probabilidade_aula_3

Analise combinatória:
Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a
construção de grupos diferentes formados por um número finito de elementos
de um conjunto sob certas circunstâncias.
Principio fundamental da contagem:
Quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de
tal forma que as possibilidades da primeira etapa é m e as possibilidades da
segunda etapa é n, consideramos então que o número total de possibilidades
de o evento ocorrer é dado pelo produto m x n. Se o evento for formado por
eventos independentes ele será a soma das possibilidades da primeira e
segunda etapa, n + m.
Exemplo1:
Eu possuo 4 pares de sapatos e 10 pares de meias. De quantas maneiras
poderei me calçar utilizando um par de meias e um de sapatos?
Solução:
Pelo princípio fundamental da contagem temos que multiplicar 4, que é o
número de elementos do primeiro conjunto, por 10 que corresponde ao número
de elementos do segundo conjunto.
Portanto:
4 x 10 = 40
Poderei me calçar de 40 maneiras diferentes.
Exemplo2:
Quantos são os números naturais de dois algarismos que são múltiplos
de 5?
Solução:
Como o zero à esquerda de um número não é significativo, para que tenhamos
um número natural com dois algarismos ele deve começar com um dígito
de 1 a 9, temos portanto 9 possibilidades.
Para que o número seja um múltiplo de 5, o mesmo deve terminar em 0 ou 5,
portanto temos apenas 2possibilidades.
A multiplicação de 9 por 2 nos dará o resultado desejado.
Logo:
9 x 2 = 18
São 18 os números naturais de dois algarismos que são múltiplos de 5.
Exemplo3:
Quantas senhas com 3 algarismos podemos formar que não comecem
com 16?
Solução:
Neste exemplo iremos fazer o cálculo em duas partes. Primeiro iremos calcular
quantos são os números com três algarismos.
Algarismos = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}= 10 dígitos.
Como neste caso na primeira posição podemos ter o dígito zero, trata-se de
senhas e não números, o número de possibilidades para cada posição é
respectivamente: 10, 10 e 10.
Portanto temos 1000 senhas com três dígitos.
Agora vamos calcular quantos deles começam com 16.
Para a primeira posição temos apenas uma possibilidade, o dígito 1. Para a
segunda temos 1, pois serve o dígito 6.
Para a terceira e última posição temos todos os dígitos possíveis, ou
seja, 10 possibilidades.
Multiplicando tudo temos 10.
Logo, subtraindo 10 de 1000 obtemos 990.
Existem 990 números naturais nestas condições.
Arranjos:
Arranjos Simples são agrupamentos sem repetições em que um grupo se torna
diferente do outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes.
Seja A um conjunto com n elementos e k um natural menor ou igual a n. Os
arranjos simples k a k dos n elementos de A, são os agrupamentos, de k
elementos distintos cada, que diferem entre si ou pela natureza ou pela ordem
de seus elementos.
Cálculos do número de arranjos simples:
Na formação de todos os arranjos simples dos n elementos de A, tomados k a
k:
𝐴𝑁,𝐾 =
𝑁!
(𝑁 − 𝐾)!
Exemplo:
Em uma corrida de fórmula 3, considerando-se os 25 pilotos participantes tem
a mesma chance de ganhar, qual o número total de possibilidades para os três
primeiros colocados?
Para o campeão teríamos 25 possibilidades. Para o vice-campeão e para o
terceiro colocado, teríamos respectivamente 24 e 23 possibilidades. Pelo
princípio fundamental da contagem teríamos:
25 . 24 . 23 = 13800 Isto é, 13800 possibilidades.
Fórmula do Arranjo Simples
Ao trabalharmos com arranjos simples, com n elementos distintos, agrupados p
a p, com p ≤ n, podemos recorrer à seguinte fórmula:
𝐴25,3 =
25!
25!
=
= 25𝑥24𝑥23 = 13800
(25 − 3)! 22!
Permutação:
Podemos considerar a permutação simples como um caso particular de
arranjo, onde os elementos formarão agrupamentos que se diferenciarão
somente pela ordem. As permutações simples dos elementos P, Q e R são:
PQR, PRQ, QPR, QRP, RPQ, RQP. Para determinarmos o número de
agrupamentos de uma permutação simples utilizamos a seguinte expressão:
P = n!
Exemplo 1
De quantas maneiras distintas podemos organizar as modelos Ana, Carla,
Maria, Paula e Silvia para a produção de um álbum de fotografias
promocionais?
Resolução:
Note que o princípio a ser utilizado na organização das modelos será o da
permutação simples, pois formaremos agrupamentos que se diferenciarão
somente pela ordem dos elementos.
P = n!
P = 5!
P = 5x4x3x2x1
P = 120
Portanto, o número de posições possíveis é 120.
Exemplo 2
De quantas maneiras distintas podemos colocar em fila indiana seis homens e
seis mulheres em qualquer ordem :
Resolução
Podemos organizar as 12 pessoas de forma distinta, portanto utilizamos
12! = 12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 = 479.001.600 possibilidades
Permutação com Elementos Repetidos
A cada um dos agrupamentos que podemos formar com certo número de
elementos, onde ao menos um deles ocorre mais de uma vez, tal que a
diferença entre um agrupamento e outro se dê pela mudança de posição entre
seus elementos, damos o nome de permutação com elementos repetidos.
Exemplo 3
Quantos anagramas podemos formar a partir das letras da palavra ARARA?
Note que embora esta palavra também tenha cinco letras, agora temos apenas
duas letras distintas. A letra A que ocorre 3 vezes e a letra R que ocorre 2
vezes. Como devemos proceder nesta situação?
Fórmula da Permutação com Elementos Repetidos
Se em um dado conjunto um elemento é repetido a vezes, outro elemento é
repetido b vezes e assim sucessivamente, o número total de permutações que
podemos obter é dada por:
(𝑎,𝑏,𝑐,… )
𝑃𝑛
=
𝑛!
𝑎!. 𝑏!. 𝑐! …
A resolução do exemplo com o uso da fórmula é:
(2,2)
𝑃5
=
5!
2! .2!
Combinação
5 – Combinações simples
Definição
Combinação simples são agrupamentos formados com os elementos de um
conjunto que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos.
Considere A como um conjunto com n elementos k um natural menor ou igual a
n. Os agrupamentos de k elementos distintos cada um, que diferem entre si
apenas pela natureza de seus elementos são denominados combinações
simples k a k, dos n elementos de A.
Exemplo1:
Considere A = {a, b, c, d} um conjunto com elementos distintos. Com os
elementos de A podemos formar 4 combinações de três elementos cada uma:
a,b,c ; a,b,d ; a,c,d ; bcd
Se permutarmos cada elemento dos 4 grupos:
Quando aplicamos o principio fundamental da contagem ele leva em
consideração que todos os elementos devem se comportar em um arranjo, ou
seja a ordem de escolha importa. Logo devemos retirar essas repetições do
arranjo.
Fórmula da combinação:
𝐶𝑁,𝐾 =
𝑁!
𝐾! . (𝑁 − 𝐾)!
Dividindo o arranjo pelas permutações do numero de elementos do grupo
formado temos o mesmo efeito. Sendo assim:
𝐶4,3 =
4!
4!
24
=
=
=4
3! (4 − 3)! 3! . 1!
6
Somente 4 grupos distintos.
Operações Com Álgebra Linear: Sistemas Lineares
Equação Linear
É toda equação que possui variáveis e apresenta na seguinte forma ax + by +
cz + ... = contante, em que a,b,c, ....., são os coeficientes reais e o termo
independente que é a constante representado por um número real.
Exemplos:
2x –3y + 5z = 6
Sistema Linear
Um conjunto de p equações lineares com variáveis x, y, z,....,n formam um
sistema linear com p equações e n incógnitas.
Exemplos:
x+y=3
x–y=1
Sistema linear com duas equações e duas variáveis.
2x + 5y – 6z = 24
x – y + 10z = 30
Sistema linear com duas equações e três variáveis.
x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10
Sistema linear com três equações e três variáveis.
x – y – z + w = 10
2x + 3y + 5z – 2w = 21
4x – 2y – z + w = 16
Sistema linear com três equações e quatro variáveis.
Solução de um sistema linear
Dado o sistema:
x+y=3
x–y=1
Dizemos que a solução deste sistema é o par ordenado (2,1), pois ele torna as
duas equações do sistema linear verdadeiras. Observe:
x=2ey=1
2+1=33=3
2–1=11=1
Dado o sistema:
2x + 2y + 2z = 20
2x – 2y + 2z = 8
2x – 2y – 2z = 0
Podemos dizer que o trio ordenado (5, 3, 2) é solução do sistema, pois ele
atende a solução das três equações do sistema linear. Veja:
2 * 5 + 2 * 3 + 2 * 2 = 20
2*5–2*3+2*2=8
2*5–2*3–2*2=0
10 + 6 + 4 = 20
10 – 6 + 4 = 8
10 – 6 – 4 = 0
20 = 20
8=8
0=0
Classificação de um sistema linear
SPD – Sistema Possível e Determinado – possui apenas uma solução.
SPI – Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas soluções.
SI – Sistema Impossível – não possui solução.
Sistema Possível e Determinado (SPD): ao ser resolvido encontraremos uma
única solução, isto é, apenas um único valor para as incógnitas. O sistema a
seguir é considerado um sistema possível e determinado, pois a única solução
existente para ele é o par ordenado (4,1).
{
𝑥+𝑦 =5
𝑥−𝑦 =3
Sistema Possível e Indeterminado (SPI): esse tipo de sistema possui infinitas
soluções, os valores de x e y assumem inúmeros valores. Observe o sistema a
seguir, x e y podem assumir mais de um valor, (0,4), (1,3), (2,2), (3,1) e etc.
{
𝑥+𝑦 =4
3𝑥 + 3𝑦 = 12
Sistema Impossível (SI): ao ser resolvido, não encontraremos soluções
possíveis para as incógnitas, por isso esse tipo de sistema é classificado como
impossível. O sistema a seguir é impossível.
𝑥+𝑦 =5
{
2𝑥 + 2𝑦 = 6
Discussão do sistema do primeiro grau:
Considere o sistema exemplo abaixo:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
{
𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑒
Sistema Possível e Determinado (SPD):
𝑎
𝑏
𝑐
≠ 𝑑 ≠𝑒
𝑑
Exemplo:
{
𝑥+𝑦 =5
𝑥−𝑦 =3
1
1
5
≠
≠
1
−1
3
Sistema Possível e Indeterminado (SPI):
𝑎
𝑏
𝑐
=
=
𝑑
𝑑
𝑒
Exemplo:
{
𝑥+𝑦 =4
3𝑥 + 3𝑦 = 12
1
1 45
= =
3
3 12
Sistema Impossível (SI):
𝑎
𝑏
𝑐
= 𝑑≠𝑒
𝑑
Exemplo:
𝑥+𝑦 =5
{
2𝑥 + 2𝑦 = 6
1
2
=
1
2
5
≠6