Estudo dos Triângulos

Estudo dos Triângulos
Definição

Dado três pontos A, B e C não-colineares, chama-se
triângulo ABC a figura plana constituída pela reunião dos
segmentos AB, AC e BC e pelos pontos interiores à região
que eles determinam.
B
A
C
Elementos principais

A figura mostra o triângulo ABC. Nele, destacamos

B
 os vértices A, B e C
c
A
 os lados e suas medidas:
AB = c, AC = b e BC = a
a
b
C
 os ângulos internos
A, B e C.
 ângulo externo ()
Classificação dos
triângulos
Quanto à medida de seus lados

Triângulo escaleno
B
a
c
A
b
C
As medidas dos três lados são diferentes (a ≠ b, b ≠ c e a ≠ c)
 As medidas dos três ângulo são diferentes A ≠ B ≠ C.
Quanto à medida de seus lados

Triângulo isósceles
A
x
B
x
C
Pelo menos dois de seus lados são iguais (AB = AC = x).
 o lado BC não-congruente aos outros, é chamado de base.
 os ângulos B e C são os ângulos da base e o ângulo A é o
ângulo no vértice.
Quanto à medida de seus lados

Triângulo eqüilátero
A
x
B
x
x
C
Todos os lados são iguais (AB = AC = BC = x).
 os ângulos A, B e C, também, são todos iguais
(60º).
Quanto à medida de seus ângulos internos

Triângulo acutângulo
B
A
C
As medidas dos três ângulos internos são agudos
(A < 90º, B < 90º e C < 90º)
Quanto à medida de seus ângulos internos

Triângulo retângulo
C
A
B
A medida de um de seus ângulos internos é reto. (A = 90º)
 O lado BC é chamado de hipotenusa; os outros dois
são chamados catetos.
Quanto à medida de seus ângulos internos

Triângulo obtusângulo
C
A
B
A medida de um de seus ângulos internos é obtuso. (A > 90º)
Segmentos notáveis do triângulo
Mediana

Une o vértice ao ponto médio do lado oposto.
A
BM = CM
⇒
AM é mediana
B
M
C
M é o ponto médio do segmento BC.
Altura

Une o vértice ao lado oposto (ou a seu prolongamento) e é
perpendicular à reta suporte desse lado.
A
AH é perpendicular a BC
⇒
AH é altura
B
H
C
Bissetriz interna

Une o vértice ao lado oposto, dividindo o ângulo desse
vértice em dois ângulos congruentes.
A
AS é bissetriz
B
S
C
Mediatriz de um Segmento
Mediatriz

Chama-se mediatriz de um segmento AB a reta m
perpendicular a AB, passando pelo seu ponto médio.
m
AM = BM
⇒
A
M
B
A reta m é mediatriz
Propriedades relativas aos
triângulos isósceles e equilátero
Triângulo isósceles
A
x
x
B
M
C
 a altura AM relativa à base é também mediana e
bissetriz interna.
Triângulo equilátero
A
P
B
N
M
C
 Em cada vértice, a mediana, a altura e a bissetriz interna
coincidem e são todas congruentes (AM = BN = CP).