Aula 15 16 17 Modelos Atômicos Clássicos [Modo de
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A Escola de Atenas – Rafael di Sanzio FÍSICA MODERNA I José Fernando Fragalli Departamento de Física – Udesc/Joinville MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS “É quase como se você atirasse um projétil de 30 cm contra uma peça de papel de seda e ele atingisse você de volta” – Ernest Rutherford ao descrever o experimento de Geiger-Mardsen. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 1. Introdução 2. Modelos Filosóficos para o Átomo 3. O Átomo Químico 4. A Descoberta do Elétron a. A Determinação da Razão Carga-Massa do Elétron b. A Determinação da Carga do Elétron 5. O Modelo de Thomson para o Átomo 6. O Modelo de Nagaoka 7. O Modelo de Rutherford Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 1. INTRODUÇÃO Primeiras especulações sobre a constituição da matéria A origem do processo de construção de uma cosmovisão científica corresponde à origem e ao florescimento da Filosofia e da Física na Grécia Antiga. É no período de cerca de dois séculos que tem início e se concretiza a ruptura com uma visão mítica da Natureza. Ruínas do Parthenon em Atenas Ilustração da cidade de Atenas na Grécia Antiga Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 1. INTRODUÇÃO Primórdios da filosofia na Grécia Antiga Neste sentido, a busca de uma visão da Natureza (Physis) baseada em relações causais, estabelecidas a partir de um pensamento racional, teve seu expoente máximo na figura de Aristóteles, no Século IV AC. Os quatro elementos da Natureza segundo os filósofos gregos Por outro lado, antes de Aristóteles houve a busca da compreensão racional da Natureza a partir de um único princípio, de uma matéria primordial organizada pela ação dos contrários. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 1. INTRODUÇÃO Uma ideia norteadora A Filosofia na Grécia Antiga foi fundada sobre o princípio norteador da existência de um Cosmos. Mapa mundi de Cosmas (Século VI AC) Assim, os filósofos gregos começaram também a construir mapas, com a organização dos espaços conhecidos. Cosmos é um termo grego que significa um todo organizado. Mapa mundi de Anaximandro (esquerda) e Hecateu (direita), Século VI AC Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 1. INTRODUÇÃO A “Escola Jônica” A primeira fase da filosofia grega teve sua origem na chamada “Escola Jônica”, fundada por Tales (623–556 AC). Busto de Tales de Mileto Localização da cidade de Mileto na Ásia Menor Os primeiros integrantes da “Escola Jônica” eram originários da cidade de Mileto, situada na Ásia Menor. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 1. INTRODUÇÃO A “Escola Jônica Antiga” Esta fase da filosofia grega formulou as primeiras especulações sobre a essência e sobre a constituição da matéria. Gravura representando Anaxímenes Interpretação livre da proposição de Anaxímenes sobre o Cosmos Os principais integrantes da “Escola Jônica Antiga” são Tales, Anaximandro e Anaxímenes. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 1. INTRODUÇÃO Algumas perguntas e afirmações feitas por Tales de Mileto “Podem todas as coisas serem vistas como uma simples realidade, aparecendo de diferentes formas? ” “De que é constituída a matéria?” Segundo Aristóteles, Tales de Mileto declarou que “A água é a causa material de todas as coisas úmidas”. Ainda segundo Aristóteles, “Deve haver alguma substância natural, uma ou mais do que uma, que provêm as outras coisas, enquanto ela é preservada”. Ilustração do Universo com a concepção de Tales de Mileto Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 1. INTRODUÇÃO A água como origem de toda a matéria Segue Aristóteles “Mas Tales, fundador desse tipo de filosofia, diz que é a água”. “Filosofia Jônica” em quadrinhos... Segundo Heráclito, integrante da “Escola Jônica Nova”, “Tales declarou que, dos quatro elementos, a água era, por assim dizer, o mais ativo enquanto causa”. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 1. INTRODUÇÃO Tales de Mileto e a busca por racionalidade e simplicidade Tales de Mileto procurou entender a Natureza de forma racional, tal que esta racionalidade estivesse ligada a um único princípio. As ideias de Tales eram justificadas não em termos sobrenaturais, mas em termos da lógica, com o desenvolvimento do método da prova sistemática. Tales de Mileto e sua síntese Tales foi o primeiro a exigir que a simplicidade fosse incluída na Filosofia: “encontrar um único princípio é a filosofia mais simples”. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 1. INTRODUÇÃO A contribuição de Anaximandro Discípulo de Tales de Mileto, Anaximandro sustentava que a substância original que constitui o mundo é o “apeiron” – o “indefinido” e o “indeterminado”. Tales de Mileto e sua síntese Alto relevo de Anaximandro Aristóteles interpreta o apeiron como algo “espacialmente infinito”, uma “substância original e eterna, indestrutível e infinita”. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 1. INTRODUÇÃO A Atomística enquanto filosofia Uma possível (???) cena na Grécia Antiga... “Filósofos” gregos, imaginando uma forma de dividir o átomo. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 1. Introdução 2. Modelos Filosóficos para o Átomo 3. O Átomo Químico 4. A Descoberta do Elétron a. A Determinação da Razão Carga-Massa do Elétron b. A Determinação da Carga do Elétron 5. O Modelo de Thomson para o Átomo 6. O Modelo de Nagaoka 7. O Modelo de Rutherford Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 2. MODELOS FILOSÓFICOS PARA O ÁTOMO Atomística.... As ideias de Leucipo e Demócrito Acredita-se que o conceito filosófico de átomo deva-se a Leucipo de Abdera (500-?AC). Demócrito de Abdera (460-370 AC) foi discípulo e depois sucessor de Leucipo de Mileto (500-? AC). Leucipo (500-? AC) Demócrito (460-370 AC) Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 2. MODELOS FILOSÓFICOS PARA O ÁTOMO Atomística.... Demócrito é o maior expoente da Teoria Atomística. De acordo com essa teoria, tudo o que existe é composto por elementos indivisíveis chamados átomos. A palavra ÁTOMO é originária do grego e significa “a” – negação e “tomo” – divisível. Logo, ÁTOMO significa indivisível. É claro que este conceito de ÁTOMO também é filosófico, já que sabemos que átomos reais também são divisíveis. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 2. MODELOS FILOSÓFICOS PARA O ÁTOMO Atomística.... Não há certeza se a teoria foi concebida por Demócrito ou por seu mestre Leucipo, e a ligação estreita entre ambos dificulta a identificação do que foi pensado por um ou por outro. Todavia, parece não haver dúvidas de ter sido Demócrito quem de fato sistematizou o pensamento e a teoria atomista. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 2. MODELOS FILOSÓFICOS PARA O ÁTOMO Atomística.... As ideias de Aristóteles As primeiras ideias (filosóficas) sobre a composição da matéria são devidas a Aristóteles (384-322 AC). Aristóteles era partidário da divisibilidade infinita da matéria. Assim, para Aristóteles os corpos eram constituídos por uma distribuição contínua da matéria. Busto de Aristóteles Museu do Louvre (Paris). no Aristóteles (384-322 AC) Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 1. Introdução 2. Modelos Filosóficos para o Átomo 3. O Átomo Químico 4. A Descoberta do Elétron a. A Determinação da Razão Carga-Massa do Elétron b. A Determinação da Carga do Elétron 5. O Modelo de Thomson para o Átomo 6. O Modelo de Nagaoka 7. O Modelo de Rutherford Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 3. O ÁTOMO QUÍMICO O modelo de Dalton Devemos a John Dalton (1766-1844) a retomada do conceito de átomo e da proposta de uma estrutura interna para ele. Dalton é mais conhecido pela Lei das Pressões Parciais e a Lei das Proporções Múltiplas (Química), além da deficiência visual que sofria (daltonismo). John Dalton (1766-1844) Foi Dalton quem reutilizou o nome “átomo” em homenagem a Demócrito e Leucipo. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 3. O ÁTOMO QUÍMICO A Lei das Pressões Parciais Estudando o comportamento de gases em função da temperatura, Dalton estabeleceu que "a pressão total de uma mistura de gases é igual à soma das pressões parciais dos gases que a constituem". Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 3. O ÁTOMO QUÍMICO A Lei das Proporções Múltiplas Por sua vez, estudando reações químicas, Dalton estabeleceu que "Se a massa m de uma substância química S pode combinar-se com as massas m1’, m2’, m3’ etc. de uma substância S’, dando origem a compostos distintos, as massas da substância S’ estarão entre si numa relação de números inteiros e simples”. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 3. O ÁTOMO QUÍMICO A Lei das Proporções Múltiplas Para formular a Lei das Proporções Múltiplas, Dalton baseou-se em sua teoria atômica, em seu conceito de átomo. O seu conceito de átomo baseava-se nas seguintes premissas: 1) O átomo se constitui de uma minúscula esfera maciça, indivisível e indestrutível. 2) Átomos com a mesmas massa e tamanho constituem um elemento químico. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 3. O ÁTOMO QUÍMICO A Lei das Proporções Múltiplas Partindo destas premissas, Dalton pode estabelecer que “a combinação de átomos diferentes em proporções inteiras origina substâncias diferentes”. 1 H 2 + O2 → H 2O 2 C + O2 → CO2 O laboratório de Dalton. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 1. Introdução 2. Modelos Filosóficos para o Átomo 3. O Átomo Químico 4. A Descoberta do Elétron a. A Determinação da Razão Carga-Massa do Elétron b. A Determinação da Carga do Elétron 5. O Modelo de Thomson para o Átomo 6. O Modelo de Nagaoka 7. O Modelo de Rutherford Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 4. A DESCOBERTA DO ELÉTRON O tubo de Crookes Embora as evidências mostrem que o elétron foi formado alguns picosegundos após o Big Bang, sua descoberta como partícula é bastante recente. A descoberta do elétron teve início pro volta de 1850 quando os cientistas Heinrich Geissler (1814-1879) e William Crookes (1832-1919) desenvolveram um tubo de descarga para estudar a condução da corrente elétrica em gases. Heinrich Geissler (1814-1879) William Crookes (1832-1919) Tubos de Crookes Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 4. A DESCOBERTA DO ELÉTRON O uso do tubo de Crookes Geissler e Crookes obtiveram como resultado um feixe luminoso dentro do tubo. Este feixe luminoso, conhecido como raios catódicos, nada mais era do que a trajetória deixada por um feixe de elétrons ao atravessar o gás à baixa pressão dentro do tubo. O experimento de Geissler e Crookes Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 4. A DESCOBERTA DO ELÉTRON O experimento de J. J. Thomson Valendo-se de um Tubo de Crookes, em 1898 Joseph John Thomson (1856-1940) demonstrou que este feixe de raios catódicos tinha carga negativa. Para isto, J. J. Thomson aproximou um ímã próximo do tubo de Crookes. Tubo de Crookes original, usado por J. J. Thomson J. J. Thomson observou que o feixe de raios catódicos tinha sua trajetória defletida pela presença do campo magnético do ímã. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 4. A DESCOBERTA DO ELÉTRON As conclusões de J. J. Thomson Nas próprias palavras de J. J. Thomson “[. . . ]nós temos nos raios catódicos matéria em um novo estado, um estado em que a subdivisão da matéria está levada muito além do que no estado gasoso ordinário: um estado em que toda matéria - isto é, matéria derivada de diferentes fontes tais como hidrogênio, oxigênio, etc. – é de uma única espécie; essa matéria sendo a substância da qual os elementos químicos são formados.” Posteriormente, as partículas que compõem os raios catódicos foram chamadas de elétrons. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 4. A DESCOBERTA DO ELÉTRON O reconhecimento a J. J. Thomson Por suas experiências com feixes de raios catódicos, J. J. Thomson ganhou o Prêmio Nobel de Física de 1906. Prêmio Nobel de Física de 1906 – “pelos métodos pessoais pela investigação da condução elétrica dos gases” Medalha concedida aos agraciados com o Prêmio Nobel de Física Joseph John Thomson (1856-1940) Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 1. Introdução 2. Modelos Filosóficos para o Átomo 3. A Contribuição da Química para a Compreensão do Átomo 4. A Descoberta do Elétron a. A Determinação da Razão Carga-Massa do Elétron b. A Determinação da Carga do Elétron 5. O Modelo de Thomson para o Átomo 6. O Modelo de Nagaoka 7. O Modelo de Rutherford Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 4. A DESCOBERTA DO ELÉTRON O arranjo experimental de J. J. Thomson J. J. Thomson aprofundou seus estudos sobre a natureza dos raios catódicos e mediu a razão carga/massa das partículas que constituíam as partículas que o compunham. Para isto Thomson utilizou um arranjo experimental similar ao mostrado ao lado. Fotografia de Thomson com seu aparato experimental Arranjo experimental original utilizado por J. J. Thomson Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 4. A DESCOBERTA DO ELÉTRON Arranjo experimental para determinação da razão e/m Com este arranjo Thomson observou que, não importando a condição em que o experimento fosse realizado, a medida desta razão carga/massa tinha sempre o mesmo valor. Vamos então fazer uma análise quantitativa das medidas realizadas por J. J. Thomson. Esquema do arranjo experimental utilizado por J. J. Thomson Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 4. A DESCOBERTA DO ELÉTRON Ação do campo elétrico sobre o feixe de raios catódicos Considerando apenas ação do campo elétrico uniforme fornecido pelo capacitor de placas paralelas, o feixe de raios catódicos (elétrons) sofre uma força elétrica constante. r r FE = −e ⋅ E Esquema do arranjo experimental utilizado por Thomson r E = − E ⋅ kˆ Para todos os efeitos, na figura acima consideramos que a placa P1 está polarizada positivamente, enquanto que a placa P2 está polarizada negativamente. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 4. A DESCOBERTA DO ELÉTRON Deflexão vertical do feixe de raios catódicos Com esta polarização aplicada, o vetor campo elétrico tem o sentido vertical para baixo. Logo, a força que atua sobre os raios catódicos tem o sentido vertical para cima. Esquema do arranjo experimental utilizado por J. J. Thomson r r FE = −e ⋅ E ⇒ r FE = e ⋅ E ⋅ kˆ Desta forma, o feixe de elétrons é desviado para cima (linha VERMELHA). Como o campo elétrico produzido pelo capacitor é uniforme, a força elétrica é constante e portanto o feixe de elétrons sofre uma aceleração constante. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 4. A DESCOBERTA DO ELÉTRON Trajetória do feixe de raios catódicos Assim, a partir de sua entrada nas placas o feixe de raios catódicos é uniformemente acelerado apenas na direção vertical. Esquema do arranjo experimental utilizado por J. J. Thomson Enquanto se desloca através do capacitor, a trajetória do feixe de elétrons é descrita por uma parábola. Tratamos o movimento dos elétrons dentro do capacitor como um movimento uniformemente variável (MUV) em duas dimensões. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 4. A DESCOBERTA DO ELÉTRON Um caso de movimento uniformemente variado em 2D Seja o comprimento do capacitor igual a l e seja a deflexão vertical do feixe de raios catódicos dentro do capacitor igual a d. Arranjo experimental utilizado por J. J. Thomson A análise da cinemática do movimento dos elétrons em duas dimensões permite obter uma relação entre d e l, em termos da velocidade do feixe de elétrons v0. e E 2 ( ) z y = ⋅ ⋅y 2 m 2 ⋅ v0 ⇒ Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos e E ⋅l2 d= ⋅ m 2 ⋅ v02 MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 4. A DESCOBERTA DO ELÉTRON O uso das Bobinas de Helmholtz para determinar v0 A grandeza l é medida diretamente, pois está associada ao arranjo experimental, previamente conhecido. Arranjo experimental utilizado por J. J. Thomson Já a grandeza d é difícil de ser medida diretamente, pois o desvio do feixe de elétrons é muito pequeno. A velocidade dos elétrons v0 também é um parâmetro difícil de ser obtido diretamente. Para a determinação de v0 usamos as Bobinas de Helmholtz acopladas ao aparato experimental. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 4. A DESCOBERTA DO ELÉTRON O uso das Bobinas de Helmholtz para determinar v0 Desligamos agora o campo elétrico que atua entre as placas do capacitor e ligamos o campo magnético produzido pelas Bobinas de Helmholtz. Arranjo experimental utilizado por J. J. Thomson r r r FM = −e ⋅ v × B r v = v0 ⋅ ˆj Ao aplicarmos um campo magnético uniforme perpendicular às placas o feixe de raios catódicos sofre uma força magnética de módulo constante. Para todos os efeitos, consideramos que o vetor velocidade permanece constante ao longo de todo o movimento. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 4. A DESCOBERTA DO ELÉTRON O efeito do campo magnético sobre os raios catódicos Para todos os efeitos, na figura abaixo consideramos que o sentido das correntes elétricas em ambas as bobinas do arranjo é no sentido horário. r B = − B ⋅ iˆ Arranjo experimental utilizado por J. J. Thomson Com esta corrente elétrica aplicada, o vetor campo magnético tem o sentido entrando no plano do slide. Logo, a força que atua sobre os raios r ˆ F = − e ⋅ v ⋅ B ⋅ k 0 catódicos tem o sentido vertical para baixo. M Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 4. A DESCOBERTA DO ELÉTRON A busca por uma condição de equilíbrio Desta forma, o feixe de elétrons é desviado para baixo (linha VIOLETA). Arranjo experimental utilizado por J. J. Thomson Ligamos agora simultaneamente tanto o campo elétrico quanto o campo magnético. Procuramos por uma condição particular na qual a força magnética e a força elétrica se compensem mutuamente. Nesta condição o feixe de raios catódicos não se deflete (linha CINZA). Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 4. A DESCOBERTA DO ELÉTRON A determinação da velocidade do feixe de raios catódicos Na condição de equilíbrio o feixe de raios catódicos não sofre deflexão pois a força elétrica e a força magnética se anulam mutuamente. FE = FM Arranjo experimental utilizado por J. J. Thomson Uma manipulação simples permite obter a velocidade do feixe de raios catódicos. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos r FE = e ⋅ E ⋅ kˆ r FM = −e ⋅ v0 ⋅ B ⋅ kˆ E v0 = B MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 4. A DESCOBERTA DO ELÉTRON A determinação da velocidade do feixe de raios catódicos Lembremos que obtivemos anteriormente uma expressão para a deflexão d em termos da velocidade v0. e E ⋅l d= ⋅ m 2 ⋅ v02 2 Arranjo experimental utilizado por J. J. Thomson Substituímos então a expressão de v obtida acima e chegamos a uma expressão de d em termos de B, l, E, além da razão e/m. e B ⋅l d= ⋅ m 2⋅E Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos 2 MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 4. A DESCOBERTA DO ELÉTRON A determinação da deflexão d A deflexão d é medida em termos da distância da extremidade do capacitor até a tela D e da altura onde o feixe de raios catódicos atinge a tela CA = H. Arranjo experimental utilizado por J. J. Thomson Lembremos que a deflexão ocorre apenas entre as placas do capacitor. Fora do capacitor a trajetória do feixe de raios catódicos é retilínea até atingir o ponto A. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 4. A DESCOBERTA DO ELÉTRON A determinação da deflexão d V E= h Além disso, o campo elétrico E é medido em termos da diferença de potencial V aplicado entre as placas do capacitor e da distância entre elas. Obtenção das grandezas realmente medidas Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 4. A DESCOBERTA DO ELÉTRON Obtenção da razão e/m a partir das grandezas medidas Por sua vez, o campo magnético B é obtido através dos parâmetros das Bobinas de Helmholtz, e é dado por 4 B= 5 3/ 2 N ⋅I ⋅ µ0 ⋅ R Após alguma manipulação de equações, obtemos e 125 ⋅ R ⋅ V = m 128 ⋅ N 2 ⋅ µ 02 ⋅ I 2 ⋅ D ⋅ H 2 8⋅ D ⋅ H ⋅ 1+ − 1 2 l Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 4. A DESCOBERTA DO ELÉTRON Valor da razão e/m Com valores medidos das grandezas V, R, N, µ0, I, D, H e l, obtemos e 11 = (1,758803 ± 0,000005 ) × 10 m Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos C / kg MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 4. A DESCOBERTA DO ELÉTRON Outro forma de determinar a razão carga-massa do elétron Um outro arranjo experimental, este apenas com campo magnético também pode ser montado para determinar a razão carga massa (e/m) do elétron. Utiliza-se aqui o arranjo do tipo Bobinas de Helmholtz acoplado a um tubo de raios catódicos, como mostra a figura ao lado. Outro arranjo experimental para determinar a razão e/m Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 4. A DESCOBERTA DO ELÉTRON A criação do feixe de raios catódicos O feixe de raios catódicos é criado quando uma diferença de potencial é aplicada a um filamento. Detalhe sobre a produção de um feixe de raios catódicos Os elétrons liberados pelo filamento aquecido passam por uma grade de controle e por um ânodo focalisador até serem acelerados por uma diferença de potencial V. Ao deixarem o tubo de raios catódicos o feixe de elétrons atinge uma velocidade, a qual é determinada usando a Conservação da Energia. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 4. A DESCOBERTA DO ELÉTRON A Conservação da Energia Mecânica A energia potencial adquirida por cada elétron ao ser acelerado pela diferença de potencial V é convertida em energia cinética, associada a uma velocidade dos elétrons v. Na fotografia ao lado o feixe de elétrons sai do tubo de raios catódicos no sentido vertical para baixo com velocidade de módulo v. Arranjo experimental mostrando o feixe de elétrons r v = −v ⋅ kˆ 1 ⋅ m ⋅ v 2 = e ⋅V 2 ⇒ Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos e v = ⋅ 2 ⋅V m MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 4. A DESCOBERTA DO ELÉTRON A deflexão do feixe de elétrons pelo campo magnético Quando corrente elétrica passa pelas Bobinas de Helmholtz um campo magnético muito estável é criado nas imediações do centro do conjunto. Na fotografia ao lado adota-se o sentido das correntes elétricas como sendo horário, tal que o campo magnético esteja orientado no sentido entrando no plano do slide. Arranjo experimental mostrando o feixe de elétrons r B = − B ⋅ iˆ A presença deste campo magnético faz com que cada elétron do feixe sofra uma força de Lorentz. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 4. A DESCOBERTA DO ELÉTRON A força de Lorentz e o movimento circular uniforme Como sabemos, a força de Lorentz contém dentro de si um produto vetorial entre a velocidade e o campo magnético. r r r FM = q ⋅ v × B r r r FM = −e ⋅ v × B r r v ⊥ FM Pela equação ao lado vemos que a força é perpendicular à velocidade ao longo de todo o movimento. Isto faz com que o feixe de elétrons execute um movimento circular dentro do bulbo, no plano perpendicular ao campo magnético. Trajetória circular do feixe de elétrons Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 4. A DESCOBERTA DO ELÉTRON A força de Lorentz e o movimento circular uniforme Isto significa que ao longo de todo o movimento os vetores força de Lorentz, campo magnético e velocidade são perpendiculares entre si. r r r FM = −e ⋅ v × B ⇒ FM = e ⋅ v ⋅ B r r r Assim, a trajetória do feixe de elétrons v ⊥ FM ⊥ B dentro do bulbo é uma circunferência de raio r. Concluímos então que a força resultante sobre o elétron é uma força centrípeta. Trajetória circular do feixe de elétrons Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 4. A DESCOBERTA DO ELÉTRON A força de Lorentz e o movimento circular uniforme Neste caso, a força centrípeta será então a própria força de Lorentz. FM = Fcent ⇒ m⋅v e⋅v⋅ B = r 2 Relacionamos então facilmente a velocidade do feixe de elétrons com o campo magnético e o raio da trajetória circular. Medida do raio da trajetória do feixe de elétrons e v = ⋅ B⋅r m Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 4. A DESCOBERTA DO ELÉTRON A determinação da razão e/m com os parâmetros medidos Uma simples manipulação a partir do resultado anterior, além daquele obtido pela Conservação da Energia, nos leva ao resultado ao lado para a razão carga massa do elétron. e 2 ⋅V = 2 2 m B ⋅r O campo magnético B pode ser expresso em termos das características das Bobinas de Helmholtz e da corrente elétrica que circula nas espiras. Características das Bobinas de Helmholtz 4 B= 5 Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos 3/ 2 N ⋅I ⋅ µ0 ⋅ R MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 4. A DESCOBERTA DO ELÉTRON A determinação da razão e/m com os parâmetros medidos Substituímos este resultado na expressão para a razão e/m e obtemos uma equação geral, dependente apenas dos parâmetros realmente medidos em laboratório. e 125 R2 V = ⋅ 2 2⋅ 2 2 m 32 µ 0 ⋅ N I ⋅ r Com parâmetros medidos adequadamente com seus respectivos erros experimentais, determina-se o valor da razão carga massa aceita atualmente. e = (1,75881962 ± 0,0000053)× 1011 m Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos C / kg MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 4. A DESCOBERTA DO ELÉTRON Publicações de Thomson sobre a descoberta do elétron Sobre a determinação da razão e/m J. J. Thomson escreveu dois artigos principais. Em 1897 J. J. Thomson apresentou o artigo “Cathode Ray” na revista Philosophical Magazine, S. 5, volume 44, pgs. 293-316. Em português o título deste artigo é “Raios Catódicos”. Selo da República da Guiné em homenagem a Thomson Fotografia de Thomson em seu trabalho no Laboratório Cavendish Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 4. A DESCOBERTA DO ELÉTRON Segunda publicação de Thomson Ainda em 1897 J. J. Thomson apresentou o artigo “On the Cathode Rays” na revista Nature, volume 55, pg. 453. Em português o título deste artigo é “Sobre Raios Catódicos”. Fotografia de J. J. Thomson e seus dois filhos Características das Bobinas de 1861 Fotografia do Laboratório Cavendish Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 1. Introdução 2. Modelos Filosóficos para o Átomo 3. A Contribuição da Química para a Compreensão do Átomo 4. A Descoberta do Elétron a. A Determinação da Razão Carga-Massa do Elétron b. A Determinação da Carga do Elétron 5. O Modelo de Thomson para o Átomo 6. O Modelo de Nagaoka 7. O Modelo de Rutherford Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 4. A DESCOBERTA DO ELÉTRON O primeiro arranjo experimental de J. J. Thomson J. J. Thomson aprofundou seus estudos sobre a natureza dos raios catódicos e mediu a razão carga/massa das partículas que constituíam as partículas que o compunham. Para isto Thomson utilizou um arranjo experimental similar ao mostrado abaixo. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 4. A DESCOBERTA DO ELÉTRON Arranjo experimental para determinação da razão e/m Com este arranjo Thomson observou que, não importando a condição em que o experimento fosse realizado, a medida desta razão carga/massa tinha sempre o mesmo valor. Vamos então fazer uma análise quantitativa das medidas realizadas por J. J. Thomson. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 4. A DESCOBERTA DO ELÉTRON Ação do campo elétrico sobre o feixe de raios catódicos Considerando apenas ação do campo elétrico uniforme fornecido pelo capacitor de placas paralelas, o feixe de raios catódicos (elétrons) sofre uma força elétrica constante. r r FE = −e ⋅ E Arranjo experimental utilizado por J. J. Thomson r E = − E ⋅ kˆ Para todos os efeitos, na figura acima consideramos que a placa P1 está polarizada positivamente, enquanto que a placa P2 está polarizada negativamente. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 1. Introdução 2. Modelos Filosóficos para o Átomo 3. O Átomo Químico 4. A Descoberta do Elétron a. A Determinação da Razão Carga-Massa do Elétron b. A Determinação da Carga do Elétron 5. O Modelo de Thomson para o Átomo 6. O Modelo de Nagaoka 7. O Modelo de Rutherford Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 5. O MODELO DE THOMSON PARA O ÁTOMO As hipóteses de Thomson para o seu modelo atômico Dois anos após a partir da descoberta do elétron e a determinação da razão e/m, em 1899 J. J. Thomson começou a elaborar um modelo para o átomo. J. J. Thomson imaginava um átomo como sendo composto por um grande número de elétrons. Thomson não empregava o termo “elétrons”, referindo-se a estas partículas como “corpúsculos”. Thomson evidentemente imaginava a existência de alguma carga positiva, necessária para balancear a carga negativa total. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 5. O MODELO DE THOMSON PARA O ÁTOMO A introdução da carga positiva no átomo Em 1904 Thomson substituiu esta ideia vaga sobre a carga positiva pelo modelo no qual o átomo seria uma distribuição esférica homogênea de carga positiva. Os elétrons estariam no interior desta distribuição, distribuídos uniformemente em anéis concêntricos. Pela “semelhança” com o manjar inglês, este modelo é erroneamente conhecido como “pudim de passas”. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 5. O MODELO DE THOMSON PARA O ÁTOMO Elétrons em posições fixas em anéis Nos seus trabalhos Thomson discutiu o problema de fixar n elétrons em anéis imersos em uma esfera uniformemente carregada. Thomson supôs que, na situação de equilíbrio, o espaçamento angular dos elétrons fosse o mesmo para todos eles. Desta forma, Thomson conseguiu estabilidade dos n corpúsculos (elétrons). investigar a Thomson aplicou estes resultados para descrever a estrutura interna dos átomos. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 5. O MODELO DE THOMSON PARA O ÁTOMO A procura da estabilidade no Modelo de Thomson Thomson supôs que, no caso de um átomo de muitos elétrons, estes estariam distribuídos em anéis concêntricos. Isto era necessário para que fossem satisfeitas as condições de estabilidade do átomo, que assegurassem o seu equilíbrio. Desta forma, segundo Thomson, deveria haver um número mínimo de anéis para garantir a estabilidade do átomo. Como se pode ver, este modelo nada tem a ver com a imagem de um “pudim de passas”. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 5. O MODELO DE THOMSON PARA O ÁTOMO As agulhas de Mayer Thomson inspirou-se nos resultados do experimento de Alfred Marshall Mayer (1836-1897) realizado em 1878 com agulhas imantadas. Neste experimento Mayer mostrou como pequenos polos magnéticos se arranjam na presença de um campo magnético intenso. Alfred Marshall Mayer (1836-1897) Sob certas condições, um arranjo de agulhas imantadas mantém uma configuração de equilíbrio. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 5. O MODELO DE THOMSON PARA O ÁTOMO A analogia de Thomson A figura abaixo mostra as distribuições de equilíbrio para configurações de 2 até 12 agulhas. A analogia de Thomson A analogia de Thomson foi considerar que as cargas elétricas estão para os campos elétricos, assim como as agulhas imantadas estão para o campo magnético. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 5. O MODELO DE THOMSON PARA O ÁTOMO A distribuição estática dos elétrons no Átomo de Thomson Na figura abaixo mostramos a configuração de até 12 elétrons dentro de um átomo, segundo Thomson. Embora a analogia e o modelo sejam muito ingênuos, Thomson acreditava que os padrões da configuração de Mayer pudessem levar a uma compreensão do átomo. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 5. O MODELO DE THOMSON PARA O ÁTOMO A força sobre os elétrons devido à carga positiva Para um átomo com muitos elétrons (n = Z⋅e) a distribuição de cargas positivas em uma esfera de raio a exerce uma força de módulo F+ sobre cada um dos elétrons. Z ⋅e ⋅r F+ = 3 4 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ a 2 Se os elétrons estão em repouso (equilíbrio) esta força de atração deve ser equilibrada pela resultante das forças de todos os demais elétrons sobre este elétron em particular. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 5. O MODELO DE THOMSON PARA O ÁTOMO A força sobre os elétrons devido aos demais elétrons O Modelo de Thomson considera que em cada anel existam n elétrons distribuídos em ângulos igualmente espaçados, tal que θi =2⋅π/n. Para o arranjo de forças da figura abaixo, é possível calcular a resultante das forças de repulsão de n – 1 elétrons sobre um elétron em particular, todos dispostos sobre o mesmo anel. 2 n −1 π e F− = ∑ csc (i − 1) ⋅ ⋅ 3 n 16 ⋅ π ⋅ ε ⋅ r i =1 0 Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 5. O MODELO DE THOMSON PARA O ÁTOMO Exemplos de valores para a soma Sn Podemos escrever esta força repulsiva F- em termos de uma soma Sn. Sn ⋅ e2 F− = 3 16 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ r π S n = ∑ csc (i − 1) ⋅ n i =1 n −1 Assim, obtemos a seguinte expressão para o raio de equilíbrio dos anéis onde se localizam os elétrons 1/ 3 1 π req = ⋅ ∑ cos ec (i − 1) ⋅ n 4 ⋅ Z i =1 n ⋅a Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 5. O MODELO DE THOMSON PARA O ÁTOMO Análise de casos particulares No caso particular de um único anel (Z = n), temos 1/ 3 1 π req = ⋅ ∑ cos ec (i − 1) ⋅ n 4 ⋅ n i =1 n ⋅a Se dois elétrons estão em um único anel, temos a req = 2 Assim, nesta condição o anel se encontra exatamente no centro da distribuição positiva de cargas. Também na situação de um único anel, este se aproxima do raio do átomo quando cresce o número de elétrons. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 5. O MODELO DE THOMSON PARA O ÁTOMO Ainda a instabilidade no Átomo de Thomson estático É possível mostrar que no caso de um único anel, o equilíbrio de cargas é instável, pois 2 d U 2 dr r = req dF =− dr 3⋅ Z ⋅ e =− <0 3 4 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ a 2 r = req Este resultado levou Thomson a considerar a situação em que a distribuição dos elétrons não é estática. Admitindo que os elétrons estavam em movimento, Thomson analisou o problema da estabilidade mecânica das órbitas até n = 8. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 5. O MODELO DE THOMSON PARA O ÁTOMO Tentativa com os elétrons em movimento Nas palavras de Thomson “Temos assim, em primeiro lugar, uma esfera de eletricidade positiva uniforme e. dentro desta esfera, um número de corpúsculos dispostos em uma série de anéis paralelo, com o número de corpúsculos em um anel variando de anel para anel: cada corpúsculo se move a alta velocidade sobre a circunferência do anel no qual está situado e os anéis são dispostos de modo que aqueles que contém um grande número de corpúsculos estão próximos à superfície da esfera, enquanto aqueles em que há número menor de corpúsculos estão mais no interior.” Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 5. O MODELO DE THOMSON PARA O ÁTOMO Configuração de anéis e a Tabela Periódica Nas tabelas abaixo, mostramos como Thomson distribuiu os elétrons em vários anéis. Com isto, ele explicou algumas regularidades dos elementos químicos da Tabela Periódica. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 5. O MODELO DE THOMSON PARA O ÁTOMO Aspectos positivos do Modelo Atômico de Thomson De qualquer forma, o Modelo Atômico de Thomson apresenta alguns aspectos positivos: a) leva em conta a existência do elétron; b) considera a neutralidade da carga na matéria; c) prevê, ao menos qualitativamente, a emissão de radiação por átomos excitados. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 5. O MODELO DE THOMSON PARA O ÁTOMO A explicação de Thomson para a emissão de radiação Com base no Modelo Atômico de Thomson podemos calcular a força que uma distribuição de cargas positivas (carga total e) exerce sobre um elétron. Admitimos que a carga positiva +e está uniformemente distribuída em uma esfera de raio a. Neste caso, segundo a Lei de Gauss, o campo elétrico devido a esta distribuição uniforme de cargas positivas é radial e dado por r E (r ) = e 4 ⋅π ⋅ε0 ⋅ a 3 ⋅ r ⋅ rˆ Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 5. O MODELO DE THOMSON PARA O ÁTOMO Análise para o caso do átomo com um elétron Admitimos também que um elétron esteja situado a uma distância r a partir do centro do átomo. Logo, a força que a distribuição de cargas exerce sobre este elétron é dada por r r e2 F (r ) = − ⋅ r 4 ⋅π ⋅ ε 0 ⋅ a3 Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 5. O MODELO DE THOMSON PARA O ÁTOMO A equação de movimento para o elétron e sua solução Aplicando a 2a Lei de Newton ao movimento do elétron, obtemos 2r r d r e2 + ⋅r = 0 2 3 dt 4 ⋅π ⋅ε0 ⋅ m ⋅ a A solução geral desta equação diferencial é dada em termos das condições iniciais de posição e velocidade. r r r (t ) = r0 ⋅ cos(ω ⋅ t ) + r v0 ⋅ sin (ω ⋅ t ) ω Dependendo da relação entre a velocidade e a posição inicial do elétron, o movimento pode se degenerar em uma oscilação linear ou em um movimento circular uniforme. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 5. O MODELO DE THOMSON PARA O ÁTOMO A frequência do movimento do elétron Por sua vez, a frequência angular ω associada ao movimento do elétron é dada por ω= e2 4 ⋅π ⋅ ε 0 ⋅ m ⋅ a3 Assim, independente das condições iniciais, o elétron executa um movimento plano periódico de frequência ν dada por 1 e2 ν= ⋅ 2 ⋅π 4 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ m ⋅ a3 Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 5. O MODELO DE THOMSON PARA O ÁTOMO A frequência da emissão de radiação 1 e2 ν= ⋅ 2 ⋅π 4 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ m ⋅ a3 e = 1,6× ×10-19 C ε0 = 8,85× ×10-12 C2/N⋅⋅m2 m = 9,1× ×10-31 kg a ≈ 10-10 m ν ≈ 1015 Hz Segundo o Modelo de Thomson, esta seria a ordem de grandeza da frequência de emissão de luz por um átomo hipotético, composto de apenas um elétron. Para Thomson, mesmo o átomo de hidrogênio possuiria milhares de elétrons, que originariam as diversas linhas espectrais observadas. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 5. O MODELO DE THOMSON PARA O ÁTOMO De novo a instabilidade presente no Átomo de Thomson Apesar de estimar a ordem de grandeza das frequências de emissão de luz por um átomo, o Modelo de Thomson implica a perda de energia por radiação. Esta perda de energia levaria o sistema atômico a um colapso, ou seja, o Modelo de Thomson seria INSTÁVEL. Desta forma, o Modelo Atômico de Thomson apresenta os seguintes aspectos negativos: a) não explica quantitativamente os espectros de emissão de radiação por átomos excitados; b) é instável. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 5. O MODELO DE THOMSON PARA O ÁTOMO Estudos quantitativos sobre a instabilidade do átomo Como já vimos anteriormente, a potência média irradiada por uma partícula de carga e é dada pela fórmula de Larmor. 2 e 2 P= ⋅ a 3 6 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ c A partir da expressão da posição do elétron no átomo de Thomson, a aceleração quadrática média deste elétron é a = 2 ω 2 2 ( ⋅ ω ⋅r +v 2 2 0 2 0 Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos ) MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 5. O MODELO DE THOMSON PARA O ÁTOMO Perda de energia por emissão de radiação Vamos admitir também que a perda de energia por emissão de radiação seja lenta, se comparada com o período do movimento do elétron. Este período é da ordem de 1 fs = 10-15 s, uma vez que a frequência de emissão de luz (já calculada!!) é da ordem de 1015 Hz. Neste caso, é possível mostrar que a energia média perdida pelo elétron em cada ciclo é ( 1 E = ⋅ m ⋅ ω 2 ⋅ r02 + v 02 2 ) ⇒ ( ) 2 ω ⋅r + v = ⋅E m 2 Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos 2 0 2 0 MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 5. O MODELO DE THOMSON PARA O ÁTOMO Relação entre potência dissipada e perda de energia Assim, substituindo esta última expressão na equação da potência dissipada, temos e2 ⋅ω 2 P= ⋅E 3 6 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ m ⋅ c Mas, a potência dissipada pelo elétron nada mais é do que a taxa de perda da sua energia. d P=− E dt ⇒ d e2 ⋅ω 2 E E=− ⋅E = − 3 dt 6 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ m ⋅ c τ Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 5. O MODELO DE THOMSON PARA O ÁTOMO Estimativa do tempo de vida do Átomo de Thomson Resolvemos esta equação diferencial e obtemos t E (t ) = E 0 ⋅ exp − τ 6 ⋅π ⋅ε0 ⋅ m ⋅ c τ= e2 ⋅ω 2 3 τ ⇒ tempo de vida do elétron no átomo Substituindo valores numéricos na expressão do tempo de vida do átomo, obtemos τ ≈ 10-8 s = 10 ns !!! Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 5. O MODELO DE THOMSON PARA O ÁTOMO O artigo publicado por J. J. Thomson Thomson apresentou seu modelo atômico em um artigo escrito em 1904, no qual ele trata da dinâmica e estabilidade do movimento dos anéis. Este artigo se chama “On the structure of the atom: an investigation on the stability and periods of oscilation of a number of corpuscules arrenged at equal intervals around the circunference of a circle; with application of the results to the theory of atomic structure”, na revista Philosophical Magazine S. 6, volume 7, pgs. 237-265. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 5. O MODELO DE THOMSON PARA O ÁTOMO O artigo publicado por J. J. Thomson Em português, o título deste artigo é “Sobre a estrutura do átomo: uma investigação sobre a estabilidade e períodos de oscilação de um número de corpúsculos arranjados em intervalos iguais ao redor da circunferência de um círculo; com aplicação dos resultados para a teoria da estrutura atômica”. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 1. Introdução 2. Modelos Filosóficos para o Átomo 3. O Átomo Químico 4. A Descoberta do Elétron a. A Determinação da Razão Carga-Massa do Elétron b. A Determinação da Carga do Elétron 5. O Modelo de Thomson para o Átomo 6. O Modelo de Nagaoka 7. O Modelo de Rutherford Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 6. O MODELO DE NAGAOKA PARA O ÁTOMO Um pouco de História Hantaro Nagaoka (1865-1950) foi o pioneiro da Física no Japão durante a Era Meiji. Placa de Hantaro Nagaoka existente no Museu de Ciências de Tókio. Hantaro Nagaoka (1865-1950) Em 1904 Nagaoka desenvolveu um modelo planetário para o átomo, em oposição ao Modelo de Thomson. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 6. O MODELO DE NAGAOKA PARA O ÁTOMO As hipóteses de Nagaoka O Modelo de Nagaoka baseava-se numa analogia à explicação para a estabilidade dos anéis de Saturno. Os anéis de Saturno são estáveis devido à grande massa do planeta que eles orbitam. Modelo atômico planetário de Nagaoka. Saturno e seus anéis. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 6. O MODELO DE NAGAOKA PARA O ÁTOMO Objetivos e previsões do Modelo de Nagaoka O objetivo de Nagaoka era propor um modelo atômico que explicasse as regularidades das linhas espectrais, além de dar conta da emissão radioativa de partículas β por materiais pesados. O Modelo de Nagaoka fazia duas previsões, a saber. a) A existência de um núcleo muito massivo, em analogia com o planeta muito massiva. b) Os elétrons se movem ao redor do núcleo, ligados por forças eletrostáticas, em analogia aos anéis se movendo ao redor de Saturno atraídos por forças gravitacionais. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 6. O MODELO DE NAGAOKA PARA O ÁTOMO O Modelo de Nagaoka O Modelo de Nagaoka consiste em um sistema com um grande número de elétrons distribuídos em um anel circular. Os elétrons estariam distribuídos em intervalos angulares iguais. Além disso, estes elétrons se repelem de acordo com a Lei de Coulomb. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 6. O MODELO DE NAGAOKA PARA O ÁTOMO O Modelo de Nagaoka No centro do anel encontra-se uma partícula massiva e de carga positiva. Tanto a massa desta partícula quanto a sua carga são muito maiores do que a massa e do módulo da carga do elétron. Além disso, a carga elétrica total do átomo é nula. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 6. O MODELO DE NAGAOKA PARA O ÁTOMO O Modelo de Nagaoka Os elétrons executariam pequenas oscilações radiais ou perpendiculares ao plano da órbita. Estas oscilações provocariam alterações nas posições dos elétrons no anel. Assim, existiriam regiões com diferentes densidades de elétrons. Isto explicaria a diversidade no número de linhas espectrais. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 6. O MODELO DE NAGAOKA PARA O ÁTOMO A explicação de Nagaoka para as séries espectroscópicas Como veremos mais tarde, já era conhecido que vapores atômicos formados a partir de elementos químicos apresentavam mais de uma série espectral. No Modelo de Nagaoka o átomo teria tantos anéis quanto o número de séries espectrais, caso os espectros dos elementos fossem devidos aos movimentos dos elétrons nas órbitas circulares. A emissão de partículas β seria explicada pela ruptura de um anel devido a ressonância advinda da interação entre os elétrons . Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 6. O MODELO DE NAGAOKA PARA O ÁTOMO Os problemas do Modelo de Nagaoka Destacamos modelo. abaixo os seguintes problemas deste Em nenhuma parte de seu trabalho Nagaoka menciona o número de elétrons contido em cada anel. Em relação à emissão de partículas β podemos imaginar até que, ao se quebrar um destes anéis, um grande número de elétrons seria emitido pelo átomo No entanto, a natureza desta observação decorria da grande quantidade de átomos contida na amostra estudada. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 6. O MODELO DE NAGAOKA PARA O ÁTOMO Os problemas do Modelo de Nagaoka A grande restrição, porém, está relacionada instabilidade do átomo no Modelo de Nagaoka. à Em palavras do próprio Nagaoka: “... a objeção a tal modelo de elétrons é que o sistema deve finalmente tender ao repouso em consequência de perda de energia por radiação, se a perda não for convenientemente compensada.” Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 6. O MODELO DE NAGAOKA PARA O ÁTOMO O trabalho de Hataro Nagaoka Nagaoka apresentou seu modelo atômico em um artigo escrito em 1904, no qual ele trata da cinética de um sistema de partículas carregadas. Este artigo se chama “Kinectics of a system of particles illustrating the line and the band spectrum and the phenomena of radioactivity”, na revista Philosophical Magazine, volume 7, pgs. 445-455. Em português o título deste artigo é “Cinemática de um sistema de partículas que ilustram o espectro de linha e de banda e o fenômeno da radioatividade”. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 1. Introdução 2. Modelos Filosóficos para o Átomo 3. O Átomo Químico 4. A Descoberta do Elétron a. A Determinação da Razão Carga-Massa do Elétron b. A Determinação da Carga do Elétron 5. O Modelo de Thomson para o Átomo 6. O Modelo de Nagaoka 7. O Modelo de Rutherford Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO Rutherford e o espalhamento de partículas alfa Em 1911, o físico neozelandês Ernest Rutherford (18711937) analisou experimentos de espalhamento de partículas alfa (α) por átomos. Rutherford, Prêmio Nobel de Química de 1908, pela “Investigação da desintegração dos elementos e a química das substâncias radioativas”. Rutherford preferia claramente recebido o Prêmio Nobel de Física. Ernest Rutherford (1871-1937) Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos ter MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO As partículas alfa Rutherford já sabia que partículas alfa (α) eram átomos de hélio (He) duplamente ionizados emitidos espontaneamente por vários materiais radioativos. Assim, partículas alfa (α) nada mais são do que os núcleos destes átomos de hélio (He), e contém carga positiva (+2). 236 4 232 U → α + Th + energia 92 2 90 236 4 232 U → α + Th + energia 92 2 90 Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO O arranjo experimental de Rutherford Um esquema do arranjo Rutherford é mostrado abaixo. experimental Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos usado por MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO Detalhes experimentais de Rutherford Rutherford bombardeou uma fina lâmina de metal (ouro – Au) de aproximadamente 1 µm, com partículas alfa (α) provenientes de uma amostra de polônio (Po). A lâmina de ouro é tão fina que as partículas alfa (α) a atravessa completamente com apenas uma pequena diminuição em sua velocidade. Ao atravessar a lâmina cada partícula (α) sofre muitas deflexões alfa provenientes das interações coulombianas entre sua carga e as dos átomos de ouro. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO Predições do Modelo de Thomson Considerando verdadeiro o modelo atômico de Thomson, a trajetória da partícula alfa (α) seria como descrito abaixo. Podemos estimar o ângulo máximo ϕMAX o qual a partícula alfa (α) será espalhada ao atravessar este tipo de átomo. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO Interação coulombiana no Espalhamento Rutherford É bastante razoável supor que a maior parte deste espalhamento será devido à carga positiva contida no átomo. O espalhamento se dá pela interação coulombiana entre a partícula alfa e a carga positiva contida no átomo. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO Força coulombiana sobre a partícula alfa Por usa vez, a interação coulombiana entre a partícula alfa (carga +2⋅e) e um elemento de carga positiva dq contida no átomo é dada pela força r dF = 2 ⋅ e ⋅ dq ⋅ rˆ 2 4 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ r Para calcular a força total, devemos integrar esta força sobre todos os elementos de carga positiva contidos no átomo. Entretanto, para se determinar a ordem de grandeza do desvio angular, podemos considerar o raio do átomo como a distância na qual a força de interação tem valor significativo. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO Estimativa do valor da força coulombiana Podemos utilizar então o raio do átomo a como limite superior para a força de repulsão coulombiana, obtendo então FMAX Z ⋅ e2 ≈ 2 2 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ a Para estimar o ângulo de desvio máximo ϕMAX calculamos o momento linear (∆p)α conferido à partícula alfa pela força FMAX. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO A variação da quantidade de movimento da partícula alfa Para isto, supomos que esta força age durante um intervalo de tempo ∆t, que é o tempo necessário para que ela atravesse o átomo. Assim, uma conta simples nos leva a φMAX Z ⋅e ≈ 2 2 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ a ⋅ M α ⋅ vα 2 Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO Estimativa do valor do ângulo de desvio máximo Façamos o cálculo da estimativa de φMAX. φMAX Z ⋅e ≈ 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ a ⋅ Tα 2 Os dados experimentais são Z = 79 e = 1,6× ×10-19 C ε0 = 8,85× ×10-12 C2/N⋅⋅m2 Tα = 8,9 eV Tais dados nos levam ao resultado φMAX ≈ 10 −4 rad Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos a ≈ 10-10 m MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO Resultado experimental obtido pelo grupo de Rutherford O resultado experimental obtido por Geiger e Mardsen (orientados por Rutherford) é mostrado abaixo. Embora a maior parte (99%) das partículas alfa sejam espalhadas a um ângulo pequeno (< 3°), algumas delas eram espalhadas a um ângulo grande. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO Conclusões Isto mostra que a estimativa para ângulo de espalhamento máximo feita pelo Modelo de Thomson não é correta. Assim, o resultado de Rutherford mostrado ao lado indica definitivamente que o Modelo de Thomson não é adequado. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO Modelo de Rutherford Levando em conta este resultado experimental, Rutherford propôs então um outro modelo para o átomo. Neste novo modelo, todas as cargas positivas do átomo (e também a sua massa) estão concentradas em uma pequena região. Rutherford denominou esta região de núcleo atômico. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO O espalhamento Rutherford de partículas alfa pelo núcleo No modelo de Rutherford as partículas alfa são espalhadas pelas cargas positivas existentes no núcleo. As forças que provocam este espalhamento são de natureza coulombiana, resultante da interação entre a carga +2⋅e da partícula alfa e a carga +Z⋅e do núcleo. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO Comportamento das parâmetro de impacto partículas alfa em função do Consideremos que a densidade de corrente de partículas α incidentes sobre o alvo seja Jαinc . Uma variação no parâmetro de impacto de b para b + db altera o ângulo de espalhamento das partículas alfa de θ para θ + dθ . Jαinc é o número de partículas alfa que saem da fonte por unidade de área e por unidade de tempo. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO Cálculo da taxa de partículas alfa espalhadas pelo núcleo A taxa de partículas espalhadas entre os ângulos θ e θ + dθ é proporcional à área da coroa circular definida pelo intervalo entre b e b + db. dN inc inc d (θ ) = J α ⋅ dA = J α ⋅ 2 ⋅ π ⋅ b ⋅ db dt Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO Seção de choque do espalhamento Rutherford Por outro lado, definimos a relação entre a taxa de partículas espalhadas e a seção de choque do espalhamento Rutherford dσ através de dN inc d (θ ) = J α ⋅ dσ dt Desse modo, escrevemos a diferencial de seção de choque em termos do parâmetro de impacto b como sendo dσ = 2 ⋅ π ⋅ b ⋅ db Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO Seção de choque diferencial do espalhamento Rutherford Queremos determinar a seção de choque relativa a este espalhamento. A seção de choque diferencial (dσ/dΩ) é proporcional ao número de partículas espalhadas em um dado ângulo sólido dΩ. dσ dσ = dΩ 2 ⋅ π ⋅ sin θ ⋅ dθ Partimos da expressão da seção de choque diferencial, e determinamos que dσ b db = ⋅ dΩ sin θ dθ Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO Análise da expressão da seção de choque diferencial Temos então que dσ b db = ⋅ dΩ sin θ dθ Esta é a definição de seção de choque quando a contagem de partículas espalhadas é feita em uma direção definida por um ângulo sólido dΩ. Observe que tomamos o módulo na equação acima pois à medida que aumentamos o parâmetro de impacto b, diminuímos o ângulo de espalhamento θ. Como sabemos, a seção de choque é uma grandeza positiva. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO Determinação do parâmetro de impacto Nosso problema agora é determinar uma relação b(θ) entre o parâmetro de impacto b em termos do ângulo de espalhamento θ. Faremos isto a partir da análise da trajetória da partícula alfa espalhada pelo núcleo atômico. Como veremos, a equação da trajetória da partícula alfa é uma hipérbole. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO Determinação da equação da trajetória da partícula alfa Como a interação é do tipo coulombiana (força central), podemos de imediato concluir que a) a energia mecânica é conservada. 1 2⋅Z ⋅e 2 E = ⋅ M α ⋅ vα + 2 4 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ r 2 dr 2 2 dϕ 2 1 Z ⋅ e2 E = ⋅ M α ⋅ + r ⋅ + 2 dt 2 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ r dt Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO Determinação da equação da trajetória da partícula alfa Como a interação é do tipo coulombiana (força central), podemos também concluir que b) o momento angular é conservado. r r r L=r×p dϕ L = Mα ⋅ r ⋅ dt 2 Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO Equação da hipérbole Não é difícil mostrar que a trajetória que a partícula alfa segue no espalhamento é uma hipérbole, como mostra a figura abaixo. r (ϕ ) = ρ 1 − ζ ⋅ cos(ϕ − ϕ 0 ) 2 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ L2 ρ= Mα ⋅ Z ⋅ e2 2 ⋅ E 2 ⋅π ⋅ ε 0 ⋅ L ζ = 1+ 2 Mα Z ⋅ e Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos 2 MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO Outra forma de descrever a hipérbole Após impor condição de contorno adequada, isto é, quando r → ∞ temos que ϕ = 0, obtemos o valor para ϕ0. 1 ϕ 0 = arccos ζ Manipulamos a equação da hipérbole e obtemos então D 1 1 = ⋅ sin ϕ + ⋅ (cos ϕ − 1) 2 r b 2⋅b Z ⋅ e2 D= 2 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ Tα 0 Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO Determinação do parâmetro de impacto Impomos outra condição de contorno adequada para a hipérbole, isto é, quando r → ∞ temos que ϕ = π - θ e obtemos a relação entre b e θ. Z ⋅e θ b(θ ) = ⋅ cot 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ Tα 0 2 2 Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO Determinação da seção de choque diferencial De posse da expressão para b(θ), podemos determinar a expressão para a seção de choque diferencial para o espalhamento de Rutherford. dσ b db = ⋅ dΩ sin θ dθ 2 1 dσ Z ⋅e ⋅ = dΩ 8 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ Tα 0 4θ sin 2 2 Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO O significado da seção de choque diferencial A seção de choque diferencial do espalhamento Rutherford é uma medida da fração de partículas alfa espalhadas em relação ao número de partículas alfa incidentes. dσ dN = ⋅ I ⋅ n ⋅ dΩ dΩ I: número de partículas alfa que incidem sobre o filme metálico n: número de núcleos atômicos por unidade de área Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO O cálculo do número de partículas alfa espalhadas Admitimos que o número de núcleos por unidade de área possa ser expresso em termos da densidade molar do metal ρ, além da espessura do filme metálico t. n = ρ ⋅t d ρ= MOL Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO O cálculo do número de partículas alfa espalhadas Após alguma manipulação obtemos o número de partículas alfa espalhadas entre θ e θ + dθ. 2 Z ⋅e 1 ⋅ N (θ ) ⋅ dθ = I ⋅ ρ ⋅ t ⋅ 2 ⋅ π ⋅ sin θ ⋅ dθ 8 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ Tα 0 sin 4 θ 2 2 Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO O cálculo do número de partículas alfa espalhadas Todos os resultados experimentais validade da equação abaixo. 2 confirmaram Z ⋅e 1 ⋅ N (θ ) ⋅ dθ = I ⋅ ρ ⋅ t ⋅ 2 ⋅ π ⋅ sin θ ⋅ dθ 8 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ Tα 0 sin 4 θ 2 2 a) N(θ θ)⋅⋅dθ θ ∝ t. b) N(θ θ)⋅⋅dθ θ ∝ 1/Tα. c) N(θ θ)⋅⋅dθ θ ∝ (Z⋅⋅e)2. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos a MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO Outra forma de cálculo De acordo com a Conservação do Momento Angular, em qualquer ponto da trajetória da partícula α temos que L = M α ⋅ vϕ ⋅ r Para a posição de assíntota, temos a situação especial L = M α ⋅ v0 ⋅ b Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO O impulso sobre a partícula alfa Observamos a geometria da variação do momento linear da partícula alfa. θ ∆pα = 2 ⋅ M α ⋅ v 0 ⋅ sin 2 Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO O impulso sobre a partícula alfa Usamos o Teorema do Impulso Linear para calcular a variação do momento linear da partícula alfa ∆pα . Esta variação no momento linear resulta do impulso que a força de interação coulombiana executa sobre partícula α ao longo de toda a sua trajetória. Neste caso, apenas a componente da força tangencial à trajetória contribui para o impulso. ∆pα = ∫ (F ⋅ cos ϕ ) ⋅ dt Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO O cálculo da variação do momento linear Após alguma manipulação matemática encontramos Z ⋅e θ ∆pα = ⋅ cos π ⋅ ε 0 ⋅ v0 ⋅ b 2 2 Igualamos estas variações de momento linear e após uma simples manipulação determinamos b(θ). Z ⋅e θ b(θ ) = ⋅ cot 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ Tα 0 2 2 Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO O cálculo da variação do momento linear A força de interação coulombiana é dada por 2⋅Z ⋅e F (r ) = 2 4 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ r 2 Para podermos realizar a integral, fazemos uma mudança de variável, usando a relação entre 1/r2 e o momento angular. Assim, obtemos 1 1 dϕ = ⋅ 2 v0 ⋅ b dt r Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO Predições do Modelo de Rutherford Assim, substituindo estas expressões na integral do impulso, obtemos ∆pα = +ϕ MAX Z ⋅e Z ⋅e dϕ ( ) (cos ϕ ) ⋅ dϕ cos ϕ ⋅ ⋅ dt = ∫ ∫ 2 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ v0 ⋅ b 2 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ v0 ⋅ b −ϕ MAX dt 2 2 Calculamos então a integral e obtemos Z ⋅ e2 ∆pα = ⋅ sin ϕ MAX π ⋅ ε 0 ⋅ v0 ⋅ b Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO Predições do Modelo de Rutherford A relação entre os ângulos ϕMAX e θ é 2 ⋅ ϕ MAX + θ = π ϕ MAX = π 2 Obtemos então Z ⋅e θ ∆pα = ⋅ cos π ⋅ ε 0 ⋅ v0 ⋅ b 2 2 Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos − θ 2 MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO Predições do Modelo de Rutherford Comparamos então as duas expressões obtidas para a variação do momento linear e obtemos θ ∆pα = 2 ⋅ M α ⋅ v 0 ⋅ sin 2 Z ⋅ e2 θ ∆pα = ⋅ cos π ⋅ ε 0 ⋅ v0 ⋅ b 2 Obtemos então Z ⋅ e2 θ b(θ ) = ⋅ cot g 2 2 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ M α ⋅ v0 2 Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO O tamanho do núcleo atômico Rutherford foi capaz de estabelecer um limite superior para o tamanho do núcleo. A distância de maior aproximação D é o menor valor que R pode admitir. RMIN rNUC Z ⋅ e2 ≈D= 2 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ Tα 0 Z ⋅ e2 =D= 2 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ Tα 0 O raio do núcleo não deve ser maior do que D. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS 7. O MODELO DE RUTHERFORD PARA O ÁTOMO O tamanho do núcleo atômico Para os experimentos realizados, encontramos rNUC Z ⋅ e2 ≈D= 2 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ Tα 0 Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO 8. BIBLIOGRAFIA Bibliografia 1) EISBERG, R. e RESNICK, R.; Física Quântica; Editora Campus; Rio de Janeiro, 1986; páginas 19-47. 2) CARUSO, F. e OGURI, V.; Física Moderna; Elsevier Editora; São Paulo, 2006; páginas 299-329. 3) BEISER, A.; Conceitos de Física Moderna; Editora Polígono; São Paulo, 1969; páginas 282-287. 4) NUSSENZVEIG, H. M.; Física Básica, Volume 4; Editora Edgard Blücher; São Paulo, 2006; páginas 246-249. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO 8. BIBLIOGRAFIA Bibliografia 5) HALLIDAY, D., RESNICK, R. e WALKER, J.; Fundamentos de Física – Volume 4 – 4a Edição; Livros Técnicos e Científicos Editora S.A.; 1995; páginas 158-159. 6) SEARS, W., ZEMANSKY, F., YOUNG, H. D., FREEDMAN, R. A.; Física IV; 10a Edição; Pearson Education do Brasil; São Paulo, 2004; páginas 204-208. 7) TIPLER, P. A. e LLEWELLYN, R. A.; Física Moderna; Livros Técnicos e Científicos Editora; Rio de Janeiro, 2001; páginas 83-87. Física Moderna I – Modelos Atômicos Clássicos A Escola de Atenas – Rafael di Sanzio
