Revisão dos conceitos básicos

TÉCNICAS DE ANÁLISE DE
DADOS
PTR5802
Técnicas de Análise de Dados Aplicadas à
Engenharia de Transportes
2o. PERÍODO DE 2009
RESPONSÁVEIS:
Prof. José Alberto Quintanilha
Prof. Hugo Pietrantonio
TÉCNICAS DE ANÁLISE DE
DADOS
• INTRODUÇÃO
• REVISÃO
– VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
– DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
USUAIS
– ESTIMAÇÃO E TESTES DE HIPÓTESES
– AMOSTRAGEM
– CORRELAÇÃO
– REGRESSÃO BIVARIADA
TÉCNICAS DE ANÁLISE DE
DADOS
• INTRODUÇÃO
– Objetivos da disciplina
– Programa da disciplina
– Listas
– Provas
– Software
– Bibliografia
• Artigos
• seminários
– Avaliação
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DADOS - revisão
• TIPOS DE VARIÁVEIS
– QUALITATIVAS
• ORDINAIS
• NOMINAIS
– QUANTITATIVAS
• DISCRETAS
• CONTÍNUAS
III – Tipos de variáveis geradoras de
dados (Clóvis de Araújo Peres/SINAPE2006)
Categóricas
Numéricas
Nominal
Ordinal
(classificação)
(classificação)
sexo, raça,
região, grupo
sangüíneo
pressão
sangüínea
(baixa,
normal,
alta)
Discreta
Contínua
(contagem)
(mensuração)
Número de
acidentes,
número de
filhos
Peso,
altura,
pressão
sangüínea
VARIÁVEIS
QUANTITATI-
QUALITATI-
VAS
VAS
Nominal
Ordinal
(s/ordem)
(c/ordem)
Sexo
sim/não
Tem/não tem
Grau
instrução
Opinião
pública
Pequeno/
médio/gran
Discreta
Contínua
(contagem)
(mensuração)
# de
acidentes,
fluxo
veicular,
Peso,
altura,
preço
# de
defeitos
por
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DADOS - revisão
• VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
– INDEPENDENTES x MUTUAMENTE
EXCLUSIVAS
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• DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
USUAIS
–
–
–
–
Normal
Binomial
Poisson
Exponencial
– CONJUNTAS
– CONDICIONAIS
Conceitos:
• Espaço Amostral:
Conjunto de todos os resultados,
inteiros não-negativos, possíveis do experimento;
• Variável Aleatória:
É uma função
numericamente e definida no espaço amostral;
• Histograma:
avaliada
É um dos tipos de gráficos mais
utilizados para representar as frequências de uma variável
aleatória;
Conceitos:
• Distribuições de Probabilidade:
Modelo Estatístico da
ocorrência de valores (aleatórios) de um certo evento;
- Discretas:
A Função Distribuição Cumulativa Discreta é obtida
pelas variáveis aleatórias discretas, que são aquelas que assumem um
conjunto de valores finito ou infinito contável;
- Contínuas:
A Função Distribuição Cumulativa Contínua é obtida
pelas variáveis aleatórias contínuas, que são aquelas que assumem
uma série contínua de valores;
Principais Distribuições Aplicadas aos
Transportes
Principais Distribuições
Aplicadas aos
Transportes
Distribuições
Discretas
Poisson
Geométrica
Distribuições
Contínuas
Normal
Beta
Exponencial
Erlang
Gama
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• Binomial
• Binomial negativa
• Geométrica
• Hipergeométrica
• Normal
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• DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Definição
Considere p a probabilidade de um evento ocorrer em
uma tentativa única (probabilidade de sucesso) e q = 1p a de que o evento não ocorra em qualquer tentativa
única (probabilidade insucesso), então a probabilidade
do evento acontecer exatamente x vezes, em n tentativas
(x sucessos e n-x insucessos) é definida por:
 n  x n x
P(x)   p q
x
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL NEGATIVA
• Para apresentar a distribuição binomial negativa, faremos uma
análise do que foi apresentado na distribuição binomial.
– O ponto de partida é o processo de Bernoulli, definido como
o experimento aleatório cujo espaço amostral tem apenas
dois possíveis resultados mutuamente excludentes
denominados sucesso e falha, sendo  a probabilidade de
sucesso.
– Se o processo Bernoulli for repetido n vezes, considerando
que as experiências são independentes, então a variável
aleatória X que define o número de sucessos do experimento
terá distribuição binomial. Observe que, na distribuição
binomial, o número de experimentos n é definido
antecipadamente.
• Em vez de repetir o experimento um número determinado de
vezes, pode-se estabelecer que o experimento seja repetido até
conseguir o primeiro resultado sucesso. Nesse caso, a variável
aleatória X que define o número de experimentos necessários
até conseguir o primeiro resultado sucesso tem uma
distribuição geométrica.
• Ampliando as premissas da distribuição geométrica, em vez de
repetir o experimento até conseguir o primeiro resultado
sucesso, a distribuição binomial negativa, conhecida também
como Distribuição de Pascal, permite determinar a
probabilidade de que será necessário realizar exatamente n
experimentos para obter x resultados de sucesso com
probabilidade .
DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA
• A distribuição hipergeométrica não é derivada da distribuição
binomial, pois os experimentos são dependentes.
• Numa população composta de N objetos que podem ser
classificados em duas categorias, C1 e C2, de forma que na
população há N1 em C1 e N2 em C2, desejamos retirar uma
amostra sem reposição de n objetos dessa população,
selecionando x objetos de C1 e (n-x) objetos de C2.
TÉCNICAS DE ANÁLISE DE
DADOS - revisão
TÉCNICAS DE ANÁLISE DE
DADOS - revisão
• Normal padrão:
xi - média dos x’s
zi = ------------------------------desvio padrão dos x’s
Onde xi~N(média, d.p.) e zi ~N(0,1)
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• Poisson
• Exponencial
• Gama
• Erlang
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Distribuições Discretas
• Distribuição de Poisson:
n

Pn =
Probabilidade:
e -
n = 0, 1, 2 ...
>0
n!
E(X) = 
e
Var X = 
Aplicação: Esta distribuição é frequentemente usada para
análise do número de chegadas de clientes num tempo
fixado, demanda de um determinado produto etc.
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Número de Dias Observados
Distribuição de Poisson:
80
70
60
50
40
Observada
30
20
10
0
1
Fonte: Novaes (1975)
2
3
4
5
6
7
Número de Návios
8
9 10
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Número de Dias Observados
Distribuição de Poisson:
Teórica
(Poisson)
80
70
60
50
40
Observada
30
20
10
0
1
Fonte: Novaes (1975)
2
3
4
5
6
7
Número de Návios
8
9 10
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Distribuições Contínuas
• Distribuição Exponencial:
Função Densidade de Probabilidade:
f (x) = e -x
E(X) = 1 / 
x 0
com
e
e
>0
Var X = 1 / 2
Aplicação: Esta distribuição é usada para análide do
tempo entre a chegada de clientes, o tempo de duração
de conversas telefônicas e o tempo de vida de
componentes eletrônicos.
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Distribuição Exponencial
Freqüência (no de Navios
Observados)
500
400
300
472
200
261
100
194
115 95
49
0
Fonte: Novaes (1975)
1000
2000
41
3000
17
17
4000
14
19
5000
Quantidade de Carga por Navio (ton)
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Freqüência (no de Navios
Observados)
Distribuição
Exponencial
500
400
Teórica (Exponencial)
300
472
200
261
100
194
115 95
49 41
0
Fonte: Novaes (1975)
1000
2000
3000
17 17 14 19
4000
5000
Quantidade de Carga por Navio (ton)
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Distribuições Contínuas
• Distribuição Gama:
Função Densidade de Probabilidade:
r
r-1 -x
x
e

f(x) =
(r)
com x > 0, r > 0 e  > 0
E(X) = r / 
e
Var X = r / 2
Aplicação: Esta distribuição é útil como uma representção
matemática de fenômenos físicos ou para análide do
tempo total para servir n clientes (independentes),
lembrando que para o tempo de serviço para um
cliente individualmente seja uma distribuição
exponencial.
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2,0
Distribuições Gama

r
1,6
1
8,3
2
7,5
3,75
f(x)
1,2
1
0,8
0,4
0
2
0
4
6
8
10
12
x
Funções densidade de probabilidade Gama para valores selecionados
Fonte: Montgomery (2003)
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• Distribuição Erlang:
Função Densidade de Probabilidade:
r
r-1
-x
x
e

f(x) =
com x > 0, r = 1, 2, 3 ...
(r - 1) !
E(X) = r / 
e
Var X = r / 2
Aplicação: A análise de chegadas por esta distribuição,
engloba o tempo de atendimento e tempo em fila,
Morse (1967). Para r = 1 tem-se uma dist. Exp. E o
processo de chegada é Poissoniano.
Para r
, chega-se a situação determinística.
:
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Distribuições de Erlang
2,0
1,6

1
1
5
1
5
2
f(x)
1,2
r
0,8
0,4
0
2
0
4
6
8
10
12
x
Funções densidade de probabilidade de Erlang para valores selecionados
Fonte: Montgomery (2003)
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• Probabilidade condicional:
P(X e wi)
p(X|wi) = -------------------P(wi)
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• ESTIMAÇÃO E TESTES DE
HIPÓTESES
– Estimadores pontuais e por intervalos
– Comparação entre médias
• Pareado
• Independentes
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• Estimadores pontuais e por intervalos
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• Estimação da média
Objetivo
Estimar a média µ de uma variável aleatória
X, que representa uma característica de
interesse de uma população, a partir de uma
amostra.
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• Vamos observar n elementos, extraídos
ao acaso da população;
• Para cada elemento selecionado,
observamos o valor da variável X de
interesse.
• Obtemos, então, uma amostra aleatória
de tamanho n de X, que representamos
por X1, X2, ..., Xn.
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• Um estimador pontual µ para é dado
por:
X1 + X2+ ...+ Xn
n
Xbarra = -------------------------- = ∑ Xi
n
i=1
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• TEOREMA CENTRAL DO LIMITE
Seja X uma v. a. que tem média µ e
variância σ2. Para amostras X1, X2, ..., Xn,
retiradas ao acaso e com reposição de X,
a distribuição de probabilidade da média
amostral aproxima-se, para n grande, de
uma distribuição normal, com média µ e
variância σ2 / n , ou seja,
Xbarra ~ N(µ; σ2 / n )
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• Comentário:
Se a distribuição de X é normal, então
Xbarra tem distribuição normal .
O desvio padrão √(σ2 / n) = (σ /√ n) é
denominado erro padrão da média.
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• Um estimador intervalar ou intervalo de
confiança para µ tem a forma:
[Xbarra – є; Xbarra + є]
sendo є o erro amostral (margem de erro)
calculado a partir da distribuição de
probabilidade de Xbarra.
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• Seja P(є) = γ, a probabilidade do
intervalo:
[µ – є; µ + є]
conter a média amostral Xbarra numa
distância de, no máximo є, da média
populacional µ (desconhecida), ou seja,
γ=P(| Xbarra - µ |<ou= є)=P(µ – є< Xbarra<µ + є)
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γ=P(| Xbarra - µ |<ou= є)=P(µ – є< Xbarra<µ + є) =
P[– є/(σ /√ n) < (Xbarra-µ)/(σ /√ n) < є/(σ /√ n)] =
P[– є/(σ /√ n) < Z < є/(σ /√ n)] sendo Z ~ N(0,1)
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Fazendo z= є/(σ /√ n):
γ =P(-z< Z<z), γ é o coeficiente de
confiança.
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• O intervalo de confiança para a
estimativa intervalar da média µ, com
coeficiente de confiança γ, é dado por:
[Xbarra – z(σ /√ n); Xbarra + z(σ /√ n)].
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• Estimação para a proporção populacional p
Estimar uma proporção p (desconhecida)
de elementos em uma população,
apresentando certa característica de
interesse, a partir da informação
fornecida por uma amostra.
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DADOS - revisão
• A partir de n elementos, extraídos ao
acaso e com reposição da população,
verificamos, para cada elemento
selecionado, a presença (sucesso) ou não
(fracasso) da característica de interesse.
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• Um estimador pontual p, também
denominado proporção amostral para é
dado por:
Pchapéu= X/n
X = no. de elementos na amostra que
apresentam a característica;
n = o tamanho da amostra coletada.
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• A estimativa intervalar corresponde a um
intervalo determinado da seguinte
maneira:
[Pchapéu – є; Pchapéu + є]
sendo є o erro amostral ou margem de
erro.
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Neste caso:
P(є)= γ =P (| Pchapéu - P |<ou= є é o coeficiente de
confiança.
Como X ~ b(n,p) temos que, para n grande, a variável
aleatória
X-np
Z = ---------√ np(1-p)
tem distribuição N(0,1) e,
Є = z[√p(1-p)/n] e n= (z/ є)2[p(1-p)]
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• Comparação entre médias
• 1. Se um conjunto de medidas(amostra) faz parte de uma
população.
•
1.1 Desvio padrão da população conhecido(teste –z)
•
1.2 Desvio padrão da população desconhecido(teste-t)
2. Se duas amostras são iguais (teste –t)
•
2.1 Comparação entre itens pareados
•
2.2 Amostras independentes
• Para os casos acima: H0: <m1> =<m2>
•
H1: <m1> <m2>
• Veremos depois como podemos verificar se uma média é
maior do que a outra. Estes testes são chamados de testes
direcionais ou testes uni-caudais.
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Método 1 Usando o limite de confiabilidade
Passo zero: Enunciar as hipóteses:
H0: m1= m
H1 ( alternativa: ) m1  m
Primeiro passo: Identificar o tipo de teste
•
•
Desvio padrão conhecido : teste z
Igualdade de médias: teste não direcional
Segundo passo estimar o erro aceitável do tipo I ( alfa) ou
nível de significância. É usual escolher alfa=0,05.Se
possível determinar beta( probabilidade de erro do tipo
2) e
Terceiro passo: coletar os dados ( n observações)
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Método 1 Usando o limite de confiabilidade
Quarto Passo . Calcular o erro padrão (Serro)
ATENÇÃO! USAR O DESVIO PADRÃO DA POPULAÇÃO:
serro =

n
Quinto passo. Calcular os limites de confiabilidade para a média, usando
o valor de z ( z crítico) obtido a partir do valor de alfa escolhido :
inv.normp(alfa/2) do excel.
M+= <m1> + z * Serro e M- = <m1>- z* Serro
Sexto passo. Verificar se a média desejada está dentro dos limites
calculados. Se estiver, aceita-se (não podemos rejeitar H0) H0 m1
=m
Se não estiver, rejeitamos H0 e aceitamos H1 m1  m
Sétimo passo: fazer recomendações...( rejeitar lote, fazer mais medidas,
aceitar lote, trocar fornecedor, trocar equipamento....)
Exemplo:
O diâmetro de uma peça após a nitretação deve ser de 0,2540 cm com
desvio padrão de 0,0001cm. Verifica-se que a média dos diâmetros de
uma amostra com 10 itens é 0,2545 cm. A amostra atende a
especificação?
0 Passo zero: H0: m1= m 0,2545 = 0,2540
H1 ( alternativa: ) 0,2545  0,2540
1. Primeiro passo: Identificar o tipo de teste
a.
Desvio padrão conhecido : teste z
b. Igualdade de médias: teste não direcional
2. Segundo passo estimar o erro aceitável do tipo I ( alfa) ou
nível de significância. alfa=0,05.
3. Terceiro passo: dados (10 observações com m1= 0,2545 cm)
Exemplo cont.
4. Quarto Passo . :
serro =

0,0001

= 3,16228  10-5
n
10
5. Quinto passo Calcular os limites de confiabilidade para a
média, z= 1,96
M+= 0,2545 + 1,96 x Serro e M- = 0,2545- 1,96x Serro
0s limites são : 0,254438 cm e 0,254562 cm.
6. Sexto passo A média desejada (0,2540 cm) não está dentro dos
limites. Rejeitamos H0 e aceitamos H1 m1  m
7. Sétimo passo: fazer recomendações...( rejeitar lote)
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Método 2: usando o valor de z
Até o quarto passo os métodos são idênticos.
Quinto passo Calcular o valor de z (z calculado)
Sexto passo Verificar se o valor de z calculado é maior, em
módulo, do que o valor de z crítico obtido de
inv.normp(alfa). Se for maior, significa que as diferenças
são muito grandes e rejeita-se H0 m1 =m e aceitamos
H1 m1  m
Se for menor, significa que as diferenças são pequenas e
devemos aceitar H0 (Não foi possível rejeitar H0)
Sétimo passo: fazer recomendações...( rejeitar lote, fazer
mais medidas, aceitar lote, trocar fornecedor, trocar
equipamento....)
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Erros na conclusão
TIPO I: Rejeitamos a hipótese nula sendo ela verdadeira ()
 é chamado de nível de significância do teste.
TIPO II : Não rejeitamos a hipótese nula sendo ela falsa ( )
Poder : 1-
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TÉCNICAS DE ANÁLISE DE
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• AMOSTRAGEM
– Obter parte das informações e efetuar inferências
– “processo pelo qual inferências são feitas
examinando-se apenas uma parte do todo”
– vantagens: custo, rapidez, exatidão, amplitude de
informações
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• AMOSTRAGEM: principais fases
– Objetivo do levantamento
– população alvo e população a ser amostrada
– determinação da precisão desejada
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• AMOSTRAGEM: terminologia
– Unidade amostral (ou elementar)
– Universo ou população
– Variável aleatória
– Amostra
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• Levantamentos censitários são levantamentos cujo
resultado (o censo) visa conhecer a totalidade da(s)
característica(s) individuais de cada população.
• Já os levantamentos amostrais tem como resultado,
amostras, definidas como “subconjunto de uma população,
por meio do qual se estabelecem ou estima as propriedades
e características dessa população” (Bolfarine e Bussab,
2005). É o processo pelo qual inferências são feitas
examinando-se apenas uma parte do todo. Tem como
algumas vantagens, um menor custo, uma maior rapidez,
permite o levantamento de uma amplitude maior de
informações com uma exatidão pré-estabelecida.
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• Sucintamente, as principais fases de um levantamento
amostral são:
– a definição do objetivo do levantamento;
– a definição da população alvo a ser estudada e da
população efetivamente a ser amostrada;
– a determinação da exatidão desejada (ou possível).
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• AMOSTRAGEM: técnicas
–
–
–
–
casual simples (com e sem reposição)
sistemática
aleatória estratificada
por conglomerados
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• AMOSTRAGEM: Plano amostral
– dimensionamento da amostra:
a partir de z= є/(σ /√ n), temos: є= zσ /√ n.
O tamanho n da amostra pode então ser
determinado por:
n = (z/e)2σ2
AMOSTRAGEM
• Esquemas de amostragem espacial
CASUAL
SIMPLES
SISTEMÁTICA
ESTRATIFICADA
ALEATÓRIA
ESTRATIFICADA
SISTEMÁTICA
CONGLOMERADOS
ALEATÓRIA
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• PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS
– observação = previsível + aleatória
– aleatória obedece algum modelo de probabilidade
– ferramenta: análise de variância
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• PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS
– “identificar fatores, controláveis, que expliquem o
fenômeno ou alterem a característica de
interesse”
– “identificar estruturas nos dados, permite
conhecer melhor o fenômeno”
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• PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS
– fator versus variável
– níveis do fator (tratamento)
– unidade experimental
– fator fixo versus fator aleatório
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• PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS
– experimentos com um fator fixo e k níveis:
yij = μ + Ti + eij
μ: média geral de todas as observações
Ti: efeito do i-ésimo nível do fator T (cte.)
eij: erro casual não observável
– Hipótese H0: T1 = ..... = Tk = 0
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• PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS
• F.V.
gl
SQ
• entre
k-1
SQE QME QME/QMR
• dentro
• Total
n-k
n-1
SQR QMR
SQT
QM
F0
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• PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS
– Decisão:
rejeita-se H0 se F0 > Fk-1, n-k, α
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• PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS
– experimentos mais complexos (múltiplos fatores,
fatores cruzados e hierárquicos, blocos)
– comparações múltiplas
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• FONTES:
– wwwgen.fmrp.usp.br/rgm5837/2006/Bio_Aula_04_Distr_de_Probabilidade10112
–
–
–
–
–
–
–
–
006.ppt
www.ime.usp.br/~sandoval/mae5755/Estimacao_da_%20Proporcao.pdf
www.ime.usp.br/~sandoval/mae5755/Inferencia%20estatistica.pdf
http://www.ime.usp.br/~sandoval/mae5755/Estimacao_da_%20media.pdf
Curso de Análise Estatística - SINAPE 2006 - Prof. Dr. Clóvis de Araújo
Peres – [email protected]
http://pcc5746.pcc.usp.br/Textos_Tecnicos/PCC%205746%20%20Amostragem%20estat%C3%ADstica.PDF
http://www.materiais.ufsc.br/Disciplinas/metodosestatisticospg/2003/aulaz.ppt
Edições anteriores da disciplina: material do docente e de alunos.
Material sobre correlação e regressão:
www.ime.usp.br/~clelia/MAE116_Biologia/Aula_DescritivaIII.ppt