Nível 2 - Ibilce

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Nível 2
Instruções para a realização da Prova
Leia com muita atenção
Prova da segunda fase
Caro Aluno,
Parabéns pela sua participação na décima terceira edição da Olimpíada de Matemática de São José do Rio Preto! Lembre-se de que uma Olimpíada é diferente de uma
prova escolar. Muitas vezes, as questões que você vai ‘enfrentar’ não serão compreendidas
na primeira leitura. Leia-as novamente para entender perfeitamente o que se pede. Depois,
pense..... Bem-vindo ao mundo dos desafios !!! Não importa a quantidade de questões que
vai acertar ou errar ao final da prova. Cada exercício que você conseguir resolver representa
uma vitória. Dos erros você poderá tirar várias lições e, com certeza, passará a entender
um pouco mais dessa apaixonante ciência que é a Matemática. Desejamos a todos uma boa
prova. Atenciosamente,
Comissão Organizadora
Instruções:
· O tempo de duração da prova é de três horas.
· Esta é uma prova de múltipla escolha. Cada questão é seguida por cinco alternativas
(a, b, c, d, e). Somente uma delas é correta.
· Marque as opções no quadro de respostas da folha em anexo, utilizando caneta azul ou
preta.
Por exemplo, para marcar a opção B na questão 10:
10)
A
B
C
D
E
Realização:
Departamento de Matemática do Ibilce - Unesp, São José do Rio Preto.
SOMA - Sociedade dos Matemáticos.
Apoio:
CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico.
AOBM - Associação Olimpíada Brasileira de Matemática.
Diretoria Regional de Ensino de São José do Rio Preto.
Secretaria Municipal de Educação de São José do Rio Preto.
O gabarito estará disponível no site www.mat.ibilce.unesp.br/olimpiada a partir das
20 horas de 04/06/2015 (quinta-feira).
OMRP
RASCUNHO
Gabarito
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Alternativa C
Alternativa C
Alternativa A
Alternativa D
Alternativa B
Alternativa A
Alternativa C
Alternativa D
Alternativa B
Alternativa A
Alternativa B
Alternativa D
Alternativa E
Alternativa A
Alternativa C
Alternativa E
Alternativa C
Alternativa A
Alternativa B
Alternativa C
Alternativa A
Alternativa E
Alternativa C
Alternativa E
Alternativa E
23 de Maio de 2015
1.
2.
d
e
r
n
5.
a)
b)
c)
d)
e)
6.
98.
87.
77.
62.
44.
o
d
e
Q
U
E
S
T
Õ
E
S
Ari Timético tem um certo número de rosas e quer presentear suas amigas. Se entregar 8 rosas para cada uma
sobram 15 rosas, mas se quiser entregar 11 rosas para
cada uma faltam 3. Quantas rosas tem Ari?
a)
b)
c)
d)
e)
55.
63.
61.
69.
78.
O diagrama abaixo é composto de um retângulo
AGHB, um triângulo equilátero AFG, um retângulo
ADEF e um paralelogramo ABCD. Determine a medida do ângulo BAD, em graus.
Quantos são os números primos, de dois algarismos,
tais que a soma de seus algarismos é igual a 11?
1.
2.
3.
4.
5.
a)
b)
c)
d)
e)
120°.
130°.
135°.
140°.
150°.
Os cinco números 17, 98, 39, 54 e n têm média aritmética igual a n. Determine n.
a)
b)
c)
d)
e)
4.
a
Ana Lítica se diverte criando sequências de números.
Ela escolhe um número inteiro como o primeiro número da sequência. Ela calcula o próximo número da
sequência multiplicando os dois algarismos do primeiro número. Em seguida, Ana faz a mesma coisa com
o resultado e continua até que tenha encontrado um
número de apenas um algarismo.
Por exemplo, se ela começa com 68, a sequência fica
assim determinada: 68, 48, 32, 6.
Qual dos números a seguir determina a sequência mais
longa?
a)
b)
c)
d)
e)
3.
C
7.
52.
64.
72.
86.
98.
Observe a figura:
A
C
D
E
Para evitar que sua irmã descubra o que escreve no
seu diário, Ari Timético inventou um código em que
cada letra corresponde a um número com um ou mais
algarismos.
Infelizmente sua irmã conseguiu descobrir que a frase
AB = 20 cm
CD = 5 cm
BE = 10 cm
O dia estava de sol
tinha sido codificada para
52 85567 534437467 855 34526.
B
Qual é o código que corresponde à letra T?
a)
b)
c)
d)
e)
3.
4.
37.
43.
44.
Determine a medida de AC.
a)
b)
c)
d)
e)
6
8
10
12
14
Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP
3
23 de Maio de 2015
8.
a
d
e
Chico das Contas escolheu um número inteiro e, com
esse número, somou os dois números pares imediatamente anteriores a ele e os dois ímpares imediatamente
posteriores a ele, obtendo 738. A soma dos algarismos
do número escolhido por Chico é:
a)
b)
c)
d)
e)
9.
C
10.
11.
12.
13.
14.
Maicon Combinatória estava construindo casas, pontes e castelos, com um jogo de blocos muito conhecido. Para construir um castelo e uma casa, Zé utilizou
120 peças. Na construção de uma ponte e um castelo
precisou de 200 peças. Já na construção de uma casa e
de uma ponte usou 160 peças.
Para construir a casa, o castelo e a ponte, quantas peças, no total, são necessárias?
a)
b)
c)
d)
e)
220.
240.
260.
280.
300.
5°.
10°.
15°.
20°.
30°.
o
d
e
Q
U
E
S
T
Õ
E
S
12. Por ocasião de uma gincana no colégio, Ana Lítica,
Gê Ométrica, Chico das Contas, Maicon Binatória e
Zé da Álgebra partcicipam de uma corrida em equipe. Todos atingem a linha de chegada, chegando nessa
mesma ordem em intervalos de 5 minutos. Sabe-se que
Ana corre duas vezes mais rápido que Zé.
Quanto tempo Chico das Contas demorou para atingir
a linha de chegada?
a)
b)
c)
d)
e)
1h.
45min.
40min.
30min.
15min.
13. A soma de 42 números inteiros e consecutivos sempre
é um número:
múltiplo de 42.
múltiplo de 6.
múltiplo de 7, mas não múltiplo de 3.
múltiplo de 43.
múltiplo de 21, mas não múltiplo de 2.
14. O produto de três inteiros positivos é 50. Qual é a menor soma possível para esses três números?
a)
b)
c)
d)
e)
28.
27.
25.
24.
22.
11. Na figura a seguir sabe-se que AB = BC, DC = DE e
^ = 105°. A medida do ângulo FDA
^ é:
m(DFB)
a)
b)
c)
d)
e)
n
a)
b)
c)
d)
e)
10. Gê Ométrica corta um quadrado de três dias por três
dias da página de um calendário. Se a soma das nove
datas desse quadrado é um número divisível por 10 e
a data do “vértice” superior esquerdo é múltiplo de 4,
qual é a data do “vértice” inferior direito?
a)
b)
c)
d)
e)
r
12.
13.
14.
15.
16.
15. Um número natural, diferente de zero, se diz curioso
se quando lido da esquerda para a direita, cada par de
seus dígitos, escritos de forma consecutiva, formam
um número quadrado perfeito. Por exemplo, o número
3649 é curioso pois 36, 64 e 49 são quadrados perfeitos. Quantos números inteiros formados por 4 ou 5 algarismos (incluindo o número do exemplo) são curiosos?
a)
b)
c)
d)
e)
2.
3.
4.
5.
6.
Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP
4
23 de Maio de 2015
C
a
d
e
16. Ari Timético, Chico das Contes e Zé da Algebra organizaram uma competição de natação entre eles. Ficou
combinado o total de pontos para o primeiro, o segundo e o terceiro lugares em cada prova. A pontuação
para o primeiro lugar é maior do que a do segundo
que, por sua vez é maior do que a do terceiro lugar. As
pontuações são números inteiros positivos. O desafio
consistiu de várias provas e ao final observou-se que
Ari fez 20 pontos, Chico 9 pontos e o Zé da Álgebra
10 pontos. Quantas provas foram disputadas?
a)
b)
c)
d)
e)
1
13
39
5
3
o
11011.
11111.
12012.
12112.
12121.
d
e
Q
U
E
S
T
Õ
E
S
20. Quantos triângulos há na figura abaixo?
5
30
15
10
14
21. Dizemos que um número é olímpico quando for a soma
de dois naturais consecutivos e também for a soma de
três naturais consecutivos. Qual número abaixo é olímpico?
a)
b)
c)
c)
e)
9.
7.
4.
3.
1.
18. Chico das Contas aprendeu que um número palíndromo é um número que não se altera quando é lido ao
contrário. Por exemplo, 808 e 15751 são palíndromos.
Chico ficou tão empolgado com esses números que fez
uma lista com os palíndromos com cinco algarismos
(os números não podem começar com 0), por ordem
crescente e observou que o décimo primeiro número
era o número de sua casa. Que número é esse?
a)
b)
c)
d)
e)
n
a)
b)
c)
d)
e)
17. Quantos triângulos isósceles não congruentes têm lados com medidas dadas por números inteiros e perímetro 20 cm?
a)
b)
c)
d)
e)
r
2013
2014
2015
2016
2017
22. A soma das áreas de dois quadrados é 650 cm2. Se as
medidas dos lados desses quadrados são números inteiros, pode-se afirmar que:
a) não existem quadrados nessas condições.
b) existe apenas um par de quadrados, nessas condições, cujos lados medem 5 cm e 25 cm.
c) existe apenas um par de quadrados, nessas condições, cujos lados medem 20 cm e 25 cm.
d) existem exatamente dois pares de quadrados, nessas
condições.
e) existem exatamente três pares de quadrados, nessas
condições.
19. Maicom Binatória joga várias vezes um par de dados
de seis faces e registra a soma dos dois valores dos dados. Pelo menos quantas vezes, Maicom deverá jogar
os dados para ter certeza de que uma das somas que ele
registra aparece pela terceira vez?
a)
b)
c)
d)
e)
33.
23.
22.
13.
12.
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5
23 de Maio de 2015
C
a
d
e
r
n
o
d
e
Q
U
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T
Õ
E
S
23. Na cidade onde vive a família de Ana Lítica há 2015
habitantes. Uma parte desses habitantes nunca diz a
verdade e todos os outros nunca mentem. Nas últimas
eleições, para presidente do time de futebol, havia três
candidatos e cada habitante tinha preferência por um
único candidato. A cédula de votação tinha três questões:
1. Prefere o candidato A?
2. Prefere o candidato B?
3. Prefere o candidato C?
□ SIM □ NÃO
□ SIM □ NÃO
□ SIM □ NÃO
Cada um dos habitantes respondeu às três questões. Se,
foram apurados 3000 votos “SIM”, quantos são os habitantes dessa cidade que nunca mentem?
a)
b)
c)
d)
e)
975.
1015.
1030.
2013.
2015.
24. Considere um trapézio isósceles, ABCD, cuja base
maior AB mede 20 cm, o lado AD mede 12 cm e o
^ é reto. A distância entre o lado AB e o
ângulo ADB
ponto E em que as diagonais se intersectam mede:
a) 10 cm.
b) 8 cm.
c) 6 cm.
d) 13 cm.
2
15
e)
cm.
2
25. O resto da divisão do número (20152015 + 20142014 +
2013) por 13 é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
1.
2.
10.
11.
12.
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