Fluxo em meios porosos

Fluxo em meios porosos
Princípios básicos
Princípios gerais
• Conservação de energia
• Conservação de massa
Energia: sólidos indeformáveis
• Energia potencial (ou de posição):
 Trabalho realizado pelo corpo para ir de um
ponto a outro
 força x deslocamento =
= massa x aceleração x deslocamento
• Energia cinética:
 massa x (velocidade)2 / 2
Energia: sólidos deformáveis
• Energia potencial (ou de posição):
 Trabalho realizado pelo corpo para ir de um ponto a
outro
 força x deslocamento =
= massa x aceleração x deslocamento
• Energia cinética:
 massa x (velocidade)2 / 2
• Energia de deformação (elástica)
 tensão x deformação / 2
Energia: fluidos
• Energia potencial (ou de posição):
 Trabalho realizado pelas partículas do volume V de
fluido para ir de um ponto a outro
 força x deslocamento =
= massa x aceleração x deslocamento =
= volume x densidade x aceleração x deslocamento
• Energia cinética:
 volume x densidade x (velocidade)2 / 2
• Energia de pressão:
 volume x pressão
Energia de pressão (piezométrica)
• Trabalho (energia) =
=Vxu
Expressões das parcelas de energia
• Energia potencial (ou de posição):
 Volume V de fluido a uma altura he
 Energia potencial: Ee = V x w x g x he
• Energia cinética:
 Volume V de fluido com velocidade v
 Energia cinética: Ec = V x w x (v)2 / 2
• Energia de pressão:
 Volume V de fluido a uma pressão u
 Energia piezométrica: Ep = V x u
Energia total
• Energia total = energia potencial + energia
cinética + energia de pressão
• E = Ee + Ec + Ep
• E = V x w x g x h + V x w x (v)2 / 2 +
+Vxu
• Dividindo-se por (V x w x g) ...
Carga hidráulica total
E / (V x w) = he + (v)2 / (2 x g) + u / (w)
H = h e + h c + u / w
H = he + hc + hp
Carga hidráulica total = carga altimétrica +
+ carga cinética + carga piezomética
• Carga hidráulica depende da cota de referência
(porque a parcela correspondente à carga
altimétrica depende da cota de referência)
•
•
•
•
Conservação de energia
• A energia total do fluido em um ponto a
jusante do fluxo é igual à energia total a
montante menos a energia dissipada no
fluxo entre montante e jusante
• EJ = EM - E
Equação de Bernoulli
• A carga total do fluido em um ponto a
jusante do fluxo é igual à carga total a
montante menos a carga dissipada no fluxo
entre montante e jusante
• HJ = HM - H
Fluxo em meios porosos
• Velocidades baixas, fluxo laminar (baixo
número de Reynolds)
• Por exemplo, se v = 10-3 m/s (alta!)
• hc = (v)2 / (2 x g)  5 . 10-6 m (muito baixa!)
• Portanto, H  he + u / w
• H  he + hp
• Carga hidráulica total  carga altimétrica +
+ carga piezométrica
Carga hidráulica na percolação
H = he + hp
H = he 
u
w
he = z + constante
Perda de carga na percolação
• H = HM – HJ
• H = (he + hp)M – (he + hp ) J
• H = (he + u / w)M – (he + u / w ) J
• H = zM + uM / w – zJ + uJ / w
• H = z + (uM – uJ) / w
Conservação de massa
• Em qualquer ponto ou volume do domínio
de fluxo:
massa de fluido que entra =
= massa de fluido que sai
• Regime permanente 
 div v = 0 (teorema do divergente)
Hipóteses adicionais
• Solo saturado por fluido incompressível
• Condutividade hidráulica e peso específico
do fluido são constantes
• Lei de Darcy
Velocidade de percolação
v  d ( solo )
2
v  g ( fluido )
v
1

( fluido )
H
v
(int ensidade da ação)
L
Lei de Darcy
v  k i ( Lei de Darcy )
H
i
L
k  condutividade hidráulica ( solo  fluido )
k
Cd 2  g


ks  g

  vis cos idade dinâmica do fluido
k s  Cd 2  permeabili dade ( solo apenas )
Matriz de condutividade
C11 C12 
[C ] = 

C
C
22 
 21
e2
Solo anisotrópico
C11 = kx cos2+ky sin2
C22 = kx sin2+ky cos2
C12 = kx cos  sin - ky sin  cos 
C21 = C12
e1
Lei de Darcy generalizada
v   k H
H
vx  k
x
H
v y  k
y
H
vz  k
z
Solo isotrópico
div v = 0
• Conservação de massa
vx v y vz
+

=0
x y z
Equação de Laplace
 H  H  H
+

=
0
2
2
2
x
y
z
2
2
2
Equação geral do fluxo 3D,
em regime permanente,
material homogêneo,
isotrópico
Processos de solução
• Exatos: soluções analíticas (pouquíssimas situações)
• Aproximados
– Soluções gráficas (rede de fluxo)
– Soluções analógicas
– Soluções numéricas
• MDF
• MEF
• MEC