métodos para raiz quadrada: uma analogia

MÉTODOS PARA RAIZ QUADRADA: UMA ANALOGIA
Thiago Formehl (UNICENTRO), Edilson Roberto Pacheco (Orientador – Dep. de
Matemática/UNICENTRO): [email protected]
Palavras-chave: História da Matemática, Levi Ben Gershon, Raiz Quadrada.
Resumo:
O presente trabalho é um estudo comparativo entre o método de Levi Ben Gershon
(1288-1344) para extração de raízes quadradas e o antigo método babilônico.
Observou-se que a eficácia do método de Levi em relação ao babilônico depende da
classe de números a ser trabalhada.
Introdução
Com o expansionismo islâmico e a tradução de importantes obras científicas
e filosóficas da antiguidade, estudiosos judeus se destacaram. Dentre eles, Levi Ben
Gershon, considerado um dos maiores cientistas judeus da idade média,
popularmente conhecido entre seus pares como Gersonides, Gershumi ou Ralbag.
Levi desenvolveu vários trabalhos em distintas áreas, como Matemática, Física,
Astrofísica, Filosofia e fez comentários ao Antigo Testamento. Embora tenha
deixado inúmeras provas de seu talento matemático, Ben Gershon não é citado nos
mais conhecidos e acessíveis livros de História da Matemática.
Materiais e Métodos
O estudo foi pautado sobre o método de Levi Ben Gershon e o método
babilônico para extração de raízes quadradas, explicitados em Langermann e
Simonson (2000).
O método de Levi consiste em construir a raiz dígito a dígito, partindo de uma
aproximação menor que a raiz desejada, e acrescentando a cada iteração,
pequenos valores até chegar à raiz exata. Seu método é exclusivamente narrativo e
trabalha basicamente sobre a identidade (a+b)² = a²+2ab+b².
Pode-se descrever o método de Levi da seguinte forma: o primeiro passo é
verificar quantos algarismos possui o número que se deseja encontrar a raiz
quadrada, os quais Levi chama de “níveis”. Caso o número de algarismos seja par,
unem-se os dois primeiros, da esquerda para a direita, formando-se um único nível.
A seguir encontra-se o quadrado mais próximo a esse nível, mas sempre menor que
ele. Escreve-se sua raiz na linha abaixo do número, no nível médio entre o primeiro
e o último; essa é a “fila resultado”. Então subtrai-se esse quadrado do primeiro nível
e escreve-se o resto na linha acima do número, essa será a “linha topo”. O resto é
dividido por duas vezes a atual raiz e, se não for possível, eleva-se mais um dígito à
linha topo. Multiplica-se o quociente pela soma do dobro da atual raiz com esse
quociente; o resultado é subtraído da linha topo. Como o quociente é candidato a ser
o próximo dígito, então a atual raiz será acrescida de um zero. Se não for possível
efetuar a subtração um dígito a mais é elevado à linha topo. Repete-se o
procedimento até não restar nada na linha topo e verifica-se que a aproximação seja
menor que a raiz desejada.
Exemplo: Encontrar a raiz quadrada de 277729.
Níveis
5
4
3
2
1
Linha Topo 3
0
0
0
0
Linha Topo 2
7
3
2
9
Linha Topo 1
2
7
7
Número
27
7
7
2
9
5
2
7
Fila Resultado
7(2.520+7)=7329
2(2.50+2)=204
O Método Babilônico
O método babilônico parte de uma aproximação qualquer da raiz quadrada de
um número e o resultado vai sendo aperfeiçoado a cada iteração. A velocidade de
convergência depende da primeira aproximação escolhida. Como os babilônios não
deixaram explicação de suas idéias, é possível justificá-lo tanto algebricamente
como geometricamente.
Algebricamente: seja a uma aproximação da raiz r de um número n, e a<n,
então n/a será maior que a, logo, a média entre eles é melhor que a, então
r=(a+n/a)/2.
Geometricamente, o método consiste em transformar um retângulo em um
quadrado de mesma área; então, o lado do quadrado será a raiz desejada. Sendo a
e n/a os lados de um retângulo de área n, divide-se o excesso de n/a em duas
partes e move-se uma delas para o menor lado, e o quadrado resultante terá lado
(a+n/a)/2, desta forma:
Figura 1
Exemplo: encontrar a raiz quadrada de 277729
a0=500
a1=(500+277729/500)/2=527,729
a2=(527,729+277729/527,729)/2=527,0005035
a3=(527,0005035+277729/527,0005035)/2=527.
Discussão e Resultados
Aplicando o método da Levi para quadrados não perfeitos, como por exemplo
571386, tem-se:
Níveis
5
4
3
2
1
Linha Topo 8
0,
0
0
0
0
6
1
5
9
Linha Topo 7
0,
0
0
0
2
1
2
7
8
Linha Topo 6
0,
0
1
0
7
9
5
3
9
Linha Topo 5
0,
1
3
1
7
3
9
5
1
Linha Topo 4
1,
1
9
Linha Topo 3
1
3
6
1
9
1
Linha Topo 2
8
8
Linha Topo 1
8
1
3
Número
57
1
3
8
6
8
6
Fila Resultado
7
5
5,
9
0
0
7
8
7
1
Como o objetivo do método de Ben Gershon é construir a raiz número a
número, realiza-se uma iteração para cada número da raiz, porém observa-se que
b=1,19/(2.755,9)=0,000787141, ou seja, na linha topo 4 o resultado já converge
perfeitamente para a raiz encontrada na fila resultado.
Utilizando o mesmo exemplo no método babilônico, tem-se:
a0=700
a1=(700+571386/700)/2=758,1328571
a2=(758,1328571+571386/758,1328571)/2=755,904073
a3=(755,904073+571386/755,904073)/2=755,9007872
a4=(755,9007872+571386/755,9007872)/2=755,90078712
A velocidade de convergência do método babilônico depende da primeira
aproximação escolhida e o número de iterações a serem realizadas depende da
precisão desejada.
Conclusão
Comparando os métodos, observa-se que, para quadrados perfeitos, o
método de Levi trabalha apenas com números naturais, ao passo que, o método
babilônico apresenta, como aproximações, números racionais o que, de certa forma,
pode dificultar as operações a serem realizadas. Porém, para quadrados não
perfeitos, o método babilônico aparentemente converge mais rapidamente à raiz
exata.
Referências
BALL, R. A Short Account of the History of Mathematics. 1 ed. New York:
Dover, 1960. 522p.
BOYER, C. História da Matemática. Trad. Elza F. Gomide. 2 ed. São Paulo: Edgard
Blücher, 1996. 496p.
EVES, H. Introdução à História da Matemática. Trad. Hygino H. Domingues. 3 ed.
Campinas: Ed. UNICAMP, 2002. 844p.
Katz, V. History of Mathematics: an Introduction. 2 ed. Reading: Addison Wesley
Longman, Inc., 2006. 864p.
LANGERMANN, Y; SIMONSON, S. The Hebrew Mathematical Tradition. In: H. Selin
(ed.) Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics:
Kluwer Academic Publishers, 2000. p. 167-188.
PACHECO, E. R. Sobre Condição Judaica e Matemática. 2006. 255p. TESE
(Doutorado em Educação Matemática) – Instituto de Geociências e Ciências Exatas,
Universidade Estadual Paulista, Rio Claro. 2006.