X - DPI/Inpe

Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto
SER 202 - ANO 2016
Distribuições de Probabilidade
(Extra)
Camilo Daleles Rennó
[email protected]
http://www.dpi.inpe.br/~camilo/estatistica/
Distribuição Uniforme Discreta
Considere uma v.a. X cujos valores são inteiros de 1 a N, equiprováveis, ou seja,
todos os valores têm igual probabilidade de ocorrência.
Exemplo: Lança-se um dado e define-se uma v.a. X como o valor obtido neste dado.
N
X: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E ( X )   xP( X  x )
x 1
P(X = 1) = 1/6
P(X = 2) = 1/6
P(X = 3) = 1/6
P(X = 4) = 1/6
P(X = 5) = 1/6
P(X = 6) = 1/6
1
N
6
f(x) = ?
1
E( X ) 
N
N
x

1
N
N ( N  1)

1 N ( N  1) 2
E( X ) 
N
2
E( X ) 
x 1
N 1
2
E( X )  ?
Var ( X )  ?
2
Distribuição Uniforme Discreta
Considere uma v.a. X cujos valores são inteiros de 1 a N, equiprováveis, ou seja,
todos os valores têm igual probabilidade de ocorrência.
Exemplo: Lança-se um dado e define-se uma v.a. X como o valor obtido neste dado.
X: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Var( X )  E ( X 2 )  [ E ( X )]2
P(X = 1) = 1/6
P(X = 2) = 1/6
P(X = 3) = 1/6
P(X = 4) = 1/6
P(X = 5) = 1/6
P(X = 6) = 1/6
E ( X )   x 2 P( X  x )
f(x) =
1
N
E( X ) 
N 1
2
N
2
x 1
1
E( X ) 
N
2
N
x

1
N
2
N ( N  1)(2 N  1)
6
1 N ( N  1)(2 N  1)
E( X 2 ) 
N
6
E( X 2 ) 
x 1

( N  1)(2 N  1)
6
3
Distribuição Uniforme Discreta
Considere uma v.a. X cujos valores são inteiros de 1 a N, equiprováveis, ou seja,
todos os valores têm igual probabilidade de ocorrência.
Exemplo: Lança-se um dado e define-se uma v.a. X como o valor obtido neste dado.
X: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
P(X = 1) = 1/6
P(X = 2) = 1/6
P(X = 3) = 1/6
P(X = 4) = 1/6
P(X = 5) = 1/6
P(X = 6) = 1/6
f(x) =
1
N
E( X ) 
N 1
2
Var( X )  E ( X 2 )  [ E ( X )]2
( N  1)(2 N  1) ( N  1) 2
Var ( X ) 

6
4
 (2 N  1) ( N  1) 
Var ( X )  ( N  1) 

6
4 

 4 N  2  3N  3 
Var ( X )  ( N  1) 

12

( N  1)
Var ( X )  ( N  1)
12
N 2 1
Var ( X ) 
12
4
Distribuição Uniforme Discreta
Considere uma v.a. X cujos valores são inteiros de 1 a N, equiprováveis, ou seja,
todos os valores têm igual probabilidade de ocorrência.
Exemplo: Lança-se um dado e define-se uma v.a. X como o valor obtido neste dado.
f ( x) 
E( X ) 
1 1

N 6
X: {1, 2, ..., N}
6}
N 1 6 1

 3,5
2
2
N 2  1 36  1

 2,92
Var ( X ) 
12
12
5
Distribuição Uniforme Discreta
Considere uma v.a. X cujos valores representam uma progressão aritmética entre
a e b, com passo h, equiprováveis, ou seja, todos os valores têm igual
probabilidade de ocorrência.
Exemplo: Se uma v.a. X tem distribuição uniforme e seus valores são múltiplos de 4
(h), entre 12 (a) e menores que 208 (b), então
f ( x) 
Var ( X ) 
1
1
X: {1,
...,...,
N}208}
{12,2,16,

b  a 50
1
h
a  b 12  208

 110
E( X ) 
2
2
 b  a  b  a  2h   208  12  208  12  8

 3332
12
12
6
Distribuição Binomial
Considere o experimento: retiram-se 3 bolas da urna (com reposição).
Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de
bolas vermelhas dentre as 3 escolhidas.
X: {0, 1, 2, 3}
O experimento envolve 3 eventos independentes.
Para cada evento:
P(vermelha) = 5/7 = p (probabilidade de sucesso)
P(azul) = 2/7
= q (probabilidade de fracasso, q = 1 - p)
7
Distribuição Binomial
Considere o experimento: retiram-se 3 bolas da urna (com reposição).
Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de
bolas vermelhas dentre as 3 escolhidas.
X: {0, 1, 2, 3}
p = 5/7
n = 3 (número de bolas retiradas da urna)
q = 2/7
3
3
2 2 2 2
8
   
P( X  0) 
7 7 7  7  343
5 5 5  5  125

P( X  3) 

7 7 7  7  343
qqq
ppp
2
3! 5 2 2
5 2
60
 3     
P( X  1) 
1!2! 7 7 7
343
 7  7 
pqq
2
3! 5 5 2
5
2
150
 3     
P ( X  2) 
2!1! 7 7 7
 7   7  343
n!
p x qn x
f (x) = ?
x !( n  x )!
n
f ( x)    p x qn x
 x
ppq
8
Distribuição Binomial
Considere o experimento: retiram-se 3 bolas da urna (com reposição).
Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de
bolas vermelhas dentre as 3 escolhidas.
X: {0, 1, 2, 3}
n
f ( x)    p x qn x
 x
E( X )  ?
Var ( X )  ?
Analisando o caso particular onde n = 1:
Bernoulli
9
Distribuição Bernoulli
Considere o experimento: retira-se uma bola da urna. Define-se uma
v.a. X cujos valores são 1 se a bola escolhida for vermelha (sucesso) e
0 caso contrário (fracasso).
X: {0, 1}
P(X = 0) = 2/7 = q (probabilidade de fracasso, q = 1 - p)
P(X = 1) = 5/7 = p (probabilidade de sucesso)
x
1 x
 5x 1x 2 
f(x) = ?p q  
7 7
E( X )  ?
Var ( X )  ?
10
Distribuição Bernoulli
Considere o experimento: retira-se uma bola da urna. Define-se uma
v.a. X cujos valores são 1 se a bola escolhida for vermelha (sucesso) e
0 caso contrário (fracasso).
1
X: {0, 1}
P(X = 0) = 2/7
P(X = 1) = 5/7
x 1 x
f(x) = p q
E ( X )   xP( X  x )
x 0
E ( X )  0q  1 p
E( X )  p
11
Distribuição Bernoulli
Considere o experimento: retira-se uma bola da urna. Define-se uma
v.a. X cujos valores são 1 se a bola escolhida for vermelha (sucesso) e
0 caso contrário (fracasso).
X: {0, 1}
Var( X )  E ( X 2 )  [ E ( X )]2
1
P(X = 0) = 2/7
P(X = 1) = 5/7
x 1 x
f(x) = p q
E ( X )   x 2 P( X  x )
2
x 0
E ( X 2 )  02 q  12 p
E( X 2 )  p
E( X )  p
12
Distribuição Bernoulli
Considere o experimento: retira-se uma bola da urna. Define-se uma
v.a. X cujos valores são 1 se a bola escolhida for vermelha (sucesso) e
0 caso contrário (fracasso).
X: {0, 1}
P(X = 0) = 2/7
P(X = 1) = 5/7
Var( X )  E ( X 2 )  [ E ( X )]2
Var( X )  p  p 2
Var ( X )  p(1  p )
x 1 x
f(x) = p q
Var ( X )  pq
E( X )  p
13
Distribuição Bernoulli
Considere o experimento: retira-se uma bola da urna. Define-se uma
v.a. X cujos valores são 1 se a bola escolhida for vermelha (sucesso) e
0 caso contrário (fracasso).
x
1 x
5 2
f ( x )  p x q1 x     
7 7
E( X )  p 
X: {0, 1}
5
 0,714
7
Var ( X )  pq 
5 2 10

 0, 204
7 7 49
14
Distribuição Binomial
Considere o experimento: retiram-se 3 bolas da urna (com reposição).
Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de
bolas vermelhas dentre as 3 escolhidas.
X: {0, 1, 2, 3}
n
f ( x)    p x qn x
 x
A v.a. Binomial pode ser entendida como uma
somatória de n v.a. Bernoulli, já que, para cada evento
(tirar uma bola), há uma probabilidade p de sucesso
(tirar bola vermelha) e q de fracasso (tirar bola azul).
n
X   Yi onde cada Yi tem distribuição Bernoulli (0 ou 1)
i 1
E( X )  ?
Var ( X )  ?
Y1 = 0 Y2 = 1 Y3 = 1
 X = 2 (sucessos)
Por exemplo: q
p
p
n
 n  n
E ( X )  E  Yi    E (Yi )   p  np
i 1
 i 1  i 1
n
 n  n
Var ( X )  Var  Yi   Var (Yi )   pq  npq
i 1
 i 1  i 1
15
Distribuição Binomial
Considere o experimento: retiram-se 3 bolas da urna (com reposição).
Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de
bolas vermelhas dentre as 3 escolhidas.
p = 5/7
q = 2/7
n=3
x
3 x
 n  x n x  3   5   2 
f ( x)    p q       
 x
 x 7   7 
X: {0, 1, ...,
n}
2, 3}
5 15
 2,143
E ( X )  np  3 
7 7
Var ( X )  npq  3
5 2 30

 0,612
7 7 49
16
Distribuição Geométrica
Considere o experimento: retiram-se bolas da urna (com reposição),
até que se consiga uma bola vermelha. Define-se uma v.a. X cujos
valores representam o número total de bolas azuis (fracassos)
retiradas da urna até obter uma bola vermelha (sucesso).
X: {0, 1, 2, ..., }
O experimento envolve de 1 a infinitos eventos independentes.
Para cada evento:
P(vermelha) = 5/7 = p (probabilidade de sucesso)
P(azul) = 2/7
= q (probabilidade de fracasso, q = 1 - p)
17
Distribuição Geométrica
Considere o experimento: retiram-se bolas da urna (com reposição),
até que se consiga uma bola vermelha. Define-se uma v.a. X cujos
valores representam o número total de bolas azuis (fracassos)
retiradas da urna até obter uma bola vermelha (sucesso).
X: {0, 1, 2, ..., }
p = 5/7
q = 2/7
3
P( X  0) 
2 2 2 5 2  5
40
    
P( X  3) 
 0,017
7 7 7 7  7   7  2401
5
 0,714
7
qqqp
p
P( X  1) 
2 5 10
 0, 204

7 7 49
qp
f (x) = ?pq x
2
2 2 5  2   5  20

P ( X  2) 

 0,058
7 7 7  7   7  343
qqp
18
Distribuição Geométrica
Considere o experimento: retiram-se bolas da urna (com reposição),
até que se consiga uma bola vermelha. Define-se uma v.a. X cujos
valores representam o número total de bolas azuis (fracassos)
retiradas da urna até obter uma bola vermelha (sucesso).
X: {0, 1, 2, ..., }

E ( X )   xP( X  x )
x 0

f ( x )  pq x
E ( X )   xpq x
x 0

E ( X )  pq  xq x 1
x 1

E( X )  ?
Var ( X )  ?
d  q 
dq  1  q   1
2
p
1
E ( X )  pq 2
p
E ( X )  pq
dq x
E ( X )  pq
x 1 dq
dq x

dq
E( X ) 
q
p
d  x
q
E ( X )  pq  q

dq x 1
1 q
19
Distribuição Geométrica
Considere o experimento: retiram-se bolas da urna (com reposição),
até que se consiga uma bola vermelha. Define-se uma v.a. X cujos
valores representam o número total de bolas azuis (fracassos)
retiradas da urna até obter uma bola vermelha (sucesso).
X: {0, 1, 2, ..., }
Var( X )  E ( X 2 )  [ E ( X )]2

E ( X )   x 2 P( X  x )
2
x 0
f ( x )  pq x

E ( X )   x 2 pq x
2
x 0
q2  q
E( X ) 
p2
2
E( X ) 
q
p
20
Distribuição Geométrica
Considere o experimento: retiram-se bolas da urna (com reposição),
até que se consiga uma bola vermelha. Define-se uma v.a. X cujos
valores representam o número total de bolas azuis (fracassos)
retiradas da urna até obter uma bola vermelha (sucesso).
X: {0, 1, 2, ..., }
f ( x )  pq x
Var( X )  E ( X 2 )  [ E ( X )]2
q2  q q2
Var( X ) 
 2
p2
p
Var ( X ) 
E( X ) 
q
p2
q
p
21
Distribuição Geométrica
Considere o experimento: retiram-se bolas da urna (com reposição),
até que se consiga uma bola vermelha. Define-se uma v.a. X cujos
valores representam o número total de bolas azuis (fracassos)
retiradas da urna até obter uma bola vermelha (sucesso).
p = 5/7
q = 2/7
5 2
f ( x )  pq   
77
x
E( X ) 
x
X: {0, 1, 2, ..., }
q 27 2

  0, 4
p 75 5
Var ( X ) 
2 49 14
q


 0,56
p 2 7 25 25
22
Distribuição Binomial Negativa
Considere o experimento: retiram-se bolas da urna (com reposição),
até que se consiga 3 bolas vermelhas. Define-se uma v.a. X cujos
valores representam o número total de bolas azuis (fracassos)
retiradas da urna até obter as 3 bolas vermelhas (sucessos).
X: {0, 1, 2, ..., }
O experimento envolve de 3 a infinitos eventos independentes.
Para cada evento:
P(vermelha) = 5/7 = p (probabilidade de sucesso)
P(azul) = 2/7
= q (probabilidade de fracasso, q = 1 - p)
23
Distribuição Binomial Negativa
Considere o experimento: retiram-se bolas da urna (com reposição),
até que se consiga 3 bolas vermelhas. Define-se uma v.a. X cujos
valores representam o número total de bolas azuis (fracassos)
retiradas da urna até obter as 3 bolas vermelhas (sucessos).
X: {0, 1, 2, ..., }
p = 5/7
q = 2/7
r=3
1 r x
(xxrr1)!
f (x) = ?
pq
x
x
!(
r

1)!


3
5 5 5 5
P( X  0) 

 0,364
7 7 7  7 
ppp
3
25
3! 2 5 5 5
P( X  1) 
 3    0,312
77
1!2! 7 7 7 7
qppp
2
3
4! 2 2 5 5 5
2  5
P ( X  2) 
 6      0,178
2!2! 7 7 7 7 7
7 7
qqppp
24
Distribuição Binomial Negativa
Considere o experimento: retiram-se bolas da urna (com reposição),
até que se consiga 3 bolas vermelhas. Define-se uma v.a. X cujos
valores representam o número total de bolas azuis (fracassos)
retiradas da urna até obter as 3 bolas vermelhas (sucessos).
X: {0, 1, 2, ..., }
A v.a. Binomial Negativa pode ser entendida como uma
somatória de r v.a. Geométricas.
r
 x  r  1 r x
f ( x)  
pq

x 

E( X )  ?
Var ( X )  ?
X   Yi onde cada Yi tem distribuição Geométrica
i 1
Y1 = 2 Y2 = 4 Y3 = 3
Por exemplo: q q p q q q q p q q q p  X = 9 (fracassos)
r
r
q
 r 
rq
E ( X )  E  Yi    E (Yi )   
p
i 1 p
 i 1  i 1
r
q
 r  r
rq
Var ( X )  Var  Yi   Var (Yi )   2  2
p
i 1 p
 i 1  i 1
25
Distribuição Binomial Negativa
Considere o experimento: retiram-se bolas da urna (com reposição),
até que se consiga 3 bolas vermelhas. Define-se uma v.a. X cujos
valores representam o número total de bolas azuis (fracassos)
retiradas da urna até obter as 3 bolas vermelhas (sucessos).
p = 5/7
q = 2/7
r=3
 x  r  1  r x  x  2   5 3  2  x
f ( x)  
p q 
   
x


 x  7   7 
E( X ) 
X: {0, 1, 2, ..., }
rq
27 6
3
  1, 2
p
75 5
Var ( X ) 
2 49 42
rq

3

 1,68
7 25 25
p2
26
Distribuição Hipergeométrica
Considere o experimento: retiram-se 3 bolas da urna (sem
reposição). Define-se uma v.a. X cujos valores representam o
número total de bolas vermelhas dentre as 3 escolhidas.
número de
número
bolas retiradas
total
número
de bolas
da
de urna
bolas
na urna
vermelhas na urna
X: {1, 2, 3}
P( X  0) 
n=3
M=7
210
0
765
aaa
2 1
3! 5 2 1

3
P( X  1) 
42 7
1!2! 7 6 5
vaa
P ( X  2) 
8 4
3! 5 4 2

3
42 7
2!1! 7 6 5
vva
K=5
P( X  3) 
5 4 3 12 2


7 6 5 42 7
vvv
K!
( M  K )!
n!
( K  x)! [( M  K )  (n  x)]!
f (x) = ?
M!
x !(n  x)!
( M  n)!
 K  M  K 
 x  n  x 

f ( x)    
M 
n
 
27
Distribuição Hipergeométrica
Considere o experimento: retiram-se 3 bolas da urna (sem
reposição). Define-se uma v.a. X cujos valores representam o
número total de bolas vermelhas dentre as 3 escolhidas.
E( X )  n
X: {1, 2, 3}
K
M
Var ( X )  n
 K  M  K 
 x  n  x 

f ( x)    
M 
n
 
E( X )  ?
Var ( X )  ?
K M K M n
M M M 1
OBS: se M for muito grande:
K
 p (probabilidade de sucesso)
M
M K
 q (probabilidade de fracasso)
M
M n
 1  E ( X )  np Var ( X )  npq
M 1
Hipergeométrica  Binomial
28
Distribuição Hipergeométrica
Considere o experimento: retiram-se 3 bolas da urna (sem
reposição). Define-se uma v.a. X cujos valores representam o
número total de bolas vermelhas dentre as 3 escolhidas.
M=7
K=5
n=3
 K  M  K 
 x  n  x 

f ( x)    
M 
n
 
E( X )  n
 5 2 
 x3 x
 

7
 3
 
{?,
...,3}?}n  M  K ),..., min(n, K )}
X :{1,
{max(0,
X:
2,
K
5
 3  2,143
M
7
Var ( X )  n
K M K M n
5 2 4 120
3

 0, 408
M M M 1
7 7 6 294
29
Distribuição de Poisson
Suponha que uma central telefônica recebeu 270 chamadas num período de 3
horas, ou seja, 1,5 chamadas por minuto. Deseja-se calcular a probabilidade de
que nos próximos 3 minutos sejam recebidas 0, 1, 2, etc chamadas.
Considere que a qualquer instante, uma chamada é tão provável de ocorrer
como em qualquer outro instante e assim, a probabilidade permanece
constante.
Pode-se considerar cada intervalo como
uma Bernoulli, sendo sucesso receber
0
1
2
3 min
uma chamada e fracasso não receber
nenhuma chamada.
Sendo assim, quanto vale p = P(sucesso)?
E ( X )  4,5
(X é o número de chamadas recebidas em 3 minutos)
como n = 9, então
np = 4,5
portanto p = 0,5
9
9
x
9 x
9
f ( x )     0,5  0,5     0,5
 x
 x
Problema: não considera a possibilidade
de 2 ou mais chamadas dentro do
mesmo intervalo!
30
Distribuição de Poisson
Suponha que uma central telefônica recebeu 270 chamadas num período de 3
horas, ou seja, 1,5 chamadas por minuto. Deseja-se calcular a probabilidade de
que nos próximos 3 minutos sejam recebidas 0, 1, 2, etc chamadas.
Considere que a qualquer instante, uma chamada é tão provável de ocorrer
como em qualquer outro instante e assim, a probabilidade permanece
constante.
0
1
2
3 min
E ( X )  4,5
como n = 18, então
p = 0,25
 18 
x
18 x
f ( x )     0, 25  0,75
x
Problema: não considera a possibilidade
de 2 ou mais chamadas dentro do
mesmo intervalo!
31
Distribuição de Poisson
Suponha que uma central telefônica recebeu 270 chamadas num período de 3
horas, ou seja, 1,5 chamadas por minuto. Deseja-se calcular a probabilidade de
que nos próximos 3 minutos sejam recebidas 0, 1, 2, etc chamadas.
Considere que a qualquer instante, uma chamada é tão provável de ocorrer
como em qualquer outro instante e assim, a probabilidade permanece
constante.
0
1
2
3 min
n intervalos
Se n  , então p  0 e f(x) tende para:
E ( X )  4,5    np
então
p
e   x
f ( x) 
x!

n
n  
f ( x)     
 x n 
x
 
1  
n

(distribuição de Poisson)
n x
E ( x)  
Var ( x )  
32
Distribuição de Poisson
Suponha que uma central telefônica recebeu 270 chamadas num período de 3
horas, ou seja, 1,5 chamadas por minuto. Deseja-se calcular a probabilidade de
que nos próximos 3 minutos sejam recebidas 0, 1, 2, etc chamadas.
Considere que a qualquer instante, uma chamada é tão provável de ocorrer
como em qualquer outro instante e assim, a probabilidade permanece
constante.
0,25
Binomial
n = 10, p = 0,45
Binomial
Binomial
20, pp==0,225
nn == 160,
0,028
0,2
0,15
0,1
0,05
Poisson
0
0
5
10
15
20
Dica para identificação: eventos em que somente é possível contar os sucessos mas não os fracassos
33
Resumo Distribuições Discretas
n=1
r=1
34
Distribuição Uniforme (Contínua)
Uma variável aleatória X tem distribuição Uniforme no intervalo [a, b] se sua
função densidade de probabilidade for dada por:
 1

f ( x)   b  a
 0
se a ≤ x ≤ b
caso contrário
P ( a  X  b)  1
f(x)
1
ba
a
b
X
E( X )  ?
Var ( X )  ?
35
Distribuição Uniforme (Contínua)
f(x)
a≤x≤b
a
b
X
b
f ( x) 
1
ba
E ( X )   xf ( x )dx
a
b
E( X )  ?
b
1
1
E( X )   x
dx 
xdx

ba
ba a
a
1 x2
E( X ) 
ba 2
b
a
1  b2  a 2 



ba 2 
b2  a 2 (b  a )(b  a ) a  b

E( X ) 

2
2(b  a )
2(b  a )
36
Distribuição Uniforme (Contínua)
f(x)
a≤x≤b
a
b
1
f ( x) 
ba
X
Var( X )  E ( X 2 )  [ E ( X )]2
b
E ( X )   x 2 f ( x )dx
2
E( X ) 
ab
2
Var ( X )  ?
a
b
b
1
1
E( X )   x
dx 
x 2 dx

ba
ba a
a
2
2
b
1 x3
1  b3  a 3 
2
E( X ) 



ba 3 a ba 3 
b3  a 3
E( X ) 
3(b  a )
2
37
Distribuição Uniforme (Contínua)
f(x)
a≤x≤b
a
b
1
f ( x) 
ba
E( X ) 
ab
2
Var ( X )  ?
X
Var( X )  E ( X 2 )  [ E ( X )]2
b 3  a 3 ( a  b) 2
Var( X ) 

3(b  a )
4
4(b3  a 3 )  3(b  a )(a  b)2
Var( X ) 
12(b  a )
4b3  4a 3  3b3  3ab2  3a 2b  3a 3
Var( X ) 
12(b  a )
b3  3ab2  3a 2b  a 3
(b  a )3
(b  a ) 2
Var( X ) 


12(b  a )
12(b  a )
12
38
Distribuição Uniforme (Contínua)
Uma variável aleatória X tem distribuição Uniforme no intervalo [a, b] se sua
função densidade de probabilidade for dada por:
 1

f ( x)   b  a
 0
se a ≤ x ≤ b
caso contrário
P ( a  X  b)  1
f(x)
1
ba
a
ab
E( X ) 
2
b
(b  a ) 2
Var ( X ) 
12
Exemplo: X ~ U (5,10)
 5  x  10
9
P(7  X  9)  ? f ( x)dx
X
P(7  X  9)
f(x)
1
5
7
1 2
 (9  7).   0, 4
5 5
5
10
X
39
Distribuição Normal ou Gaussiana
Uma variável aleatória X tem distribuição Normal se sua função densidade de
0,14
probabilidade for dada por:


0,12
1  x 
 
2
 
1
f ( x) 
e 2
2 
0,1
f ( x )dx  1

0,08
- ≤ x ≤ +
0,06
0,04
0,02
0
0
-
5
10

E( X )  
15
+
20

0,14
Var ( X )   2
P(8  X  11)
0,12
0,1
2
Exemplo: X ~ N (10, 4)    10  0,064
0,08
11
P(8  X  11)  ? f ( x)dx
8
0,04
0,02
0
0
-
5
10
10
15
+
20
40
Distribuição Normal ou Gaussiana
a  b, a 2 2 )
Propriedade: se X ~ N (  ,  2 ) e Y  aX  b então Y ~ N ((?,?)
Z
X 

1
1
 X  1
E(Z )  E 

E
X



E
(
X
)







     0



   
1
1
2
 X 
Var ( Z )  Var 
  2 Var  X     2 Var  X   2  1




 
Z ~ N (0,1)
 Distribuição Normal Padrão
(valores de probabilidade podem ser tabelados!)
41
Distribuição Normal Padrão
,14
,12
0,1
,08
,06
,04
,02
0
0
-
5
0
10
z
P( Z  z )
P( Z  2,17)  ?
P( Z  2,17)  0, 0150
15
+
20
z
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,00
0,5000
0,4602
0,4207
0,3821
0,3446
0,3085
0,2743
0,01
0,4960
0,4562
0,4168
0,3783
0,3409
0,3050
0,2709
0,02
0,4920
0,4522
0,4129
0,3745
0,3372
0,3015
0,2676
0,03
0,4880
0,4483
0,4090
0,3707
0,3336
0,2981
0,2643
0,04
0,4840
0,4443
0,4052
0,3669
0,3300
0,2946
0,2611
0,05
0,4801
0,4404
0,4013
0,3632
0,3264
0,2912
0,2578
0,06
0,4761
0,4364
0,3974
0,3594
0,3228
0,2877
0,2546
0,07
0,4721
0,4325
0,3936
0,3557
0,3192
0,2843
0,2514
0,08
0,4681
0,4286
0,3897
0,3520
0,3156
0,2810
0,2483
0,09
0,4641
0,4247
0,3859
0,3483
0,3121
0,2776
0,2451
0,7
0,8
0,9
1,0
0,2420
0,2119
0,1841
0,1587
0,2389
0,2090
0,1814
0,1562
0,2358
0,2061
0,1788
0,1539
0,2327
0,2033
0,1762
0,1515
0,2296
0,2005
0,1736
0,1492
0,2266
0,1977
0,1711
0,1469
0,2236
0,1949
0,1685
0,1446
0,2206
0,1922
0,1660
0,1423
0,2177
0,1894
0,1635
0,1401
0,2148
0,1867
0,1611
0,1379
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
0,1357
0,1151
0,0968
0,0808
0,0668
0,0548
0,0446
0,0359
0,0287
0,0228
0,0179
0,0139
0,0107
0,0082
0,0062
0,0047
0,0035
0,0026
0,0019
0,0013
0,1335
0,1131
0,0951
0,0793
0,0655
0,0537
0,0436
0,0351
0,0281
0,0222
0,0174
0,0136
0,0104
0,0080
0,0060
0,0045
0,0034
0,0025
0,0018
0,0013
0,1314
0,1112
0,0934
0,0778
0,0643
0,0526
0,0427
0,0344
0,0274
0,0217
0,0170
0,0132
0,0102
0,0078
0,0059
0,0044
0,0033
0,0024
0,0018
0,0013
0,1292
0,1093
0,0918
0,0764
0,0630
0,0516
0,0418
0,0336
0,0268
0,0212
0,0166
0,0129
0,0099
0,0075
0,0057
0,0043
0,0032
0,0023
0,0017
0,0012
0,1271
0,1075
0,0901
0,0749
0,0618
0,0505
0,0409
0,0329
0,0262
0,0207
0,0162
0,0125
0,0096
0,0073
0,0055
0,0041
0,0031
0,0023
0,0016
0,0012
0,1251
0,1056
0,0885
0,0735
0,0606
0,0495
0,0401
0,0322
0,0256
0,0202
0,0158
0,0122
0,0094
0,0071
0,0054
0,0040
0,0030
0,0022
0,0016
0,0011
0,1230
0,1038
0,0869
0,0721
0,0594
0,0485
0,0392
0,0314
0,0250
0,0197
0,0154
0,0119
0,0091
0,0069
0,0052
0,0039
0,0029
0,0021
0,0015
0,0011
0,1210
0,1020
0,0853
0,0708
0,0582
0,0475
0,0384
0,0307
0,0244
0,0192
0,0150
0,0116
0,0089
0,0068
0,0051
0,0038
0,0028
0,0021
0,0015
0,0011
0,1190
0,1003
0,0838
0,0694
0,0571
0,0465
0,0375
0,0301
0,0239
0,0188
0,0146
0,0113
0,0087
0,0066
0,0049
0,0037
0,0027
0,0020
0,0014
0,0010
0,1170
0,0985
0,0823
0,0681
0,0559
0,0455
0,0367
0,0294
0,0233
0,0183
0,0143
0,0110
0,0084
0,0064
0,0048
0,0036
0,0026
0,0019
0,0014
0,0010
42
Distribuição Normal Padrão (Exemplos)
P( Z  1,5)  ?
,14
0,14
,12
0,12
0,1
0,1
,08
0,08
,06
0,06
,04
0,04
,02
0,02
0
0
-
5
-1,5 0
10
0,0668
=
0
15
0
+ -
20
5
0 1,5
10
15
+
20
P( Z  1,5)  P( Z  1,5)  0, 0668
43
Distribuição Normal Padrão (Exemplos)
P(0  Z  1,5)  ?
,14
0,14
0,14
,12
0,12
0,12
0,1
0,1
,08
0,08
,06
0,06
,04
0,04
0,04
,02
0,02
0,02
0
0
0
-
5
0 1,5
10
0,5
0,1
=
15
0
+ -
_
0,08
0,0668
0,06
0
20
5
0
10
0
15
+ -
5
20
0 1,5
10
15
+
2
P(0  Z  1,5)  0,5  0, 0668  0, 4332
44
Distribuição Normal Padrão (Exemplos)
P(1  Z  2)  ?
,14
0,14
0,14
,12
0,12
0,12
0,1
0,1
,08
0,08
,06
0,06
,04
0,04
0,04
,02
0,02
0,02
0
0
0
-
5
0 1 2
10
0,1587
0,1
=
0
15
+ -
_
0,08
0,06
0,0228
0
5
20
0 1
10
0
15
+ -
5
20
0
10
2
15
+
2
P(1  Z  2)  0,1587  0, 0228  0,1359
45
Distribuição Normal (Exemplos)
X ~ N (10, 4)
X
0,5328
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
P(8  X  11)  ?
0,04
0,02
0
-
0
Z
X 

8
5
10 11
10
15
+
20
~ N (0,1)
P(8  10  X  10  11  10)  ?
P(
8  10 X  10 11  10


)?
2
2
2
Z
0,14
0,5328
0,12
Z
0,1
0,08
0,06
P( 1  Z  0,5)  ?
0,04
0,02
0
0
-
5
-1
0 0,5
10
15
+
20
46