Análise Combinatória

Análise Combinatória
Fatorial de um número:
n!=n.(n-1).(n-2)...3.2.1
Definições especiais:
0!=1
1!=1
Exemplo:
( x  1)!
 56.
( x  1)!
( x  1)!
( x  1)( x)( x  1)!
 56 
 56  ( x  1)( x)  56  x 2  x  56 
( x  1)!
( x  1)!
2) Resolva a equação
x  7
 1  225
 1  15
 x

2
2
x  -8
Resposta : x  7, pois não existe fatorial de um número negativo.
 x 2  x  56  0  x 
Agora é com você!
Quatro times de futebol (Grêmio, Santos, São Paulo e Flamengo) disputam o torneio dos
campeões do mundo. Quantas são as possibilid ades para os três primeiros lugares?
R : Existem 4 possibilid ades para o 1º lugar, sobrando 3 possibilid ades para o 2º lugar e 2
possibilid ades para o 3º lugar 
4.3.2  24 possibilid ades.
Arranjo simples:
An, p
n!

(n  p)!
Exemplo
4) Calcule
A6, 2  A4,3  A5, 2
A9, 2  A8,1
A6, 2  A4,3  A5, 2
A9, 2  A8,1
.
6!
4!
5!


(6  2)! (4  3)! (5  2)! 30  24  20 34 17




9!
8!
72  8
80 40

(9  2)! (8  1)!
Permutação Simples
• É um caso particular de arranjo simples. É
o tipo de agrupamento ordenado onde
entram todos os elementos.
•
Pn  n!
Exemplo
Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados por 1,2,3,5 e 8?
P5  5! 5.4.3.2.1  120 números.
Combinação Simples
• Cn,p =
n!
p!n  p !
Exemplo:
Numa reunião com 7 rapazes e 6 moças, quantas comissões podemos formar com 3
rapazes e 4 moças?
RAPAZES - C7 ,3
MOÇAS - C6, 4
O resultado é o produto C7 ,3 .C6, 4 .
7!
6!
7.6.5.4! 6.5.4! 210 30
.

.

.  35.15  525 comissões.
3!(7  3)! 4!(6  4)!
3!.4! 4!.2!
3! 2
Distinguindo Permutações, arranjos e combinações simples
Critério de Formação
Tipo de Agrupamento
Nome do
AGRUPAMENTO
Só ordenar os
elementos(todos)
Ordenado
Permutação
Só escolher os
elementos
Não-ordenado
Combinação
Escolher e ordenar os
elementos escolhidos
Ordenado
Arranjo
Ou seja:
• Arranjos são os agrupamentos que
diferem pela ordem e pela natureza de
seus elementos.
• Combinações são os agrupamentos que
diferem pela natureza de seus elementos.
• Permutações são os agrupamentos que
diferem apenas pela ordem de seus
elementos.
Ex1. Com os algarismos 1,2,3,4,5 e 6, quantos números naturais de 4
algarismos distintos podemos formar?
• Observe que os agrupamentos 1234 e
4231 diferem apenas pela ordem de seus
elementos enquanto que 1234 e 2456
diferem tanto pela ordem como pela
natureza de dois de seus elementos.
• Portanto esse tipo de problema é
classificado como Arranjo Simples.
• Pelo PFC temos, 6.5.4.3=360 números de
4 algarismos distintos.
Ex2. Entre os professores André,Douglas, Zuza, Sandro e Gilberto deseja-se formar uma
comissão com 3 professores para representar os colegas numa reunião com a diretoria
da escola. De quantas maneiras diferentes esta escolha pode ser feita?
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Conjunto dos professores: A,D,Z,S,G
Algumas combinações possíveis:
(A,D,S), (D,G,S), (Z,S,G)....
Observe que (A,D,S) e (D,S,A) representam a mesma comissão: a ordem
dos elementos não altera a comissão.
As comissões só diferem se mudarmos a natureza de seus elementos.
(D,G,S) e (Z,S,G) diferem pela natureza de dois de seus elementos,
portanto esse tipo de problema é como combinação simples.
É importante observar que um agrupamento qualquer, com três
elementos,pode ser representado, nesse caso por 6 modos diferentes:
(A,D,S) = (A,S,D) = (D,A,S) = (D,S,A) = (S,A,D) = (S,D,A).
Portanto, ao aplicar o PFC, devemos dividir o resultado por 6.
Pelo PFC, 5.4.3=60 e dividindo este resultado por 6, temos 10 comissões
diferentes.
Ex3. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os
algarismos 5,6 e 7?
• Pelo PFC, temos 3.2.1 = 6números de três
algarismos.
• Os resultados possíveis são :
567,576,657,675,756 e 765.
• Observe que 567 e 756 se diferem apenas
pela ordem de seus elementos.
• Como não podemos repetir elementos,
esse tipo de agrupamentos é classificado
como Permutação Simples.
Permutação com Repetição
 ,  ,  ,.....
• Pn =
• Onde n é o número de elementos e  ,  ,  ,.....o
número de repetições.
• Ex.:
• A palavra BANANA possui quantos
anagramas?
n!
 !  ! !....