SEQUÊNCIAS IMPORTANTES PARA O LIMITE Uma sequência
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começando a entender CÁLCULO Volume Um - 3 SEQUÊNCIAS IMPORTANTES PARA O LIMITE Uma sequência infinita de números (xn) é convergente a um número xo quando (xn) se torna (ou é sempre) igual a xo, ou se torna cada vez mais próxima de xo e tão próxima quanto se queira. Dizemos, com isso, que (xn) tende a xo, e escrevemos: (xn) xo deve ser lido como (a (xn ) se torna (ou é sempre) igual a x o , (xn ) xo quando se torna cada vez mais próxima de xo ou e tão próxima quanto se queira. sequência) xn tende a xo e significa uma destas possibilidades resumidas ao lado. Exemplo 5A As sequências seguintes convergem para 3: A sequência (an) é sempre igual ao (an) : (3 3 3 3 3 ...) próprio 3, portanto, convergente a 3; (bn) (bn) : (1 2 3 3 3 ...) se torna 3, portanto, igualmente é (cn) : (2,9 2,99 2,999 2,9999 ...) convergente a 3. Se quisermos que (cn) (dn) : (3,1 3,01 3,001 3,0001 ...) seja mais próxima a 3 do que o número 2,95, basta considerar seu 2º termo em Veja que (an) é a sequência constante 3 e, portanto, convergente para 3 diante. Se quisermos (cn) mais próxima a conforme a definição. A sequência (bn) se torna igual a 3 e, portanto, 3 do que o número 2,9999, basta converge também para este número. Por outro lado, (bn) e (cn) se tornam cada considerar seu 5º termo em diante. vez mais próximas a 3 e tão próximas quanto se queira de 3. Assim, (cn) se torna cada vez mais próxima a 3 e tão próxima a 3 quanto Exemplo 5B se queira. Análise semelhante pode ser As sequências seguintes não convergem para 3: feita para (dn). (en) : (3 2 3 2 3 ...) (fn) : (1,9 1,99 1,999 1,9999 ...) Veja que (fn) se aproxima cada vez mais (gn) : (10 3,1 10 3,01 10 3,001 10 3,001 ...) próxima de qualquer número maior que 2, mas não fica tão próxima àquele número quanto se queira. Por exemplo, (fn) se torna cada vez mais próximo de 3 mas nunca mais próximo do que o número 2,5. Na verdade, (fn) converge para o número 2. De fato, (en) não se torna 3 nem 2; não é uma sequência convergente para número. Por outro lado, (fn), apesar de se tornar cada vez mais próxima a 3 (ou a qualquer outro número maior que 2), não se torna tão próxima a 3 quanto quisermos, pois sempre estará separada de 3 por um número maior que 1. Finalmente, (gn) não se torna cada vez mais próxima a 3 apesar de se tornar tão próxima a 3 quanto se queira para seus termos de ordens pares. Uma sequência pode ser, então, considerada uma função de domínio natural não-nulo e, consequentemente, pode ter uma fórmula. Por exemplo, as funções (cn) e (dn) do exemplo 5A têm as seguintes fórmulas: Assim, para cada n inteiro e positivo, cn 3 1 10n teremos associado um termo da n=1 n=2 n=3 n=4 b1 = 2,9 b2 = 2,99 b3 = 2,999 b4 = 2,9999 n + sequência que pode ser calculado bn 3 utilizando-se a fórmula da sequência. Desta forma, cn = c(n) e dn = d(n). No estudo dos limites, estes dois tipos de dn 3 1 10n sequência, sintetizados em a 10n, são n=1 n=2 n=3 n=4 n + importantes para a definição de limites c1 = 3,1 c2 = 3,01 c3 = 3,001 c4 = 3,0001 cn 3 pontuais. começando a entender CÁLCULO Volume Um - 4 Uma sequência infinita de números (xn) tende a mais infinito Assim, a sequência dos números quando (xn) se torna cada vez maior e tão positiva quanto se queira. Uma naturais (0, 1, 2, 3, ...) tende a + sequência infinita de números (xn) tende a menos infinito quando (xn) se porque se torna cada vez maior e tão torna cada vez menor e tão negativa quanto se queira: positiva quanto se queira. O mesmo dizer para as sequências de múltiplos, cada vez maior e (xn ) quando (xn ) se torna tão positiva quanto se queira. por exemplo, de 5, (0, 5, 10, 15, ...). A cada vez menor e (xn ) quando (xn ) se torna tão negativa quanto se queira. sequência dos inteiros negativos (1, 2, 3, ...) tende a porque se torna cada vez menor e tão negativa quanto se queira. A sequência (1,9 1,99 1,999 1,9999 ...) se torna cada vez maior mas Exemplo 5C não tão positiva quanto se queira. Logo, A sequência hn = 10n tende a mais infinito, pois, se torna cada vez maior e tão não tende a + (mas sim, tende a 2). A positiva quanto se queira. Escrevemos (hn) +. Veja na tabela seguinte sequência (3,1 3,01 3,001 3,0001 ...) seus valores iniciais: se torna cada vez menor mas não tão negativa quanto se queira. Logo, não h1 h2 h3 h4 h5 tende a (mas sim, tende a 3). 10 100 1.000 10.000 100.000 + Exemplo 5D A sequência in = 10n tende a menos infinito, pois, se torna cada vez menor e tão negativa quanto se queira. Escrevemos (in) . Veja na tabela seguinte seus valores iniciais: i1 i2 i3 i4 i5 10 100 1.000 10.000 100.000 Juntamente com as sequências dos tipos de cn 3 10n e de dn 3 10n , Podemos sintetizar estes 2 primeiros tipos em a 10n e as duas últimas estas duas sequências, hn = 10n e in = 10n são as sequências mais importantes para o conceito intuitivo dos limites. sequências em 10n. LIMITES PONTUAIS FINITOS A não ser quando expresso claramente o contrário, daqui pra frente vamos considerar f(x) contínua nas proximidades de x = a e exceto possivelmente para o próprio x = a. Por exemplo, f(x) x 2 25 , é contínua nas x5 Considere uma função real f(x) contínua nas proximidades de x = a e exceto possivelmente em x = a. Sobre seu domínio, considere uma sequência (xn) convergente ao valor a, isto é, (xn) a. Ocorre, porém, que as respectivas imagens de (xn), isto é, os valores yn = f(xn) formarão uma outra sequência de números que poderá convergir para um número L: proximidades de a = 5, mas não é contínua neste ponto. L y4 Tomamos uma sequência qualquer (xn) y3 (yn) que tende ao valor a e observamos a y2 formação da sequência de imagens (yn) se tenderá a algum valor L. A sequência (xn) da ilustração tende a a por valores menores que a, mas, por ser qualquer, poderia tender também a a por valores maiores que este. y1 x1 x2 x3 x4 a (xn) começando a entender CÁLCULO Volume Um - 5 Quando qualquer sequência (xn) do domínio convergente para o número a implicar numa sequência de imagens (yn) convergente para um mesmo número L, dizemos que o limite de f(x) quando x a é igual a L. Assim, é importante observar que (yn) é a sequência de imagens de (xn), isto é, Se (xn ) a implicar em (y n ) L y1 = f(x1), y2 = f(x2), y3 = f(x3), etc. Então limx a f(x) L Como a função é contínua nas proximidades de x = a, então, basta que duas sequências (xn) do domínio que convirjam para a, uma pela esquerda e outra pela direita, impliquem em sequências de imagens (yn) que tendam ao mesmo valor L para que exista o limite e seja igual a L, isto é, limx a f(x) L . y1 Isso porque, intuitivamente, se uma sequência em x que convirja para a pela y2 esquerda implicar numa sequência de imagens em y que convirja para L, y3 L L y3 então, todas as outras sequências em x que convirjam para a pela esquerda y2 y1 terão imagens que convirjirão para L. O x1 x2 x3 a (xn) pela esquerda de a mesmo dizer para a direita. ax3 x2 x1 (xn ) pela direita de a Exemplo 5E Calcule os limites, observando que as funções são contínuas para x = a: a) limx 5 (x 2 19) b) limx 10 10x 21 c) limx 3 x2 1 x 1 a) limx 5 (x 2 19) . Tomemos duas sequências convergentes para 5, uma pela esquerda de 5 e outra pela direita de 5. Tais sequências gerarão em y duas sequências que convergem para 6, conforme notamos nas tabelas: x x2 – 19 x x2 – 19 Aqui, tomamos as duas sequências (x n) 4,9 5,01000 5,1 7,01000 discutidas na seção anterior que podem 4,99 5,90010 5,01 6,10010 ser resumidas em 5 10n. Observe 4,999 5,99000 5,001 6,01000 como as 2 sequências (yn) geradas 4,9999 5,99900 5,0001 6,00100 tendem para o valor 6. 4,99999 5,99990 5,00001 6,00001 y ↓ 6 ↑ Assim, o limite de a(x) x 2 19 quando x tende a 5 é igual a 6: →← x limx 5 (x2 19) 6 5 Observe como a função a(x) = x2 19 é contínua também em x = 5, o que torna o seu limite quando x 5 igual ao próprio valor assumido em x = 5, isto é, a(5) = 52 19 = 6. Assim, quando a função for contínua também no ponto para onde x tender, teremos: Assim, quando f(x) for contínua, o limite de f(x) quando x tender a a será f(a). Na abordagem mais formal do Cálculo, o conceito de continuidade da função em x = a é o do limite neste ponto ser f(a). Se f(x) é contínua em x = a Então limx a f(x) f(a) começando a entender CÁLCULO Volume Um - 6 Esta conclusão abreviará a obtenção dos outros dois limites seguintes: Veja que as duas funções dos itens (b) e (c) são contínuas em x = 10 e x = 3 b) limx 10 10x 21 10 10 21 121 11 respectivamente. Isso torna seus limites c) limx 3 nestes pontos iguais aos valores b(10) e x 2 1 32 1 8 4 x 1 3 1 2 c(3) respectivamente. Exemplo 5F Calcule os seguintes limites, observando que a função não é contínua em Somente para facilitar a referência às funções, continuamos a enumeração do exemplo anterior. x x2 x 6 x 2 1,9 4,9 1,99 4,99 1,999 4,999 1,9999 4,9999 1,99999 4,99999 x nenhum dos pontos x = a: d) limx 2 x2 x 6 x2 e) limx 5 x 3 125 2x 10 f) limx 9 x 3 x 9 d) Como no exemplo anterior, tomamos duas sequências em x convergentes para 2, uma pela esquerda e outra pela direita e observamos as duas sequências imagens em y convergindo para o limite 5, conforme as tabelas ao lado. Assim, podemos escrever: limx 2 x2 x 6 x 2 x2 x 6 5 x2 2,1 5,1 2,01 5,01 Não podemos usar aqui a substituição de x = 2 na fórmula da função pois isso 2,001 2,0001 5,001 5,0001 implicaria na divisão de 0 por 0. Assim, d(x) não é contínua em x = 2. Mas, 2,00001 5,00001 isso não impede que seu limite exista quando x 2, conforme previa Usamos aqui as sequências 2 10n. definição. A mesma conclusão, porém, poderíamos ter obtido caso utilizássemos a fatoração do numerador seguida pelo cancelamento de (x 2) numerador com (x 2) denominador: Fatoramos o numerador pelas raízes da equação do 2º grau. Em seguida, limx 2 cancelamos (x 2) numerador com (x 2) (x 3) x2 x 6 limx 2 limx 2 (x 3) 2 3 5 x2 (x 2) (x 2) denominador e simplificamos a função para (x + 3). Este cancelamento Este cancelamento é permitido uma vez que, enquanto x tender a 2, x nunca só é válido por que o fato de x 2 será igual a 2, ocasião em que cairíamos no erro de cortar 0 numerador com 0 garante que x nunca será igual a 2; caso denominador. Finalmente, substituímos o valor x = 2 na expressão contrário, seríamos impedidos de simplificada, resultando o mesmo valor 5 obtido anteriormente através das 2 cancelar 0 numerador com 0 sequências de imagens. A seguir, esboçamos o gráfico da função denominador. d(x) x2 x 6 : x2 y Nas proximidades de x = 2 (e em todos os demais pontos), a função terá o mesmo comportamento desta reta, o 5 ↓ ↑ que nos permite substituir o valor x = 2 em (x + 3) para obter o limite 5. Mas, apesar deste ponto não pertencer a d(x), seu limite quando x 2 existe e será 5, justamente o valor que d(x) teria caso fosse contínua neste ponto. →← 2 x começando a entender CÁLCULO Volume Um - 7 Para obter (e), fatoramos o numerador Este procedimento algébrico representa um magnífico atalho para a como diferença de cubos e o obtenção dos outros dois limites, cujas funções também não são contínuas denominador como fator comum. Para por resultarem na divisão de 0 por 0 nestes pontos: obter (f), multiplicamos a função pela função constante 1 (escrita como conjugado do numerador dividido por ele e) limx 5 mesmo). Isso cai na multiplicação do x2 5x 25 52 5 5 25 75 2 2 2 x 3 x 3 (x 9) limx 9 x9 x 3 (x 9) ( x 3) limx 5 binômio-soma pelo diferença, o que elimina o radical. Porém, o mais (x 5) (x2 5x 25) x 3 125 limx 5 2x 10 2 (x 5) f) limx 9 importante é que podemos cancelar (x limx 9 9) numerador com (x 9) denominador, 1 1 1 x 3 93 6 o que torna possível o cálculo do limite substituindo x = 9 na expressão simplificada. Veja que, para obter o valor numérico para os três limites deste exemplo, poderíamos calcular as duas sequências ou proceder da forma algébrica indicada. No entanto, a fatoração, ou a multiplicação pela função constante 1 escrita de forma de radicais conveniente, será o caminho mais preciso sempre que, ao tentar substituir x = a na função, obtivermos o resultado de zero dividido por zero, o que é conhecido como indeterminação do tipo 0/0. Exemplo 5G 2x, se x 1 . Encontre limx 1 g(x) . 3x, se x 1 Considere a função definida por g(x) Como a função não é contínua em x = 1, não podemos usar a simples x g(x) substituição para obter o limite. Por outro lado, também não teremos a 0,9 1,8 indeterminação do tipo 0/0 para utilizarmos a fatoração ou a função constante 0,99 1,98 0,999 1,998 0,9999 1,9998 0,99999 1,99998 x g(x) 1,1 3,3 limite, temos 2 sequências em y que não convergem para o mesmo valor L. 1,01 3,03 1,001 3,003 Com isso, o limite de f(x) quando x tende para 1 não existirá. 1,0001 1,00001 3,0003 3,00003 1 escrita de forma de radicais conveniente. Assim, vamos usar o caminho tradicional de escolher duas sequências em x convergentes para 1, uma pela esquerda e outra pela direita. Porém, observamos sequências em y convergindo para valores diferentes! Assim, consultando a definição de limx 1 g(x) Veja que, em qualquer outro ponto xo de g(x) diferente de x = 1, o limite existirá e será igual a g(xo). Porém, justamente nesta descontinuidade, x = 1, temos que a aproximação pela esquerda e pela direita geram sequências em y que convergem para valores diferentes: y Isso porque o gráfico da função g(x) são duas semiretas que não têm as mesmas origens. Situações como esta motivaram a definição dos limites laterais. ↓ 3 2 ↑ →1← x começando a entender CÁLCULO Volume Um - 8 Quando qualquer sequência do domínio convergente para o número a por valores menores que a, (xn) a , implicar numa sequência de suas imagens convergente para o mesmo número L1, isto é, (yn) L1, dizemos que o limite lateral de f(x) quando (xn) a (x tende a a pela esquerda) é igual a L1. Se (xn ) a implicar em (yn ) L1 Então limx a f(x) L1 Obviamente, estas definições serviram para abordar situações como a do exemplo anterior: os limites laterais de g(x) quando x tende a 1 pela esquerda e pela direita são: Analogamente, quando qualquer sequência do domínio convergente para o número a por valores maiores que a, (xn) a+, implicar numa sequência de suas imagens convergente para o mesmo número L2, isto é, (yn) L2, dizemos que o limite lateral de f(x) quando (xn) a+ (x tende a a pela direita) é igual a L2. limx 1 g(x) lim x1 2x 2 1 2 limx 1 g(x) limx1 3x 3 1 3 Se (xn ) a implicar em (y n ) L2 Então limx a f(x) L2 Assim, o limite deste último exemplo, limx 1 g(x) , não existe porque os Corolário 5A O limite de f(x) quando x tende a a existirá quando seus respectivos limites laterais existirem e forem iguais. limites laterais são diferentes. Este resultado é consequência bastante direta das três definições de limites (pontual e dois laterais) vistas até aqui. LIMITES PONTUAIS INFINITOS Quando qualquer sequência do domínio (xn) convergente para o número a, isto é, (xn) a, ↑ (y1 ) ↑ (y2 ) implicar numa sequência de imagens (yn) n tendendo sempre a mais infinito, isto é, (yn) +, dizemos que o limite de n f(x) quando x a é igual a mais infinito. Se (xn ) a implicar em (yn ) →a←(x2 ) (x1n) Então limx a f(x) n Novamente, devido à continuidade da função próxima a x = a, tomaremos apenas duas sequências (x1n) e (x2n) convergindo para a, uma pela esquerda e outra pela direita de a. Se estas duas implicarem em sequências (y1n) e (y2n) tendendo a +, o limite pontual limx a f(x) será +. Analogamente, quando qualquer sequência do domínio (xn) convergente para o número a, isto é, (xn) a, implicar numa sequência de (x1n) (x2n) →a← imagens (yn) tendendo sempre a menos infinito, isto é, (yn) , dizemos que o limite de f(x) quando x a é igual a menos infinito. Se (xn ) a implicar em (yn ) ↓(y1 ) ↓(y2 ) Então limx a f(x) n n Neste último caso, também tomamos 2 sequências, (x1n) e (x2n) convergindo para a, uma pela esquerda e outra pela direita. começando a entender CÁLCULO Volume Um - 9 Exemplo 5H x h(x) 2,9 100 2,99 10.000 2,999 1.000.000 2,9999 100.000.000 x h(x) 3,1 100 3,01 3,001 10.000 1.000.000 para x = 3 e que a indeterminação gerada não é do tipo 0/0. Assim, temos 3,0001 100.000.000 que escolher as duas sequências convergentes para 3, uma pela esquerda e Calcule os seguintes limites: 1 1 h) limx 3 i) limx 2 2 (x 3) (x 2)2 h) limx 3 1 (x 3)2 j) limx 1 1 (x 1)3 . Inicialmente, percebemos que a função é descontínua outra pela direita e observar que as duas sequências geradas em y se tornam y cada vez maiores e tão grandes quanto se queiram. Logo, estas duas h(x) sequências tendem para mais infinito e isso nos permite concluir que: 1 (x 3)2 limx 3 x →3← 1 (x 3)2 O gráfico de h(x) é mostrado ao lado. Veja que as sequências (x1n) e (x2n) tendendo para o valor 3 implicam em sequências de imagens (y1n) e (y2n) tendendo para +. Um atalho para a conclusão de que este limite é mais A reta x = 3 é assíntota vertical e y = 0 é infinito poderia ser o de estimar as sequências mentalmente em vez de assíntota horizontal de h(x). calculá-las exatamente. Um pouco de prática e isto se tornará rotina. 1 x i(x) 1,9 100 1,99 10.000 1,999 1.000.000 descontínua em x = 2 e que a indeterminação não é do tipo 0/0. Assim, 1,9999 100.000.000 temos que tomar as duas sequências em x convergindo para 2, uma pela x i(x) 2,1 100 Percebemos que as imagens geradas são sequências tendendo a menos 2,01 10.000 infinito, o que nos permite concluir que: 2,001 1.000.000 2,0001 100.000.000 i) limx 2 (x 2)2 . Como no item anterior, percebemos que a função é esquerda e outra pela direita como mostrado nas tabelas ao lado. limx 2 y x → 2← 1 (x 2)2 O gráfico da função i(x) está mostrado ao lado. Veja que as 2 sequências em x tendendo para 2 gerarão duas sequências de imagens tendendo para . i(x) 1 (x 2)2 Estas sequências poderiam também ser obtidas mentalmente, o que facilitaria a conclusão de que este limite pontual é menos infinito. Observe ainda que a reta x = 2 é assíntota vertical desta função e a reta y = 0 é assíntota horizontal. j) limx 1 1 (x 1)3 . Também neste caso, vemos que a função é descontínua em x j(x) 0,9 1.000 x = 1 e que a indeterminação também não é do tipo 0/0. Assim, tomamos 0,99 1.000.000 duas sequências (x1n) e (x2n) tendendo para 1, a primeira pela esquerda e a 0,999 1.000.000.000 0,9999 1.000.000.000.000 x i(x) 1,1 1.000 1,01 1.000.000 pontuais finitos para limites laterais pontuais infinitos, podemos escrever 1,001 1.000.000.000 que: 1,0001 1.000.000.000.000 segunda pela direita de 1, o que gerará duas sequências de imagens (y1n) e (y2n), a primeira tendendo a e a segunda tendendo a +, conforme observamos nas tabelas ao lado. Adaptando as definições de limites laterais começando a entender CÁLCULO Volume Um - 10 limx 1 y limx 1 1 (x 1)3 1 (x 1)3 x →1← Veja no gráfico que a sequência (x1n) que tende a 1 pela esquerda gera uma j(x ) 1 (x 1)3 sequência de imagens (y1n) tendendo a . Por outro lado, a sequência (x2n) que tende a 1 pela direita gera uma sequência de imagens (y2n) tendendo a . Assim, extendendo o corolário 5A para limites pontuais infinitos, concluímos que este limite não existirá: limx 1 Veja que x = 1 é assíntota vertical, enquanto que y = 0 é assíntota 1 (x 1)3 horizontal de j(x). *************** Todos os exemplos de limites estudados até aqui são considerados limites pontuais, uma vez que as sequências (xn) tendem a um número real a. As sequências de imagens (yn), porém, poderão ser, conforme vimos, convergentes a um outro número real L ou então tenderem a mais ou a menos infinito. No primeiro caso, os limites pontuais são finitos e no segundo caso, infinitos. Na próxima seção, estudaremos os limites no infinito, que ocorrem quando as sequências (xn) tenderem a mais ou a menos infinito. EXERCÍCIOS IMEDIATOS 1) Encontre os valores para os quais as sequências seguintes tendem: 1 1 2n 7 an bn 9 n cn n n3 10 1 n dn 10 en 5 n fn 20n 10 2) a) Encontre lim x 5 (10x 2) escolhendo duas sequências em x convergentes para 5, uma pela esquerda e outra pela direita e obtendo as 2 sequências de imagens. b) Qual seria um atalho para a obtenção deste limite e em que circunstâncias você poderá usá-lo 3) a) Encontre lim x 6 x 2 36 escolhendo duas sequências em x convergentes x6 para 6, uma pela esquerda e outra pela direita e obtendo as 2 sequências de imagens. b) Qual seria um atalho para a obtenção deste limite e em que circunstâncias você poderá usá-lo começando a entender CÁLCULO Volume Um - 11 4) Calcule rapidamente os limites: Dica 5: em (b), calcule os limites laterais a) lim x 5 x2 5 x 5 b) lim x 4 37 3x d) lim x 7 4x 28 5x 35 e) lim x 4 g) lim x 3 x2 9 x2 h) lim x 1 c) lim x x4 2 3x 48 x3 1 2 x 1 3 sen (2x) f) lim x 10 x 2 25 x 5 i) lim x 49 7 x x 49 x 1, se x 2 5) Considere a função definida por f(x) . 2x 1, se x 2 substituindo f(x) pela parte correta da fórmula da função. Este exercício é uma a) Esta função é contínua para x = 2 reflexão sobre o conceito de b) Encontre os limites laterais para x 2 . continuidade: uma função é contínua c) Existirá limx 2 f(x) Justifique sua resposta. em x = a se, e somente se, limx a f(x) f(a) . Este fato é a recíproca d) O que mudaria em (a), (b) e (c) se a fórmula na função constasse f(2) = 3 verdadeira daquele já encontrado no e) O que mudaria em (a), (b) e (c) se a fórmula na função constasse f(2) = 5 texto, onde tínhamos que, se a função é contínua em x = a, então, limx a f(x) f(a) . x 1, se x 1 6) Considere a função definida por g(x) 2 . Mostre que x , se x 1 limx 1 g(x) não existe. 7) Calcule mentalmente os seguintes limites: a) lim x 9 lim x 5 1 (x 9)2 1 b) lim x 4 1 c) ( x 4)8 lim x 8 1 x8 (x 5)4 EXERCÍCIOS INTERMEDIÁRIOS 8) Encontre algebricamente o valor de lim sen2 x 0,25 . sen x 0,50 9) Encontre algebricamente o valor de limx 0 3 9x . x x 6 10) Calcule mentalmente: 5x 3 5x 3 a) limx 0 b) limx 0 x x EXERCÍCIOS AVANÇADOS Dica 11: multiplique a função pela função constante 1 escrita de forma a 2x 2 11) Encontre algebricamente o valor de limx 1 3 . x 1 transformar o denominador da função de A B para A3 B3, o que eliminará o radical e permitirá o cancelamento com o numerador. 12) Calcule algebricamente limh0 a) f(x) 15 1 d) f(x) x f(5 h) f(5) nas seguintes situações: h b) f(x) 7x 9 e) f(x) x c) f(x) x 2 1 f) f(x) 2 x d)
