Atividade 05 - Prof. Henrique M. Cristovão (até 2009)

Faculdades Integradas Espírito-Santenses
Unidade de Computação e Sistemas
Curso de Sistemas de Informação
Disciplina: Lógica Matemática - 2009/2
Prof. Henrique Monteiro Cristovão
Roteiro de Estudos através de Exercícios
Avaliações
Prova
1ª
prova
2ª
prova
3ª
prova
Exercícios
Conteúdo
Representação simbólica
Tabela verdade
Equiv. Notáveis e regras de dedução
Quantificadores, predicados e validade
Lógica de predicados
Referência livro texto
cap 1:
seções 1.1 e 1.2
cap 1:
seção 1.3, 1.4 e 1.5
18 a 25
Álgebra booleana
Simplificação pelo método algébrico
Aplicação em expressões algoritmicas
cap 7:
seção 7.1
26 a 30
1 a 17
Bibliografia básica
GERSTING, Judith L. Fundamentos matemáticos para a ciência da computação: um tratamento moderno de
matemática discreta. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004. Capítulos 1 e 7.
Exercícios referentes à primeira avaliação: 1 a 17.
1. Classifique os argumentos abaixo em ( I ) para indutivo e ( D ) para dedutivo.
( )
Premissa : "Todo homem é mortal."
Premissa : "João é homem."
Conclusão : "João é mortal."
( )
Premissa : "É comum após a chuva ficar nublado."
Premissa : "Está chovendo."
Conclusão: "Ficará nublado."
( )
Premissa : "As aves tem penas."
Premissa : "Urubu é um animal que tem bico."
Premissa : "Animal que tem bico é uma ave."
Conclusão: "Urubu tem pena."
( )
Premissa : "A maioria das aves voam."
Premissa : "Galinha é uma ave."
Conclusão: "Galinha voa."
2. Dadas as proposições e os seus respectivos valores lógicos, ‘A’ verdadeiro, ‘B’ falso e ‘C’ verdadeiro,
qual o valor lógico de cada uma das fbfs (fórmulas bem formuladas) a seguir?
a.
b.
c.
d.
a ^ (b v c)
(a ^ b) v c
(a ^ b)’ v c
a’ ^ (b’ v c)’
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3. Qual o valor lógico de cada uma das proposições a seguir?
a.
b.
c.
d.
8 é par ou 6 é ímpar.
8 é par e 6 é ímpar.
8 é ímpar ou 6 é ímpar.
8 é impar e 6 é ímpar.
4. Sejam a, b e c as seguintes proposições: a: rosas são vermelhas; b: violetas são azuis; c: açúcar é
doce. Represente simbolicamente cada uma sentença a seguir:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Rosas são vermelhas e violetas são azuis.
Rosas são vermelhas e, violetas são azuis ou açúcar é doce.
Rosas não são vermelhas e violetas não são azuis.
Rosas não são vermelhas ou violetas não são azuis.
É falso afirmar que: rosas são vermelhas e violetas são azuis.
É falso afirmar que: rosas são vermelhas ou violetas são azuis.
5. Encontre o antecedente e o conseqüente da cada uma das proposições a seguir.
a.
b.
c.
d.
e.
Se o sistema não inicia é porque a memória está ruim ou o HD com defeito
O crescimento sadio das plantas é conseqüência da quantidade suficiente de água.
O aumento da disponibilidade de informação é uma condição necessária para um maior
desenvolvimento tecnológico.
Serão introduzidos erros apenas se forem feitas modificações no programa.
A economia de energia para aquecimento implica boa insulação ou vedação de todas a
janelas.
6. Para cada uma das proposições a seguir, faça a representação simbólica segundo a lógica
proposicional. Use a: o salário é do nível A; b: o salário possui dedução; c: o salário tem bônus.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
Se o salário possui dedução então ele é do nível A e tem bônus.
O salário tem bônus se e somente se não for no nível A.
É falso afirmar que: o salário tem bônus e também tem dedução.
É necessário que o salário tenha dedução para que seja do nível A.
A condição suficiente para que o salário tenha dedução é que ele seja do nível A.
Não é verdade que: se o salário tem dedução é porque ele é do nível A.
Ou o salário é do nível A, ou ele não tem dedução, ou ele possui bônus.
7. Escreva cada uma das proposições compostas a seguir em notação simbólica usando letras de
proposição para denotar as componentes.
a.
b.
c.
d.
e.
Se o cavalo estiver descansado, o cavaleiro vencerá.
O cavaleiro vencerá apenas se o cavalo estiver descansado e a armadura for forte.
Um cavalo descansado é uma condição necessária para o cavaleiro vencer.
O cavaleiro vencerá se e somente se a armadura for forte.
Um condição suficiente para o cavaleiro vencer é que a armadura seja forte ou o cavalo esteja
descansado.
8. Escreva em português a negação de cada fbf (fórmula bem formulada) a seguir:
a.
b.
c.
d.
e.
Se a comida é boa então serviço é excelente.
Ou a comida é boa, ou o serviço é excelente.
Ou a comida é boa e o serviço é excelente, ou então está caro.
Nem a comida é boa, nem o serviço é excelente.
Se é caro, então a comida é boa e o serviço é excelente.
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9. Verifique se as seguintes equivalências são válidas.
Sugestão: faça a tabela verdade de cada expressão (lado esquerdo e lado direito) em seguida conclua
que a equivalência é válida se e somente se os resultados das duas tabelas for exatamente iguais.
a.
b.
c.
d.
e.
a  b  a’ v b
a  b  (a  b)  (b  a)
a  b  b’  a’
(a  b)’  a’  b’
(a  b)’  a’ v b’
f.
g.
h.
(a v b)’  a’  b’
a v (b  c)  (a v b)  (a v c)
a  (b v c)  (a  b) v (a  c)
10. Marque os itens equivalentes a x  y.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
m.
Se x então y
Se acontecer x então acontecerá y.
x é condição suficiente para que y aconteça.
y é condição necessária para que x aconteça.
x é suficiente para y
y é necessário para x
Acontece x apenas se acontecer y.
x acontece se e somente se acontecer y.
Se y então x
Se não acontecer y então não acontece x
Se não acontecer x então acontece y
Ou não acontece x ou acontece y
É falso afirmar que: acontece x e não acontece y
11. Construa tabelas verdades para as fbfs a seguir e classifique-as como tautologia, contradição ou
contingência.
a.
a  b  a’ v b
b.
c.
d.
e.
(p  (q  (q  p))
c’  b  a’  c
(c  b)’  a’  c ^ b
((a’  b’)  b  a)’
12. Você está viajando em um pais onde todo habitante ou fala sempre a verdade ou é um mentiroso que
sempre mente. Então estude cada situação abaixo:
a.
b.
c.
Você encontra dois habitantes desse país Percival e Levelim. Percival diz “Pelo menos um de
nós é mentiroso”. Percival é mentiroso ou está dizendo a verdade? E Levelim?
Como sugestão, crie as seguintes proposições e escreva simbolicamente o problema:
P : Persival só diz verdade.
P’ : Persival só diz mentira.
L : Levelim só diz verdade.
L’ : Levelim só diz mentira.
Você encontra Merlim e Meredith. Merlim diz: “Se sempre digo a verdade, então Meredith
sempre diz a verdade”. Merlim é mentiroso ou está dizendo a verdade? E Meredith?
Você encontra Rotvold e Gremilim. Rotvold diz: “Ou sou mentiroso ou Gremilim sempre diz a
verdade”. Rotvold é um mentiroso ou está dizendo a verdade? E Gremilim?
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13. Verifique a validade dos argumentos através da tabela verdade.
a.
A condição suficiente para que a caixa d’água encha é que a válvula esteja aberta. Sabe-se
que a válvula está aberta. Portanto a caixa d’água vai encher.
b.
A existência de oxigênio é condição necessária para que exista vida. Não existe vida. Logo
não existe oxigênio.
c.
Domingo, se fizer sol Maria vai à praia. Passado domingo, observaram que ela não foi à praia.
Então conclui-se que não fez sol.
d.
Seu celular recebe torpedo se e somente se estiver ligado. Seu celular não está recebendo
torpedo. Então pode-se concluir que seu celular não está ligado.
e.
Se está chovendo é porque está nublado. Está nublado. Conclui-se que está chovendo.
f.
O monitor da cliente segue o padrão de cores KWR ou o padrão 2TW. Após uma observação
pode-se constatar, com certeza, que o monitor não segue o padrão 2TW. Logo, pode-se
concluir que o padrão de cores do monitor do cliente é o KWR.
g.
Se a variável ‘Valor’ recebe 5 então o comando é executado. Se o comando é executado então
o alerta acende. Portanto se a variável ‘Valor’ recebe 5 o alerta acende.
Se o cabo da rede está desconectado então não há transmissão de dados. Sabe-se que ou o
cabo está desconectado ou o sistema operacional não funciona. Sabe-se também que existe
transmissão de dados. Portanto o sistema operacional não funciona.
h.
14. Diga qual o nome da regra de inferência ou equivalência notável que foi usada em cada um dos
argumentos a seguir:
a.
Se o drive está ruim então o disquete está bom. Sabe-se que o drive está ruim. Então o
disquete está bom.
b.
Se o show deu muita gente então é porque fez sol. Mas, sabe-se que não fez sol. Portanto o
show não deu muita gente.
c.
Ou a porta ou a janela estão abertas. A porta não está aberta. Conclui-se que a janela está
aberta.
d.
O livro de programação Java tem 1000 páginas. Então podemos afirmar que o livro de
programação Java tem 1000 páginas ou então programar Java é fácil.
e.
A moqueca não pode ser feita nem de Baiacu e nem de Cação. Isto é equivalente a dizer que
é falso afirmar que: a moqueca é feita de Baiacu ou de Cação.
f.
Se chover a terra fica molhada. Se a terra ficar molhada as plantas gostam. Então pode-se
concluir que se chover a plantas gostam.
g.
Eu vou comer pastel com refrigerante ou caldo. Isto é equivalente a falar que eu vou comer
pastel com refrigerante, ou comer pastel com caldo.
15. Para cada argumento válido a seguir, justifique cada passo de sua prova com o nome das regras de
inferências e equivalências notáveis usadas.
a. Argumento válido: (a’  b’) ^ b  a v c
Prova:
1. a’  b’
2. b
3. a
4. a v c
4/14
b. Argumento válido: (a’  b) ^ a’ ^ (b’ v c)  c
Prova:
1. a’  b
2. a’
3. b’ v c
4. b
5. c
c. Argumento válido: (b’ v c’) ^ (a’ ^ c  d) ^ (a v c’  b ^ c)  (d’ ^ e)’
Prova:
1. b’ v c’
2. a’ ^ c  d
3.
a v c’  b ^ c
4. (b ^ c)’
5. (a v c’)’
6. a’ ^ c
7. d
8. d v e’
9. (d’ ^ e)’
d. Argumento válido: (a v b’) ^ (a  c)  (b  c)
Prova pela técnica da condicional:
1. a v b’
2. a  c
3. b
4. a
5. c
6. b  c
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Use a seguinte tabela com as principais equivalências notáveis e regras de inferência para resolver os
exercícios 16 e 17:
Equivalências notáveis:
a’’  a
dupla negação
a v (b  c)  (a v b)  (a v c)
a  (b v c)  (a  b) v (a  c)
distributividade
(a  b)’  a’ v b’
(a v b)’  a’  b’
leis D’Morgan
a  b  a’ v b
condicional
a  b  b’  a’
contraposição
a  b  (a  b)  (b  a)
bicondicional
Regras de inferência:
(a  b)  a  b
modus ponens (em Latim: modo de afirmar)
(a  b)  b’  a’
modus tollens (em Latim: modo que nega)
(a v b)  a’  b
silogismo disjuntivo
(a  b)  (b  c)  (a  c)
silogismo hipotético
aavb
adição
aba
simplificação
abab
conjunção
16. Usando regras de inferência e equivalências notáveis prove a validade dos seguintes argumentos:
a.
(a’  b) ^ b’  a
b.
(a ^ c’  b’) ^ a ^ c’  b’
c.
(p  q) ^ (r  q’)  (r  p’)
d.
(p  q ^ r) ^ p ^ (t  q’) ^ (t v s)  s
e.
(r’  q) ^ t’ ^ (s’  q’)  (t v s’  r)
f.
(a V j  g) ^ (j  g’ ^ h’) ^ (j v b)  (a  b)
17. Usando regras de inferência e equivalências notáveis prove a validade dos seguintes argumentos: :
a.
Se o anuncio for bom, o volume de vendas aumentará. Ou o anúncio é bom ou a loja vai
fechar. O volume de vendas não vai aumentar. Portanto, a loja vai fechar.
b.
Se Jane é a mais popular, ela será eleita. Se Jane é a mais popular, então Carlos vai renunciar.
Portanto, se Jane é a mais popular, ela será eleita e Carlos renunciará.
c.
A colheita é boa mas não há água suficiente. Se houver muita chuva ou se não houver muito
sol então haverá água suficiente. Portanto a colheita é boa e há muito sol.
d.
Estudar Álgebra é condição suficiente para que eu fique inteligente. Ou eu estudo Álgebra ou
eu descanso. Se eu descanso então não estudo para Lógica Matemática. Mas se eu ficar
inteligente então serei aprovado em Lógica Matemática. Portanto se eu estudar Lógica
Matemática eu terei média suficiente para ser aprovado em Lógica Matemática.
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e.
Se Maria disse a verdade, João mentiu e Carlos também mentiu. Se Carlos mentiu, Regina
falou a verdade. Se Regina falou a verdade, então Lógica Matemática é difícil. Ora, Lógica
Matemática não é difícil. Logo, podemos concluir que Maria mentiu e Regina também mentiu.
f.
Não é verdade dizer que: ou Marcelo é sábio ou não é inteligente. Marcelo é sábio ou gosta de
Matemática. Se ele é inteligente então é belo. Se gosta de Matemática e é belo então ele é feliz
e belo. Portanto Marcelo é belo e feliz.
g.
A condição necessária para eu ir a aula amanhã é eu acordar cedo amanhã. Se eu for a festa
hoje à noite eu ficarei lá até tarde. Se eu ficar até tarde na festa e acordar cedo amanhã eu sou
forçado a dormir apenas 5 horas. Eu simplesmente não posso dormir somente 5 horas. Por isso
eu tenho que perder a aula de amanhã ou deixar de ir a festa hoje.
h.
Se o aluno estuda ou não faz perguntas nas aulas, então ele obterá uma boa aprendizagem. Se
ele não faz perguntas nas aulas então ele não tem uma boa aprendizagem e também é
considerado um aluno apático. Sabe-se que ou ele tira uma boa nota ou não faz perguntas na
aula. Portanto se o aluno estuda então ele tira uma boa nota.
i.
Ou Suely e Bento possuem a mesma idade ou Suely é mais velha do que Bento. Se Suely e
Bento tem a mesma idade então Norma e Bento não tem a mesma idade. Se Suely é mais
velha do que Bento então Bento é mais velho do que Walter. Portanto, ou Norma e Bento não
tem a mesma idade ou Bento é mais velho que Walter.
j.
A Rússia era uma potência superior e ou a França não era suficientemente poderosa, ou
Napoleão cometeu um erro. Napoleão não cometeu um erro, mas, se o exército não perdeu,
então a França era poderosa. Portanto, o exército perdeu e a Rússia era uma potência superior.
k.
Não é verdade que: se as tarifas de energia elétrica subirem, então o uso diminuirá, nem é
verdade que: novas usinas elétricas serão construídas ou as contas não serão pagas com
atraso. Portanto o uso não vai diminuir e as contas serão pagas com atraso.
l.
Se José levou as jóias ou Sr. Krasov mentiu, então foi cometido um crime. O Sr. Krasov estava
na cidade. Se um crime foi cometido, então Sr. Krasov não estava na cidade. Portanto José não
levou as jóias.
m. Se meu cliente fosse culpado, a faca estaria na gaveta. Ou a faca não estava na gaveta ou
Jason viu a faca. Se a faca não estava lá no dia 10 de outubro então Jason não viu a faca.
Além disso, se a faca estava lá no dia 10 de outubro, então a faca estava na gaveta e o martelo
estava no celeiro. Mas todos sabemos que o martelo não estava no celeiro. Portanto, senhoras
e senhores, meu cliente é inocente.
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Exercícios referentes à segunda avaliação: 18 a 25.
18. Determine o valor lógico de cada uma das fbfs a seguir.
Use a interpretação:
U = conjunto dos inteiros
I(x): x é ímpar
G(x): x > 9
a. (x) I(x)
b. (x) [ G(x)  I(x)]
c. (x) ( I(x) ^ G(x)]
d. (x) [ I(x) v G(x)]
19. Usando os símbolos predicados indicados e quantificadores apropriados, escreva cada declaração em
português como uma fbf predicada:
U = dias.
S(x): x está fazendo sol.
C(x): x está chovendo.
M(x): x é segunda-feira
T(x): x é terça-feira.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
Todos os dias está fazendo sol.
Alguns dias está chovendo.
Alguns dias está fazendo sol e chovendo.
Toda segunda-feira chove.
Algumas terças-feiras que faz sol, também chove.
Nenhum dia faz sol.
Faz sol toda segunda e terça.
Todo dia que não está fazendo sol está chovendo.
20. Determine o valor lógico de cada uma das fbfs a seguir.
U = conjunto dos inteiros.
a.
b.
c.
d.
(x)(y) (x + y = x)
(y)(x) (x + y = x)
(x)(y) (x + y = 0)
(y)(x) (x + y = 0)
21. Usando os símbolos predicados indicados e quantificadores apropriados, escreva cada declaração em
português como uma fbf predicada:
U = mundo inteiro.
A(x): x é abelha.
F(x): x é flor.
G(x,y): x gosta de y.
a.
b.
c.
d.
Todas as abelhas gostam de todas as flores.
Algumas abelhas gostam de todas as flores.
Todas as abelhas gostam de algumas flores.
Algumas abelhas gostam de algumas flores.
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22. Usando os símbolos predicados indicados e quantificadores apropriados, escreva cada declaração em
português como uma fbf predicada:
U: todos os carros
W(x): x é Wolkswagen
F(x): x é Ford
C(x): x é Chevrolet
I(x): x é Fiat
M(x,y): x é mais rápido do que y
P(x,y): x tem preço maior do que y
E(x,y): x é mais econômico do que y
T(x): x tem tecnologia avançada
A(x): x tem freio ABS
a. Existem carros Chevrolet que tem freios ABS.
b. Existem carros que têm freio ABS e ao mesmo tempo não têm tecnologia avançada.
c. Todos os carros que tem freio ABS têm tecnologia avançada.
d. Existem carros com tecnologia avançada que têm preço maior do que alguns outros que tem
freio ABS.
e. Todos os carros que são mais rápidos do que alguns outros, têm também preço maior do
que estes.
f. Os carros Wokswagen são mais econômicos apenas do que os da Chevrolet.
g. Nenhum carro Fiat tem freio ABS.
h. Nenhum carro Wolkswagen tem ao mesmo tempo tecnologia avançada e freio ABS.
23. Usando os símbolos predicados indicados e quantificadores apropriados, escreva cada declaração em
português como uma fbf predicada:
U: todas as variáveis globais de um programa de computador
M(x,y): x é maior que y
I(x): x é to tipo inteira
S(x): x é do tipo string
R(x): x é uma variável do tipo real
C(x): x é menor do que 100
a : é a variável denominada ‘a’
a. Todas as variáveis são menores do que 100.
b. Existem variáveis do tipo string
c. Todas as variáveis ou são inteiras, ou reais ou string.
d. Existem variáveis inteiras que são maiores do que todas reais.
e. Apenas variáveis menores que 100 são reais.
f. A variável ‘a’ é do tipo string ou real.
g. Nenhuma variável é menor do que 100.
h. Todas as variáveis reais são maiores do que a variável ‘a’.
24. Usando a lógica de predicados, prove que cada argumento a seguir é válido.
a. Todos os homens são mortais. Sócrates é humano. portanto, Sócrates é mortal.
b. Todos os homens são mortais. Deus não é mortal. Logo Deus não é humano.
c. Todos os peixes que comem algas comem também ração. Sabe-se que todos os peixes
comem algas, Logo todos os peixes comem ração.
d. Algumas plantas são flores. Todas as flores têm cheiro doce. Portanto, algumas plantas têm
um cheiro doce.
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e. Existe um astrônomo que não é míope. Todo mundo que usa óculos é míope. Além disso,
todo mundo ou usa óculos ou usa lentes de contato. Portanto existe um astrônomo que usa
lentes de contato.
f.
Todos os membros do conselho vêm da indústria ou do governo. Todos que vêm do governo
e são advogados são a favor da moção. João não vem da indústria mas é advogado.
Portanto, se João é um membro do conselho, ele é a favor da moção.
g. Existe um ator de cinema que é mais rico que todo mundo. Qualquer pessoa que é mais rica
do que todo mundo paga mais impostos do que todo mundo. . Portanto existe um ator de
cinema que paga mais impostos do que todo mundo.
h. Todo estudante de Ciência da Computação trabalha mais do que algumas pessoas. Todos
mundo que trabalha mais do que qualquer pessoa, dorme menos do que essa pessoa. Maria
é uma estudante de Ciência da Computação. Portanto, Maria dorme menos do que alguém.
i.
Todo embaixador conversa apenas com diplomatas e alguns embaixadores conversam com
alguém. Portanto, existe algum diplomata.
j.
Todo crocodilo é maior do que qualquer jacaré. Samuca é um crocodilo. Mas existe uma
serpente e Samuca não é maior do que essa serpente, Portanto alguma coisa não é um
jacaré.
25. Usando seu conhecimento sobre lógica de predicados e lógica dedutiva, analise e argumente o porquê
da validade ou não dos argumentos.
a. Deus é amor.
O amor é cego.
Steve Wonder é cego.
Logo, Steve Wonder é Deus.
b. Deus ajuda quem cedo madruga.
Quem cedo madruga, dorme à tarde...
Quem dorme à tarde, não dorme à noite...
Quem não dorme à noite, vai pra balada!!!!!!!
Conclusão: Deus ajuda quem vai pra balada!!!!!!
c. Imagine um pedaço de queijo suíço, daqueles bem cheios de buracos.
Quanto mais queijo, mais buracos.
Cada buraco ocupa o lugar em que haveria queijo.
Assim, quanto mais buracos, menos queijo.
Quanto mais queijos mais buracos, e quanto mais buracos,menos queijo.
Logo, quanto mais queijo, menos queijo.
d. Toda regra tem exceção.
Isto é uma regra.
Logo, deveria ter exceção.
Portanto, nem toda regra tem exceção.
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e. Existem biscoitos feitos de água e sal.
O mar é feito de água e sal.
Logo, o mar é um biscoitão.
f.
Quando bebemos, ficamos bêbados.
Quando estamos bêbados, dormimos.
Quando dormimos, não cometemos pecados.
Quando não cometemos pecados, vamos para o Céu.
Então, vamos beber para ir pro Céu!
g. Hoje em dia, os trabalhadores não têm tempo pra nada.
Já os vagabundos... têm todo o tempo do mundo.
Tempo é dinheiro.
Logo, os vagabundos tem mais dinheiro do que os trabalhadores.
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Exercícios referentes à terceira avaliação: 26 a 30.
26. A partir da definição de Álgebra de Boole [B,+,,’,0,1], avalie quais dos sistemas algébricos a
seguir são álgebra de Boole?
a. B = conjunto de todos os conjuntos
[B, , , complementar, , universo]
b. B = conjunto de todas as fbfs proposicionais
[B, v, ^, ‘, contradição, tautologia]
c. B = conjunto dos números inteiros
[B, soma, multiplicação, negativo, 0, 1]
d. B = conjunto dos interruptores
[B, associação em paralelo, associação em série, interruptor inversor, interruptor sempre
aberto, interruptor sempre fechado]
e. B = {0,1}
[B, função máximo de 2 valores, função mínimo de 2 valores, função: (0 se 1, 1 se 0), 0, 1]
Exemplos da função máximo de dois valores:
Exemplos da função mínimo de dois valores:
1+0 = 1
1+1 = 1
0+0 = 0
11 = 1
10 = 0
27. Prove pelo método algébrico a validade das seguintes propriedades.
Precedência dos operadores:
1º) ’
2º) .
3º) +
Use as propriedades:
a + bc = (a + b)(a + c)
a (b + c) = ab + ac
distributividade
a + a’ = 1
aa’ = 0
complementares
a+0=a
a.1=a
elemento neutro
(a + b)’ = a’b’
(ab)’ = a’ + b’
leis De’Morgan
toda expressão válida pode ter o ‘0’ substituído por ‘1’, o ‘+’
substituído por ‘.’ e vice-versa que ela continuará válida
dualidade
a’’ = a
dupla negação
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Use também os itens anteriores que já foram provados.
Obs.: os itens b, f e k são mais difíceis.
a. 0’ = 1
b. x + x = x
(propriedade da idempotência)
c. x  x = x
d. x + 1 = 1
e. x  0 = 0
f.
a + ab = a
(propriedade da absorção)
g. a(a + b) = a
h. a + a’b = a + b
i.
a(a’ + b) = ab
j.
ab + ab’ = a
k. y’x + x + (y + x)y’ = x
l.
x + y’ = x + (x’y + xy)’
Resumo com algumas propriedades importantes da álgebra de Boole:
a + bc = (a + b)(a + c)
a (b + c) = ab + AC
distributividade
a + a’ = 1
aa’ = 0
complementares
a+0=a
a.1=a
elemento neutro
(a + b)’ = a’b’
(ab)’ = a’ + b’
leis De’Morgan
a+a=a
a.a=a
idempotência
a + ab = a
absorção
a+1=1
a.0=0
prop. 1
ab + ab’ = a
prop. 2
a + a’b = a + b
prop. 3
28. Simplifique ao máximo as seguintes expressões booleanas.
a.
x’ + xy’ + xyz + xy’z’
b.
f + g + h + f’g’h’
c.
ab + ac + abc + ab’c’
d.
(a + b’)(b + c’)(c + d’) (d + a’)
13/14
e.
(a + b)(b + c)(c + a)
f.
a’b’c’ + a’bc’ + a’bc + a’b’c
g.
a(b’c(b’(a + a’c)) + bc’)’
h.
a + ac’ + b + bc’ + c + ab’
i.
bc’ + a’ + b’ + bc’ + a’ + a’c + a’
29. Escreva as expressões condicionais do Java de formas diferentes mas equivalentes.
a.
!(idade >= 18 && idade < 65)
b.
x > 5 || y > 4 && x > 5
c.
!salario > 1000 && !filhos > 3
30. Usando a álgebra boolena simplifique cada um dos trechos de programa escritos em Java a seguir:
a.
if(observ < valorMed && !(observ < valorMed &&
valorRef < valorTabela))
executaMetodo();
b.
if(ref < valorMedido && !(ref < valorMedido && valRef < valorTabela)
|| ref < valorMedido)
executaMetodo();
c.
if(!((valor > 100) || ((valor <= 100) && (contador > 0))))
executaMetodo();
d.
if(pressão < 1000 || fluxoDeSaida > fluxoDeEntrada &&
!(fluxoDeSaida > fluxoDeEntrada && pressão < 1000) ||
fluxoDeSaida > fluxoContinuo)
executaMetodo();
e.
if((volume < nivelBasico && baseSolida > 500 && colaAbsorvida < 16)
|| volume < nivelBasico)
executaMetodo();
f.
if((liquido < 1000 && base < 500 && cola < 16) || liquido >= 1000
|| base >= 500)
executaMetodo();
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