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Equações Diferenciais Ordinárias
Aula 1
Profª Célia Maria
www.profceliamaria.wordpress.com
Introdução
Muitos dos princípios, ou leis, que regem o comportamento
do mundo físico são proposições, ou relações, envolvendo a
taxa segundo a qual as coisas acontecem (BOYCE, 2006, p. 1).
Em linguagem matemática:
Relações
Equações
Taxas
Derivadas
Introdução
 Uma equação envolvendo uma variável dependente e
suas derivadas com respeito a uma ou mais variáveis
independentes é chamada Equação Diferencial.
 Equações contendo derivadas são Equações Diferenciais.
 Uma equação diferencial que descreve algum processo
físico é chamada de modelo matemático do processo.
Introdução
Equações Diferenciais
problemas, tais como:

são
usadas
para
Movimento de fluidos;
 Fluxo de corrente elétrica em circuitos;
 Dissipação de calor em objetos sólidos;
 Propagação e detecção de ondas sísmicas;
 Capital e juros na economia;
 Aumento ou diminuição da população.
investigar
Exemplo 1: Um objeto em queda
Suponha que um objeto está caindo na atmosfera, perto
do nível do mar. Vamos formular uma equação diferencial
que descreva o processo.
1. Identificando as variáveis envolvidas no processo e as
unidades
t – tempo (s) (variável independente)
v – velocidade (m/s)
(variável dependente v = v (t))
Vamos supor que a velocidade é positiva quando o sentido
do movimento é para baixo, isto é, quando o objeto está
caindo.
2. Lei que rege o problema
A lei que governa o movimento de objetos é a segunda lei de
Newton:
(1)
F = ma
m – massa do objeto (Kg)
a – aceleração (m/ S2)
F – força total agindo sobre o objeto (N)
3. Expressando a 2ª lei de Newton em função das variáveis
escolhidas no item 1.
Temos,
Logo, a eq. (1) pode ser reescrita na forma:
(2)
Forças que agem sobre um objeto em queda:
 A gravidade exerce uma força igual ao peso do objeto:
mg, onde g = 9,8 m/ S2 é a aceleração da gravidade
(sempre age para baixo no sentido positivo)
Força de resistência do ar, que é proporcional à
velocidade, isto é,
, onde é uma constante chamada de
coeficiente de resistência do ar e depende do objeto (liso,
rugoso). A força de resistência do ar sempre age no sentido
negativo (para cima).
(3)
Da eq. (2), temos:
(4)
A eq. (4) é um modelo matemático de um objeto caindo na
atmosfera, próximo ao nível do mar. Note que
e
são
parâmetros que dependem do objeto particular que está
caindo.
Como resolver a eq. (4)? Temos que encontrar uma função
que satisfaça a equação. Faremos isso na próxima aula!!!
Fazendo
e
(5)
Vamos investigar o comportamento das soluções da eq. (5) sem
resolver a equação diferencial, usando os conceitos de Cálculo.
Recorde do Cálculo 1 que dv/dt é a inclinação da reta
tangente ao gráfico de v. Isto é, dv/dt é a inclinação de uma
solução v = v (t).
Atribuindo valores para v na eq. (5), podemos fazer uma
análise qualitativa sobre o comportamento das soluções.
Por exemplo, para v = 40, dv/dt = 1,8. Em qualquer ponto onde
v = 40, a inclinação de uma solução v = v(t) é igual a 1,8.
Para v = 50, dv/dt = - 0,2. Em qualquer ponto onde v = 50, a
inclinação de uma solução v = v(t) é igual a -0,2.
Quais os valores de v para os quais dv/dt = 0?
Campo de direções e solução de equilíbrio para eq. (5)
v= 49 m/s
Solução de
equilíbrio
Cada segmento de reta é tangente ao gráfico de uma solução
da eq. (5). Observando-se o campo de direções para eq. (5),
pode-se concluir que todas as outras soluções convergem para
solução de equilíbrio quando t fica muito grande.
.
Note que:
(Coeficiente angular positivo)
(Coeficiente angular negativo)
Soluções abaixo da solução de equilíbrio aumentam de
velocidade com o tempo, soluções acima diminuem de
velocidade e todas as soluções se aproximam da solução de
equilíbrio quando t fica muito grande.
Campos de Direções: É uma ferramenta valiosa no estudo
das equações diferenciais da forma:
onde é uma função dada de duas variáveis
e
algumas vezes chamada de função taxa de variação.
,
Exemplo 2: Ratos do campo e corujas
Considere uma população de ratos do campo que habitam
uma certa área rural. Vamos supor que, na ausência de
predadores, a população de ratos cresce a uma taxa
proporcional à população atual (hipótese inicial usual em um
estudo de crescimento populacional).
Considerando o tempo por t e a população de ratos por p(t),
temos:
(6)
onde r é o fator de proporcionalidade chamado de taxa
constante ou taxa de crescimento.
Suponha t em meses e que a taxa r tenha o valor de 0,5 por
mês. Então dp/dt tem unidade de ratos/mês.
Suponha agora que diversas corujas moram na mesma
vizinhança e que elas matam 15 ratos do campo por dia.
Temos a seguinte equação diferencial:
(7)
Investigue graficamente as soluções da eq. (7).
Campo de direções e solução de equilíbrio para eq. (7)
Observa-se, do campo de direções, que outras soluções
divergem da solução de equilíbrio.
De uma forma geral, tem-se:
(8)
onde r é a taxa de crescimento, k é a taxa predatória. A
solução de equilíbrio da eq. (8) é:
As soluções acima da solução de equilíbrio crescem,
enquanto as soluções que estão abaixo decrescem.
Exemplo 3: Resfriamento (Lei de Newton)
Consideremos um corpo sem aquecimento interno e cuja
temperatura, em cada instante é mais elevada que a
temperatura ambiente. De acordo com a lei do resfriamento
de Newton: “ a taxa de variação da temperatura do corpo é
proporcional à diferença entre a temperatura T(t) e a
temperatura do meio ambiente Ta, em cada instante t ”.
onde a constante de resfriamento (ou aquecimento) k é
característica do corpo considerado.
Considerando K > 0, temos:
(o corpo esfria)
(o corpo esquenta)
A tendência da temperatura do corpo é de atingir a
temperatura ambiente quando então não mais varia, isto
é,
A temperatura ambiente é a temperatura de equilíbrio ou
temperatura estacionária.