Apresentação do PowerPoint

Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de Física
Modelos Não Gaussianos para
Precificação de Opções
Giovani L. Vasconcelos
Rio de Janeiro, 09 de novembro de 2007
Colaboradores: Rogério Costa, Antônio Mário Ramos, José Augusto
Carvalho Filho, Domingos Salazar
Roteiro
O que são “Opções”?
Breve histórico
Hipótese do mercado eficiente e
o movimento browniano
Modelo de Black-Scholes
Análise do Ibovespa
Modelo Exponencial para Opções
Conclusões
Mercado de Opções
Uma opção é um contrato que dá o direito, mas não a obrigação, de
comprar ou vender um determinado ativo S por um preço K prédeterminado (preço de exercício) em um tempo T futuro (vencimento).
Opção de Compra (Call)
Na data T do vencimento:
se S(T) < K, o titular não exerce a opção.
se S(T) > K, o titular exerce a opção. Compra
por K, revende no mercado por S e embolsa a
diferença (S-K).
Mercado de Opções
Uma opção representa um direito. Logo, é
necessário que se pague por tal direito.
Surge então a seguinte questão:
Quanto deve valer um contrato de opção?
Para responder essa questão é necessário modelar a
dinâmica de preços do ativo S de referência.
Breve Histórico
1600’s - Holanda: “Bolha da Tulipa”  Opções.
1900 - Louis Bachelier defende a tese
“Théorie de la Especulation”, em que modela
preços como um movimento browniano.
1955 - Paul Samuelson – Moderna teoria de
apreçamento: logaritmo dos preços descreve um MB.
1970 - Eugene Fama – Hipótese do Mercado
Eficiente
Breve Histórico
1963 – Benoit Mandelbrot propõe distribuições de Levy
(não-gaussianas) para os retornos.
1973 – Opções começam a ser negociadas na Bolsa de
Opções de Chicago (CBOT).
1973 - Fischer Black, Myron Scholes e Robert Merton
desenvolvem o “Modelo de Black-Scholes” para opções.
1979 – Bovespa lança opções em ações.
Década de 90 – Nasce a “Econofísica”.
Breve Histórico
1997 - Merton e Scholes recebem o Nobel de economia.
Hipótese do Mercado Eficiente
Em um mercado eficiente o preço atual reflete toda
informação disponível.
O passado não contém qualquer informação que já não
esteja incorporada no preço atual.
Preços variam com a chegada de novas informações
 flutuações imprevisíveis  descrição probabilística
Variações futuras do preço são independentes das
variações anteriores.
 preços seguem um movimento browniano!
Movimento Browniano
1827- Robert Brown estuda grãos de
pólen em suspensão na água e observa
o movimento errático de partículas.
Microscópio original de Brown
Reprodução (1992): partículas de
gorduras do leite em suspensão .
Movimento Browniano
1905- Einstein formula e resolve o
problema
Tratamento estatístico: movimentos sucessivos são
mutuamente independentes
processo de difusão
Distribuição Gaussiana
probabilidade
posição
deslocamento quadrático médio:
xrms  E[ x ]  t
2
1/ 2
Hipótese do Mercado Eficiente
Retornos x(t) = ln[S(t)] seguem um movimento browniano:
x(t+1) = x(t) + flutuação aleatória
Em tempo contínuo:
deriva
amplitude das
flutuações
ruído branco
Distribuiçao gaussiana (normal) para os retornos:
Preço S(t) segue uma distribuiçao log-normal.
Modelo de Black-Scholes
Ativo livre de risco (conta bancária):
dB
 rB
dt
taxa de juros
Ativo de risco S segue um MB geométrico:
dS
 R (t ) S
dt
R(t) =  + (t)
taxa média de retorno volatilidade
ruído branco
• Distribuição log-normal para S(t):

 ln S  (    2 / 2)t
1

p( S , t ) 
exp 
2
2
2

t
2 t S



2





Abordagem Neutra a Risco (Merton)
Em um mundo “indiferente ao risco”:
=r
O “preço justo” da opção C é o valor esperado do
ganho futuro corrigido a tempo presente:
C(S,t) = e-r(T-t) E[C(S,T)]rn
• Opção de compra:
C(S,T) = max(S-K,0)
Fórmula de Black e Scholes
A fórmula de Black-Scholes encontra-se disponível em
qualquer calculadora moderna com funções financeiras!
Análise do Ibovespa
Ibovespa
Retornos
Os sucessivos retornos são independentes?
A distribuição é gaussiana?
Expoente de Hurst
desvio padrão  t H
H = 1/2 : sem memória (mov. browniano)
H ≠ 1/2 : efeitos de memória (correlação)
Memória persiste até 6 meses!
Similar a outros mercados emergentes.
Dependência no tempo
movimento
browniano
Plano Collor
Costa e Vasconcelos,
Physica A, 2003
Mercado brasileiro tornou-se mais eficiente
com a abertura da economia
Scientific American Brasil,
agosto de 2004
Histograma dos Retornos
J.A. Carvalho-Filho, 2004
região linear  distribuição exponencial!
Modelo Exponencial para Retornos
Condição de normalização
Escolhendo covenientemente
Obtemos, usando as duas igualdades, as expressões
Consequentemente
Cotações “Intraday”
J.A. Carvalho-Filho, 2004
Exponencial para  > 1h
Lei de potência para  < 1h
Cotações “Intraday”
A. A. G. Cortines, R. Riera, Physica A 2007
Distribuições com lei de potência
Distribuição de Tsallis (ou q-gaussiana)
variância:
Cauda com lei de potência:
Análise Empírica do Ibovespa
Distribuição de Levy
Distribuição de Tsallis
A. M. T. Ramos, 2007
Ajuste Empírico ao Ibovespa
q-gaussiana
q=1.64
q-gaussiana
exponencialmente
truncada
q=1.75
A. A. G. Cortines, R. Riera, Physica A 2007
Modelo Exponencial para Opções
McCauley, Gunaratne, Physica A 2003
Aplicando a abordagem neutra a risco:
Resulta uma fórmula explícita para o preço da opção:
neutralidade a risco:
Dois parâmetros não conhecidos  e 
Comparação entre os Modelos para Opção
Série IBOVL, vencimento 13/12/2006
gaussiano é melhor
T = 36 dias
exponencial é melhor
T = 14 dias
A. M. T. Ramos, 2007
Comparação entre os Modelos para Opção
Próximo do
vencimento o modelo
exponencial é melhor
Em alguns casos o ajuste
exponencial apresenta resíduo
bem menor do que o gaussiano.
Outros Modelos Alternativos de Opções
Modelos com Distribuição de Lévy Truncada
(A. Matacz, Int. J. Theor. Appl. Finance, 2000)
Modelos com processos de Lévy
(“Lévy Processes in Finance”, Wim Schoutens, 2001)
Modelo q-Gaussiano (L. Borland, PRL 2002):
fórmula explícita aproximada.
Modelo de “Black-Scholes Fracionário” (C.
Necula, 2002; Cajueiro e Barbachan, 2003): retornos seguem
um movimento browniano fracionário, H ≠ 1/2.
Modelos com Volatilidade Estocástica.
Conclusões e Desafios
Efeitos não-gaussianos são abundantes no mercado
financeiro.
Presença de correlações (H > 0.5) no Ibovespa
antes, e mais eficiência (H  0.5), após o Plano Collor.
Retornos seguem uma distribuição exponencial
para 1 h <  < 30 dias, e q-gaussiana para  < 1 h.
O modelo exponencial descreve melhor o mercado
de opções do Ibovespa próximo do vencimento.
Como utilizar modelos não-gaussianos de opções
para gerar estratégias de investimento?
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