Razão e Proporção

Razão e Proporção
Daniel Bruno
Razão
A razão pode ser expressa como a divisão ou
relação entre duas grandezas de algum sistema de
medidas. Por exemplo, para preparar uma bebida na
forma de suco, normalmente adicionamos a litros de
suco concentrado com b litros de água.
A relação entre a quantidade de litros de suco
concentrado e de água é um número real expresso
como uma fração:
𝐚
𝐛
= a/b, lê-se razão entre a e b ou a está para b.
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2
Razão
Outro exemplo:
Em uma partida de basquete um jogador faz 20
arremessos e acerta 10. Podemos avaliar o
aproveitamento desse jogador, dividindo o
número de arremessos que ele acertou pelo
total de arremessos, o que significa que o
jogador acertou 1 para cada dois arremessos.
Nesse caso, temos:
Razão =
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑡𝑜𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑟𝑒𝑚𝑒𝑠𝑠𝑜𝑠
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=
10
20
=
𝟏
𝟐
3
Razão Inversa
Na razão temos os termos: antecedente e
1
consequente, onde na razão
o
2
antecedente é 1 e o consequente é 2.
Para a razão inversa é feita a troca do
antecedente com o consequente. Exemplo:
1
2
Razão =  RazãoInversa =
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2
1
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Proporção
Proporção representa a igualdade entre
duas razões. A proporção entre a/b e c/d é
a igualdade:
𝑎
c
=
b
𝑑
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Proporção
Exemplo: Um carro faz 13km por litro de
combustível, então para 26km preciso de 2L,
para 39km preciso de 3L e assim por diante.
R1 =
R2 =
26
2
39
3
Logo, formamos a proporção:
R1 = R2 
26
2
=
39
3
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6
Propriedades
Numa proporção:
𝑎
b
=
c
𝑑
Os números a e d são denominados
extremos enquanto os números b e c são
os meios e vale a propriedade: o produto
dos meios é igual ao produto dos extremos,
isto é:
a·d=b·c
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Propriedades
Numa proporção quando somamos termo a
termo a razão se mantém.
26
2
=
39
3
=
26 + 39
2+3

65
5
 13
Numa proporção quando subtraímos termo
a termo a razão se mantém.
26
2
=
39
3
=
26 − 39
2−3

−13
−1
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 13
8
Números proporcionais
O número 3 representa em relação a 6 (metade) o
mesmo que 10 representa em relação a 20 (metade),
que é o mesmo que 8 representa em relação a 16.
Dizemos então que os números 3, 10 e 8 são
diretamente proporcionais aos números 6, 20 e 16,
nessa ordem. Veja:
3
6
1
2
1
2
=
10
20
1
2
=
8
16
1
2
Nesse caso, é considerado o coeficiente ou constante
de proporcionalidade.
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Números proporcionais
Além disso:
A fração irredutível
𝑎
𝑏
é equivalente ao
coeficiente de proporcionalidade(k);
Quando somamos ou subtraímos termos a
termos a razão que se mantém é k. Exemplo:
𝑎 + 𝑐 + 𝑒 +⋯ 𝑦
𝑏 + 𝑑 + 𝑓 +⋯ 𝑧
=k
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Grandezas Diretamente Proporcionais
(G.D.P.)
Duas grandezas são ditas diretamente
proporcionais, quando o aumento de uma
implica no aumento da outra, quando a
redução de uma implica na redução da
outra, ou seja, o que você fizer com uma
acontecerá com a outra.
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Grandezas Diretamente Proporcionais
(G.D.P.)
Exemplo: Se numa receita de pudim de
micro-ondas uso duas latas de leite
condensado, 6 ovos e duas latas de leite,
para um pudim. Terei que dobrar a
quantidade de cada ingrediente se quiser
fazer dois pudins, ou reduzir a metade cada
quantidade de ingredientes se quiser,
apenas meia receita.
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Grandezas Diretamente Proporcionais
(G.D.P.)
Observe a tabela abaixo que relaciona o preço
que tenho que pagar em relação à quantidade
de pães que peça:
Preço (R$ ) 0,20 0,40 1,00 2,00 4,00 10,00
2
5
10
20
50
Nº de pães 1
Preço e quantidade de pães são grandezas
diretamente proporcionais. Portanto, se peço
mais pães, pago mais, se peço menos pães,
pago menos.
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Grandezas Diretamente Proporcionais
(G.D.P.)
Observe que quando dividimos o preço pela
quantidade de pães obtemos sempre o
mesmo valor. Em grandezas diretamente
proporcionais, a razão é constante.
0,20
1
=
0,40
2
=
1,00
5
=
2,00
10
=
4,00
20
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=
10,00
50
=k
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Grandezas Inversamente Proporcionais
(G.I.P.)
Duas grandezas são ditas inversamente
proporcionais quando o aumento de uma
implica na redução da outra, quando a
redução de uma implica no aumento da
outra, ou seja, o que você fizer com uma
acontecerá o inverso com a outra.
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Grandezas Inversamente Proporcionais
(G.I.P.)
Exemplo: Numa viagem, quanto maior a
velocidade média no percurso, menor será o
tempo de viagem. Quanto menor for a
velocidade média, maior será o tempo de
viagem. Observe a tabela abaixo que
relaciona a velocidade média e o tempo de
viagem, para uma distância de 600km.
Velocidade média (km/h)
60
100
120
150
200
300
Tempo de viagem (h)
10
6
5
4
3
2
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Grandezas Inversamente Proporcionais
(G.I.P.)
Velocidade média e Tempo de viagem são
grandezas inversamente proporcionais, assim se
viajo mais depressa levo um tempo menor, se viajo
com menor velocidade média levo um tempo maior.
Observe que quando multiplicamos a velocidade
média pelo tempo de viagem obtemos sempre o
mesmo valor.
Em grandezas inversamente
produto é constante.
proporcionais,
o
60 . 10 = 100 . 6 = 120 . 5 = 150 . 4 = 200 . 3 = 300 . 2 = k
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Vamos praticar...
Um estado brasileiro ocupa a área de
200.000 Km². De acordo com o censo
realizado, o estado tem uma população
aproximada de 12.000.000 habitantes. Qual
a densidade demográfica desse estado?
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Vamos praticar...
Para obtermos a densidade demográfica
usamos a seguinte razão:
Dens. demográfica =
número de habitantes
área ocupada
12.000.000 habitantes
Dens. demográfica =
200.000 Km2
Dens. Demográfica = 60 habitantes/Km2
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Vamos praticar...
Suponhamos que um carro de Fórmula Indy
percorreu 328Km em 2h. Qual foi a
velocidade média do veículo nesse
percurso?
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Vamos praticar...
Para obtermos a velocidade média usamos
a seguinte razão:
Velocidade média =
distância 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎
tempo gasto
328Km
Velocidade média =
2h
Velocidade média = 164 Km/h
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Vamos praticar...
Qual a renda per capita de Alagoas
considerando os dados do IBGE (Instituto
Brasileiro de Geografia e Estatística), onde
o PIB (Produto Interno Bruto) era de
R$21.235.000 e população era cerca de
3.120.922 habitantes?
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Vamos praticar...
A renda per capita é a razão entre o PIB
(Produto Interno Bruto) e o número de
habitantes, assim:
Produto Interno Bruto
Renda per capita =
Número de habitantes
R$21.235.000
Renda per capita =
3.120.922 habitantes
Renda per capita  R$6,8/habitante
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Vamos praticar...
Uma
empreiteira
planejou
construir
determinada obra em 8 dias, empregando
10 trabalhadores, trabalhando 6 horas por
dia. Se a jornada de trabalho fosse
ampliada em 2 horas diárias e o número de
trabalhadores reduzido para 7 essa mesma
obra seria concluída em quantos dias?
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Vamos praticar...
Separando os dados:
Trabalhadores
Horas por dia
Conclusão em dias
10
6
8
7
8
x
Faremos as seguintes considerações:
• Trabalhadores e Dias. Se 10 empregados
terminam uma obra em 8 dias, então apenas 7
empregados vão terminar essa mesma obra em
mais dias. Diminuiu o número de empregados, mas
aumentou o número de dias. Então considera-se
grandezas inversamente proporcionais, assim
teremos a razão de 7/10.
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Vamos praticar...
• Horas e dias. Dispondo-se de 6 horas
diárias, termina-se uma obra em 8 dias, se
passar a dispuser de 8 horas diárias, então
termina-se o trabalho em menos dias.
Aumentou o número de horas e diminuiu o
número de dias. Então considera-se
grandezas inversamente proporcionais,
assim teremos a razão de 8/6.
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Vamos praticar...
Agora é só multiplicar as razões e igualar à
razão que contém a incógnita (8/x). Assim:
7
10
8
6
8
𝑥
56
60
8
𝑥
480
56
. =  =  56x = 480  x =

x = 8,57
A obra será concluída em aproximadamente
9 dias.
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Vamos praticar...
Em uma construtora, 20 caminhões
descarregam 160m3 de areia em 8 horas.
Diminuindo as horas de atividade dos
caminhões
para
5
horas,
quantos
caminhões
serão
necessários
para
descarregar 125m3 de areia.
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Vamos praticar...
Montando uma tabela, colocando em cada
coluna as grandezas de mesma espécie e,
em cada linha, as grandezas de espécies
diferentes que se correspondem:
Horas
8
5
Caminhões
20
x
Volume
160
125
Vamos comparar as grandezas.
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29
Vamos praticar...
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos
diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é
inversamente proporcional.
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o
número de caminhões. Portanto a relação é diretamente
proporcional.
Devemos igualar a razão que contém o termo x com o
produto das outras razões de acordo com o que
observamos.
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Vamos praticar...
Montando a proporção e resolvendo:
20
𝑥
x
160 5
20
20
=
.  =
125 8
𝑥
25
100
=
 x = 25
4

20
𝑥
=
4
5
 4x = 100 
Assim, serão necessários 25 caminhões
para descarregar 125m3 em 5 horas.
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