Nível 3 - Ibilce

Nível 3
Instruções para a realização da Prova
Leia com muita atenção
Prova da segunda fase
Caro Aluno,
Parabéns pela sua participação na décima terceira edição da Olimpíada de Matemática de São José do Rio Preto! Lembre-se de que uma Olimpíada é diferente de uma
prova escolar. Muitas vezes, as questões que você vai ‘enfrentar’ não serão compreendidas
na primeira leitura. Leia-as novamente para entender perfeitamente o que se pede. Depois,
pense..... Bem-vindo ao mundo dos desafios !!! Não importa a quantidade de questões que
vai acertar ou errar ao final da prova. Cada exercício que você conseguir resolver representa
uma vitória. Dos erros você poderá tirar várias lições e, com certeza, passará a entender
um pouco mais dessa apaixonante ciência que é a Matemática. Desejamos a todos uma boa
prova. Atenciosamente,
Comissão Organizadora
Instruções:
· O tempo de duração da prova é de três horas.
· Esta é uma prova de múltipla escolha. Cada questão é seguida por cinco alternativas
(a, b, c, d, e). Somente uma delas é correta.
· Marque as opções no quadro de respostas da folha em anexo, utilizando caneta azul ou
preta.
Por exemplo, para marcar a opção B na questão 10:
10)
A
B
C
D
E
Realização:
Departamento de Matemática do Ibilce - Unesp, São José do Rio Preto.
SOMA - Sociedade dos Matemáticos.
Apoio:
CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico.
AOBM - Associação Olimpíada Brasileira de Matemática.
Diretoria Regional de Ensino de São José do Rio Preto.
Secretaria Municipal de Educação de São José do Rio Preto.
O gabarito estará disponível no site www.mat.ibilce.unesp.br/olimpiada
20 horas de 04/06/2015 (quinta-feira).
OMRP
a partir das
RASCUNHO
Gabarito
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Alternativa C
Alternativa D
Alternativa A
Alternativa D
Alternativa A
Alternativa E
Alternativa E
Alternativa A
Alternativa B
Alternativa C
Alternativa E
Alternativa A
Alternativa D
Alternativa B
Alternativa A
Alternativa E
Alternativa C
Alternativa D
Alternativa B
Alternativa C
Alternativa D
Alternativa E
Alternativa B
Alternativa B
Alternativa D
23 de Maio de 2015
1.
e
r
n
46.
48.
52.
72.
86.
6.
10.
11.
12.
13.
14.
Por ocasião de uma gincana no colégio, Ana Lítica,
Gê Ométrica, Chico das Contas, Maicon Binatória e
Zé da Álgebra partcicipam de uma corrida em equipe. Todos atingem a linha de chegada, chegando nessa
mesma ordem em intervalos de 5 minutos. Sabe-se que
Ana corre duas vezes mais rápido que Zé.
Quanto tempo Chico das Contas demorou para atingir
a linha de chegada?
5.
1h.
45min.
40min.
30min.
15min.
O valor da soma x + y na figura a seguir é:
Q
U
E
S
T
Õ
E
S
140°.
144°.
148°.
152°.
156°.
96.
86.
82.
62.
60.
múltiplo de 42.
múltiplo de 6.
múltiplo de 7, mas não múltiplo de 3.
múltiplo de 43.
múltiplo de 21, mas não múltiplo de 2.
Ao escrever o número 3 à direita do número R de dois
algarismos, obtém-se outro número que é igual a R aumentado em 246 unidades. O produto dos algarismos
de R é:
a)
b)
c)
d)
e)
9.
a)
b)
c)
d)
e)
e
A soma de 42 números inteiros e consecutivos sempre
é um número:
a)
b)
c)
d)
e)
8.
d
Se p e q são números primos tais que p + q2 = 102,
então p + q é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
7.
12.
13.
14.
15.
16.
o
a)
b)
c)
d)
e)
O produto de três inteiros positivos é 50. Qual é a menor soma possível para esses três números?
a)
b)
c)
d)
e)
4.
d
Chico das Contas escolheu um número inteiro e, com
esse número, somou os dois números pares imediatamente anteriores a ele e os dois ímpares imediatamente
posteriores a ele, obtendo 738. A soma dos algarismos
do número escolhido por Chico é:
a)
b)
c)
d)
e)
3.
a
Os cinco números 17, 98, 39, 54 e n têm média aritmética igual a n. Determine n.
a)
b)
c)
d)
e)
2.
C
14
15
18
21
24
O desenho a seguir representa um terreno já dividido
em quadrados de lado 100 metros. Entretanto é necessário dividi-lo em duas regiões com a mesma área,
traçando um segmento de reta a partir do vértice F.
Sabendo que AB = BC = CD = DE = 25m, qual é o
segmento de reta que divide o terreno em duas partes
com igual área?
a) AF.
b) BF.
c) CF.
d) DF.
d) EF.
Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP
3
23 de Maio de 2015
C
a
d
e
10. Ari Timético, seu pai e seu irmão vão pintar algumas
paredes de sua casa, todas de mesmo tamanho.
O pai de Ari disse: — Como sou mais experiente, pinto
metade das paredes mais meia parede.
O irmão acrescentou: — Então, eu pinto metade das
paredes que sobrarem, mais meia parede.
Ari então concluiu: — Sendo assim, só restou meia parede para eu pintar.
Quantas paredes, da casa de Ari, vão ser pintadas?
a)
b)
c)
d)
e)
3.
4.
5.
6.
7.
11. Ana Lítica organiza os seus livros, atribuindo a cada
um deles um código de três letras. Utiliza esses códigos em ordem alfabética: AAA, AAB, AAC, AAD, ...,
BAA, BAB, BAC, ... e assim por diante. Considerando
que o alfabeto tem 26 letras e que Ana tem 2015 livros,
qual será o último código utilizado por Ana?
a)
b)
c)
d)
e)
r
n
o
d
e
Q
U
E
S
T
Õ
E
S
14. Quantos segmentos se encontram na figura abaixo?
a)
b)
c)
d)
e)
112
113
114
115
116
15. Determine o valor de x no quadrilátero abaixo, sabendo que AB = BC = BD.
D
ZZZ.
XZZ.
CZZ.
CZS.
CZM.
x
A
C
40o
12. Gê Ométrica corta um quadrado de três dias por três
dias da página de um calendário. Se a soma das nove
datas desse quadrado é um número divisível por 10 e a
data do “vértice” superior esquerdo é múltiplo de 4, em
qual dia da semana o mês não pode ter começado?
a)
b)
c)
d)
e)
terça-feira.
quinta-feira.
sexta-feira.
sábado.
domingo.
13. A número 2,0151515 . . . pode ser expresso por m ,
n
sendo m e n números primos entre si positivos. A soma
m + n é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
B
a)
b)
c)
d)
e)
o
20
30o
40o
50o
60o
16. Na tabela a seguir, são colocados números inteiros e
positivos obedecendo ao seguinte padrão: se em uma
linha estão escritos os números (a, b, c) então na linha
seguinte devem ser escritos os números (b + 1, c + 1,
a + 1). Considerando que na primeira fila foram colocados os números (1, 2, 3), que número ocupará a
posição central na 2015ª fila?
linha 1 
linha 2 
2015.
1999.
1590.
199.
190.
linha 3 
linha 4 
linha 5 
a)
b)
c)
d)
e)
1
3
5
4
6
2
4
3
5
7
3
2
4
6
5
2013.
2014.
2015.
2016.
2017.
Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP
4
23 de Maio de 2015
C
a
d
e
17. Ana Lítica tem três dados comuns idênticos nos quais
a soma dos números em duas faces opostas é sempre
igual a 7. Ela cola os dados, de modo que cada par
de faces coladas tenham o mesmo número e depois os
coloca sobre uma mesa não transparente, conforme indica a figura. A soma dos números em todas as onze
faces visíveis é 36.
Qual a soma dos números das três faces que estão em
contato com a mesa?
a)
b)
c)
d)
e)
r
n
o
e
Q
U
E
S
T
Õ
E
S
19. Na figura abaixo, A é o ponto de tangência e ABD é
um triângulo equilátero. Se BF = 2 cm e DF = 4 cm,
determine a área do triângulo CDF.
a)
b)
c)
d)
e)
7
11
13
14
17
d
72
83
92
93
103
18. Em um jogo existem 2015 buracos vazios em fila e
o jogador deve colocar um pino em cada buraco, de
acordo com as seguintes regras:
(i) Se colocar um pino em um buraco e se os dois
buracos vizinhos estiverem vazios, o pino permanece.
(ii) Se colocar um pino em um buraco e se um dos
buracos vizinhos estiver ocupado, o pino deste buraco vizinho deve ser retirado.
(iii) Se colocar um pino em um buraco e se os dois buracos vizinhos estiverem ocupados, então um dos
pinos vizinhos deve ser retirado.
Qual é o número máximo de pinos que podem ser colocados?
a)
b)
c)
d)
e)
1
2010
2012
2014
2016
20. De quantas maneiras diferentes pode-se subir uma escada de 7 degraus, subindo um degrau ou dois degraus
em cada passo?
a)
b)
c)
d)
e)
14 maneiras.
16 maneiras.
21 maneiras.
23 maneiras.
29 maneiras.
21. As duas diagonais de um quadrilátero tem comprimentos 12 e 9, e são perpendiculares entre si. A área desse
quadrilátero mede:
a)
b)
c)
d)
e)
108.
96.
72.
54.
36.
Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP
5
23 de Maio de 2015
C
a
d
e
r
n
o
d
e
Q
U
E
S
T
Õ
E
S
22. Num trapézio ABCD, a base menor AB mede 4 cm;
^ 70o e o
o lado transverso BC, 11 cm; o ângulo ADC,
^ 40o. Determine a medida da base maior CD.
BCD,
a)
b)
c)
d)
e)
11
12
13
14
15
23. Chico das Contas escreve na lousa os números
1,1,2,3,5,8,... obtendo cada um deles pela soma dos
dois anteriores, exceto para o primeiro e segundo. Se m
e n são os números que ocupam a posição 2015 e 2017
respectivamente, determine o máximo divisor comum
de m e n.
a)
b)
c)
d)
e)
2
1
2015
2017
2016
24. Utilizando um círculo de papel cartão de 10 cm de raio,
Gê Ométrica constrói a maior caixa possível, composta
por 5 quadrados idênticos, formando uma caixa cúbica
sem tampa. Qual o volume da caixa construída por Gê?
a)
b)
c)
d)
e)
80 cm3.
8010 cm3.
4010 cm3.
40 cm3.
2010 cm3.
25. Quantos são os triângulos isósceles tais que as medidas
dos seus ângulos internos são dadas por números inteiros?
a)
b)
c)
d)
e)
45.
60.
79.
89.
90.
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6