MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 2ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL 2º

MÉTODOS ESTATÍSTICOS I
2ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL
2º Semestre de 2010
Prof. Moisés Lima de Menezes
(pode usar calculadora)
Versão Tutor
1. (2,0 pontos) Em uma indústria, três máquinas A, B e C produzem 6.000 peças em um dia. A máquina
A produz 1.000 peças, das quais 3% são defeituosas. A máquina B produz 2.000, das quais 4% são
defeituosas. A máquina C produz 3.000 peças, das quais 2% são defeituosas. Da produção total de um
dia desta indústria, uma peça é escolhida ao acaso:
a) Qual a probabilidade de ela ser defeituosa?
b) Sabendo que a peça escolhida não é defeituosa, qual a probabilidade de ela ter sido produzida
pela máquina B ?
2. (2,0 pontos) Resolva estes itens sobre análise combinatória:
a) (0,5) Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por A e
terminando com I?
b) (1,0) Em uma sala existem 40 pessoas, 18 mulheres e 22 homens. Quantas comissões podem ser
formadas nesta sala contendo 3 mulheres e 5 homens?
c) (0,5) Quantos números com três algarismos distintos podemos construir com os números ímpares
1,3,5,7,9?
3. (3,0 pontos) Uma empresa que fornece computadores pelos correios tem 6 linhas telefônicas. Seja
X o número de linhas em uso em determinado horário. Suponha que a distribuição de X seja a
seguinte:
x
0
1
2
3
4
5
6
p(x) 0,1 0,15 0,2 0,25 0,2 0,06 0,04
a)
b)
c)
d)
e)
Qual a probabilidade de no máximo 3 linhas estarem em uso?
Qual a probabilidade de pelo menos 3 linhas estarem em uso?
Qual a probabilidade de entre 2 e 5 linhas, inclusive, estarem em uso?
Determine o número de linhas em uso esperado para este horário.
Qual a probabilidade de todas as linhas estarem em uso?
4. (1,0 ponto) Seja
a)
b)
. Determine:
;
.
5. (2,0 pontos). Um indivíduo que possui um seguro de automóvel de uma determinada empresa é
selecionado aleatoriamente. Seja Y o número de infrações no trânsito nos quais o indivíduo foi
reincidente nos últimos 3 anos. Y assume os valores 0, 1, 2 e 3 com probabilidades respectivas: 0,6,
0,25, 0,1 e 0,05.
a) Determine o número esperado de infrações;
b) Suponha que o indivíduo com Y infrações reincidentes incorra em multa de US$100Y2. Calcule
o valor esperado da multa.
Solução:
1.
Como a máquina A produz 1.000 das 6.000 peças, então a probabilidade de uma peça ser da máquina
Aé
.
Como a máquina B produz 2.000 das 6.000 peças, então a probabilidade de uma peça ser da máquina
Bé
.
Como a máquina C produz 3.000 das 6.000 peças, então a probabilidade de uma peça ser da máquina
Cé
.
Seja D o evento: peça defeituosa. As probabilidades de encontrar uma peça defeituosa em cada
máquina, respectivamente, são:
,
e
.
a)
Para a solução deste item, usamos o teorema da Probabilidade Total.
b)
Agora, precisamos trabalhar com peças não defeituosas.
Inicialmente, A probabilidade de uma peça selecionada aleatoriamente não ser defeituosa é o
complementar de ela ser defeituosa. Assim,
.
Pela probabilidade condicional, a probabilidade de uma peça, sabendo que não é defeituosa, ter vindo
da máquina B, é dada por:
Note que
Assim,
(as peças não defeituosas fabricadas por B).
2.
a)
Fixando a primeira letra com A e a última com I, temos apenas as outras 7 letras BCDEFGH para
permutar. Então são 7! = 5040.
Resposta: 5040.
b)
Neste caso, para cada grupo de 3 homens há todas as possibilidades de formação de grupos de 5
mulheres. Assim,
i) para selecionar as 3 mulheres de um total de 18, temos
ii) para selecionar os 5 homens de um total de 22, será
.
Assim, para as comissões temos, 816 X 26.334 = 21.488.544.
Resposta: 21.488.544.
c) Como temos 5 algarismos, para formarmos os números de 3 algarismo distintos, teremos o seguinte
esquema:
Para o 1º algarismo temos 5 números possíveis;
Para o 2º algarismo temos apenas 4 números possíveis;
Para o 3º algarismo temos apenas 3 números possíveis;
Assim, a quantidade de números distintos de 3 algarismos é :
Resposta: 60.
3.
Para o cálculo das probabilidades nesta questão consideremos a tabela abaixo:
x
p(x)
a)
Resposta: 0,70.
b)
Resposta: 0,55.
c)
Resposta: 0,71.
d)
Resposta: 2,64.
e)
0
0,1
1
0,15
2
0,2
3
0,25
4
0,2
5
0,06
6
0,04
Resposta: 0,04.
4.
Como X tem distribuição binomial, então
e
.
a)
Resposta: 0,1224.
b)
Solução: 4.
5.
Seja Y o número de infrações. A distribuição de probabilidade é:
Y
p(Y)
0
0,6
1
0,25
2
0,1
3
0,05
a)
O número esperado de infrações é:
Resposta: 0,6.
b)
Precisamos da distribuição de Y2 para em seguida calcular a esperança e enfim encontrar o valor
desejado.
Y2
0
1
4
9
p( ) 0,6 0,25 0,1 0,05
Como a multa é de US$100Y2,
Então a multa esperada é:
Resposta: US$110,00.