PC1-S4(1)

Modelos no Domínio do Tempo
de Sistemas LTI Contínuos
PRINCÍPIOS DE CONTROLE RCBETINI
1
Modelos no Domínio do Tempo de Sistemas
LTI Contínuos
• Existem basicamente 3 técnicas de modelagem para sistemas de
tempo contínuo:
– Equações diferenciais como uma representação matemática dos
relacionamentos de entrada e saída.
– Diagrama de blocos como uma representação de relacionamento
entre entrada, saída e estados internos.
– Modelos de estados que são o equivalente dos diagramas de
bloco.
• Iremos estudar as equações diferenciais.
• Comum as 3 técnicas de modelagem é o uso de sinais dependentes
do tempo, nos quais a derivada e a integral com relação ao tempo
possui um papel importante.
• Portanto estes tipos de modelo de sistemas podem ser classificados
como “modelos no domínio do tempo”.
• Seus componentes são “modelos no domínio da frequência”.
PRINCÍPIOS DE CONTROLE RCBETINI
2
Equações Diferenciais
• Nosso objetivo é achar um modelo de sistema sem
detalhes de sua implementação.
• Nós usaremos um circuito elétrico e iremos supor que
este é um sistema LTI composto por resistências
ôhmicas, indutores e capacitores ideais.
• Desta forma poderemos considerar o uso de equações
diferenciais com coeficientes constantes na qual
somente os sinais de entrada e saída e seus derivados
ocorrem.
• Este tipo de análise simplifica sistemas mecânicos,
pneumáticos, hidráulicos e térmicos a equações
diferenciais.
• O mesmo se aplica a outros tipos de sistemas: química,
biologia, economia, etc.
PRINCÍPIOS DE CONTROLE RCBETINI
3
Equações Lineares com Coeficientes Constantes
• Equações diferenciais estabelecem relações entre derivadas
de quantidades dependente com respeito a variáveis
independentes.
• Elas são chamadas equações diferenciais ordinárias se
as derivadas somente ocorrem com respeito a uma das
variáveis independentes (ex.: tempo)
• Equações diferenciais com derivadas com respeito a mais
que uma variável independente (ex.: tempo e 3 coordenadas
espaciais) são chamadas equações diferenciais parciais.
• Uma equação diferencial é linear se as derivadas
individuais são somente multiplicadas por fatores e
combinados por adição.
• Adicionalmente, se os fatores das derivadas não dependem
das variáveis independentes, o termo equação diferencial
com coeficientes constantes é usado.
PRINCÍPIOS DE CONTROLE RCBETINI
4
Para Modelar Sistemas Contínuos
• Somente precisamos de equações diferenciais
ordinárias com o tempo como a única variável
independente.
• Em tais equações os sinais de entrada e saída do
sistema devem ocorrer como variáveis dependentes.
• Sistemas Lineares Invariantes no Tempo podem ser
modelados por equações diferenciais com coeficientes
constantes.
• Exemplo de Equações Diferenciais Lineares
PRINCÍPIOS DE CONTROLE RCBETINI
5
Forma Geral de Equação Diferencial Linear
Ordinária com Coeficientes Constantes
• O maior índice N de um coeficientes diferentes de zero N determina o
que é chamado a ordem da equação diferencial.
• Para simplificar, vamos considerar M N (sistema realizável) e permitir
algum, mas não todos os coeficientes βk serem iguais a zero.
• Para uma dada função x(t) existem até N diferentes soluções y(t)
linearmente independentes a equação acima.
• Para uma solução particular, nós precisamos dar N condições.
• Para problemas de condição inicial, estas poderiam ser as N condições
inicias:
• A equação diferencial acima descreve um sistema contínuo no tempo,
sendo x(t) o sinal de entrada e y(t) o sinal de saída.
PRINCÍPIOS DE CONTROLE RCBETINI
6
Forma Geral de Equação Diferencial Linear
Ordinária com Coeficientes Constantes
• Se o sinal de entrada x(t) for representado por f(t) e
β por b então podemos escrever:
• Onde todos os coeficientes i e βi são constantes. Usando a notação
operacional D para representar d/dt nós podemos representar esta
equação como:
PRINCÍPIOS DE CONTROLE RCBETINI
7
Forma Geral de Equação Diferencial Linear
Ordinária com Coeficientes Constantes
• Ou:
• Onde
os polinômios Q(D) e P(D) são:
• Teoricamente as potências n e m nas equações acima poderiam assumir
qualquer valor.
• Considerações práticas com relação a ruídos, por outro lado, requer que m
 n.
• Ruído é qualquer sinal indesejável originado da natureza ou pela ação do
homem, o qual interfere com o sinal desejado no sistema.
PRINCÍPIOS DE CONTROLE RCBETINI
8
Forma Geral de Equação Diferencial Linear
Ordinária com Coeficientes Constantes
•
•
•
•
•
•
Infelizmente, ruído é um sinal banda larga contendo componentes de
todas as frequências desde zero a infinito.
Por esta razão o ruído contém uma quantidade significante de
componentes variando rapidamente com derivadas que são
consequentemente muito grande.
Portanto qualquer sistema onde m > n irá amplificar os componentes
de alta frequência do ruído através de diferenciais.
E desta forma é possível que o ruído seja tão amplificado que ele
venha a sobrepujar o sinal de saída do sistema mesmo que o sinal de
ruído de entrada do sistema seja toleravelmente pequeno.
Portanto iremos considerar no máximo m = n para que o sistema seja
realizável.
Ou seja, para que o sistema seja realizável (causal), é necessário que
o número de zeros seja igual ao número de pólos.
PRINCÍPIOS DE CONTROLE RCBETINI
9
Equações Diferenciais com Coeficientes
Constantes
•
•
•
•
•
•
•
A equação diferencial anterior descreve um sistema contínuo no tempo, se
x(t) é o sinal de entrada, e y(t) é o sinal de saída.
A equação também representa um sistema invariante no tempo, pois para
t’=t-ζ temos que x(t-ζ) leva a solução y(t-ζ).
Para mostrar a linearidade nós consideramos 2 sinais de entrada x1(t)
e x2(t) e as soluções correspondentes y1(t) e y2(t) .
Colocando as equações lineares
Dentro da equação diferencial anterior, verificamos que
É uma solução da equação diferencial, e portanto o sinal de saída do
sistema.
Concluímos que todo sistema que pode ser modelado usando
equações diferenciais lineares com coeficientes constantes é portanto
um sistema LTI.
PRINCÍPIOS DE CONTROLE RCBETINI
10
Equações Diferenciais com Coeficientes
Constantes
• Isto significa que nós achamos nosso primeiro método
para modelar tais sistemas na forma de equação
diferencial.
• Este método preenche nosso requerimento inicial:
– Modelagem de um sistema LTI independente de sua
realização.
– Representação dos relacionamentos de entradasaída, sem detalhes do comportamento interno do
sistema.
PRINCÍPIOS DE CONTROLE RCBETINI
11
Exemplo-1: Para o filtro RLC da figura abaixo, determine a equação de
entrada/saída relacionando a tensão de entrada f(t) com a corrente de saída y(t)
A aplicação da Lei da soma das tensões
de Kirchhoff permite:
Usando as Leis de corrente-tensão de cada elemento (indutor, capacitor e
resistor) nós podemos expressar esta equação como:
Diferenciando ambos os lados desta equação obtemos:
PRINCÍPIOS DE CONTROLE RCBETINI
12
Exemplo-1: Para o filtro RLC da figura abaixo, determine a equação de
entrada/saída relacionando a tensão de entrada f(t) com a corrente de saída y(t)
•
•
A equação diferencial anterior é o relacionamento de entrada-saída entre a
entrada f(t) e a saída y(t).
Prova ser conveniente usar uma notação compacta D para o operador
diferencial d/dt. Portanto:
• Com esta notação a equação achada anteriormente pode ser
expressa como:
O operador diferencial é o inverso do operador integral, podemos
portanto usar o operador 1/D para representar integração.
PRINCÍPIOS DE CONTROLE RCBETINI
13
Exemplo-2: Para o filtro RC da figura abaixo, determine a equação de
entrada/saída relacionando a tensão de entrada f(t) com a tensão de saída y(t).
A substituição do resultado na equação anterior permite:
PRINCÍPIOS DE CONTROLE RCBETINI
14
Sinais de Entrada
PRINCÍPIOS DE CONTROLE RCBETINI
15
PRINCÍPIOS DE CONTROLE RCBETINI
16
PRINCÍPIOS DE CONTROLE RCBETINI
17
PRINCÍPIOS DE CONTROLE RCBETINI
18
PRINCÍPIOS DE CONTROLE RCBETINI
19
PRINCÍPIOS DE CONTROLE RCBETINI
20
PRINCÍPIOS DE CONTROLE RCBETINI
21
PRINCÍPIOS DE CONTROLE RCBETINI
22
Tempo de Subida (Tr) e Tempo de
Assentamento ou Acomodação (Ts)
• Tempo de Subida é o tempo necessário para
que a forma de onda vá de 0,1 a 0,9 do seu
valor final. É dado por Tr=2,2/a (2,31/a –
0,11/a)=2,2/a
• Tempo de assentamento é o tempo necessário
para que a resposta alcance uma faixa de
valores de 2% em torno do valor final e aí
permaneça. Fazendo c(t)=0,98 achamos Ts=4/a
PRINCÍPIOS DE CONTROLE RCBETINI
23
PRINCÍPIOS DE CONTROLE RCBETINI
24
PRINCÍPIOS DE CONTROLE RCBETINI
25
PRINCÍPIOS DE CONTROLE RCBETINI
26
PRINCÍPIOS DE CONTROLE RCBETINI
27
PRINCÍPIOS DE CONTROLE RCBETINI
28
PRINCÍPIOS DE CONTROLE RCBETINI
29
Tabela de Transformadas de Laplace
PRINCÍPIOS DE CONTROLE RCBETINI
30
Tabela de Transformadas de Laplace (continuação)
PRINCÍPIOS DE CONTROLE RCBETINI
31