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Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade – A Gaussiana Professor Confiabilidade Estrutural Jorge Luiz A. Ferreira Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade – A Gaussiana Distribuição de Probabilidade Função que descreve a chance que uma variável pode assumir ao longo de um espaço de valores. Uma distribuição de probabilidade pode ser discreta (como em um jogo de dados) ou contínua. É comum o uso de funções que se ajustem à distribuição de probabilidade. Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade – A Gaussiana Distribuição de Probabilidade Distribuição de Probabilidade – Aprox. da F.D.P Função Amostral Intervalo, h f.d.p Pontos de Inflexão Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade – A Gaussiana Distribuição de Probabilidade Propriedades Básicas das Funções de Distribuição Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade – A Gaussiana Distribuição de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Importantes Distribuição Normal A distribuição normal é uma das Além de descrever uma série de mais importantes distribuições da fenômenos físicos e financeiros, possui grande uso na estatística inferencial. É estatística, conhecida também inteiramente descrita por seus como Distribuição de Gauss ou parâmetros de média e desvio padrão, Gaussiana. Foi desenvolvida pelo ou seja, conhecendo-se estes matemático francês Abraham de consegue-se determinar qualquer Moivre probabilidade Normal. em uma distribuição Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade – A Gaussiana Distribuição de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Importantes Distribuição Normal - Propriedades • Suas média, mediana e moda são iguais. • Tem forma de sino e é simétrica em torno da média. x Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade – A Gaussiana Distribuição de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Importantes Distribuição Normal - Propriedades • À medida que a curva se afasta da média, aproxima-se cada vez mais do eixo x, mas nunca o toca.. • Os pontos de inflexão da curva distam de 1 desvio padrão em relação ao centro da distribuição. Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade – A Gaussiana Distribuição de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Importantes Distribuição Normal - Propriedades pontos de inflexão = desvio padrão = média assíntota assíntota Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade – A Gaussiana Distribuição de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Importantes Distribuição Normal - Propriedades • Alteração da média implica numa translação da curva N(,) N(4,5,) 10 11 12 13 14 4,5 15 16 17 18 19 8,0 N(8,) 20 Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade – A Gaussiana Distribuição de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Importantes Distribuição Normal - Propriedades • Alteração do Desvio Padrão implica em uma Variação da Forma >> Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade – A Gaussiana Distribuição de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Importantes Distribuição Normal - Propriedades Cerca de 68% da área está a um desvio padrão da média. 68% Cerca de 95% da área está a dois desvios padrão. Cerca de 99,7% da área está a três desvios padrão da média. Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade – A Gaussiana Distribuição de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Importantes Distribuição Normal – Representação Matemática Uma variável aleatória x possui distribuição normal se a sua função densidade de probabilidade for igual a: ( x )2 1 f ( x; , ) = exp 2 2 2 onde σ e μ são números reais positivos enquanto x pode assumir qualquer valor real entre -∞ e +∞. Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade – A Gaussiana Distribuição de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Importantes Distribuição Normal – Representação Matemática Gráfico da função de distribuição acumulada F(x) = P(X≤x) onde x é uma variável aleatória normal padrão, isto é, com média μ = 0 e desvio padrão σ =1. Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade – A Gaussiana Distribuição de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Importantes Distribuição Normal – Representação Simbólica Usa-se a simbologia x ~ N ( , 2 ) para indicar que x é uma variável aleatória com distribuição normal de probabilidade, possuindo esperança μ e desviopadrão σ. Quando μ = 0 e σ = 1, a distribuição de x recebe o nome de distribuição padrão ou reduzida. Neste caso, usa-se a letra z para representar esta variável. Assim, z ~ N( 0, 1 ) Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade – A Gaussiana Distribuição de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Importantes Distribuição Normal Padrão A distribuição normal padrão é importante pois, se X for uma variável aleatória normal, com média μ e desvio-padrão σ, então a variável z definida por: z= x possui uma distribuição normal padrão ou normal reduzida, aquela cuja média é zero e desvio-padrão igual a 1. Esta é a fórmula de conversão de uma distribuição normal com média μ e desvio-padrão σ numa distribuição normal padrão com média zero e desvio-padrão igual a 1. Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade – A Gaussiana Distribuição de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Importantes Distribuição Normal Padrão – Representação Matemática Função Densidade de Probabilidade Normal Padrão f(z) 1 1 2 f ( z) = exp z 2 2 Função Distribuição Probabilidade Acumulada F ( z) = z s = de 1 1 2 exp s ds 2 2 F(z) Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade – A Gaussiana Distribuição de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Importantes Distribuição Normal Padrão – Cálculo de Probabilidade Se x é uma variável aleatória com distribuição Normal com média e desvio-padrão , a probabilidade de x cair no intervalo a < x < b é Pa x b = F ( ) F ( ) = s = = a = 1 1 2 exp s ds 2 2 b Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade – A Gaussiana Distribuição de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Importantes Distribuição Normal – Combinação Linear de V.A. Normais Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes com distribuição Normal, tal que E(X) = x Var(X) = x2, E(Y) = y , Var(Y)= y2 , a, b e c constantes. Então, a variável aleatória Z = a∙X + b∙Y + c tem distribuição Normal com z = a x b y c Varz = a 2 Varx b 2 Var y Em particular, a soma ou a diferença de duas ou mais variáveis aleatórias Normais é também uma variável aleatória Normal Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Distribuições de Probabilidade – A Gaussiana Distribuição de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Importantes Distribuição Normal – Campo de Aplicação Campo de Aplicação Ensaios Estudo do Comportamento de • Resistência a Tração de Materiais Propriedades Mecânicas, Elétricas, Ferrosos e Não-Ferrosos, Químicas, etc • Variação da Temperatura Ambiente, • Consumo de Energia, • Dimensões de Peças, • Medida de Resistência de Resistores, • Velocidade de Moléculas gases, • Desgaste de Peças, • Pressão nas Câmara de Disparo de Munições • etc
