eixo x, na posição x=2m e y = 4m.
PET – EMB
17
Mecânica dos Fluidos
𝜑 = 𝑥𝑦 + 𝑥²
u=
𝜕𝜑
v=−
𝜕𝑦
u = xi
𝜕𝜑
𝜕𝑥
v = -(y+2x)j
⃗ = xi - (y+2x)j
𝑉
Em x = 2 e y = 4:
⃗ = 2i -8j
𝑉
Magnitude:
⃗ |= √(22 + (−8)2 )
|𝑉
⃗ |= 8,25 m/s
|𝑉
Ângulo com o eixo x:
tg𝜃 =
tg𝜃 =
𝑣
𝑢
−8
2
𝜃= - 75,96°
4.6. Equação de Bernoulli
A equação de Bernoulli necessita das seguintes hipóteses:
_ Escoamento em regime permanente
_ Escoamento incompressível
_ Escoamento sem atrito
_ Escoamento ao longo de uma linha de corrente
Algumas restrições da equação de Bernoulli:
PET – EMB
18
Mecânica dos Fluidos
1. Quando a gradiente de pressão não for favorável, pois, não existem linhas de
corrente.
2. Quando há mudanças bruscas na geometria do sólido.
Exemplo 7:
Uma mangueira de jardim de 10 m de comprimento e diâmetro interno de 20 mm é
usada para drenar uma piscina. Se os efeitos da viscosidade forem
desconsiderados, qual a vazão de drenagem?
Solução
Hipóteses:
PET – EMB
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Mecânica dos Fluidos
_ Escoamento invíscido
_ Escoamento em regime permanente
_Piscina muito grande
Com essas hipóteses é possível aplicar a equação de Bernoulli nos pontos 1 e 2:
𝑃1
𝜌
+
𝑉1²
2
+ gz1 =
𝑃2
𝜌
+
𝑉2²
2
+ gz2
P2 e P1 são iguais a Patm, pois estão diretamente no ar e V1 pode ser aproximada
á zero, já que a piscina é grande e a velocidade de vazão é pequena.
Simplificando a equação:
V2 = √(2𝑔(𝑧1 − 𝑧2)
V2= √(2.9,81(0,2 − (−0,23))
V2 = 2,9 m/s
Agora para descobrir a vazão de drenagem basta aplicar a fórmula da vazão no
ponto 2:
Q2=V2.A2
Q2 = 2,9.𝜋𝑟²
Q2 = 2,9𝜋 0,01²
Q2 = 9,11x10−4 m³/s
PET – EMB
20
Mecânica dos Fluidos
4.7. Escoamento em Planos Elementares
Potencial de velocidade ∅ e função da linha de corrente 𝜑 para planos elementares
são facilmente encontrados na tabela abaixo:
PET – EMB
21
Mecânica dos Fluidos
4.8. Superposição de Escoamentos em Planos Elementares
Somente quando for incompressível e irrotacional.
𝜑3 = 𝜑1 + 𝜑2
u3= u1 + u2
v3 = v1 + v2
Método direto: Combinações
Algumas combinações já foram estudadas e colocadas na tabela a seguir:
PET – EMB
22
Mecânica dos Fluidos
PET – EMB
23
Mecânica dos Fluidos
PET – EMB
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Mecânica dos Fluidos
Exemplo 8:
O escoamento potencial contra uma placa plana pode ser descrito com a seguinte
função de corrente: 𝜑 = 𝐴𝑥𝑦, onde A é uma constante. Esse é um escoamento com
ponto de estagnação contra uma placa com uma lombada. Determine a relação
entre a altura h da lombada, constante A e a intensidade q da fonte.
PET – EMB
25
Mecânica dos Fluidos
Utilizando a superposição com a fonte:
𝜑 = 𝐴𝑥𝑦 + 𝜑𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒
𝜑 = 𝐴𝑥𝑦 +
𝑞𝜃
2𝜋
Transformando a equação para coordenadas cilíndricas:
x= r cos𝜃
y = r sen𝜃
𝜑 = 𝐴 r cos𝜃 r sen𝜃 +
𝑞𝜃
2𝜋
𝜑 = 𝐴 r² cos𝜃 sen𝜃 +
𝑞𝜃
2𝜋
Utilizando a propriedade dos senos e cossenos:
Sen2𝜃 = 2 cos𝜃 sen𝜃
Então:
1
sen2𝜃 = cos𝜃 sen𝜃
2
𝜑=
𝐴
𝑞𝜃
r² sen2𝜃 +
2
2𝜋
PET – EMB
26
Mecânica dos Fluidos
Encontrando as velocidades:
Vr =
1 𝜕𝜑
𝜕𝜑
V𝜃 = 𝜕𝑟
r 𝜕𝜃
𝑞
Vr = A r cos2𝜃 +
V𝜃 = - Ar sen2𝜃
2𝜋𝑟
No ponto E:
𝜃=
𝜋
2
e
r=h
Substituindo nas velocidades e igualando a zero:
Vr = A h cos(
0 = Ah(-1) +
2𝜋
2
)+
𝑞
2𝜋
V𝜃 = - Ah sen( )
2
2𝜋ℎ
𝑞
V𝜃 = 0
2𝜋ℎ
h² =
PET – EMB
𝑞
2𝜋𝐴
27
Mecânica dos Fluidos
5. ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA
Em muitos testes e pesquisas são utilizados modelos em escalas muito menores
que o produto real. Mas como saber se o tamanho do modelo se comportará da
mesma maneira que o produto real se comportaria em diferentes situações? Para
isso, utiliza-se a análise dimensional e semelhança.
5.1. Determinação dos Grupos π
Os grupos π são compostos somente por parâmetros adimensionais. Para
determiná-los é necessário seguir alguns passos. Esses passos são mostrados no
exemplo a seguir:
Exemplo 9:
Força de arrasto sobre uma esfera lisa. Dados: F= f (ρ, mi, D, v)
1° Passo: Listar os parâmetros que julgar envolvidos
F V D ρ mi
n = 5 parâmetros dimensionais
2° Passo: Listar as dimensões primárias envolvidas
M ( massa) L (comprimento) T( tempo)
r = 3 dimensões primárias
3° Passo: Expressar os parâmetros em termos das dimensões
A força é expressa em massa x aceleração. A aceleração por sua vez, é expressa
em distância percorrida / por tempo ao quadrado. Sendo assim:
F:
ML
t²
A densidade é expressa pela massa sobre o volume e o volume é expresso em
comprimento ao cubo.
ρ:
M
L³
A viscosidade é expressa em:
µ:
M
Lt
O diâmetro é expresso em comprimento.
D: L
PET – EMB
28
Mecânica dos Fluidos
A velocidade é expressa em comprimento por tempo.
V:
Então:
L
t
ML
t²
M M
L
= f (Lt , L³ , L, t )
4° Passo: Encontrar a quantidade de parâmetros π. Para isso basta resolver a
equação:
m=n–r
m=5–3
M=2
Então existem 2 parâmetros π.
5° Passo: Selecionar r parâmetros que em conjunto possuam todas as dimensões
primárias (parâmetros repetentes).
_ Caracterize o fluido: ρ
_ Caracterize a geometria: D
_ Caracterize o escoamento: V
Obs:
_ Não pode ser o parâmetro dependente (nesse caso o F).
_ Nenhum dos parâmetros repetentes pode ter dimensões que sejam uma
potência das dimensões de outro parâmetro repetente; por exemplo, A (L²) e I ( 𝐿4 ).
6°Passo: Parâmetros π
Π1= ρa V b Dc F
Precisamos descobrir os valores de a, b e c. Expressando os parâmetros em
dimensões:
Π1 = [𝑀𝐿−3 ]𝑎 [𝐿𝑡 −1 ]𝑏 [𝐿]𝑐 [𝑀𝐿𝑡 −2 ]
Agora agrupamos os expoentes que cada dimensão primária está elevada e
igualamos à zero:
M: a + 1 = 0
a = -1
t: -b – 2 = 0
b= -2
PET – EMB
29
Mecânica dos Fluidos
L : -3a + b + c+ 1= 0
c= -2
Então,
Π1 =
𝐹
𝜌𝑉²𝐷²
Da mesma maneira fazemos para π2:
π2 = ρd V e Df µ
𝜋2 = [𝑀𝐿−3 ]𝑎 [𝐿𝑡 −1 ]𝑏 [𝐿]𝑐 [𝑀𝑡 −1 𝐿−1 ]
M: d + 1 = 0
t: -e -1 = 0
L: -3d + e + f -1 = 0
d=1
e= -1
f=1
Assim:
𝜋2 =
µ
𝜌𝑉𝐷
7° Passo: Aplicar o teorema do pi de buckingham
Π1 = f( π2)
𝐹
µ
= f(𝜌𝑉𝐷 )
𝜌𝑉²𝐷²
8° Passo: Verificar se os grupos são adimensionais
Π1 = 𝑀−1 𝐿3 𝐿−2 𝑡 2 𝐿2 𝑀𝐿𝑡 −2
Π1 = 𝑀0 𝐿0 𝑡 0 é adimensional
Π2 = 𝑀−1 𝐿3 𝐿−1 𝑡1 𝑀𝐿−1 𝑡 −1 𝐿−1
Π2 = 𝑀0 𝐿0 𝑡 0 é adimensional
PET – EMB
30
Mecânica dos Fluidos
5.2. Grupos Adimensionais Importantes na Mecânica dos Fluidos
Reynolds
Reynolds é definido pela Força Inercial sobre as Forças viscosas:
Re =
𝜌𝑉𝐿
𝐹𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎
µ
𝐹𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑎
Pensando assim é fácil perceber que se a força inercial for dominante sobre as
forças viscosas o Re será maior que 1, caso contrário o Re será menor que 1. Se
nenhuma força dominar sobre a outra o Re será igual a 1.
Euler
Também chamado de coeficiente de pressão, Cp é utilizado para medir a pressão no
movimento dos fluidos.
Ԑ𝑢 =
2∆𝑝
𝐹𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜
𝜌𝑉²
𝐹𝐼𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎
∆𝑃: É a pressão local menos a inicial
ρ e V: Propriedades do fluido
Cavitação
Nos estudos da cavitação utiliza-se a equação de Euler, só que o ∆𝑃 é tomado como
a pressão da corrente líquida (p) menos a pressão de vapor líquido na temperatura
de teste (pv).
Ca =
2(𝑝−𝑝𝑣)
𝜌𝑉²
Quanto menor o Ca, maior a probabilidade de ocorrer cavitação, o que é indesejável.
Froude
O número de Froude é significativo para escoamentos com efeitos de superfície
livre.
Fr =
PET – EMB
𝑉
𝐹𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎
√𝑔𝑙
𝐹𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
31
Mecânica dos Fluidos
Weber
É um indicativo da existência, e da freqüência, de ondas capilares em uma superfície
livre.
𝜌𝑉²𝐿
𝐹𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎
We =
𝜃
𝐹𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
Mach
Caracteriza os efeitos da compressibilidade em um escoamento.
M=
𝑉
𝑐
V= velocidade do escoamento
C = velocidade do som
5.3. Semelhança de Escoamentos e Estudos de Modelos
Modelo: Tamanho reduzido do protótipo.
Para os testes em um protótipo sejam eficazes em relação ao modelo algumas
semelhanças devem ser consideradas:
Semelhança Geométrica
As dimensões dos protótipos são proporcionais em escala as dimensões do modelo.
Semelhança Cinemática
A velocidade do escoamento sobre o protótipo deve ter a mesma direção e sentido
que a velocidade do escoamento sobre o modelo.
PET – EMB
32
Mecânica dos Fluidos
Vm =
ε Vp
𝜀 : Fator de escala
A semelhança geométrica garante a semelhança cinemática.
Semelhança Dinâmica
Fm =
𝜀
Fp
A semelhança cinemática é condição necessária, mas não garante a semelhança
dinâmica.
Re,m = Re, p :
𝜌𝑉𝐷
µ
]=
m
𝜌𝑉𝐷
µ
]
p
𝐹
𝜌𝑉²𝐷²
]=
m
𝐹
𝜌𝑉²𝐷²
]
p
Fr, m = Fr, p
Ca, m = Ca, p
Exemplo 10:
Um modelo de um transdutor sonar é testado em um túnel de vento. A força de
arrasto sobre o modelo é Fm = 5N. O transdutor é rebocado a uma velocidade de
2m/s no mar.
a) Determine a velocidade necessária no ar para se realizar um teste eficaz (Vm).
b) Estime a força de arrasto sobre o protótipo (Fp).
Dados:
PET – EMB
33
Mecânica dos Fluidos
Modelo: Fm=5N
Dm= 0,5m
µar=1,81x10−5 N.s/m²
ρar= 1,225 Kg/m³
Protótipo: Vp = 2m/s
Dp = 8m
ρmar = 1025 Kg/m³
µmar=1,218x10−3 N.s/m²
Para o teste ser eficaz é necessário garantir a semelhança dinâmica.
Re,m = Re,p
𝜌𝑉𝐷
µ
]=
𝜌𝑉𝐷
µ
m
]
p
Agora colocando os valores na equação:
1,225.𝑉𝑚.0,5
1025.2.8
1,81x10−5
1,218x10−3
=
a)
Vm=397,9 m/s
𝐹
𝜌𝑉²𝐷²
]=
𝐹
𝜌𝑉²𝐷²
m
Fp= Fm
]
p
𝜌𝑝𝑉𝑝²𝐷𝑝²
𝜌𝑚𝑉𝑚²𝐷𝑚²
PET – EMB
34
Mecânica dos Fluidos
1025.2².8²
Fp= 5.
1,225.387,8².0,5²
b)
PET – EMB
Fp = 29,37 N
35
Mecânica dos Fluidos
6. ESCOAMENTO VISCOSO INTERNO E INCOMPRESSÍVEL
Na entrada do tubo a velocidade do escoamento é uniforme. Devido à condição de
não deslizamento, sabemos que a velocidade na parede do tubo é zero em toda a
extensão. Para escoamentos incompressíveis, a conservação da massa exige que,
conforme a velocidade na proximidade da parede é reduzida, a velocidade na região
central sem atrito do tudo deve crescer para compensar. Suficientemente longe da
entrada do tubo, o perfil de velocidade não muda mais. Nessa região o escoamento
está completamente desenvolvido e é inteiramente viscoso. O comprimento do tubo
onde o escoamento ainda está se desenvolvendo é chamado comprimento de
entrada.
𝜕
A condição de completamente desenvolvido faz com que
seja igual a zero.
𝜕𝑥
Escoamento laminar completamente desenvolvido
O comprimento de entrada pode ser calculado como:
𝐿
= 0,06
𝐷
6.1. Entre Placas Paralelas Infinitas
𝜌𝑉𝐷
µ
6.1.1. Ambas Estacionárias
Hipóteses:
_ Regime Permanente
_ Bidimensional
_FBx=0
_Completamente desenvolvido
PET – EMB
36
Mecânica dos Fluidos
Distribuição da Velocidade
U=
1 𝜕𝑃
2µ 𝜕𝑋
(2y - H)
Distribuição da tensão cisalhante
𝒯 xy = 𝜇
𝜕𝑈
𝜕𝑦
então,
𝒯 xy =
1 𝜕𝑃
2 𝜕𝑋
(2y - H)
Vazão em volume
Q=
−𝑏 𝜕𝑃 𝐻³
b: Profundidade
2µ 𝜕𝑋 6
Velocidade Média
𝑉̅ =
−𝜕𝑃 𝐻²
𝜕𝑋 12µ
Vazão Volumétrica como função da queda de pressão
𝑄 𝐻³∆𝑃
=
𝑏 12µ𝐿
Ponto de Velocidade máxima
𝜕𝑢
=0
𝜕𝑦
y=
PET – EMB
𝐻
2
37
Mecânica dos Fluidos
6.1.2. Em um Pistão
Placa superior se movendo com velocidade constante
Distribuição da Velocidade
U=
1 𝜕𝑃
2µ 𝜕𝑋
(y² - Hy) +
𝑈𝑦
𝐻
Tensão cisalhante
U= 𝜔𝑅
então,
𝒯 xy =
µ.
𝜔𝑅
𝐻
Ponto de Velocidade máxima
𝜕𝑢
=0
𝜕𝑦
y=
𝐻
2
–
𝑈/𝐻
1
𝜕𝑃
(µ)( 𝜕𝑥 )
Torque
T= 𝐹. 𝑅
F= 𝜏yx.AS
AS = 2ΠRL
T= µ.
PET – EMB
𝜔𝑅
𝐻
2ΠRL.R
38
Mecânica dos Fluidos
Potência
W= T.𝜔
6.1.3. Escoamento em Dutos
Distribuição da Velocidade
Vz=
1 𝜕𝑃
4µ 𝜕𝑧
(r²-R²)
Distribuição da tensão cisalhante
𝒯 xy =
𝑟 𝜕𝑃
2 𝜕𝑧
Vazão em volume
Q=
−𝜋𝑅 4 𝜕𝑃
8µ 𝜕𝑧
Velocidade Média
V=
−𝜕𝑃 𝑅²
𝜕𝑧 8µ
Vazão Volumétrica como função da queda de pressão
∆𝑃 =
PET – EMB
128𝑄𝜇𝐿
𝜋𝐷4
39
Mecânica dos Fluidos
Ponto de Velocidade máxima
𝜕𝑉𝑧
=0
𝜕𝑟
r=0
Exemplo 11:
O mancal de virabrequim é lubrificado por óleo 𝜇 = 0,2 𝑃𝑎. 𝑠. O eixo gira a 80rpm.
Determine o torque requerido para girar o eixo e a potência dissipada.
Hipóteses:
_ Escoamento em um pistão
_Escoamento Laminar
_ Regime permanente
_ Incompressível
_Completamente desenvolvido
𝜕𝑝
_ 𝜕𝑥=0, o escoamento é simétrico no mancal real sem carga.
3600rpm =
80.2𝜋
60
rad/s = 8,38 rad/s
Vimos que:
PET – EMB
40
Mecânica dos Fluidos
U=
1 𝜕𝑝
2µ 𝜕𝑋
(y² - Hy) +
𝑈𝑦
𝐻
U=
𝜏yx = 𝜇
𝑈𝑦
𝐻
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜏yx = 𝜇
𝑈
𝐻
U = 𝜔R
𝜏yx = 𝜇
𝜔R
𝜏yx =0,2
𝜏yx =
𝐻
8,38x0,0375
2,5𝑥10−4
251,4 Pa
T= 𝐹. 𝑅
𝜏
F= yx.A
T=251,42πRLR
T= 502,8.0,0375² 2
a)
Torque:
T= 1,42 N.m
W=FU
W=F R 𝜔
W= T 𝜔
W= 1,42. 8,38
b)
PET – EMB
Potência:
W= 11,85 w
41
Mecânica dos Fluidos
6.2. Equação da Energia em Escoamento em Tubos
𝑃1
𝑉1²
𝑃2
𝑉2²
( 𝜌𝑔 + 𝛼2 2𝑔 + 𝑧1 ) - ( 𝜌𝑔 + 𝛼2 2𝑔 + 𝑧2 ) = hlt
Onde:
𝛼 = 2 : Laminar
𝛼 = 1 : Turbulento
hlt: Perda de carga total
6.3. Perda de Carga
hlt = hl + hlm
hl: Perdas maiores, causadas por efeitos de atrito no escoamento completamente
desenvolvido.
hlm: Perdas localizadas ou menores, causadas por entradas, acessórios, variações
de área e outras.
Perdas maiores (hl)
a) Escoamento Laminar
64 𝐿 𝑉²
hl= ( )
𝑅𝑒 𝐷 2
b) Escoamento turbulento
𝐿 𝑉²
hl= f 𝐷 2
f é o fator de atrito q é função de Re,
PET – EMB
𝑒
𝐷
. Pode ser obtido através da seguinte tabela:
42
Mecânica dos Fluidos
Perdas Menores hlm
Para escoamento completamente desenvolvido através de um tubo horizontal de
área constante: hlm = 0.
hlm = K
𝑉²
2
K pode variar com as entradas e saídas do tubo:
PET – EMB
43
Mecânica dos Fluidos
O K também varia com expansões e contrações, curvas, válvulas e acessórios entre
outros. Esses valores de K podem ser facilmente obtidos em tabelas de livros de
mecânica dos fluidos.
PET – EMB
44
Mecânica dos Fluidos
7. ESCOAMENTO VISCOSO, INCOMPRESSÍVEL E EXTERNO
Quando um objeto move-se através de um fluido o movimento das moléculas do
fluido perto do objeto é perturbado, e estas moléculas movem-se ao redor do objeto,
gerando forças aerodinâmicas.
7.1. Espessuras da Camada Limite
Espessura de pertubação, 𝛿
É a distância da superfície na qual a velocidade situa-se dentro de 1% da velocidade
da corrente livre, isto é, u ≈ 0,99𝑈.
Espessura de deslocamento, 𝛿 ∗
É a distância na qual a placa seria deslocada de forma que a perda de fluxo de
massa ( devido à redução na área do escoamento uniforme) fosse equivalente à
perda causada pela camada-limite.
PET – EMB
45
Mecânica dos Fluidos
Para escoamentos incompressíveis,
𝛿
𝑢
𝛿 ∗ = ∫ (1 − ) 𝑑𝑦
𝑈
0
Espessura de quantidade de movimento, 𝜃
É a distância que a placa seria movida de modo que a perda de fluxo de quantidade
de movimento fosse equivalente à perda real causada pela camada-limite.
𝛿
𝜃= ∫
0
𝑢
𝑢
(1 − ) 𝑑𝑦
𝑈
𝑈
Hipóteses simplificadoras
Essas hipóteses simplificadoras são usualmente feitas em análises de engenharia,
visto que o perfil de velocidade em uma camada-limite une-se assintoticamente com
a velocidade da corrente livre.
PET – EMB
46
Mecânica dos Fluidos
1. u→U em y= 𝛿
𝜕𝑢
2.
𝜕𝑦
= 0 em y= 𝛿
3. u≪ 𝑈 dentro da camada-limite
4. ∆𝑃 é desprezível
7.2. Escoamento Sobre Uma Placa Plana Horizontal (Blausius)
Escoamento Laminar
Espessura da camada-limite: 𝛿
=
5𝑥
√(𝑅𝑒𝑥)
Coeficiente de atrito superficial: Cf =
0,664
√(𝑅𝑒𝑥)
Solução aproximada ( Laminar ou turbulento)
Espessura da camada-limite: 𝛿
=
5,48
√(𝑅𝑒𝑥)
Coeficiente de atrito superficial: Cf =
0,73
√(𝑅𝑒𝑥)
Escoamento turbulento sobre a placa plana
Espessura da camada-limite: 𝛿
=
0,382
√(𝑅𝑒𝑥)
Coeficiente de atrito superficial: Cf =
0,0594
√(𝑅𝑒𝑥)
7.3. Força de Arrasto
A força de arrasto é força que faz resistência ao movimento de um objeto sólido
através de um fluido.
PET – EMB
47
Mecânica dos Fluidos
Coeficiente de arrasto
CD =
𝐹𝑑
1𝜌𝑣²𝐴
2
O coeficiente de arrasto para objetos selecionados ( Re ≥ 10³) pode ser
determinado com auxílio da seguinte tabela:
Exemplo 12:
Em um teste para medir a velocidade máxima de carros, um tuatara atinge uma
velocidade de 432 km/h. Imediatamente, após passar pelo sinalizador de tempo, o
piloto abre o paraquedas de frenagem, de área A = 21 m². As resistências do ar e do
rolamento do carro podem ser desprezadas. Determine o tempo necessário para que
o veículo desacelere para 36 km/h. A massa do carro é de 1000 kg.
Dados:
Vi = 432 km/h ou 120 m/s
Vf = 36 km/h ou 10 m/s
𝜌(𝑎𝑟) = 1,21 𝑘𝑔/𝑚3 a 20°C
𝜇(ar) = 1,81x10−5 N. s/m²
PET – EMB
48
Mecânica dos Fluidos
Para achar o CD pode-se utilizar a tabela desde que o Re seja maior ou igual a 10³.
Então, calculando o Re:
Re =
𝜌𝑉𝐷
µ
Encontrando o Diâmetro:
A=
𝜋 𝐷²
4
D=(
D=(
4𝐴
𝜋
1⁄
2
)
4𝑥21
𝜋
1⁄
2
)
D = 5,17m
Re =
1,21 𝑥 10 𝑥 11,28
1,81x10−5
Re = 7,54 x 106
O Re do problema valida a hipótese, então pela tabela: CD = 1,42.
Considerando a segunda Lei de Newton:
-FD = ma
𝑑𝑉
-FD = m 𝑑𝑡
(1)
E da equação da força de arrasto:
PET – EMB
49
Mecânica dos Fluidos
FD =
𝐶𝐷 𝜌 𝑉² 𝐴
(2)
2
Igualando 1 e 2:
−𝐶𝐷 𝜌 𝑉² 𝐴
2
𝑑𝑉
= m 𝑑𝑡
Integrando:
𝑉𝑓
−1 𝐶𝐷 𝜌 𝐴 𝑡
𝑑𝑉
∫ 𝑑𝑡 = ∫
2𝑚
2
0
𝑉𝑖
−1 𝐶𝐷 𝜌 𝐴
1
1
𝑡=−
+
2𝑚
𝑉𝑓 𝑉𝑖
−1 𝐶𝐷 𝜌 𝐴
(𝑉𝑖 − 𝑉𝑓)
𝑡=−
2𝑚
𝑉𝑓 𝑉𝑖
𝑡=
𝑡=
(120 − 10)
2𝑥1000
120𝑥10
1,42𝑥1,21𝑥21
(𝑉𝑖 − 𝑉𝑓) 2𝑚
𝑉𝑓 𝑉𝑖
𝐶𝐷 𝜌 𝐴
t = 5,08 s
PET – EMB
50
Mecânica dos Fluidos
8. SUGESTÃO DE ESTUDO
Para melhor entendimento da matéria, primeiramente deve se ler os capítulos do
livro que são estudados em sala assim que lhe são apresentados. Após o término da
leitura do capítulo, é sugerido tentar resolver os exemplos do livro sem olhar a
resolução e em seguida resolver os exercícios sugeridos. Para fixar e revisar o
assunto, essa apostila deve ser estudada.
Leitura
Introdução à MECÂNICA DOS FLUIDOS, Robert W. Fox, Philip J. Pritchard, Alan T.
McDonald; Sétima edição.
Exercícios
Capítulo 3: 3.23, 3.24, 3.26, 3.28, 3.51 e 3.65
Capítulo 4: 4.12, 4.22, 4.66 e 4.195
Capítulo 5: 5.4, 5.5, 5.10, 5.22, 5.36, 5.40, 5.47
Capítulo 6: 6.10, 6.28, 6.39, 6.46, 6.67, 6.77
Capítulo 7: 7.9, 7.12, 7.15, 7.42, 7.46, 7.50, 7.76
Capítulo 8: 8.1, 8.9, 8.20, 8.47, 8.57, 8.76, 8.84, 8.90, 8.117
Capítulo 9: 9.12, 9.19, 9,81, 9,84, 9,98
PET – EMB
51
Mecânica dos Fluidos
REFERÊNCIAS
Fox, Robert; Pritchard, Philip; McDonald, Alan; Introdução à Mecânica dos Fluidos,
sétima edição.
HTTP://WWW.FENG.PUCRS.BR/LSFM/MECFLU/MECANICA-DOSFLUIDOS/APOSTILA%20MECANICA%20DOS%20FLUIDOS%202011.PDF
HTTP://WWW.UFPE.BR/LDPFLU/CAPITULO5.PDF
HTTP://UFPEMECANICA.FILES.WORDPRESS.COM/2011/07/ANC3A1LISEDIMENSIONAL-E-SEMELHANC3A7A-DINC3A2MICA-CORRIGIDO.PDF
HTTP://SOMAUTOMOTIVOCARROSTUNING.BLOGSPOT.COM.BR/2011/07/TUAT
ARA-E-O-NOME-DO-NOVO-ESPORTIVO-DA.HTML
PET – EMB
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