Slide 1 - Aprender
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Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Professor Confiabilidade Estrutural Jorge Luiz A. Ferreira Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuições Discretas Distribuição Binomial Vamos Construir uma Experimento 3 - A probabilidade de um Aleatório com as Seguintes sucesso, denotada por p, não se modifica de ensaio para ensaio. Características: Conseqüentemente, a 1 - O experimento consiste de uma probabilidade de um fracasso, seqüência de n ensaios idênticos. denotado por 1-p, se mantém constante nos diversos ensaios. 2 - Dois resultados são possíveis em cada ensaio. Um deles será denominado 4 Os ensaios são sucesso e o outro será denominado independentes entre si. fracasso. Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuições Discretas Distribuição Binomial • Se as propriedades 2, 3 e 4 estiverem presentes, diz-se que os ensaios são gerados por um processo de Bernoulli. • Se, além disso, a propriedade 1 for satisfeita, diz-se que o se tem um experimento binomial. • Em um experimento binomial, nosso interesse estará centrado no número de sucessos que ocorrem nos n ensaios. Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuições Discretas Distribuição Binomial Exemplos de Situações em que tais experimentos são praticados: • Uma peça é classificada como boa ou defeituosa; • O resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo ou negativa. • Um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita; • No lançamento de um dado ocorre ou não face 6; • No lançamento de uma moeda ocorre cara ou coroa. Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuições Discretas Distribuição Binomial • Se X denota o número de sucessos que ocorrem nos n ensaios, vemos que X pode assumir os valores 0, 1, 2, 3, ..., n. • A probabilidade de X assumir um valor k dentre os n + 1 possíveis é: Combinação n k nk P ( X k ; n; p ) p (1 p ) k n n! n Ck k!n k ! k Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuições Discretas Distribuição Binomial – Média e Desvio Padrão No caso especial em que a variável aleatória tem uma distribuição binomial com um número conhecido de n ensaios e uma probabilidade conhecida de p sucessos: Média: x n p Desvio-Padrão: x n p 1 p Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuições Discretas Distribuição Binomial – Exemplo Dez por cento das peças fabricadas em uma determinada linha de produção são defeituosas. Considerando que tais peças são usadas na montagem de um equipamento e que são usados em cada equipamento 4 peças, faça uma análise da chance de se encontrar peças defeituosas em um equipamento. Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuições Discretas Distribuição Binomial – Exemplo Basicamente este estudo consiste em avaliar a probabilidade de se encontrar em um mesmo equipamento 4, 3, 2, 1, ou zero peças defeituosas. Assim, considerando: Número de Peças Usadas, n: 4 Probabilidade de extrair 1 peça com Defeito da linha de produção, p: 10% Probabilidade de extrair 1 peça sem Defeito da linha de Produção, q: 90% Teremos: Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuições Discretas Distribuição Binomial – Exemplo n 4 p 0.1 r 0 q 1 p r n r P( r) 100 combin ( n r) p q P( 0) 65.61 P( 1) 29.16 P( 2) 4.86 P( 3) 0.36 P( 4) 0.01 Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuições Discretas Distribuição Binomial – Campo de Aplicação Campo de Aplicação Ensaios Estudo de problemas que envolvem o número de defeitos em amostras de tamanho n retirada de um grande lote tendo uma probabilidade de defeitos p; probabilidade de x ocorrências em um grupo de y ocorrências, ou seja, situações que envolvam dicotomias; proporção de lotes que não mudam significativamente como resultado da amostra sorteada. •Inspecção de produtos defeituosos em uma remessa de peças de aço; • Inspeção de pneus defeituosos em um lote de produção; • Determinação de defeitos solda; • Probabilidade que uma máquina de produção irá desempenhar a sua função; • Comportamento de Spins não interagentes • etc Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuições Discretas Distribuição Hipergeométrica Tal distribuição é usada nas mesmas situações em que se usa a distribuição binomial, com uma importante diferença: “Na distribuição binomial o percentual de defeitos (e, portanto, de “conformes”) é assumida como sendo constante ao longo de todo o teste.” Isso é verdade se o lote do qual a amostra é colhida é tão grande que a retirada da amostra não afeta a proporção de produtos defeituosos. Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuições Discretas Distribuição Hipergeométrica Ou, se o lote for pequeno, presume-se que, quando a amostra é colhida, cada item da amostra é reposta antes do próximo seleção. Assim, se a proporção de defeitos não puder ser assumida como constante, a distribuição hipergeométrica deve ser utilizada. Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuições Discretas Distribuição Hipergeométrica A função de probabilidade hipergeométrica é definida pela seguinte expressão: Onde: N = Tamanho do Lote; r N r n = Tamanho da amostra; x n x Px , para 0 x r P(x) = Probabilidade de escolher N x sucessos em n ensaios n r = Num. de Defeitos no Lote Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuições Discretas Distribuição Hipergeométrica – Média e Desvio Padrão Média: r x n N r N n r Desvio-Padrão: x n 1 N N 1 N Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuições Discretas Distribuição Hipergeométrica – Exemplo Um fornecedor recebeu um lote com 15 lâmpadas e vendeu 10 delas. Mais tarde, ele foi informado que 5 das 15 lâmpadas eram defeituosos. Qual é a probabilidade de que seu cliente recebeu 3 defeituosas ? Tamanho do Lote, N: 15 Tamanho da Amostra, n: 10 Número de defeitos: no Lote, r: 5, na Amostra, x: 3 P( x) 100 combin ( r x) combin ( N r n x) combin ( N n ) P( 3) 39.96 Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuições Discretas Distribuição hipergeométrica – Campo de Aplicação Campo de Aplicação Ensaios Inspeção de componentes mecânicos, elétricos, etc quando se possui pequenos lotes para a caracterização do percentual de defeitos. Mesmas situações em que se usa a binomial, exceto, pelo fato das proporções de falha poderem mudar como resultado da amostra sorteada. • Probabilidade de obter-se 10 resistores satisfatórios em um lote de 100, tendo 2% de defeituosos; e casos similares aplicados a pequenos lotes. • Inspeção de pneus defeituosos em um lote de produção; • Determinação de defeitos solda; • Probabilidade que uma máquina de produção irá desempenhar a sua função • etc Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuições Discretas Distribuição de Poisson A distribuição de Poisson aplica-se em situações em que o evento (ou entidade) de interesse está homogeneamente distribuído na população. Exemplo: - A distribuição de parasitas em uma população de hospedeiros; Siméon Denis Poisson 1781 - †1840 - O número de vazamentos em 160 km de tubulação. - O número de reparos necessários em 16 Km de uma rodovia. - O decaimento radiativo ou a picada de um mosquito infectado com malária Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuições Discretas Distribuição de Poisson Para uma melhor compreensão da distribuição, vamos idealizar o seguinte experimento: 1 - A ocorrência dos eventos é independente, ou seja, a ocorrência de um evento em um intervalo de espaço ou de tempo não tem qualquer efeito sobre a probabilidade de ocorrência de um segundo evento; 2 - Um número infinito de ocorrências de um evento devem ser possíveis no intervalo; 3 - A probabilidade de uma única ocorrência do evento em um dado intervalo é proporcional ao tamanho do intervalo; 4 - Em uma porção infinitesimal do intervalo, a probabilidade de mais de uma ocorrência do evento é desprezível. Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuições Discretas Distribuição de Poisson Assim, Se x representar a ocorrência de algum evento aleatório em um intervalo de tempo ou espaço, a probabilidade de ocorrência de x será definida pela seguinte expressão: e x Px , x 1, 2, 3, x! Onde: é o parâmetro de distribuição, é a média de ocorrência de x e = 2,71828182846 Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuições Discretas Distribuição de Poisson – Exemplo Considere um conjunto testes realizados em motores monocilíndricos com um certo tipo de combustível. O número de detonações foi gravado durante 30 minutos. Dez destes motores foram testados e os resultados são apresentados a seguir. Determine a probabilidade da ocorrência de zero, um, dois, três e quatro explosões por minuto, por motor. Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuições Discretas Distribuição de Poisson – Exemplo Resultados dos Ensaios de Detonação Número de Vezes que o Número de Detonações Número de Detonações Evento Ocorreu durante por Minuto Durante o Ensaio o Ensaio 0 1 2 3 4 5 6 Total 150 100 36 10 3 1 0 300 0 100 72 30 12 5 0 219 Solução: Núm Médio de Detonação por Minutos: 0,73 (219/(10*30)) Se x representar a ocorrência de detonações em um intervalo de tempo, o parâmetro da distribuição, , será igual a 0,73 Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuições Discretas Distribuição de Poisson – Exemplo Resultados dos Ensaios de Detonação Número de Vezes que o Número de Detonações Número de Detonações Evento Ocorreu durante por Minuto Durante o Ensaio o Ensaio 0 1 2 3 4 5 6 Total 150 100 36 10 3 1 0 300 0 100 72 30 12 5 0 219 Solução: λ 219 10 30 P( x) 100 e λ λ x x! P( 0 ) 48.191 P( 3 ) 3.125 P( 1 ) 35.179 P( 4 ) 0.57 P( 2 ) 12.84 P( 5 ) 0.083 Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuições Discretas Distribuição de Poisson – Campo de Aplicação Campo de Aplicação Ensaios Situações onde o número de vezes que ocorre um evento pode ser observado, mas não o número de vez que o evento não ocorrer. Aplica-se a eventos distribuídos aleatoriamente no tempo. • Número de avarias na máquina em uma fábrica; • Número de vezes que partículas de pó em suspensão entram em um determinado volume de controle; • Número de acidentes em plantas industriais; • Erros dimensionais em desenhos de engenharia; • Acidentes de automóvel num determinado local por unidade tempo; • Número de urgências hospitalares, • Defeitos ao longo de uma fita longa, arame, corrente, bar, etc; • Número de rebites defeituosos em uma asa de avião; • Decaimento radioativo, • Número de detonações número do motor; • Número de falhas por metro quadrado em chapa de metal. Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuições Contínuas Distribuição Uniforme ou Retangular A distribuição uniforme é a distribuição de probabilidades contínua mais simples de conceituar: a probabilidade de se gerar qualquer ponto em um intervalo contido no espaço amostral é proporcional ao tamanho do intervalo. Definição da Função de Densidade Seja [a,b] o espaço amostral. Então temos que a função densidade de probabilidade, para a ≤ x ≤ b , é: Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuições Contínuas Distribuição Uniforme ou Retangular Medidas de Tendência Central e de Dispersão Média ab x E x 2 Devio Padrão x b a E x 2 2 3 Distribuição Acumulada: Se x ~ Unif(a,b), então a sua função de distribuição é quantificada pela equação: 0, se x a x a F x , se a x b b a 0, se x b Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuições Contínuas Distribuição Uniforme ou Retangular - Exemplo O peso mínimo de um pacote de 1 kg de café é igual a 0,98 kg. O fabricante garante que a distribuição de pesos é uniforme e que a função de densidade de probabilidade, f(x) é igual a 9,75. Se o fabricante disse a verdade, qual é o peso máximo que um pacote de café pode ter ? Por definição temos: 1 1 9,75 b a ba 9,75 Se a 0,98 b 1,08 Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuições Contínuas Distribuição Uniforme ou Retangular - Exemplo Um vôo da ponte aérea Rio-São Paulo leva entre 40 e 50 minutos, com igual probabilidade de ocorrência dentro desse intervalo. Com base nessa informação, calcule qual a probabilidade do vôo durar mais de 48 minutos e qual a probabilidade do vôo durar entre 43 e 45 minutos. Por definição temos: xa F x ,a xb ba x 40 F x 10 48 40 45 40 43 40 F x 48 1 20% F 43 x 45 20% 10 10 10 Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuições Contínuas Distribuição Uniforme – Campo de Aplicação Campo de Aplicação Ensaios • Usada comumente nas situações em que não há razão para atribuir probabilidades diferentes a um conjunto possíveis de valores da variável aleatória em um determinado intervalo; • Usualmente associamos uma distribuição uniforme a uma determinada variável aleatória, simplesmente por falta de informação mais precisa, além do conhecimento do seu intervalo de valores; • Geração numérica de qualquer outra distribuição contínua, na qual a função distribuição acumulada seja inversível, pode ser simulada a partir da distribuição uniforme. (TEOREMA DA TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL) • Tempo de chegada de um vôo; • Distância de posição de cargas em uma ponte, em relação a um pilar terminal; • avaliar avarias causadas por desastres naturais, como o rastro de destruição causado por um tornado,acidentes, guerras Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuições Contínuas Distribuição Uniforme ou Retangular Quando Usar: • Quando há um certificado ou limites especificando um nível de confiança (Ex.: 25ml ± 0,05ml); • É feito uma estimativa de um valor máximo; • A variabilidade da medição for baixa. Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuições Contínuas Distribuição Triangular É a distribuição de probabilidade contínua que possui um valor mínimo a, um valor máximo b e uma moda c, de modo que a função densidade de probabilidade é zero para os extremos (a e b), de forma que o gráfico dela é um triângulo Definição da Função de Densidade Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuições Contínuas Distribuição Triangular Medidas de Tendência Central e de Dispersão Média abc x E x 3 Devio Padrão x E x 2 x x E x ab 2 Distribuiç a2 b2 c2 a b b c c a 18 b a Distribuiç E x 2 2 6 ão Simetrica ão Simetrica Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuições Contínuas Distribuição Triangular Quando Usar: • A Distribuição Triangular é normalmente usada quando existe uma ideia subjetiva da população, através dos seus extremos e da sua moda • Quando uma estimativa é feita na forma de ranges máximos [b, a] descritos por distribuições simétricas; • A variabilidade da medição for baixa. Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuições Contínuas Distribuição Log Normal Uma variável x, definida na Definição da Função de Densidade função densidade de faixa 0 < x < , tem uma A probabilidade de X é expressa por: distribuição lognormal se log ( Lnx t ) 2 1 (x) for normalmente f ( x) Exp 2 2 t t 2 distribuída com média e com valor esperado e variância desvio-padrão dados por: ln x E (ln x) ln2 x Var (ln x) calculados por: Var ( Lnx ) 2 t2 ( x) Exp 2 E Lnx Var Lnx (e Var( Ln x ) 1) t Exp E ( Lnx ) Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuições Contínuas Distribuição Log Normal - Exemplo Um fabricante quer entrar numa concorrência de fornecimento de fios de aço de 5,08 mm de diâmetro, que tem uma resistência ao cisalhamento de 206,8 MPa. Este fio é usado no controle das barras combustíveis de reatores nucleares. A substituição destas molas é realizada após a aplicação de 106 ciclos de tensão na condição de operação. Sabe-se de experiências anteriores que a distribuição da vida de falhas sob condições de tensão constante é lognormal, com os seguintes parâmetros: Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuições Contínuas Distribuição Log Normal - Exemplo t Log 1,38 106 6,1399 t Log 1,269 0,1035 Determine a probabilidade da falha ocorrer antes da troca. Considerando que a vida esperada é igual a 106 ciclos, a função de densidade de probabilidade assumirá a seguinte forma: ( Log x 6,1399) 2 1 f ( x) Exp 2 2 0,1035 0,1035 2 A probabilidade de falha é igual a probabilidade de x assumir o valor menor que 106 ciclos Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuições Contínuas Distribuição Log Normal - Exemplo Assim, teremos que calcular a seguinte probabilidade: P x 106 z xlc l l 6 , 000 z ( xlc 6,1399) 2 1 Pz z Exp 2 0,1035 2 2 0,1035 6 6,1399 1,36 Pz z Pz 1,36 0,1035 -1.36 P(z<-1.36)= P(z>1.36)= 8.69 % 8.69 % Ou seja, a chance da mola falhar é igual a 8,69 %. Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuições Contínuas Distribuição Log-Normal – Campo de Aplicação Campo de Aplicação Ensaios • Estudo de fenômenos da vida; • Situações assimétricos onde as ocorrências estão concentradas na parte final do intervalo (caudas das distribuições) ou onde as diferenças nas suas observações são de uma grande ordem de magnitude • Acúmulo de milhas por diferentes motorista de uma determinada marca de veículo; • Quantidade de eletricidade usada por vários clientes; • Tempo de inatividade de um grande número de sistemas elétricos; • Intensidades de luz das lâmpadas; • Concentração de resíduos de processo químico.
