Apresentação do PowerPoint

INEQUAÇÃO
→ Para aprendermos inequação, deveremos conhecer os símbolos
das desigualdades.
Uma sentença matemática em que usa o símbolo ≠ (diferente
de) representa uma desigualdade. Exemplos:
■ 2 + 5 ≠ 10 → a soma de dois e cinco é diferente de dez
■ 3² ≠ 2³ → o quadrado de três é diferente do cubo de dois
■ 2 . 7 ≠ 7² → o dobro de sete é diferente do quadrado de sete
Você pode verificar que:
Se a ≠ b, poderá ocorrer a > b ou a < b
Assim: 2 + 5 < 10
3² > 2³
2 . 7 < 7²
→ Vejamos os símbolos das desigualdades que iremos trabalhar:
< (menor que)
> (maior que)
≥ (maior ou igual que)
≤ (menor ou igual que)
→ Exemplos de desigualdade:
3 > -2
0< 1
2 ≤2
7 ≥ 7
Outro exemplo: Em uma
cidade a temperatura é de -1º C.
Em outra cidade marca 2ºC.
Ou seja, a desigualdade de
temperatura
cidades é representado assim: - 1ºC < 2ºC.
entre
as
duas
→ Inequações:
- Chama-se inequação toda sentença matemática que contém um
ou mais elementos desconhecidos e representa uma desigualdade.
Ex: 3x – 1 < 6
Do mesmo modo que nas igualdades, as desigualdades tem dois
membros.
Em uma inequação, o que vem antes do sinal da desigualdade
chama-se primeiro membro e o que vem depois da desigualdade,
segundo membro.
3x – 1 < 6
1º membro: 3x – 1
2º membro: 6
→ Conjunto Universo: é o conjunto de todos os valores que a
incógnita pode assumir. Simbologia: U
→ Conjunto Verdade: é o conjunto formado pelas soluções dessa
inequação que pertencem ao conjunto universo. Simbologia: V
→ Raiz de uma inequação ou solução de uma inequação
Para verificar se um número é solução da inequação, devemos
substituir a incógnita por esse número. Se a sentença for verdadeira,
o número será solução da inequação.
Verifique se 2 é a raiz da 3x – 1 < 6
Substituindo o x pelo número 2, temos:
3 . 2 – 1 < 6 ↔ 6 – 1 < 6 ↔ 5 < 6 (sentença verdadeira)
Portanto, 2 é raiz da inequação.
Exercício: Sendo o conjunto Universo (U) = {-2, -1, 2, 3}, determine o
conjunto Verdade (V) da inequação abaixo:
2x + 5 < 10
Dado um conjunto universo, teremos que verificar se cada um
elemento desse conjunto satisfaz a inequação. Se a sentença for
verdadeira o número é solução. Se a sentença for falsa o número não
é solução. Observe:
o número – 2, vejamos: 2 . (– 2) + 5 < 10 ↔ – 4 + 5 < 10 ↔ 1 < 10 (V)
o número – 1, vejamos: 2 . (– 1) + 5 < 10 ↔ – 2 + 5 < 10 ↔ 3 < 10 (V)
o número 2, vejamos: 2 . (2) + 5 < 10 ↔ 4 + 5 < 10 ↔ 9 < 10 (V)
o número 3, vejamos: 2 . (3) + 5 < 10 ↔ 6 + 5 < 10 ↔ 11 < 10 (F)
ENTÃO: os números -2, -1 e 2 tornam a inequação verdadeira,
portanto esses números são o conjunto verdade.
V = {-2, -1, 2)
EXERCÍCIOS
1) A sentença matemática 3x – 2 < 1 é uma inequação? Justifique.
2) Porque a sentença (2+10) : (2+4) < 2 + 10 : 2 + 4 não é uma
inequação?
3) Identifique o 1º membro e o 2º membro em cada inequação:
a) 1 – 4x < x + 2
b) x – 1 > x + 1
3
2
3
6
4) Sendo x o número de letras de uma palavra, verifique se a
inequação x < 5 pode ser aplicada à palavra:
a) matemática b) zero c) lado d) área e) quadrado f) par
5) Escreve uma inequação para cada item:
a) O dobro de um número x aumentado de 7 é maior que 20.
b) Dois terços de x é menor que o dobro de y.
c) A diferença entre o quádruplo de x e 1 é maior que 20.
→ Inequação do 1º grau com uma incógnita
Denomina-se inequação do 1º grau com uma incógnita toda
inequação que assume umas das formas:
ax > b
ax < b
ax ≥ b
ax ≤ b, com a ≠ 0
Assim, são inequações do 1º grau com uma incógnita:
3x > 1
2x < - 30
5x ≥ 10
-3x ≤ -60
Resolver uma inequação do 1º grau com uma incógnita significa
determinar os valores do conjunto universo que verificam a
desigualdade que representa essa inequação.
Exemplo: 3x – 1 < 6
3x < 6 + 1
3x < 7 → x < 7
3
→ Inequações equivalentes
Denomina-se inequações equivalentes duas ou mais inequações
que têm o mesmo conjunto verdade em relação ao mesmo conjunto
universo.
3x + 1 > 7
e
3x > 6
são equivalentes?
Vejamos:
1) 3x + 1 > 7 → 3x > 6 → x > 6 → x > 2
3
2) 3x > 6 → x > 6 → x > 2
3
Observem que as duas inequações tem a mesma solução ou tem o
mesmo conjunto verdade. Portanto as duas inequações são
equivalentes.
→ Princípios de Equivalência
1) PRINCÍPIO ADITIVO
■ Consideremos a desigualdade x – 1 < 6. Vamos adicionar o
número 1 aos dois membros da desigualdade:
x–1+1<6+1→ x<7
Observe que a desigualdade têm o mesmo sentido daquela
inicialmente apresentada. Esse fato sempre ocorre quando
adicionamos aos dois membros um número qualquer.
Adicionando o mesmo número aos dois membros de uma
inequação, ou subtraindo, obtemos uma inequação equivalente.
Outro exemplo:
2x + 1 ≤ x – 5 → 2x + 1 – x – 1 ≤ x – x – 1 – 5 → x ≤ – 6
Observem que este princípio é a mesma coisa de passar a incógnita
para o 1º membro e o coeficiente numérico para o 2º membro com
sinais contrários.
→ Princípios de Equivalência
Do exemplo anterior, podemos concluir:
Para passar um termo de um membro para o outro, em uma
desigualdade, devemos trocar o sinal desse termo.
Exemplos: 2x – 5 > 7
2x > 7 + 2
2x > 12
3x + 4 < 20
3x < 20 – 4
3x < 16
2) PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
■ Consideremos a desigualdade 3x < 6. Vamos dividir pelo número 3
aos dois membros da desigualdade:
3x < 6 → 3x < 6 → x < 2
3
3
Observe que a desigualdade têm o mesmo sentido daquela
inicialmente apresentada. Esse fato sempre ocorre quando
multiplicamos ou dividimos aos dois membros um número qualquer.
Multiplicando ou dividindo os membros de uma inequação pelo
mesmo número (diferente de zero), obtemos:
- uma inequação equivalente com o mesmo sinal da desigualdade, se
o número for positivo;
- uma inequação equivalente com o sinal contrário ao da
desigualdade, se o número for negativo.
Exemplos:
■ Considere a inequação: x - 2 > 5
2
multiplicando os membros por 2, obtemos:
2 (x - 2) > 5 . 2 → x – 4 > 10 → mantém o sinal da desigualdade
2
→ x > 10 + 4 → x > 14
■ Considere a inequação: - 5x + 5 > 15
dividindo os membros por - 5, obtemos:
- 5x + 5 > 15 → x – 1 < - 3 → inverte o sinal da desigualdade
-5
-5
Observação:
Quando precisamos multiplicar uma inequação por – 1, deve-se
trocar o sinal de todos os termos pelo seu oposto, e também inverter
o sentido da desigualdade.
Veja o exemplo:
– 6x + 5 > – 7, multiplicando por – 1, obtemos:
6x – 5 < 7 → 6x < 7 + 5 → 6x < 12 → x < 12 → x < 2
6
→ Resolução de uma inequação
Resolver uma inequação do 1º grau com uma incógnita significa
determinar o conjunto verdade ou as soluções da
inequação, no conjunto universo considerado.
Veja o exemplo:
V = {x Є Z | x ≥ 2}
{2, 3, 4, 5, ...} → conjunto das raízes
conjunto universo definido
Observem os exemplos a seguir:
1) Sendo U = Q, resolva a inequação 7x + 6 > 4x + 7.
7x + 6 > 4x + 7 =
= 7x – 4x > 7 – 6 =
= 3x > 1 =
=x>1
3
S ou V = {x Є Q | x > 1 }
3
2) Sendo U = Q, resolva a inequação x ≤ 1 – 2 – 3x.
2
4
5
x ≤ 1 – 2 – 3x → inequação com denominadores diferentes
2
4
5
tira-se o mmc.
= 10x ≤ 5 – 4 (2 – 3x) → corta os denominadores iguais
20
20
20
= 10x ≤ 5 – 4 (2 – 3x) → 10x ≤ 5 – 8 + 12x → 10x – 12x ≤ – 3 =
= - 2x ≤ – 3 → multiplica por – 1 (inverte o sinal da desigualdade)
= 2x ≥ 3 → x ≥ 3
2
V={xЄQ|x≥ 3 }
2
3) Sendo U = Q, resolva a inequação 4 (x - 1) – 2 (x + 1) < 7.
4 (x - 1) – 2 (x + 1) < 7 → 4x – 4 – 2x – 2 < 7 → 2x – 6 < 7 =
= 2x < 7 + 6 → 2x < 13 → x < 13
2
V = { x Є Q | x < 13 }
2
EXERCÍCIOS
1) Sendo U = Q, resolva as seguintes inequações:
a) 5x – 3 (x + 6) > x – 14
b) x – 5 + x < – 1
2
3
c) x – 1 > 1 + x
2
3
d) x > 1 – 2 – x
5
4
2
e) x + 1 ≤ x – 2
4
8
f) x – 1 > – 1 + x – 2
4
6
3
2) Em um recipiente cheio cabem x litros. Se tirarmos 2 litros, a
quantidade que restará no recipiente será menor que 3 da capacidade do recipiente.
5
Monte a inequação correspondente e determine os possíveis
valores de x.
3) O número 3 pertence ao conjunto solução da inequação
1 (x–2)< x - 1
3
2