O conceito de vetor

Mestrado Profissionalizante em Ensino de Matemática
Dissertação
1. Introdução: O problema
 Resolução de sistemas: álgebra desprovida de leitura
geométrica
 Nova abordagem: geometria vetorial na escola
2. Considerações Teóricas
Álgebra x Geometria x Visualização.
Piaget, Tecnologia na visualização
3. Metodologia de Pesquisa
Engenharia Didática
Montagem do material para experiência
4. Experiência em sala de aula e análise dos resultados
5. Conclusões
1. O vetor geométrico
Conceitos Iniciais
Considere o segmento orientado da figura:
Existem três aspectos fundamentais, os quais destacamos: o módulo, direção
o sentido. O módulo é o comprimento do segmento AB ; a direção é dada pela
reta que suporta o mesmo; e o sentido é de A para B.
Neste estudo, a compreensão das idéias de direção e sentido são
fundamentais, por isso vamos discuti-las mais detalhadamente.
Observe as retas da figura abaixo, onde apenas as retas s e t são paralelas:
As retas r e s definem ou determinam direções distintas. Já a reta t possui a
mesma direção da reta s. Portanto, o conceito de direção é caracterizado por
uma reta e todas as retas paralelas a ela. Em outras palavras, retas paralelas
possuem a mesma direção. Por exemplo: quando andamos em uma mesma
rua reta, ou em ruas retas paralelas, estamos nos deslocando na mesma
direção.
Considere a reta definida pelos pontos A e B na figura abaixo.
Conforme vimos, esta reta define uma direção. Porém, podemos imaginar uma
pessoa se deslocando nessa reta de duas maneiras distintas: de A para B, ou
de B para A. Dizemos então que, dada uma direção, existem dois sentidos: o
sentido que vai de A para B e o sentido contrário (de B para A).
Dado um segmento orientado PQ , chamamos de vetor uma coleção de
segmentos orientados que possuem o mesmo módulo, a mesma direção e o
mesmo sentido de PQ .
A idéia de vetor nos leva a algo do tipo:
Dois segmentos orientados não nulos, AB e CD , são representantes de um
mesmo vetor, ou equipolentes, se
(i) têm o mesmo comprimento;
(ii) têm a mesma direção (estão sobre uma mesma reta ou sobre retas
paralelas);
(iii) têm o mesmo sentido.
Observação: Dado o segmento orientado AB , para cada ponto P do plano,
existe um único ponto Q, tal que os segmentos orientados AB e PQ são
equipolentes.
Costuma-se representar o vetor v = AB por uma flecha com origem no ponto A
e extremidade em B. A observação acima ressalta novamente que o início
dessa flecha pode ser colocado em qualquer ponto P do plano, obtendo-se
flechas diferentes graficamente, mas representantes do mesmo vetor.
Translação: Um vetor qualquer v do plano define uma função chamada de
translação. A cada ponto P do plano ela faz corresponder um outro ponto P’ tal
que PP' = v, ou também P’ = P + v, como indica a figura abaixo:
Exercícios:
1) Determine na figura abaixo todos os seguimentos orientados que são
representantes dos vetores v = AC , w = AB , u = BC e t = AD .
---------------------------------------------------------------------------------------------------------2) Marque na figura abaixo:
a) o ponto D tal que AD  BC ;
b) o ponto E tal que BE  AB ;
c) o ponto F tal que FC  BA ;
d) o ponto G tal que GB  CG .
---------------------------------------------------------------------------------------------------------3) A figura abaixo é obtida através da junção de três hexágonos regulares.
Quantos vetores distintos os lados destes polígonos determinam?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------4) Verdadeiro ou Falso?
a) ( ) Se AB  CD então AC  BD .
b) ( ) Se CA  CB então A = B.
c) ( ) Se I está a igual distancia de A e B então AI  IB .
d) ( ) Se I é o ponto médio do segmento AB então AI  IB .
e) ( ) Se AB  BC  CD então os quatro pontos então alinhados.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------5) Fazer a translação da figura abaixo segundo:
a) o vetor u = AB
b) o vetor v = CD
c) o vetor w = EF
d) o vetor s = GH
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Operações geométricas com vetores
Adição de Vetores
Sejam u e v dois vetores quaisquer. A soma de u com v é o vetor u + v que
pode ser determinado da seguinte maneira: escolhemos representantes AB e
BC dos vetores u e v. O vetor soma é representado pela flecha que possui
origem no ponto A e extremidade no ponto C, como mostra a figura:
É importante salientar que o vetor u + v independe da escolha dos
representantes AB e BC , dos vetores u e v respectivamente. Isto é, se u =
A' B' , v = B'C ' e u + v = A'C ' , então, por congruência de triângulos, temos
A'C ' = AC .
Obs. A soma coincide com a diagonal do paralelogramo determinado por u e v,
quando estes vetores são posicionados com o mesmo ponto inicial. Veja:
Assim fica evidente que u + v = v + u.
Vejamos agora algumas definições:
(i) Existe um só vetor nulo 0 tal que, v + 0 = 0 + v = v. O vetor nulo tem módulo
zero e direção e sentido indeterminados.
(ii) Qualquer que seja o vetor v, existe um só vetor –v (vetor oposto de v) tal
que v + (-v) = -v + v = 0. O vetor oposto de v tem mesmo módulo, mesma
direção e o sentido contrário. Isto é, se v = AB então –v = BA .
(iii) A diferença dos vetores u e v é o vetor u + (-v).
Multiplicação de Número Real por Vetor
Dado um vetor v  0 e um número k  IR*, chama-se produto do número real k
pelo vetor v , o vetor k. v tal que:
a) módulo: │k. v │=│k││ v │, isto é, o comprimento de k. v é igual ao
comprimento de v multiplicado por │k│.
b) direção: k. v e v têm a mesma direção (isto é, estão sobre uma mesma
reta, ou sobre retas paralelas)
c) sentido: k. v e v têm o mesmo sentido se k > 0 e k. v e v têm sentidos
contrários se k < 0.
Obs. Se k = 0 ou v = 0 , então k. v = 0 .
A figura abaixo apresenta o vetor v e alguns vetores da forma k v :
Exercícios:
1) Encontre na figura abaixo, sem acrescentar novos pontos, um representante
do vetor que é igual a:
a) AE + ED
b) CD + CE
c) AB + EA
d) AB + DC
e) BC + EC
---------------------------------------------------------------------------------------------------------2) Determine a soma OA  OB  OC  OD  OE  OF
sendo ABCDEF um
hexágono regular inscrito num círculo centro O, conforme indica a figura
abaixo:
---------------------------------------------------------------------------------------------------------3) Um barco pode desenvolver velocidade de 4 m/s em águas paradas. Um
pescador dispõe deste barco perpendicularmente às margens de um rio, cuja
correnteza tem velocidade 3 m/s. Nesta travessia, qual será a velocidade do
barco em relação às margens?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------4) Determine a intensidade da resultante de duas forças, F1 e F2 , sabendo
que valem, respectivamente, 10 N e 20 N e são aplicadas a uma mesma
partícula, formando entre si um ângulo de 60º.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------5) ABCD é um paralelogramo e u e v vetores tais que u = AB e v = AD .
Exprima em função de u e v os seguintes vetores:
a) BA
b) CB
c) AC
d) DB
e) BD
f) CA
---------------------------------------------------------------------------------------------------------6) Os pontos A, B, C, D e E foram marcados na reta graduada abaixo.
Sabendo que v = k. u , determine o valor de k real quando:
a) u = AB e v = AC
b) u = AB e v = DB
d) u = CE e v = AD
e) u = AE e v = BC
c) u = BC e v = DA
---------------------------------------------------------------------------------------------------------7) Marque na reta graduada do exercício 6 os pontos M, N e P tais que
AM 
1
1
1
AB , BN  DC e PE  BA .
2
2
3
---------------------------------------------------------------------------------------------------------8) Na figura abaixo estão representados os vetores u = OA e v = OB .
Sobre a reta r, determine o ponto M sendo OM  3.u  2v .
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
9) Seja ABCD um paralelogramo e M o ponto médio da diagonal AC, o que
equivale a dizer que AM  MC . Queremos mostrar que M é também ponto
médio da diagonal DB, isto é BM  _____ .
Observe a figura e complete a demonstração desta propriedade:
Pela definição de soma de vetores temos que BM  BC  CM ; mas temos
que CM  _____ (pois M é ponto médio de AC) e BC  ____ (pois ABCD) é
paralelogramo, então BM  ____+ ____ =____+ ____ = ____.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------10) Prove que o segmento cujos extremos são os pontos médios de dois lados
de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e igual a sua metade.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------11) Prove que os pontos médios dos lados de um quadrilátero qualquer são
vértices de um paralelogramo.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------Desafio: PROBLEMA DO TESOURO???
2. Vetores com coordenadas no plano
As componentes de um vetor:
Qualquer vetor v = AB considerado no plano cartesiano tem sempre um
representante (segmento orientado OP) cujo ponto inicial é a origem.
Em nosso estudo, vamos considerar geralmente vetores representados por
segmentos orientados com origem na origem do sistema. Nessas condições,
cada vetor do plano é determinado pelo ponto extremo do segmento. Assim, o
ponto P(x, y) individualiza o vetor v = OP e escreve-se v = (x, y). As
coordenadas de P são identificadas como as componentes do vetor.
Igualdade de vetores:
Dois vetores u = (a, b) e v = (c, d) são iguais se e somente se a = c e b = d.
O módulo de um vetor
Seja o vetor v = (x, y).
Pelo teorema de Pitágoras vem que │ v │2 = x2 + y2  │ v │=
Exemplo: Sendo v = (-2, 3), temos que │ v │ =
x2  y2 .
(2) 2  (3) 2  13 .
Exercícios:
1) Represente graficamente v = OP sendo:
a) P(2, 3)
b) P(1,-1)
c) P(0, 1)
d) P(-½, -1)
e) P(-2, 1)
f) P(-3, 0)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------2) Sendo u = (x+1, 4) e v = (5, 2y - 6), determine x e y sabendo que u = v .
---------------------------------------------------------------------------------------------------------3) Dados os vetores u = (-1, 1), v = (-2, 3) e w = (8, -6), calcule:
a) │ u │
b) │ v │
c) │ w │
---------------------------------------------------------------------------------------------------------4) Determine os valores de a para que o vetor v = (a, -2) tenha módulo 4.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------5) Calcule os valores de a para que o vetor v = (a, 1/2) seja unitário.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Soma de vetores:
Sendo u = (x1, y1) e v = (x2, y2), definimos u + v = (x1+x2, y1+y2).
Vejamos agora como a definição algébrica da soma de vetores dada acima
coincide com a definição geométrica vista anteriormente.
Observe os vetores u = (x1, y1) e v = (x2, y2), bem como sua soma:
Como OAPB é paralelogramo temos que os triângulos OAF e BPG, da figura 1,
são congruentes, por LAAo. Assim, OF = BG e então a abscissa de P é x1 + x2.
De modo análogo, temos que os triângulos ADP e OEB, da figura 2, são
congruentes, por LAAo. Assim, PD = BE e então a ordenada de P é y2 + y1.
Assim, as coordenadas de P são (x2 + x1, y2 + y1).
Multiplicação de um vetor por um escalar:
Sendo u = (x1, y1) e k  IR, definimos k. u = (k.x1, k.x2).
Vejamos agora como a definição algébrica do produto por escalar dada acima
coincide com a definição geométrica vista anteriormente.
O módulo de v = (k.x1, k.x2) é dado por:
│ v │=
(k .x1 ) 2  (k . y1 ) 2
│ v │=
k 2 ( x1  y1 ) 
2
2
│ v │= k ( x1  y1 )
2
2
│ v │= k │ u │
Assim, o módulo igual ao de u multiplicado por k .
Observe a figura:
Os vetores u = OP = (x1, y1) e v = OP ' = (k.x1, k.y1) têm a mesma direção,
pois as retas OP e OP’ têm a mesma inclinação y1/x1.
Os pontos P e P’ estão do mesmo lado de O quando k > 0 e em lados opostos
quando k < 0, assim fica evidente que u = OP e v = OP ' têm mesmo sentido
se k > 0 e sentido contrário se k < 0.
Exemplos:
1) Sendo u = (3, 2) e v = (1, 2) determine u + v :
u + v = (3, 2) + (1, 2) = (4, 4)
2) Sendo v = (3, -4), determinar o vetor u com a mesma direção e o mesmo
sentido de v , porém de comprimento unitário.
Procuramos um vetor u que é múltiplo de v , isto é, u = k. v = (3k, 4k). Como o
comprimento deve ser unitário temos que:
│u │ = 1 
(3k .) 2  (4k ) 2 = 1 
25k 2 = 1  5. k  1  k 
1
1
 k
5
5
Como u deve possuir o mesmo sentido de v , temos que k = 1/5.
Exercícios:
1) Dados os vetores u = (2, -3) e v = (-1, 4), determinar:
a) 3 u + 2 v
b) 3 u - 2 v
---------------------------------------------------------------------------------------------------------2) Encontre o vetor x tal que 3 x + 2 u = 0,5 v + x , sendo dados u = (3, -1) e
v = (-2, 4).
---------------------------------------------------------------------------------------------------------3) Encontre os números reais m e n tais que v = m . v 1 + n . v 2 , sendo v =
(10, 2), v 1 = (3, 5) e v 2 = (-1, 2).
---------------------------------------------------------------------------------------------------------4) Sendo A(-2, 4) e B(4, 1) determine as coordenadas dos pontos F e G que
dividem o segmento AB em três partes iguais.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------5) Dados os vetores u = (-1, 1), v =(-2, 3) e w =(8, -6), calcule:
a) │ u + v │
b) │2 u - w │
c) │ w -3 u │
---------------------------------------------------------------------------------------------------------6) Determine o vetor u com a mesma direção e o mesmo sentido de v , porém
de comprimento unitário, nos seguintes casos:
a) v = (-1, 1)
b) v = (-8, 6)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vetor definido por dois pontos:
Consideremos o vetor AB de origem em A(xa, ya) e extremidade em B(xb, yb).
Da figura vem que:
OA + AB = OB ; AB = OB – OA ; AB = (xb, yb) – (xa, ya) = (xb – xa, yb – ya).
Observação importante: Sempre que tivermos v = AB ou v = B - A podemos
concluir também que B = A + v ou B = A + AB , isto é, o vetor v transporta o
ponto inicial A para o ponto extremo B.
Exemplo: Seja v = (2, 1).
Temos que:
B = A + v = (1, 2) + (2, 1) = (3, 3)
D = C + v = (-3, 1) + (2, 1) = (-1, 2)
Distância entre dois pontos
A distância entre dois pontos A(xa, ya) e B(xb, yb) é o comprimento (ou módulo)
do vetor AB , isto é, d(A,B) =│ AB │.
Como AB = B – A = (xb – xa, yb – ya), temos:
d(A,B) = ( xb  xa ) 2  ( yb  y a ) 2
Exercícios:
1) Em cada caso represente graficamente o vetor definido pelos pontos A e B e
o vetor correspondente com origem em O(0, 0):
a) A(-1, 3) e B(3, 5)
b) A(-1, 4) e B(4, 1)
c) A(4, 0) e B(0, -2)
d) A(3, 1) e B(3, 4)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------2) Encontrar o vértice oposto a B, no paralelogramo ABCD, para:
a) A(-3, -1), B(4, 2), C(5, 5)
b) A(5, 1), B(7, 3), C(3, 4)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------3) Sabendo que A(1, -1), B(5, 1), C(6, 4) são vértices de um paralelogramo,
determinar o quarto vértice de cada um dos três paralelogramos possíveis de
serem formados.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------4) (PUC-SP) Um lado de um paralelogramo tem as extremidades nos pontos
A(-3,5) e B(1,7). Sabendo que P(1,1) é o ponto médio das diagonais, os outros
dois vértices são os pontos:
a) (4,-1) e (1,-5)
b) (5,-2) e (1,-5)
d) (5,-3) e (1,-5)
e) n.r.a.
c) (5,-3) e (2,-5)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------5) (PUC-SP) Os pontos (0, 0), (1, 3), (10, 0) são vértices de um retângulo. O
quarto vértice do retângulo é o ponto:
a) (9,-3)
b) (9, -2)
d) (8, -2)
e) (8, -1)
c) (9, -1)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------6) Calcule, em cada caso, a distância entre os pontos:
a) (1, 3) e (9, 9)
b) (-3, 1) e (5, -14)
c) (-4, -2) e (0, 7)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------1 1
7) Calcule o comprimento do segmento de extremos A  ,  e B
 2 3
5 1
 , .
 2 3
----------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

8) Calcule a distância entre os pontos 2 3 , 3 e 4 3 , 1 .
---------------------------------------------------------------------------------------------------------9) Calcule a distância do ponto M(-12, 9) à origem.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------10) (UFMG) A distância entre os pontos A(2a, -3a) e B(3, 2) é 26 . Pode-se
afirmar que os possíveis valores de a são:
a) b) 1 -
2 e
2
2 e1+
2
c) -1 e 1
d) -2 e 2
e) -3 e 2
---------------------------------------------------------------------------------------------------------11) A distância entre A(2a, 3) e B(1, 0) é 3 2 . Calcule a.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------12) Qual ponto do eixo das abscissas é eqüidistante de P(-2, 2) e Q(2, 6)?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------13) (PUCRS) O ponto P pertence ao eixo das ordenadas e eqüidista dos
pontos A(-3,-1) e B(3,5). A ordenada do ponto P é:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
---------------------------------------------------------------------------------------------------------14) (F.C.Chagas-BA) O triângulo cujos vértices são os pontos (1, 3), (-2, -1) e
(1, -2) é:
a) equilátero
b) escaleno
c) isósceles
d) obtusângulo
e) retângulo
---------------------------------------------------------------------------------------------------------15) Classifique quanto aos lados e quanto aos ângulos o triângulo de vértices:
a) (-1, -3), (6, 1) e (2, -5).
b) (0, 5), (3, -2) e (-3, -2).
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ponto Médio de um segmento
B
yB
M
yM
yA
A
xA
xM
XB
Sendo A(xa, ya), B(xb, yb) e M( xm, ym ) o seu ponto médio, temos:
AM  MB ou M – A = B – M  ( xm, ym ) – ( xa, ya ) = ( xb, yb ) – ( xm, ym ) 
( xm – xa, ym – ya ) = ( xb – xm, yb – ym )  xm – xa = xb – xm e ym – ya = yb – ym
 2xm = xa + xb e 2ym = ya + yb  xm =
Assim: ( xm, ym ) = (
x a  xb
y  yb
e ym = a
2
2
x a  xb
y  yb
, a
)
2
2
Exercícios:
1) Obtenha as coordenadas do ponto médio do segmento AB sendo:
a) A(1, 7) e B(11, 3)
b) A(-2, 5) e B(-4, -1)
c) A(0, 3) e B(0, -3)
d) A(-6, 9) e B(-2, -5)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------2) Sendo A(-2, 2) uma das extremidades do segmento de reta AB e o ponto
M(3, -2) seu ponto médio, determine as coordenadas de B.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------3) Qual o simétrico do ponto A(-1, 2) em relação ao ponto C(3, 4)?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------4) Chamamos de mediana de um triângulo o segmento que liga um de seus
vértices ao ponto médio do lado oposto a ele. Assim, determine o comprimento
das três medianas de um triângulo de vértices A(0, 0), B(4, -6) e C(-1, -3).
---------------------------------------------------------------------------------------------------------5) O centro gravitacional de um triângulo ABC é o ponto G, tal que
GA  GB  GC  0 . Mostre que se A = (xa, ya), B = (xb, yb) e C = (xc, yc) então G
 x  xb  x c y a  y b  y c 
= a
,
.
3
3


OBS. G é também o ponto de intersecção das três medianas do triângulo.
3. Ângulo entre dois Vetores e o Produto interno
O ângulo entre dois vetores não-nulos v e w é o ângulo  formado por duas
semi-retas OA e OB de mesma origem O, onde v = OA e w = OB e 0 ≤  ≤ 2π.
Se v tem a mesma direção w e o mesmo sentido então  = 0. Porém se v
tem a mesma direção w mas sentido contrário então  = π.
Considere os vetores v = OA = A – 0 = (a, b) e w = OB = B – O = (c, d)
representados na figura abaixo:
Sendo  o ângulo entre v e w, temos que:
cos (  ) = cos (α - β) = cos α cos β - sen α sen β
cos (  ) =
a c b d
. 
v w v w
cos (  ) =
a.c  bd
vw
O número real ac+bd é chamado de produto interno dos vetores v e w e
representado por <v, w>.
E assim temos:
< v, w > = a.c + b.d ou
< v, w > = v . w . cos
Exercícios:
1) Determinar, aproximadamente o ângulo entre os vetores:
a) v = (2, 1) e w = (4, -2)
b) v = (1, -1) e w = (-4, -2)
c) v = (1, 1) e w = (-1, 1)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------2) Determinar o valor de k para que seja de 45º o ângulo entre os vetores v =
(2, 1) e w = (1, k).
---------------------------------------------------------------------------------------------------------3) Determine o produto interno <v, w> sendo:
a) v = (2, 1) e w = (4, -2)
b) v = (1, -1) e w = (-4, -2)
c) v = (1, 1) e w = (-1, 1)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------4) Lembrando que < v, w > = v . w . cos , e supondo que v e w são diferentes
de 0 , determine o que deve acontecer com  para que o produto interno seja:
a) positivo;
b) negativo;
c) nulo.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------5) Determinar os valores de k para que os vetores v = (-2, 3) e w = (k, -4)
sejam ortogonais.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------6) (PUC-SP) Dados A(4, 5), B(1, 1) e C(x, 4), o valor de x para que o triângulo
ABC seja retângulo em B é:
a) 3
b) 2
c) 0
d) -3
e) -2
---------------------------------------------------------------------------------------------------------7) (UFRGS-98) Duas retas perpendiculares r e s se interceptam no ponto (u, 0).
Se a reta r intercepta o eixo Y no ponto (0, v), sendo u e v diferente de zero, a
reta s interceptará o eixo Y em:
a) (0, -v2/u)
b) (0, -u2/v)
d) (0,-v)
e) (0,-v/u)
c) (0,-u/v)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
4. Condição de Alinhamento de 3 pontos
Os pontos A = (xa, ya), B = (xb, yb) e C = (xc, yc) são colineares se e somente se
os vetores AB e AC são múltiplos. Ou seja, A, B e C estão alinhados se
existir k  IR, tal que AC = k. AB .
Assim, C – A = k.(B – A)  (xc – xa, yc – ya) = k.(xb – xa, yb – ya) 
(xc – xa, yc – ya) = (k.(xb – xa), k.(yb – ya))
Da igualdade dos vetores, vem que:
xc – xa = k.(xb – xa) e yc – ya = k.(yb – ya)
xc  x a
y  ya
k e c
k
xb  x a
yb  y a
Este valor de k existe se e somente se
xc  x a y c  y a
.

xb  x a y b  y a
Exemplo: Verifique se os pontos A(-1, 3), B(2, 4) e C(-4, 10) são colineares:
Vamos determinar as componentes de u = AB e de v = AC .
AB = B – A = (2, 4) – (–1, 3) = (3, 1)
AC = C – A = (–4, 10) – (–1, 3) = (–3, 7)
Como
3
1

u e v não são múltiplos, e, portanto, os pontos não são
3 7
colineares.
Exercícios:
1) Verifique se os pontos A, B e C estão alinhados quando:
a) A(0, 2), B(-3, 1) e C(4, 5)
b) A(-2, 6), B(4, 8) e C(1, 7)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------2) Determine m de modo que os pontos (m, 3), (-2, -5) e (-1, -3) sejam
colineares.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------3) Os pontos (-1, 2), (3, 1) e (a, b) são colineares. Calcule a e b de modo que o
ponto C esteja sobre o eixo das ordenadas.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------4) Uma reta r passa pelos pontos A(-1, -2) e B(4, 2). Determine as coordenadas
do ponto em que r intercepta:
a) o eixo das ordenadas.
b) o eixo das abscissas.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------5) Determine x, de modo que os pontos (1, 3), (x, 1) e (3, 5) sejam vértices de
um triângulo.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------6) (UCS) Para que os pontos (0,2), (-2,x) e (1,5) sejam colineares x deve ser
igual a:
a) 2
b) -2
c) 3
d) 4
e) – 4
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
5. A equação da reta
Considere os pontos A = (xa, ya) e B = (xb, yb) distintos. Temos que a condição
necessária e suficiente para que um ponto genérico P = (x, y) esteja sobre a
reta determinada por A e B é que A, B e P sejam alinhados.
Se A, B e P são colineares, então os vetores AB e AP são múltiplos.
Porém AB = B – A = (xb – xa, yb – ya) e AP = P – A = (x – xa, y – ya) são
múltiplos quando
y  ya
x  xa
 (y – ya) (xb – xa) = (yb – ya) (x – xa) 

y b  y a xb  x a
y xb – y xa – ya xb + ya xa = yb x – yb xa – yax + ya xa 
xb y – xa y – ya xb – yb x + yb xa + ya x = 0
ya x – yb x + xb y – xa y + yb xa– ya xb = 0
(ya – yb)x + (x b – xa)y = ya xb - yb xa
Como xa, ya, xb e yb são constantes, dizemos que:
a = ya – yb, b = x b – xa e c = ya xb - yb xa.
Assim, obtemos a equação a.x + b.y = c, onde x e y são as coordenadas de um
ponto genérico da reta.
A equação acima é chamada de equação da reta.
Se b ≠ 0 podemos expressar y em função de x:
a.x + b.y = c  b.y = -a.x + c  y =
 a.x  c
a
c
 y=  x 
b
b
b
y = f(x) = m.x + n (onde m é chamado de coeficiente angular e n é chamado de
coeficiente linear).
A equação escrita nessa forma é chamada de equação reduzida da reta.
O coeficiente angular (m) é a tangente da inclinação da reta e o coeficiente
linear (n) é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y.
Exercícios:
1) Determine a equação da reta que passa pelos pontos:
a) (-1,-2) e (5,2)
b) (2, -1) e (-3,2)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------2) Determine a equação da reta que passa por A(1, 4) e B(2, 1). Determine
também o coeficiente angular e o coeficiente linear.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------3) Determine a equação das seguintes retas:
---------------------------------------------------------------------------------------------------------4) Verifique se:
a) o ponto (2, 2) pertence à reta 2x + 3y - 10 = 0.
b) o ponto (2, 3) pertence à reta que passa por A(1, 1) e B(0, -3).
---------------------------------------------------------------------------------------------------------5) Os pontos A(-1, m) e B(n, 2) pertencem à reta 2x - 3y = 4. Calcule a
distância entre A e B.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------6) Por uma questão de segurança, o peso máximo que um determinado
elevador pode transportar é 600 Kg. Pretende-se transportar nesse elevador
dois tipos de caixotes, uns com 10 Kg, e outros com 30 Kg.
a) Quantos caixotes de cada tipo poderão ser transportados de cada vez,
aproveitando ao máximo o peso que elevador pode transportar?
b) Existe apenas uma solução para este problema?
c) Traduza este problema por meio de uma equação.
d) Existe algum par de números que solucione a equação, mas não solucione o
problema?
e) Represente graficamente todas as soluções da equação.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------7) Determine a equação reduzida da reta:
a) que passa por P(-1, 4) e tem coeficiente angular 2.
b) que passa por P(4, 1) e tem coeficiente linear -3.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------8) (PUCRS) A reta que passa por (-1,-2) e (2,c) tem coeficiente angular 3. A
ordenada de B é:
a) -6
b) 11
d) 7
e) -1
c) -5
---------------------------------------------------------------------------------------------------------9) Determine o coeficiente angular das retas nos seguintes casos:
---------------------------------------------------------------------------------------------------------10) (PUCRS) Para que a reta que passa por A(m-1, 2) e B(3, 2m) tenha 45o de
inclinação, m deve ser:
a) -2
b) -1/2
d) ½
e) 2
c) 1
---------------------------------------------------------------------------------------------------------11) Qual a equação das retas cujos gráficos são dados abaixo?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------12) A equação da reta mostrada na figura a seguir é:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
13) (PUCRS/97-2) Se r é a reta de equação x - 2y + 2 = 0, se A é o ponto de
abscissa - 4 da reta r e se B é o ponto de intersecção da reta r com o eixo das
abscissas, então a distância entre A e B é:
a) 1
b)
c)
d)
e)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------14) (UFRGS) A reta da figura abaixo tem equação 2x + 3y - 6 = 0. Calcule a
área do triângulo ABC:
---------------------------------------------------------------------------------------------------------15) (UFRGS) Considere a figura abaixo. Uma equação cartesiana da reta r é:
---------------------------------------------------------------------------------------------------------16) (PUCRS-97) O triângulo AOB é isósceles. Se a área é 9/2 u.a., então a
equação da reta AB é:
---------------------------------------------------------------------------------------------------------17) Os pontos A(x, 0) e B(3, y), pertencem a reta de equação x–3y+9=0. A
distância entre eles é:
a) 10
b) 2
d) 4 10
e) 10
c) 3 10
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Atividade no Winplot:
Relacionando os vetores e a equação da reta
1) Vá em janela e selecione a opção 2-dim.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------2) Vá no menu equação e selecione a opção reta. O seguinte quadro deve
aparecer:
---------------------------------------------------------------------------------------------------------3) Atribua valores para os parâmetros a, b e c. Clique em ok e observe o
gráfico.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------4) Seguindo os passos acima, desenhe o gráfico de várias retas afim de
responder as seguintes perguntas:
a) O que acontece sempre que a = 0? Justifique.
b) O que acontece sempre que b = 0? Justifique.
c) O que acontece sempre que c = 0? Justifique.
d) Por que a e b não devem ser simultaneamente nulos?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------5) Faça no Winplot o gráfico da reta de equação 2x + y = 0 e trace o segmento
orientado de origem (0, 0) e extremidade (2, 1).
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
6) Faça no Winplot o gráfico da reta de equação 3x - y = 0 e trace o segmento
orientado de origem (0, 0) e extremidade (3, -1).
---------------------------------------------------------------------------------------------------------7) Faça no Winplot o gráfico da reta de equação -4x + 2y = 0 e trace o
segmento orientado de origem (0, 0) e extremidade (-4, 2).
---------------------------------------------------------------------------------------------------------8) Segundo os itens anteriores podemos perceber que uma reta de equação
ax + by = 0 é sempre perpendicular ao vetor v  (a, b) . Explique por que isso
acontece usando produto interno.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------9) Vá no menu equação e selecione a opção reta. Atribua valores para a e b,
porém para c escreva c = C. Logo após clique ok. Agora vá no menu Animação
e clique em parâmetros. A seguinte janela deve aparecer:
Clique em auto ver. Para parar digite s, para ir mais rápido digite r e mais lento
digite l. Faça o mesmo com a tecla auto cícl. Para mudar o intervalo de valores
de C use as teclas def L e def R.
O que acontece com a reta C varia?
O que você afirma sobre a reta de equação ax + by = c e o vetor v  (a, b) ?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------10) Seja a reta r de equação ax + by = c e dois de seus pontos P(x1, y1) e Q(x2,
y2).
Como Q está na reta, ele satisfaz a equação  ax2 + by2 = c.
Como P está na reta, ele satisfaz a equação  ax1 + by1 = c.
Subtraindo as equações obtemos: ax2 - ax1 + by2 - by1 = 0 
a.(_____) + b(_____) = 0
A igualdade acima é o produto interno de v = (
,
) por u = ( ,
).
Como o produto interno é nulo, os vetores são _________________.
Conclusão: A reta de equação ax + by = c e o vetor (a, b) são ____________.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
11) Um aluno ao usar o Winplot colocou uma equação de reta com a = 5, b = -1
e c = 3. Ao mesmo tempo, alguém usou para a, b e c os valores 10, -2, 6. O
que acontece quando traçamos os dois gráficos? Justifique.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------12) O que deve acontecer para que as retas de equações ax + by = c e a’x +
b’y = c’ sejam coincidentes?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------13) Dê um exemplo de duas equações de retas que sejam paralelas.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------14) O que deve acontecer para que as retas de equações ax + by = c e a’x +
b’y = c’ sejam paralelas?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------15) Dê um exemplo de duas equações de retas que sejam concorrentes.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------16) O que deve acontecer para que as retas de equações ax + by = c e a’x +
b’y = c’ sejam concorrentes (tenham um único ponto de intersecção)?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------17) Dê um exemplo de duas equações de retas que sejam perpendiculares.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------18) O que deve acontecer para que as retas de equações ax + by = c e a’x +
b’y = c’ sejam perpendiculares?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
6. Posições relativas entre duas retas
(1º) As retas de equações ax + by = c e a’x + b’y = c’ são coincidentes quando
todas as soluções de uma são também soluções da outra. Neste caso, seus
coeficientes são proporcionais, isto é,
a b c
  .
a ' b' c '
(2º) As retas de equações ax + by = c e a’x + b’y = c’ são paralelas quando têm
a mesma direção, isto é, quando os vetores u = (a, b) e v = (a’, b’) são
proporcionais, mas os termos independentes não são, isto é,
a b c
  .
a ' b' c '
(3º) As retas de equações ax + by = c e a’x + b’y = c’ são concorrentes quando
têm direções distintas, isto é, quando os vetores u = (a, b) e v = (a’, b’) não são
proporcionais. Assim,
a b
 .
a ' b'
Caso particular de retas concorrentes: Retas Perpendiculares
As retas de equações ax + by = c e a’x + b’y = c’ são perpendiculares quando
os vetores u = (a, b) e v = (a’, b’) forem perpendiculares. Ou seja, quando o
produto interno < u . w > for nulo. Isto é, a.a’ + b.b’ = 0.
Exercícios:
1) Determine, em cada caso, se as retas são paralelas, coincidentes ou
concorrentes (no último caso, verifique se elas são ou não perpendiculares).
a) r : 3x - 2y + 1 = 0 e s : 4x + 6y - 1 = 0
b) r : 6x + 4y - 3 = 0 e s : 9x + 6y - 1 = 0
c) r : x/2 + y/5 = 1 e s: 2x - y + 5 = 0
d) r : x + 2y - 3 = 0 e s : x - 2y + 7 = 0
e) r : 2x + 3y - 8 = 0 e s : 4x + 6y - 16 = 0
f) r : 3x - y + 1 = 0 e s : 3x - y + 8 = 0
g) r : x + y = 0 e s : x - y = 0
h) r : 2x - 3y + 4 = 0 e s : y = -3/2x + 4
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
2) Determine o valor de m para que as retas r e s abaixo sejam paralelas.
(r): (1-m)x - 10y = 0 e
(s): (m + 2)x + 4y – 11m = 18
---------------------------------------------------------------------------------------------------------3) (PUCRS) A equação da reta que passa por P(2,5) e é paralela a reta de
equação x - y + 2 = 0 é:
a) 3x - 2y + 4 = 0
b) x - y + 7 = 0
c) 2x - 3y + 11 = 0
d) x - y + 3 = 0
e) x - y - 3 = 0
---------------------------------------------------------------------------------------------------------4) (PUCRS) Se as retas de equação 5x + 7y - 10 = 0 e m.x - 5y + 1 = 0 são
perpendiculares o valor de m é:
a) -7
b) -5
c) 5
d) 7
e) 10
---------------------------------------------------------------------------------------------------------5) (UFRGS-99) Observe a figura abaixo. Os lados do triângulo retângulo
sombreado são segmentos das retas dadas pelas equações:
a) y = 2,
y=-½x+2
e
y = 2x + 2
b) x = 1,
y=-x+2
e
y=x+2
c) x = 1,
y=-2x+2
e
y=½x+2
d) y = 2,
y=x+2
e
y = -x + 2
e) x = 1,
y=-x+1
e
y=x+2
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
7. Intersecção de duas retas e os Sistemas Lineares 2 x 2
O ponto de intersecção de duas retas é aquele cujas coordenadas satisfazem
as equações de ambas. Assim, o ponto pode ser obtido resolvendo o sistema
formado por suas equações.
Classificação de um sistema linear:
a) Possível e Determinado: Quando as equações representarem retas
concorrentes. Nesse caso, o sistema admite uma única solução.
b) Possível e Indeterminado: Quando as equações representarem retas
coincidentes. Nesse caso, o sistema admite infinitas soluções.
c) Impossível: Quando as equações representarem retas paralelas. Nesse
caso, o sistema não admite solução.
Exercícios:
1) Obtenha o ponto de intersecção das retas cujas equações são dadas por 2x
+ 5y – 9 = 0 e y = –2x – 3.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------2) (PUCRS) O ponto de intersecção das retas 3x-y+3 = 0 e 2x+y+7 = 0 é:
a) (-2, -11)
b) (-2, -3)
d) (-2, 2)
e) (-2, 3)
c) (-2, -2)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------3) (UFRGS) As retas 2x - y + 3 = 0 e x - 2y + 6 = 0 interceptam-se:
a) sobre o eixo das ordenadas.
b) no ponto (0,0).
c) no ponto (-6,0).
d) sobre o eixo das abscissas.
e) no ponto (1,5).
---------------------------------------------------------------------------------------------------------4) Classifique os seguintes sistemas lineares:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
5) (UFRGS) Para que o sistema dado abaixo seja impossível é necessário que
b seja:
a) -3
b) -3/2
d) 3
e) 9/2
c) 3/2
---------------------------------------------------------------------------------------------------------6) (PUCRS) O sistema abaixo é indeterminado se e somente se:
a) m=2 e n=4
b) m=-2 e n=-4
d) m  -2 e n = 4
e) m=2 e n  4
c) m=-2 e n=4
---------------------------------------------------------------------------------------------------------7) (FAAP-SP) Para que o sistema seja possível e determinado, é necessário
que:
a) a  -2b/5
b) a=-2b/5
d) a  2b/5
e) a = -5b/2
c) a  -5b/2
---------------------------------------------------------------------------------------------------------8) (MACK-SP) O sistema
a) tem infinitas soluções qualquer que seja a.
b) só tem solução se a = 3
c) é impossível se a  3
d) nunca é impossível
e) tem solução única qualquer que seja a
---------------------------------------------------------------------------------------------------------8) (UFRGS) O sistema linear abaixo é possível e determinado se e somente se:
x  y  1

4 x  my  2
a) m = 2
b) m = 4
c) m ≠ -4
d) m ≠ 1
e) 4m = 1
8. Os vetores no Espaço
No espaço, assim como no plano, dois segmentos orientados representam um
mesmo vetor quando têm o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo
sentido.
As operações se definem da mesma forma que no plano, pois para efetuá-las
escolhemos sempre dois vetores coplanares (isto é, contidos num mesmo
plano).
As coordenadas de um ponto P no espaço são associadas a um vetor que têm
origem em O(0, 0, 0) e extremidade P(x, y, z).
9. O produto interno e o ângulo entre dois vetores no espaço
Considere os segmentos orientados u = OA e v = OB , com A = (a, b, c), B = (d,
e, f) e O = (0, 0, 0). Para determinar o ângulo entre dois vetores, escolhemos
dois representantes coplanares e procedemos da mesma forma que no plano.
O produto interno independe do sistema de coordenadas escolhido, pois pode
ser obtido em função do comprimento dos vetores e do ângulo entre eles.
Assim temos:
< v, w > = a.d + b.e + e.f ou
< v, w > = v . w . cos
Observações:
1) A condição de ortogonalidade é que o produto interno seja nulo.
2) O produto interno é máximo quando o ângulo é zero e fica igual ao produto
dos módulos.
10. A equação da reta no espaço
11. A equação do plano
Considerar um ponto Po(k, m, n) pertencente a um plano e o vetor N = (a, b, c)
normal ao plano (isto é, perpendicular a qualquer vetor contido nesse plano).
Este plano pode ser definido como sendo o lugar geométrico dos pontos P(x, y,
z) tais que os vetores Po P e N são ortogonais.
Da condição de ortogonalidade de vetores vem a equação conhecida como
equação do plano: a.(x-k) + b.(y -m) + c.(z - n) = 0.
Atividade no Winplot - Os vetores e a equação do plano
1)
Vá
em
janela
e
selecione
a
opção
3-dim.
2) Vá no menu equação e selecione a opção plano. O seguinte quadro deve
aparecer:
3) Atribua valores para os parâmetros a, b, c, k, m e n. Clique em ok e observe
o gráfico.
4) Lembrando que os parâmetros a, b e c indicam as coordendas do vetor
normal ao plano. Responda:
a) o que deve acontecer para que o plano seja paralelo ao plano xy? Justifique.
b) o que deve acontecer para que o plano seja paralelo ao plano xz? Justifique.
c) o que deve acontecer para que o plano seja paralelo ao plano yz? Justifique.
d) teste se suas conclusões estão certas no winplot.
5)
Observe
posições
relativas
entre
dois
planos
e
determine:
a) um exemplo de equações de dois planos que se encontrem segundo uma
reta.
b) um exemplo de equações de dois planos paralelos.
c) um exemplo de equações de dois planos coincidentes.
d) Existe outra posição possível para dois planos?
6) A equação que estamos vendo é do tipo a(x-k) + b(y-m) + c(z-n) = 0, porém
ela poderia ser escrita na forma ax + by + cz = d. Determine d, em função dos
parâmetros a, b, c, k, m e n.
12. Intersecção de planos e Sistemas Lineares
13. Método do Escalonamento