Caminhada do Turista e Problemas de Otimização

Comportamento
Exploratório do Turista e
Problemas de Otimização
Alexandre Souto Martinez
Departamento de Física e Matemática (DFM)
Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Ribeirão Preto (FFCLRP)
Universidade de São Paulo (USP)
Introdução I
 Meios desordenados
 Suporte para a dinâmica
 Mapa com cidades distribuídas ao acaso
 Dinâmica:
 Regra de Movimentação
Propagação
Teoria de
Transporte
X
Localização
Laços nas Trajetórias
ciclos
Introdução II
 Fundamentos
Mecanismos Básicos:
Sistemas Dinâmicos,
Processos Estocásticos
(poucos e longos cálculos)
 Teoria
Teoria de Transporte,
Fórmula de Cox,
Diagramas de “Kinouchi”
X
X
(raras)
Aplicações
física,
lingüística (variáveis qualitativas),
economia e
estatística
(demoradas simulações)
Experimentos
Simulações Numéricas (M.Carlo)
Técnicas de Clustering
Caminhadas de Macacos (in situ)
Meios Desordenados
 Simetria de translação de um meio homogêneo é quebrada
devido a flutuação de alguma grandeza característica:
impureza em metais, variações abruptas do índice refração etc.
 A simetria de translação é re-obtida quando considera-se
grandezas médias sobre as realizações da desordem
(localizada)
Processo Espacial de Poisson Rd
Equação de
Boltzmann:
Difusão etc.
P(V) dV = exp(-V) dV
V = Ad Rd (hiperesfera)
Ad = d/2 / (d/2+1)
A1 = 2, A2 = , A3 = 4/3, etc.
Meios Difusivos
 Objetivo: determinar a constante de difusão e resolver a
equação de difusão sob determinadas condições de contorno.
2 

 t  (r , t )  D  (r , t )
*
v
D
,
d

 
,
1  cos  
1

n
*


 (r , t )  | (r , t )|2 : número de partículas por unidade de volume
  
no intervalo [r , r  dr ] no instante t
d:
dimensiona lidade do sistema
v:
velocidade de propagação de energia da onda
* :
livre caminho médio de transport e
 cos   : fator de anisotropi a do espalhamen to
:
livre caminho médio
n:
densidade de desordem localizada
:
seção de choque
Problema de espalhamento múltiplo é resolvido conhecendo apenas
as características de um único espalhamento.
Problema de Milne
Feixe Refletido
Difuso
Comprimento da Onda Incidente = l
Espessura da Placa = L
Feixe Incidente
Feixe Transmitido
Coerente
a
l
l
L
Feixe Transmitido
Difuso
Caminhada do Turista:
Modelo Determinista I
 Gere com pdf uniforme as coordenadas de N cidades nas
arestas unitárias de um hipercubo de dimensão d


matriz de distâncias
tabela de vizinhança (grafo do turista)
 Em uma dada cidade, vá para a cidade mais próxima que
não tenha sido visitada nos últimos m passos
Caminhada do Turista:
Modelo Determinista II
 De uma cidade, vá para a cidade mais próxima que não
tenha sido visitada nos últimos m passos
grafo do turista
para m = 2
e caminhada para
m=1
Número de arcos emergentes: m  1
(auto ref.)
G1  G2
Caminhada do Turista:
Modelo Determinista III
 Trajetória = Transiente + Ciclo-p
 Distribuição Conjunta: Sm,d(N)(t,p)
 Número de cidades visitadas
 Prob. de que uma cidade pertença ao ciclo p: Pm,d(A)(p)
 Caso Trivial (m = 0):
 S0,d(N)(t,p) = dt,0 dp,1 e
 P0,d(A)(1) = 1
Caminhada do Turista:
Modelo Determinista IV
 Caso sem Memória (m = 1): N >> 1
P1,d ( p )  d p , 2 (ciclo - 2 são atratores)
( A)
1, d
P
1
( 2) 
1 Id
com
 1 d 1
1 
Id  I 1  ,
   , 1
4 2
2 
2 
I z (a, b) : função beta incompleta normalizad a
(1  I d1 )(t  I d1 )
S1,d (t ) 
(t  p  I d1 )
(z) : função gama
t  p : número de cidades visitadas
(limite termodinâmico)
Caminhada do Turista:
Modelo Determinista V
 Modelos de Campo Médio:
1,E+00
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2,0E-02
t
1,E-01
S0(,Nrm) (ne )
1,6E-02
1,E-02
1,E-03
1,E-04
1,E-05
1,E-06
1,E-07
1,E-08
1,2E-02
S1(,Nrl) (t )
N = 500
d = 1, 2, 3, 5, 
8,0E-03
4,0E-03
0,0E+00
0
100
t
N t 1
N k


()
S1,rl (t ) N  (t  3) / 2 k  2 N  (k  1) / 2
S1(,rl) (t ) 
t 1
(t  2)!
Modelo de Distâncias
Aleatórias (m = 1)
200
300
400
500
ne
1,E-09
S1(,Nrl ) (t )
N = 1000,
2000, 4000,
8000, 16000,
32000
S 0( ,Nrm) (t , p ) 
( N )
[ N  (t  p )  1]N t  p
ne  t  p
Modelo de Mapeamento
Aleatório (m = 0)
Caminhada do Turista:
Modelo Determinista VI
 Memória (m > 1): Caminhadas parcialmente autorepulsivas na janela t = m – 1
m=2
p=3
m=3
p=4
m=2
p=8
m=2
p = 10
m=3
p = 11
•
•
Período mínimo: p< = m + 1 = t + 2.
d = 1 & m = 2  períodos ímpares > 3 & p = 6 são proibidos.
Caminhada do Turista:
Modelo Determinista VII
 Memória (m = 2): Caminhadas parcialmente
auto-repulsivas na janela t = m – 1
d = 1,2,4,8,16,32 & 64
 t 

Pt (t )  c exp 
  (t ) 
d = 1,2,4,8,16,32 & 64

 p 

Pt ( p)  C (t ) p exp 
p
(
t
)
 0 
Caminhada do Turista:
Modelo Determinista VIII
 Memória (m > 1):
Colapso de dados não funciona
para d = 1
t=1,3 & 6
t=m–1
G ( p / t )  t Pm , 2 ( p)
t=1,2,4 & 10
 2
d=2
d=1
 p 

Pt ( p)  C (t ) p exp 
p (t ) 
p0  6 pmin  0

Caminhada do Turista:
Aplicação: Tesauro
Sem memória m = 1:
1)Link – connection – link
2)Translation – conversion – change – alter – change
3)Constitution – establishment – organization –
association – friendship – companionship –
company – corporation – business – commerce –
trade – deal – contract – agreement – accord –
agreement
Com memória m = 2:
1) Translation – conversion – change – alter –
modify – adapt – become accostumed – get
used to – get into the habit of – accept –
believe – consider – think – believe
t=0
d=2
extrapolação
t=1
Mapa aleatório
d=2
Modelo de Análise Semântica (d = 300) não foi validado, mas o modelo de
mundo pequeno foi.
Caminhada do Turista:
Modelo Estocástico IX
Wij
exp[- E(Dij)]
() = ---------------Zi
N-1
 Zi =  j





T -> 0
exp[- E(Dij)]
j
N1/dDij
i
Normalização
função custo arbitrária
temperatura formal
E(Dij)
T = -1
d
1/2
1/d
Dij = N [ k (xi(k)–xj (k) )2]
N
# de cidades
d
dimensionalidade
modelo determinista
T -> 
Pulos isotrópicos
Caminhada do Turista:
Modelo Estocástico X
Parâmetro de ordem:
m = 0
<tr> Tempo médio de residência
j
N1/dDij
i
E(D) = Dl
 Possibilidades:
 l < d:
 l > d:
 l = d:
p
q
Função Custo:
<tr> sempre finito
<tr> sempre diverge
<tr>  1/ (1- / Ad )
 Transição vítrea como nos
modelos de armadilha de
Bouchaud
Caminhada do Turista:
Modelo Estocástico XI
p
q
m = 0
(1  e  / Ad )  t1 (  ) 
 t r (  ) 
1  e ( N 1)  / Ad
1  e (1  / Ad )Vd ( Dc )
 t1 (  ) 
1   / Ad
Ad 
 d /2
(d / 2  1)
Dc : diâmetro da maior esfera vazia
 m = 1 física parecida, mas cálculos muito mais difíceis ...
Caminhada do Turista:
Modelo Estocástico XI
m = 1
d=1 N=100, 200, 400 & 800
p
q
• <R()> # médio de sítios visitados/N.
• S2R() variância de R().
• PNN()
taxa de visitação ao viz. + prox.
d=2 N=200, 400, 800 & 1600
Agradecimento
 Colaboradores:









Osame Kinouchi,
Gilson Francisco Lima,
Sebastian Risau-Gusman,
Rodrigo Silva González,
Gisele M. Lourenço,
Cesar Augusto Sangaleti Terçariol,
Wilnice Tavares Reis Oliveira,
Mônica Campiteli
Felipe de Mouta Kiiper
Resultados
 Determinista:
 Possibilidade de boa exploração do meio mesmo com
pouca memória (m << N) utilizando-se somente
informação local
 Estocástico:
 Melhor compromisso entre exploração e comprimento
de caminhadas se dá na temperatura de transição
vítrea.
Trabalhos Futuros
 Determinista:




Resultados analíticos para m > 1 ?
Mudança drástica de comportamento em função de m ?
Melhores simulações numéricas ?
Associação com uma coeficiente de sub-difusão ?
 Estocástico:
 Associação com um coeficiente de (sub-)difusão ?
 Resultados numéricos para m > 1 ?
 Uso em teoria da otimização e como ?