6. A projeção de uma corda sobre o diâmetro que

Ponto, Reta e Plano
A definição dos entes primitivos ponto, reta e plano é quase impossível, o
que se sabe muito bem e aqui será o mais importante é sua representação
geométrica e espacial.
Representação, (notação)
→ Pontos serão representados por letras latinas maiúsculas; ex: A, B, C,…
→ Retas serão representados por letras latinas minúsculas; ex: a, b, c,…
→ Planos serão representados por letras gregas minúsculas; ex: β,∞,α,...
Representação gráfica
Postulados primitivos da geometria, qualquer postulado ou axioma é aceito
sem que seja necessária a prova, contanto que não exista a contraprova.
- Numa reta bem como fora dela há infinitos pontos distintos.
- Dois pontos determinam uma única reta (uma e somente uma reta).
- Pontos colineares pertencem à mesma reta.
- Três pontos determinam um único plano.
- Se uma reta contém dois pontos de um plano, esta reta está contida neste
plano.
- Duas retas são concorrentes se tiverem apenas um ponto em comum.
Observe que
. Sendo que H está contido na reta r e na reta s.
Um plano é um subconjunto do espaço R3 de tal modo que quaisquer dois
pontos desse conjunto podem ser ligados por um segmento de reta inteiramente
contida no conjunto.
Um plano no espaço R3 pode ser determinado por qualquer uma das
situações:
- Três pontos não colineares (não pertencentes à mesma reta);
- Um ponto e uma reta que não contem o ponto;
- Um ponto e um segmento de reta que não contem o ponto;
- Duas retas paralelas que não se sobrepõe;
- Dois segmentos de reta paralelos que não se sobrepõe;
- Duas retas concorrentes;
- Dois segmentos de reta concorrentes.
Duas retas (segmentos de reta) no espaço R3 podem ser: paralelas,
concorrentes ou reversas.
Duas retas são ditas reversas quando uma não tem interseção com a outra e
elas não são paralelas. Pode-se pensar de uma reta r desenhada no chão de
uma casa e uma reta s desenhada no teto dessa mesma casa.
Uma reta é perpendicular a um plano no espaço R3, se ela intersecta o plano
em um ponto P e todo segmento de reta contido no plano que tem P como uma
de suas extremidades é perpendicular à reta.
Uma reta r é paralela a um plano no espaço R3, se existe uma reta s
inteiramente contida no plano que é paralela à reta dada.
Seja P um ponto localizado fora de um plano. A distância do ponto ao plano
é a medida do segmento de reta perpendicular ao plano em que uma
extremidade é o ponto P e a outra extremidade é o ponto que é a interseção
entre o plano e o segmento.
Se o ponto P estiver no plano, a distância é nula.
Planos concorrentes no espaço R3 são planos cuja interseção é uma reta.
Planos paralelos no espaço R3 são planos que não tem interseção.
Quando dois planos são concorrentes, dizemos que tais planos formam um
diedro e o ângulo formado entre estes dois planos é denominado ângulo
diedral. Para obter este ângulo diedral, basta tomar o ângulo formado por
quaisquer duas retas perpendiculares aos planos concorrentes.
Planos normais são aqueles cujo ângulo diedral é um ângulo reto (90 graus).
Razão entre Segmentos de Reta
Segmento de reta é o conjunto de todos os pontos de uma reta que estão
limitados por dois pontos que são as extremidades do segmento, sendo um
deles o ponto inicial e o outro o ponto final. Denotamos um segmento por duas
letras como, por exemplo, AB, sendo A o início e B o final do segmento.
Exemplo
AB é um segmento de reta que denotamos por AB.
A _____________ B
Não é possível dividir um segmento de reta por outro, mas é possível
realizar a divisão entre as medidas dos dois segmentos.
Consideremos os segmentos AB e CD, indicados:
A ________ B
C ______________ D
m(AB) = 2cm
m(CD) = 5 cm
A razão entre os segmentos AB e CD, denotado aqui por, AB/CD, é definida
como a razão entre as medidas desses segmentos, isto é: AB/CD = 2/5
Segmentos Proporcionais
Proporção é a igualdade entre duas razões equivalentes. De forma
semelhante aos que já estudamos com números racionais, é possível
estabelecer a proporcionalidade entre segmentos de reta, através das medidas
desse segmentos.
Vamos considerar primeiramente um caso particular com quatro segmentos
de reta:
m(AB) = 2cm A______B
P__________Q
m(PQ) =4 cm
m(CD) = 3cm C__________D R___________________S m(RS) = 6cm
A razão entre os segmentos AB e CD e a razão entre os segmentos PQ e
RS, são dadas por frações equivalentes, isto é: AB/CD = 2/3; PQ/RS = 4/6 e
como 2/3 = 4/6, segue a existência de uma proporção entre esses quatro
segmentos de reta. Isto nos conduz à definição de segmentos proporcionais.
Diremos que quatro segmentos de reta, AB, BC, CD e DE, nesta ordem, são
proporcionais se: AB/BC = CD/DE
Os segmentos AB e DE são os segmentos extremos e os segmentos BC e
CD são os segmentos meios.
A proporcionalidade acima é garantida pelo fato que existe uma proporção
entre os números reais que representam as medidas dos segmentos:
𝑚 (𝐴𝐵)
𝑚 (𝐶𝐷)
=
𝑚 (𝐵𝐶)
𝑚 (𝐷𝐸)
Propriedade Fundamental das proporções: Numa proporção de
segmentos, o produto das medidas dos segmentos meios é igual ao produto
das medidas dos segmentos extremos. m(AB) · m(DE) = m(BC) · m(CD)
Feixe de Retas Paralelas
Um conjunto de três ou mais retas paralelas num plano é chamado feixe de
retas paralelas. A reta que intercepta as retas do feixe é chamada de reta
transversal. As retas A, B, C e D que aparecem no desenho anexado, formam
um feixe de retas paralelas enquanto que as retas S e T são retas transversais.
Teorema de Tales: Um feixe de retas paralelas determina sobre duas
transversais quaisquer, segmentos proporcionais. A figura abaixo representa
uma situação onde aparece um feixe de três retas paralelas cortadas por duas
retas transversais.
Identificamos na sequência algumas proporções:
AB/BC = DE/EF
BC/AB = EF/DE
AB/DE = BC/EF
DE/AB = EF/BC
Exemplo
Consideremos a figura ao lado com um feixe de retas paralelas, sendo as
medidas dos segmentos indicadas em centímetros.
Assim:
BC/AB = EF/DE
AB/DE = BC/EF
DE/AB = EF/BC
Observamos que uma proporção pode ser formulada de várias maneiras. Se
um dos segmentos do feixe de paralelas for desconhecido, a sua dimensão
pode ser determinada com o uso de razões proporcionais.
Exercício
1. Seja r a reta determinada pelos pontos A = (1, 0, 1) e B = (3, -2, 3).
a) Obtenha equações de r nas formas vetorias paramétrica e simétrica
b) Verifique se o ponto P = (-9, 10, -9) pertence a r.
2. Ache uma equação da reta que satisfaça as condições dadas:
a) Passa pelo ponto (-4, -5) e é PARALELA à reta cuja equação é 2x – 3y
+ 6 = 0.
b) Passa pelo ponto (-2, 3) e é PERPENDICULAR à reta cuja equação é
2x – y – 2 = 0.
3. Calcule K para que o ponto P(K, 9) pertença a reta t: 2x – 9y – 5 = 0.
4. Ache uma equação da reta que satisfaça as condições dadas:
a) O INTERCEPTO Y é -4 e é PERPENDICULAR à reta cuja equação é 3x
– 4y + 8
b) Passa pelo ponto (-3, -4) e é PARALELA ao EIXO Y.
5. Ache uma equação da reta que satisfaça as condições dadas:
a) Passa pelo ponto (1, -7) e é PARALELA ao EIXO X.
b) Passa pela origem e é bissetriz dos ângulos formados pelos eixos no
PRIMEIRO e TERCEIRO quadrantes.
c) Passa pela origem e é bissetriz dos ângulos formados pelos eixos no
SEGUNDO e QUARTO quadrantes.
6. Dado os pontos A (-3; 1) e B (3; -5), determine o ponto que divide o
segmento AB na razão: k = 2.
7. Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos A (0; 2) e
B (-3; 0).
8. Uma reta r tem a equação: x + 2y – 10 = 0.
a) Determine o ponto de r com abscissa 2.
b) Obtenha o ponto de r com ordenada 3.
9. Escreva a equação segmentada da reta r dada por 6x – 5y – 30 = 0.
10. Estude a posição relativa dos pares da reta: 2x – y – 5 = 0 e 4x – 2y
+ 6 = 0.
Respostas
1) Solução:
a) Seja P(x, y, z) um ponto genérico da reta r.
(I) equação vetorial de r:
P = A + t(B – A)
(x, y, z) = (1, 0, 1) + t(2, -2, 2)
(II) equações paramétricas de r:
Da eq. vetorial temos que,
(x, y, z) = (1, 0, 1) + t(2, -2, 2)
= (1 + 2t , -2t , 1 + 2t)
Então, as eqs. paramétricas de r são
x = 1 + 2t
y = – 2t
z = 1 + 2t
(III) equações simétricas de r:
Das paramétricas
x = 1 + 2t → t = (x – 1)/2
y = – 2t → t = – y/2
z = 1 + 2t → t = (z – 1)/2
Logo,
(x – 1)/2 = – y/2 = (z – 1)/2
b) P(-9, 10, -9) pertence a r ?
Substituindo nas equações simétricas de r temos
(-9 – 1)/2 = – 10/2 = (-9 – 1)/2
- 5 = – 5 = -5
Logo, P in r.
2) Solução:
a) -3y = -2x – 6
y = 2x/3 + 2
-5 = (2/3)(-4) + b
b = -5 + 8/3
b = -7/3
y = (2/3)x - 7/3
b) y = 2x – 2
a . 2 = -1
a = -1/2
3 = (-1/2)(-2) + b
b=2
y = (-1/2)x + 2
3) Resposta “43”.
Solução:
t: 2x – 9y – 5 = 0 p(k,9)
2k 9 . 9 – 5 = 0
t: 2k – 81 – 5 = 0
t: 2k – 86 = 0
2k = 86 → k = 86/2 → k = 43.
4) Solução:
a) 4y = 3x + 8
y = (3/4)x + 2
a.(3/4) = -1
a = -4/3
b = -4
y = (-4/3)x – 4
b) x = -3.
5) Solução:
a) y = -7
b) y = x
c) y = -x
6) Solução:
Como conhecemos as coordenada A e B e o valor da razão k, basta
substituirmos esses valores nas formas deduzidas. Assim:
𝑥𝑐
𝑦𝑐
𝑥𝑎+𝑘 .𝑥𝑏
1+𝑘
𝑦𝑎+𝑘 .𝑦𝑏
1+𝑘
=
=
−3+2 .3
1+2
=1e
1+2 .(−5)
1+2
= −3
7) Solução: Sendo P (x; y) um ponto genérico da reta, temos:
𝑥 𝑦
0 2
−3 0
1
1 = 0 → 2x – 3y + 6 = 0
1
Logo, a equação procurada é 2x – 3y + 6 = 0.
8) Solução:
a) Seja A (2; ya) o ponto de r com abscissa 2. Como as coordenadas de A
satisfazem a equação de r, então:
2 + 2 . ya – 10 = 0 → ya = 4 → A (2; 4)
b) Seja B (xb; 3) o ponto de r com ordenada 3. Da mesma forma, podemos
escrever:
xb + 2 . 3 – 10 = 0 → xb = 4 → B (4; 3)
9) Solução:
6x – 5y – 30 = 0 → 6x – 5y = 30 →
𝑥
6𝑥−5𝑦
𝑦
30
30
+ −6 = 1
5
𝑥
𝑦
Logo, a equação segmentária é 5 + −6 = 1.
2
10) Solução: 4 =
−1
−2
≠
−5
6
6𝑥
5𝑦
𝑥
𝑦
= 30 → 30 − 30 = 1 → 5 − 6 = 1 →
as retas são paralelas.
Geometria Plana
A Geometria é a parte da matemática que estuda as figuras e suas
propriedades. A geometria estuda figuras abstratas, de uma perfeição não
existente na realidade. Apesar disso, podemos ter uma boa idéia das figuras
geométricas, observando objetos reais, como o aro da cesta de basquete que
sugere uma circunferência, as portas e janelas que sugerem retângulos e o
dado que sugere um cubo.
As Figuras Básicas
Aproveitaremos o cubo, figura bastante conhecida de todos, para mencionar
três figuras básicas da geometria: o ponto, a reta e o plano.
No cubo seguinte, três faces são visíveis, e três não. As três faces visíveis
têm em comum apenas o ponto A.
Os matemáticos consideram que os pontos são tão pequenos que não
chegam a ter tamanho algum. Para representar um ponto fazemos uma marca
bem pequena no papel e para nomeá-lo usamos uma letra maiúscula: A, B, C,
etc.
Considere agora a face superior do cubo e a face que vemos à direita. Estas
faces têm em comum o segmento de reta AB, com extremidades nos pontos A
e B.
O segmento AB (“tem
começo e fim”)
Nas próximas figuras, indicamos a semi-reta AB, de origem A, e a semi-reta
BA, de origem B.
A semi-reta AB
A semi-reta BA
(sua origem é A e “ela não tem fim”)
(sua origem é B e “ela não tem fim”)
A seguir, indicamos a reta AB.
A reta AB
(“não tem começo nem fim”)
Os matemáticos consideram que as retas não têm largura. Para nomeá-las,
além de notações como AB, é muito comum o uso de letras minúsculas: r, s, t,
etc.
Prolongando indefinidamente uma face de um cubo em todas as direções,
como indica a próxima figura, temos um plano.
O plano α
Os planos não têm espessura. Para nomeá-los, usamos letras gregas,
principalmente as três primeiras α (alfa), β (beta) e γ (gama).
Perímetro
Entendendo o que é perímetro.
Imagine uma sala de aula de 5m de largura por 8m de comprimento.
Quantos metros lineares serão necessários para colocar rodapé nesta sala,
sabendo que a porta mede 1m de largura e que nela não se coloca rodapé?
A conta que faríamos seria somar todos os lados da sala, menos 1m da largura
da porta, ou seja:
P = (5 + 5 + 8 + 8) – 1
P = 26 – 1
P = 25
Colocaríamos 25m de rodapé.
A soma de todos os lados da planta baixa se chama Perímetro.
Portanto, Perímetro é a soma dos lados de uma figura plana.
Área
Área é a medida de uma superfície.
A área do campo de futebol é a medida de sua superfície (gramado).
Se pegarmos outro campo de futebol e colocarmos em uma malha
quadriculada, a sua área será equivalente à quantidade de quadradinho. Se
cada quadrado for uma unidade de área:
Veremos que a área do campo de futebol é 70 unidades de área.
A unidade de medida da área é: m 2 (metros quadrados), cm2 (centímetros
quadrados), e outros.
Se tivermos uma figura do tipo:
Sua área será um valor aproximado. Cada
é uma unidade, então a área
aproximada dessa figura será de 4 unidades.
No estudo da matemática calculamos áreas de figuras planas e para cada
figura há uma fórmula pra calcular a sua área.
Área do Retângulo
Existe dois tipos de retângulos: com lados todos iguais (quadrado) e com os
lados
diferentes.
No cálculo de qualquer retângulo podemos seguir o raciocínio abaixo:
Pegamos um retângulo e colocamos em uma malha quadriculada onde
cada quadrado tem dimensões de 1 cm. Se contarmos, veremos que há 24
quadrados de 1 cm de dimensões no retângulo. Como sabemos que a área é
a medida da superfície de uma figuras podemos dizer que 24 quadrados de 1
cm de dimensões é a área do retângulo.
O retângulo acima tem as mesmas dimensões que o outro, só que
representado de forma diferente. O cálculo da área do retângulo pode ficar
também da seguinte forma:
A=6.4
A = 24 cm2
Podemos concluir que a área de qualquer retângulo é:
A=b.h
Quadrado
É um tipo de retângulo específico, pois tem todos os lados iguais. Sua área
também é calculada com o produto da base pela altura. Mas podemos resumir
essa fórmula:
Como todos os lados são iguais, podemos dizer que base é igual a
altura igual a , então, substituindo na fórmula A = b . h, temos:
A=
.
Área do Trapézio
ea
A área do trapézio está relacionada com a área do triângulo que é calculada
utilizando a seguinte fórmula: A = b . h (b = base e h = altura).
2
Observe o desenho de um trapézio e os seus elementos mais importantes
(elementos utilizados no cálculo da sua área):
Um trapézio é formado por uma base maior (B), por uma base menor (b) e
por
uma
altura
(h).
Para fazermos o cálculo da área do trapézio é preciso dividi-lo em dois
triângulos, veja como:
Primeiro: completamos as alturas no trapézio:
Segundo: o dividimos em dois triângulos:
A área desse trapézio pode ser calculada somando as áreas dos dois
triângulos (∆CFD e ∆CEF).
Antes de fazer o cálculo da área de cada triângulo separadamente
observamos que eles possuem bases diferentes e alturas iguais.
Cálculo da área do ∆CEF:
A∆1 = B . h
2
Cálculo da área do ∆CFD:
A∆2 = b . h
2
Somando as duas áreas encontradas, teremos o cálculo da área de um
trapézio qualquer:
AT = A∆1 + A∆2
AT = B . h + b . h
2
2
AT = B . h + b . h → colocar a altura (h) em evidência, pois é um termo
comum aos dois fatores.
2
AT = h (B + b)
2
Portanto, no cálculo da área de um trapézio qualquer utilizamos a seguinte
fórmula:
A = h (B + b)
2
h = altura
B = base maior do trapézio
b = base menor do trapézio
Área do Triângulo
Observe o retângulo abaixo, ele está dividido ao meio pela diagonal:
A área do retângulo é A = b. h, a medida da área de cada metade será a
área do retângulo dividida por dois. Cada parte dividida do retângulo é um
triângulo, assim podemos concluir que a área do triangulo será:
A=b.h
2
Mas como veremos a altura no triângulo? A altura deve ser sempre
perpendicular à base do triângulo.
No triângulo retângulo é fácil ver a altura, pois é o próprio lado do triângulo,
e forma com a base um ângulo de 90° (ângulo reto).
Quando a altura não coincide com o lado do triângulo, devemos traçar uma
reta perpendicular à base (formando um ângulo de 90º com a base) que será a
altura do triângulo.
Observe o exemplo:
Observe o triângulo equilátero (todos os lados iguais). Calcule a sua área.
Como o valor da altura não está indicado, devemos calcular o seu valor,
para isso utilizaremos o teorema de Pitágoras no triângulo:
42 = h2 + 22
16 = h2 + 4
16 – 4 = h2
12 = h2
h = √12
h = 2√3 cm
Com o valor da altura, basta substituir na fórmula A = h (B + b) o valor da
base e da altura.
2
A = 4 . 2√3
2
A = 2 . 2√3
A = 4 √3 cm2
Exercícios
1. Se o ponto P(2m-8 , m) pertence ao eixo dos y , então :
a) m é um número primo
b) m é primo e par
c) m é um quadrado perfeito
d) m = 0
e) m < 4
2. Se o ponto P(r - 12, 4r - 6) pertença à primeira bissetriz , então
podemos afirmar que :
a) r é um número natural
b) r = - 3
c) r é raiz da equação x3 - x2 + x + 14 = 0
d) r é um número inteiro menor do que - 3.
e) não existe r nestas condições.
3. Se o ponto P(k, -2) satisfaz à relação x + 2y - 10 = 0, então o valor de
k2 é:
a) 200
b) 196
c) 144
d) 36
e) 0
4. O ponto A pertence ao semi-eixo positivo das ordenadas; dados os
pontos B(2, 3) e C(-4, 1), sabe-se que do ponto A se vê o segmento BC
sob um ângulo reto. Nestas condições podemos afirmar que o ponto A é:
a) (3,0)
b) (0, -1)
c) (0,4)
d) (0,5)
e) (0, 3)
5. Sendo W o comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo
ABC onde A(0,0), B(4,6) e C(2,4) , então W2 é igual a:
a) 25
b) 32
c) 34
d) 44
e) 16
6. Calcule K para que o ponto P(K, 9) pertença a reta t:2x – 9y – 5 = 0.
7. (EPUSP/1966) Os pontos do plano cartesiano que satisfazem à
equação sen(x – y) = 0 constituem:
a) uma reta
b) uma senóide
c) uma elipse
d) um feixe de retas paralelas
e) nenhuma das respostas anteriores
8. A equação x2 – y2 + x + y = 0 representa no sistema de coordenadas
cartesianas:
a) uma hipérbole
b) uma elipse
c) uma circunferência
d) uma parábola
e) duas retas
9. UEMS, Uma folha de papel retangular foi dobrada conforme a figura.
Assinale a alternativa que represente corretamente o valor de x.
a) 15º
b) 20º
c)30º
d)40º
e)45º
10. Na figura, OD e OB são bissetrizes de EÔC e AÔC respectivamente.
Sendo EÔC = 41º e AÔC = 29º40′, calcule a medida do ângulo BÔD:
Respostas
1) Resposta “C”.
Solução: Se um ponto pertence ao eixo vertical (eixo y), então a sua
abscissa é nula.
Logo, no caso teremos 2m - 8 = 0, de onde tiramos m = 4 e, portanto a
alternativa correta é a letra C, pois 4 é um quadrado perfeito (4 = 22).
2) Resposta “C”.
Solução: Os pontos da primeira bissetriz (reta y = x) possuem abscissa e
ordenada iguais entre si.
Logo, deveremos ter: r - 12 = 4r - 6 de onde conclui-se r = - 2.
Das alternativas apresentadas, concluímos que a correta é a letra C, uma
vez que -2 é raiz da equação dada. Basta substituir x por -2 , ou seja:
(-2)3 - (-2)2 + (-2) + 14 = 0 o que confirma que -2 é raiz da equação.
3) Resposta “B”.
Solução: Fazendo x = k e y = -2 na relação dada, vem: k + 2(-2) - 10 = 0.
Logo, k = 14 e portanto k2 = 142 = 196.
Logo, a alternativa correta é a letra B.
4) Resposta “D”.
Solução: Como do ponto A se vê BC sob um ângulo reto, podemos concluir
que o triângulo ABC é retângulo em A. Logo, vale o teorema de Pitágoras: o
quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Portanto,
podemos escrever: AB2 + AC2 = BC2 (BC é a hipotenusa porque é o lado que
se opõe ao ângulo reto A). Da fórmula de distância, podemos então escrever,
considerando que as coordenadas do ponto A são (0,y), já que é dado no
problema que o ponto A está no eixo dos y e portanto sua abscissa é nula:
AB2 = (0 - 2)2 + (y - 3)2 = 4 + (y - 3)2
AC2 = (0 - (-4))2 + (y - 1)2 = 16 + (y - 1)2
BC2 = (2 - (-4))2 + (3 - 1)2 = 40
Substituindo, vem: 4 + (y - 3)2 + 16 + (y - 1)2 = 40 \ (y - 3)2 + (y - 1)2 = 40 - 4 16 = 20
Desenvolvendo, fica: y2 - 6y + 9 + y2 - 2y + 1 = 20 \ 2y2 - 8y - 10 = 0 \ y2 - 4y 5 = 0, que resolvida, encontramos y = 5 ou y = -1. A raiz y = -1 não serve, pois
foi dito no problema que o ponto A está no semi-eixo positivo.
Portanto, o ponto procurado é A (0,5), o que nos leva a concluir que a
alternativa correta é a letra D.
5) Resposta “C”.
Solução: Chama-se mediana de um triângulo relativa a um lado, ao
segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. Assim, a
mediana relativa ao lado BC será o segmento que une o ponto A ao ponto
médio de BC. Das fórmulas de ponto médio anterior, concluímos que o ponto
médio de BC será o ponto M(3, 5).
Portanto, o comprimento da mediana procurado será a distância entre os
pontos A e M. Usando a fórmula de distância encontramos AM = Ö 34, ou seja,
raiz quadrada de 34. Logo, W = Ö 34 e, portanto W 2 = 34, o que nos leva a
concluir que a resposta correta está na alternativa C.
6) Solução:
t: 2x-9y-5=0 p(k,9)
2k 9.9-5=0
t: 2k -81 -5 = 0
t: 2k-86 = 0
2k = 86 k = 86/2 k = 43.
7) Resposta “D”.
Solução: O seno é nulo para os arcos expressos em radianos: 0, p , 2p , 3p ,
4p, ... , kp, onde k é um número inteiro. Logo:
sen(x - y) = 0 Þ x – y = kp.
Daí, vem:
y = - x + kp \ y = x - kp, k Î Z.
Fazendo k variar no conjunto Z, obteremos um número infinito de retas de
mesmo coeficiente angular m = 1 e, portanto, paralelas, ou seja:
...................................................................
k = - 1 reta: y = x + p
k = 0 reta: y = x
k = 1 reta: y = x - p , e assim sucessivamente.
...................................................................
Portanto, a alternativa correta é a letra D (um feixe de retas paralelas).
8) Resposta “E”.
Solução: Temos: x2 – y2 + x + y = 0; podemos escrever:
(x – y)(x + y) + (x + y) = 0;
Observe que (x-y)(x+y)= x2 - y2
Fatorando, fica:
(x + y) (x – y + 1) = 0
Para que o produto acima seja nulo, deveremos ter necessariamente:
x + y = 0 ou x – y + 1 = 0;
Logo,
y = - x ou y = x + 1, que são as equações de duas retas, o que nos leva à
alternativa E.
9) Resposta “E”.
Solução: Primeiramente, vamos dar nome aos vértices da figura dobrada,
Que forma um quadrilátero. Chame de A o vértice do ângulo de 70°, no sentido
anti-horário, nomeie os respectivos vértices de B, C e D. Assim temos o
quadrilátero ABCD. Trace a bissetriz do ângulo B e a chame de r (por r ser reta
bissetriz, ela divide o ângulo, em dois ângulos de mesma medida, sendo o
ângulo B igual a 90°, assim formaremos dois ângulos com medidas iguais a
45°). Considere, a reta que passa pelos pontos A e B, sendo esta transversal a
reta r e ao lado inferior do retângulo. Daí, temos que a medida de x, vale 45°.
Pois, o ângulo x e o ângulo formado pela bissetriz no vértice B, são alternos
internos, portanto tem a mesma medida.
Portanto, a resposta é letra “e”.
10) Solução: Sabendo que EÔC = 41º e são bissetrizes, basta dividir 41 por
2 = 20,5
É AÔC = 29º40′ por 2 = 14º7
Agora basta somar 20,5 + 14º5= BÔD = 30º20′
Ângulos
Ângulo: Do latim - angulu (canto, esquina), do grego - gonas; reunião de
duas semi-retas de mesma origem não colineares.
Ângulo Agudo: É o ângulo, cuja medida é menor do que 90º.
Ângulo Central:
- Da circunferência: é o ângulo cujo vértice é o centro da circunferência;
- Do polígono: é o ângulo, cujo vértice é o centro do polígono regular e cujos
lados passam por vértices consecutivos do polígono.
Ângulo Circunscrito: É o ângulo, cujo vértice não pertence à circunferência
e os lados são tangentes à ela.
Ângulo Inscrito: É o ângulo cujo vértice pertence a uma circunferência e
seus lados são secantes a ela.
Ângulo Obtuso: É o ângulo cuja medida é maior do que 90º.
Ângulo Raso:
- É o ângulo cuja medida é 180º;
- É aquele, cujos lados são semi-retas opostas.
Ângulo Reto:
- É o ângulo cuja medida é 90º;
- É aquele cujos lados se apóiam em retas perpendiculares.
Ângulos Complementares: Dois ângulos são complementares se a soma
0
das suas medidas é 90 .
Ângulos Congruentes: São ângulos que possuem a mesma medida.
Ângulos Opostos pelo Vértice: Dois ângulos são opostos pelo vértice se
os lados de um são as respectivas semi-retas opostas aos lados do outro.
Ângulos Replementares: Dois ângulos são ditos replementares se a soma
0
das suas medidas é 360 .
Ângulos Suplementares: Dois ângulos são ditos suplementares se a soma
das suas medidas de dois ângulos é 180º.
Poligonal: Linha quebrada, formada por vários segmentos formando
ângulos.
Grado: (gr.): Do latim - gradu; dividindo a circunferência em 400 partes
iguais, a cada arco unitário que corresponde a 1/400 da circunferência
denominamos de grado.
Grau: (º): Do latim - gradu; dividindo a circunferência em 360 partes iguais,
cada arco unitário que corresponde a 1/360 da circunferência denominamos de
grau.
Exercícios
1. As retas f e g são paralelas (f // g). Determine a medida do ângulo â,
nos seguintes casos:
a)
b)
c)
2. As retas a e b são paralelas. Quanto mede o ângulo î?
3. Obtenha as medidas dos ângulos assinalados:
a)
b)
c)
d)
4. Usando uma equação, determine a medida de cada ângulo do
triângulo:
a) Quanto mede a soma dos ângulos de um quadrado?
5. Dois ângulos são complementares tais que o triplo de um deles é
igual ao dobro do outro. Determine o suplemento do menor.
6. A metade de um ângulo menos a quinta parte de seu complemento
mede 38 graus. Qual é esse angulo?
7. Cinco semi-retas partem de um mesmo ponto V, formando cinco
ângulos que cobrem todo o plano e são proporcionais aos números 2, 3,
4, 5 e 6. Calcule o maior dos ângulos.
8. Na figura, o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade
do ângulo z. Calcule y.
9. Observe a figura abaixo e determine o valor de m e n.
10. Determine o valor de a na figura seguinte:
Respostas
1) Resposta
a) 55˚
b) 74˚
c) 33˚
2) Resposta “130”.
Solução: Imagine uma linha cortando o ângulo î, formando uma linha
paralela às retas "a" e "b".
Fica então decomposto nos ângulos ê e ô.
Sendo assim, ê = 80° e ô = 50°, pois o ângulo ô é igual ao complemento de
130° na reta b.
Logo, î = 80° + 50° = 130°.
3) Solução:
a) 160° - 3x = x + 100°
160° - 100° = x + 3x
60° = 4x
x = 60°/4
x = 15°
Então 15°+100° = 115° e 160°-3*15° = 115°
b) 6x + 15° + 2x + 5º = 180°
6x + 2x = 180° -15° - 5°
8x = 160°
x = 160°/8
x = 20°
Então, 6*20°+15° = 135° e 2*20°+5° = 45°
c) Sabemos que a figura tem 90°.
Então x + (x + 10°) + (x + 20°) + (x + 20°) = 90°
4x + 50° = 90°
4x = 40°
x = 40°/4
x = 10°
d) Sabemos que os ângulos laranja + verde formam 180°, pois são
exatamente a metade de um círculo.
Então, 138° + x = 180°
x = 180° - 138°
x = 42°
Logo, o ângulo x mede 42°.
4) Solução: Sabemos que a soma dos ângulos do triângulo é 180°.
Então, 6x + 4x + 2x = 180°
12x = 180°
x = 180°/12
x = 15°
Os ângulos são: 30° 60° e 90°.
a) Um quadrado tem quatro ângulos de 90º, e, portanto a soma deles
vale 360º.
5) Resposta “144˚”.
Solução:
- dois ângulos são complementares, então a + b = 90º
- o triplo de um é igual ao dobro do outro, então 3a = 2b
É um sistema de equações do 1º grau. Se fizermos a = 2b/3, substituímos na
primeira equação:
2b/3 + b = 90
5b/3 = 90
b = 3/5 * 90
b = 54 → a = 90 – 54 = 36º
Como a é o menor ângulo, o suplemento de 36 é 180-36 = 144º.
6) Resposta “80˚”.
Solução: (a metade de um ângulo) menos seu a [quinta parte] de seu
[complemento] mede 38º.
[a/2] – [1/5] [(90-a)] = 38
a/2 – 90/5 + a/5 = 38
a/2 + a/5 = 38 + 90/5
7a/10 = 38 + 18
a = 10/7 * 56
a = 80º
7) Resposta “180˚”.
Solução: Seja x a constante de proporcionalidade, temos para os ângulos: a,
b, c, d, e…, a seguinte proporção com os números 2, 3, 4, 5 e 6:
a/2 = x → a = 2x
b/3 = x → b = 3x
c/4 = x → c = 4x
d/5 = x → d = 5x
e/6 = x → e = 6x
Assim as semi-retas: a + b + c + d + e = 2x + 3x + 4x + 5x + 6x = 360º
Agora a soma das retas: 20x
Então: 20x = 360º → x = 360°/20
x = 18°
Agora sabemos que o maior é 6x, então 6 . 18° = 108°.
8) Resposta “135˚”.
Solução: Na figura, o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a
metade do ângulo z. Calcule y.
Então vale lembrar que:
x + y = 180 então y = 180 – x.
E também como x e z são opostos pelo vértice, x = z
E de acordo com a figura: o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a
metade do ângulo z. Calcule y.
x = y/6 + z/2
Agora vamos substituir lembrando que y = 180 - x e x = z
Então:
x = 180° - x/6 + x/2 agora resolvendo fatoração:
6x = 180°- x + 3x | 6x = 180° + 2x
6x – 2x = 180°
4x = 180°
x=180°/4
x=45º
Agora achar y, sabendo que y = 180° - x
y=180º - 45°
y=135°.
9) Resposta “11º; 159º”.
Solução:
3m - 12º e m + 10º, são ângulos opostos pelo vértice logo são iguais.
3m - 12º = m + 10º
3m - m = 10º + 12º
2m = 22º
m = 22º/2
m = 11º
m + 10º e n são ângulos suplementares logo a soma entre eles é igual a
180º.
(m + 10º) + n = 180º
(11º + 10º) + n = 180º
21º + n = 180º
n = 180º - 21º
n = 159º
Resposta: m = 11º e n = 159º.
10) Resposta “45˚”.
É um ângulo oposto pelo vértice, logo, são ângulos iguais.
Triângulos
Triângulo é um polígono de três lados. É o polígono que possui o menor
número de lados. Talvez seja o polígono mais importante que existe. Todo
triângulo possui alguns elementos e os principais são: vértices, lados, ângulos,
alturas, medianas e bissetrizes.
Apresentaremos agora alguns objetos com detalhes sobre os mesmos.
1. Vértices: A,B,C.
2. Lados: AB,BC e AC.
3. Ângulos internos: a, b e c.
Altura: É um segmento de reta traçada a partir de um vértice de forma a
encontrar o lado oposto ao vértice formando um ângulo reto. BH é uma altura
do triângulo.
Mediana: É o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.
BM é uma mediana.
Bissetriz: É a semi-reta que divide um ângulo em duas partes iguais. O
ângulo B está dividido ao meio e neste caso Ê = Ô.
Ângulo Interno: É formado por dois lados do triângulo. Todo triângulo
possui três ângulos internos.
Ângulo Externo: É formado por um dos lados do triângulo e pelo
prolongamento do lado adjacente (ao lado).
Classificação dos triângulos quanto ao número de lados
Triângulo Equilátero: Os três lados têm medidas iguais. m(AB) = m(BC) =
m(CA)
Triângulo Isóscele: Os três lados têm medidas iguais. m(AB) = m(BC) =
m(CA)
Triângulo Escaleno: Todos os três lados têm medidas diferentes.
Classificação dos triângulos quanto às medidas dos ângulos
Triângulo Acutângulo: Todos os ângulos internos são agudos, isto é, as
medidas dos ângulos são menores do que 90º.
Triângulo Obtusângulo: Um ângulo interno é obtuso, isto é, possui um
ângulo com medida maior do que 90º.
Triângulo Retângulo: Possui um ângulo interno reto (90 graus).
Medidas dos Ângulos de um Triângulo
Ângulos Internos: Consideremos o triângulo ABC. Poderemos identificar
com as letras a, b e c as medidas dos ângulos internos desse triângulo. Em
alguns locais escrevemos as letras maiúsculas A, B e C para representar os
ângulos.
A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180
graus, isto é: a + b + c = 180º
Exemplo
Considerando o triângulo abaixo, podemos escrever que: 70º + 60º + x =
180º e dessa forma, obtemos x = 180º - 70º - 60º = 50º.
Ângulos Externos: Consideremos o triângulo ABC. Como observamos no
desenho, em anexo, as letras minúsculas representam os ângulos internos e as
respectivas letras maiúsculas os ângulos externos.
Todo ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos
internos não adjacentes a esse ângulo externo. Assim: A = b+c, B = a+c, C =
a+b
Exemplo
No triângulo desenhado: x=50º+80º=130º.
Congruência de Triângulos
A idéia de congruência: Duas figuras planas são congruentes quando têm
a mesma forma e as mesmas dimensões, isto é, o mesmo tamanho.
Para escrever que dois triângulos ABC e DEF são congruentes, usaremos a
notação: ABC ~ DEF
Para os triângulos das figuras abaixo, existe a congruência entre os lados,
tal que:
AB ~ RS, BC ~ ST, CA ~ T e entre os ângulos: A ~ R , B ~ S , C ~ T
Se o triângulo ABC é congruente ao triângulo RST, escrevemos: ABC ~ RST
Dois triângulos são congruentes, se os seus elementos correspondentes são
ordenadamente congruentes, isto é, os três lados e os três ângulos de cada
triângulo têm respectivamente as mesmas medidas.
Para verificar se um triângulo é congruente a outro, não é necessário saber
a medida de todos os seis elementos, basta conhecerem três elementos, entre
os quais esteja presente pelo menos um lado. Para facilitar o estudo,
indicaremos os lados correspondentes congruentes marcados com símbolos
gráficos iguais.
Casos de Congruência de Triângulos
LLL (Lado, Lado, Lado): Os três lados são conhecidos.
Dois triângulos são congruentes quando têm, respectivamente, os três lados
congruentes. Observe que os elementos congruentes têm a mesma marca.
LAL (Lado, Ângulo, Lado): Dados dois lados e um ângulo
Dois triângulos são congruentes quando têm dois lados congruentes e os
ângulos formados por eles também são congruentes.
ALA (Ângulo, Lado, Ângulo): Dados dois ângulos e um lado
Dois triângulos são congruentes quando têm um lado e dois ângulos
adjacentes a esse lado, respectivamente, congruentes.
LAAo (Lado, Ângulo, Ângulo oposto): Conhecido um lado, um ângulo e
um ângulo oposto ao lado.
Dois triângulos são congruentes quando têm um lado, um ângulo, um ângulo
adjacente e um ângulo oposto a esse lado respectivamente congruente.
Semelhança de Triângulos
A idéia de semelhança: Duas figuras são semelhantes quando têm a
mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho.
Se duas figuras R e S são semelhantes, denotamos: R~S.
Exemplo
As ampliações e as reduções fotográficas são figuras semelhantes. Para os
triângulos:
os três ângulos são respectivamente congruentes, isto é: A~R, B~S, C~T
Observação: Dados dois triângulos semelhantes, tais triângulos possuem
lados proporcionais e ângulos congruentes. Se um lado do primeiro triângulo é
proporcional a um lado do outro triângulo, então estes dois lados são ditos
homólogos. Nos triângulos acima, todos os lados proporcionais são homólogos.
Realmente:
AB~RS pois m(AB)/m(RS) = 2
BC~ST pois m(BC)/m(ST) = 2
AC~RT pois m(AC)/m(RT) = 2
Como as razões acima são todas iguais a 2, este valor comum é chamado
razão de semelhança entre os triângulos. Podemos concluir que o triângulo
ABC é semelhante ao triângulo RST.
Dois triângulos são semelhantes se, têm os 3 ângulos e os 3 lados
correspondentes proporcionais, mas existem alguns casos interessantes a
analisar.
Casos de Semelhança de Triângulos
Dois ângulos congruentes: Se dois triângulos tem dois ângulos
correspondentes congruentes, então os triângulos são semelhantes.
Se A~D e C~F então: ABC~DEF
Dois lados congruentes: Se dois triângulos tem dois lados
correspondentes proporcionais e os ângulos formados por esses lados também
são congruentes, então os triângulos são semelhantes.
Como m(AB) / m(EF) = m(BC) / m(FG) = 2
Então ABC ~ EFG
Exemplo
Na figura abaixo, observamos que um triângulo pode ser "rodado" sobre o
outro para gerar dois triângulos semelhantes e o valor de x será igual a 8.
Realmente, x pode ser determinado a partir da semelhança de triângulos.
Três lados proporcionais: Se dois triângulos têm os três lados
correspondentes proporcionais, então os triângulos são semelhantes.
Exercícios
1. Neste triângulo ABC, vamos calcular a, h, m e n:
2. Determine os valores literais indicados na figura:
3. Determine os valores literais indicados na figura:
4. Determine os valores literais indicados na figura:
5. Determine os valores literais indicados na figura:
6. Determine a altura de um triângulo equilátero de lado l.
7. Determine x nas figuras.
8. Determine a diagonal de um quadrado de lado l.
9. Calcule o perímetro do triângulo retângulo ABC da figura, sabendo
que o segmento BC é igual a 10 m e cos α = 3/5
10. Calcule a altura de um triângulo equilátero que tem 10 cm de lado.
Respostas
1) Solução:
a² = b² + c² → a² = 6² + 8² → a² = 100 → a = 10
b.c = a.h → 8.6 = 10.h → h = 48/10 = 4,8
c² = a.m → 6² = 10.m → m = 36/10 = 3,6
b² = a.n → 8² = 10.n → n = 64/10 = 6,4
2) Solução:
13² = 12² + x²
169 = 144 + x²
x² = 25
x=5
5.12 = 13.y
y = 60/13
3) Solução:
4) Solução:
5) Solução:
6) Solução:
7) Solução: O triângulo ABC é equilátero.
8) Solução:
9) Solução:
10) Solução:
Teorema de Pitágoras
O teorema de Pitágoras
Dizem que Pitágoras, filósofo e matemático grego que viveu na cidade
de Samos no século VI a. C., teve a intuição do seu famoso teorema
observando um mosaico como o da ilustração a seguir
Observando o quadro, podemos estabelecer a seguinte tabela:
Área do quadrado
construído sobre a
hipotenusa
Área do quadrado
construído sobre um
cateto
Área do quadrado
construído sobre o
outro cateto
Triângulo
ABC
4
Triângulo
A`B`C`
8
Triângulo
A``B``C``
16
2
4
8
2
4
9
Como 4 = 2 + 2,8 = 4 + 4,16 = 8 + 8, Pitágoras observou que:
A área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas
dos quadrados construídos sobre os catetos.
A descoberta feita por Pitágoras estava restrita a um triângulo particular: o
triângulo retângulo isósceles.
Estudos realizados posteriormente permitiram provar que a relação métrica
descoberta por Pitágoras era válida para todos os triângulos retângulos.
Com base no triângulo retângulo utilizado nas construções egípcias e
construindo quadrados sobre os lados desse triângulo, podemos obter as
seguintes figuras:
= 1 unidade de comprimento
= 1 unidade de área
25 = 16 + 9 ou
52 = 4 2 + 3 2
Nessas condições, confirma-se a relação: a área do quadrado construído
sobre a hipotenusa é igual à somadas áreas dos quadrados construídos sobre
os dois catetos.
Muito utilizada, essa relação métrica é um dos mais importantes teoremas
da matemática.
Teorema de Pitágoras
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à
soma dos quadrados da medida dos catetos.
Demonstrando o teorema de Pitágoras
Existem inúmeras maneiras de demonstrar o teorema de Pitágoras.
Veremos uma delas, baseada no cálculo de áreas de figuras geométricas
planas.
Consideremos o triângulo retângulo da figura.
a = medida da hipotenusa
b = medida de um cateto
c = medida do outro cateto
Observe, agora, os quadrados MNPQ e DEFG, que têm a mesma área, pois
o lado de cada quadrado mede (b+c).
- Área do quadrado MNPQ = área do quadrado RSVT + (área do triângulo
RNS) . 4
- Área do quadrado DEFG = área do quadrado IELJ + área do quadrado
GHJK + (área do retângulo DIJH).2
- Área do quadrado RSVT = a2
b.c
- Área do triângulo RNS=
2
- Área do quadrado IELJ=c2
- Área do quadrado GHJK=b2
- Área do retângulo DIJK=b.c
Como os quadrados MNPQ e DEFG têm áreas iguais, podemos escrever:
 bc 
a2+  . 42=c2+b2 + (bc) . 2
 2 
2
a + 2bc = c2 + b2 + 2bc
Cancelando 2bc, temos:
a2=b2+c2
A demonstração algébrica do teorema de Pitágoras será feita mais adiante.
Pense & Descubra
Um terreno tem a forma de um triângulo retângulo e tem rente para três
ruas: Rua 1, Rua 2 e Rua 3, conforme nos mostra a figura. Calcule, em metros,
o comprimento a da frente do terreno voltada para a rua 1.
De acordo com os dados do problema, temos b = 96 m e c = 180 m.
Aplicando o teorema de Pitágoras:
a2 = b2 + c2
a2 = (96)2 + (180)2
a2 = 9216 + 32400
a2 = 41616
a = 41616
a = 204
Então, a frente do terreno para a rua 1 tem 204 m de comprimento.
Teorema de Pitágoras no quadrado
Aplicando o teorema de Pitágoras, podemos estabelecer uma relação
importante entre a medida d da diagonal e a medida l do lado de um quadrado.
d= medida da diagonal
l= medida do lado
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC, temos:
d2=l2+l2
d2=2 l2
d= 2l 2
d=l
2
Teorema de Pitágoras no triângulo equilátero
Aplicando o teorema de Pitágoras, podemos estabelecer uma relação
importante entre a medida h da altura e a medida l do lado de um triângulo
equilátero.
l= medida do lado
h= medida da altura
No triângulo equilátero, a altura e a mediana coincidem. Logo, H é ponto
médio do lado BC .
^
No triângulo retângulo AHC, H é ângulo reto. De acordo com o teorema de
Pitágoras, podemos escrever:

l2=h2+
2
3l 2
l
l2
3l 2
2
2
2
 h=

   h =l -  h =
4
4
4
2
h=
l 3
2
Exercícios
1. Sendo a,vb e c as medidas dos comprimentos dos lados de um
triângulo, indica, justificando, aqueles que são retângulos:
a) a = 6; b = 7 e c = 13;
b) a = 6; b = 10 e c = 8.
2. Calcula o valor de x em cada um dos triângulos rectângulos:
a)
b)
3. A figura representa um barco à vela.
Determina, de acordo com os dados da figura, os valores de x e y.
4. O Pedro e o João estão a andar de balance, como indica a figura:
A altura máxima a que pode subir cada um dos amigos é de 60 cm.
Qual o comprimento do balance?
5. Qual era a altura do poste?
6. Qual é a distância percorrida pelo berlinde.
7. Calcule a área da seguinte figura.
8. Calcule a área da seguinte figura.
9. Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a
seguir.
10. Calcule o valor do cateto no triângulo retângulo abaixo:
Respostas
1) Solução: "Se num triângulo as medidas dos seus lados verificarem o
Teorema de Pitágoras então pode-se concluir que o triângulo é retângulo".
Então teremos que verificar para cada alínea se as medidas dos lados dos
triângulos satisfazem ou não o Teorema de Pitágoras.
a)
b)
2) Solução:
a)
b)
3) Solução:
4) Solução: Pode-se aplicar o Teorema de Pitágoras, pois a linha a tracejado
forma um ângulo de 90 graus com a "linha" do chão.
Então vem:
1,8 m = 180 cm
Logo, o comprimento do balance é de 1,9 m.
5) Solução:
h=4+5=9
Logo, a altura do poste era de 9 m.
6) Solução:
Portanto, a distância percorrida pelo berlinde é de: 265 cm = 2,65 m.
7) Solução:
8) Solução:
9) Solução:
x² = 9² + 12²
x² = 81 + 144
x² = 225
√x² = √225
x = 15
10) Solução:
x² + 20² = 25²
x² + 400 = 625
x² = 625 – 400
x² = 225
√x² = √225
x = 15
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
Definiremos algumas relações e números obtidos a partir dos lados de
triângulos retângulos. Antes, porém, precisamos rever algumas de suas
propriedades.
A fig. 1 apresenta um triângulo onde um de seus ângulos internos é reto (de

medida 90º ou
rad), o que nos permite classificá-lo como um triângulo
2
retângulo.
Lembremo-nos de que, qualquer que seja o triângulo, a soma dos seus três
ângulos internos vale 180º. Logo, a respeito do triângulo ABC apresentado,
dizemos que:
    90 0  180 0      90 0
Com isso, podemos concluir:
- Que os ângulos α e β são complementares, isto é, são ângulos cujas
medidas somam 90º;
- Uma vez que são complementares ambos terão medida inferior a 90º.
Portanto, dizemos que todo triângulo retângulo tem um ângulo interno reto e
dois agudos, complementares entre si.
De acordo com a figura, reconhecemos nos lados b e c os catetos do
triângulo retângulo e em a sua hipotenusa.
Lembremo-nos de que a hipotenusa será sempre o lado oposto ao ângulo
reto em, ainda, o lado maior do triângulo. Podemos relacioná-los através do
Teorema de Pitágoras, o qual enuncia que o quadrado sobre a hipotenusa de
um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados sobre os catetos (sic) ou,
em linguajar moderno, “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado
da hipotenusa de um triângulo retângulo”.
Aplicado ao nosso triângulo, e escrito em linguagem matemática, o
teorema seria expresso como segue:
a2 = b2 + c2
Seno, Co-seno e Tangente de um Ângulo Agudo
A fig. 2 ilustra um triângulo retângulo conhecido como triângulo pitagórico,
classificação devida ao fato de que, segundo a tradição grega, através dele
Pitágoras enunciou seu Teorema.
De fato, as medidas de seus lados (3, 4 e 5 unidades de comprimento)
satisfazem a sentença 52 = 32 + 42.
Apesar de nos apoiarmos particularmente no triângulo pitagórico, as
relações que iremos definir são válidas para todo e qualquer triângulo
retângulo. Apenas queremos, dessa forma, obter alguns resultados que serão
comparados adiante.
Definimos seno, co-seno e tangente de um ângulo agudo de um
triângulo retângulo pelas relações apresentadas no quadro a seguir:
cateto oposto ao ângulo
hipotenusa
cateto adjacente ao ângulo
Co-seno do ângulo =
hipotenusa
cateto oposto ao ângulo
Tangente do ângulo =
cateto adjacente ao ângulo
Seno do ângulo =
A partir dessas definições, o cálculo de seno, co-seno e tangente do ângulo
α, por exemplo, nos fornecerão os seguintes valores:
3
= 0,6
5
4
cos α = = 0,8
5
3
tg α = = 0,75
4
sen α =
Ao que acabamos de ver, aliemos um conhecimento adquirido da
Geometria. Ela nos ensina que dois triângulos de lados proporcionais são
semelhantes.
Se multiplicarmos, então, os comprimentos dos lados de nosso triângulo
pitagórico semelhante, com os novos lados (6, ,8 e 10) igualmente satisfazendo
o Teorema de Pitágoras.
Na fig. 3, apresentamos o resultado dessa operação, em que mostramos o
triângulo ABC, já conhecido na fig. 1 e A1BC1.
Observemos que os ângulos α e β permanecem sendo os ângulos agudos
internos do triângulo recém-construído.
Lançando Mao das medidas dos novos lados
A1 B, BC 1 e A1C1
(respectivamente 8, 10 e 6 unidades de comprimento), calculemos, para o
ângulo α, os valores de seno, co-seno e tangente:
8
= 0,6
10
8
cos α =
= 0,8
10
6
tg α = = 0,75
8
sen α =
Nosso intuito, na repetição dessas operações, é mostrar que, não
importando se o triângulo PE maior ou menor, as relações definidas como
seno, co-seno e tangente têm, individualmente, valores constantes, desde que
calculados para os mesmo ângulos.
Em outras palavras, seno, co-seno e tangente são funções apenas dos
ângulos internos do triângulo, e não de seus lados.
Outras Razões Trigonométricas – Co-tangente, Secante e Co-secante
Além das razões com que trabalhamos até aqui, são definidas a cotangente, secante e co-secante de um ângulo agudo de triângulo retângulo
através de relações entre seus lados, como definimos no quadro a seguir:
cateto adjacente ao ângulo
cateto oposto ao ângulo
hipotenusa
sec do ângulo =
cateto adjacente ao ângulo
hipotenusa
cosec do ângulo =
cateto oposto ao ângulo
cot do ângulo =
Por exemplo, para um triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5 unidades de
comprimento, como exibido na fig. 6, teríamos, para o ângulo α,
cotg α =
4
3
sec α =
5
4
cosec α =
5
3
Seno, Co-seno, Tangente e Co-tangente de Ângulos Complementares
Já foi visto que em todo triângulo retângulo os ângulos agudos são
complementares.
    90 o
Sabemos ainda que:
b
a
c
cos α =
a
b
tg α =
c
c
cotg α =
b
sen α =
c
a
b
cos β =
a
c
tg β =
b
b
cotg β =
c
sen β =
Verifica-se facilmente que:
sen α = cos β; cos α = sen β;
tg α = cotg β; cotg α = tg β.
Exemplo
Um triângulo retângulo tem catetos cujas medidas são 5 cm e 12 cm.
Determine o valor de seno, co-seno e tangente dos seus ângulos agudos.
Resolução
Para respondermos ao que se pede, necessitaremos do comprimento da
hipotenusa do triângulo. Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos que:
a2 = b2 + c2 → a2 = 52 + 122 = 169
Logo, a = 13 cm. Assim, obtemos para seno, co-seno e tangente dos
ângulos da Figura, os seguintes valores:
5
13
12
sen  
13
sen  
12
13
5
cos  
13
cos  
5
12
12
tg  
5
tg  
Ângulos Notáveis
Seno, Co-seno e Tangente dos Ângulos Notáveis
Uma vez definidos os conceitos de seno, co-seno e tangente de ângulos
agudos internos a um triângulo retângulo, passaremos a determinar seus
valores para ângulos de grande utilização em diversas atividades profissionais
e encontrados facilmente em situações cotidianas.
Por exemplo, na Mecânica, demonstra-se que o ângulo de lançamento,
tomado com relação à horizontal, para o qual se obtém o máximo alcance com
uma mesma velocidade de tiro, é de 45 o-; uma colméia é constituída,
interiormente, de hexágonos regulares, que por sua vez, são divisíveis, cada
um, em seis triângulos equiláteros, cujos ângulos internos medem 60o;
facilmente encontram-se coberturas de casas, de regiões tropicais, onde não
há neve, com ângulo de inclinação definido nos 30o, etc.
Vamos selecionar, portanto, figuras planas em que possamos delimitar
ângulo com as medidas citadas (30o, 45o e 60o). Para isso, passaremos a
trabalhar com o quadrado e o triângulo equilátero.
Observemos, na figura 4 e na figura 5, que a diagonal de um quadrado
divide ângulos internos opostos, que são retos, em duas partes de 45 + o+, e
que o segmento que define a bissetriz (e altura) de um ângulo interno do
triângulo equilátero permite-nos reconhecer, em qualquer das metades em que
este é dividido, ângulos de medidas 30o e 60o.
Primeiramente, vamos calcular os comprimentos da diagonal do quadrado
(identificado na figura 4 por d) e a altura h, do triângulo equilátero (figura 5).
Uma vez que as regiões sombreadas nas figuras são triângulos retângulos,
podemos aplicar o teorema de Pitágoras para cada um deles.
Para o meio-quadrado, temos que:
D2 =a2 + a2 → d2 = 2 . a2
d  a 2
Quanto ao triângulo equilátero, podemos escrever o seguinte:

l2=
2
1
l2
3l 2
l 3
2
2
2
2
 h 
  h h l  h 
4
4
2
2
Sabemos, agora, que o triângulo hachurado no interior do quadrado tem
catetos de medida a e hipotenusa a 2 . Para o outro triângulo sombreado,
1 l 3
teremos catetos e medidas
, enquanto sua hipotenusa tem
e
2
2
comprimento l.
Passemos, agora, ao cálculo de seno, co-seno e tangente dos ângulos de
o
30 m 45o e 60o.
Seno, Co-seno e Tangente de 30o e 60o.
Tomando por base o triângulo equilátero da figura 5, e conhecendo as
medidas de seus lados, temos:
l
1 1 1
sen 30o= 2  . 
l 2 l 2
l 3
h
3
cos 30o=  2 
l
l
2
l
l
l
2 1 3
3
.

tg 30o= 2  2  .
h l 3 2 l 3 3 3
3
2
l 3
h
3
sen 60o=  2 
l
1
2
l
l 1 1
cos 60o= 2  . 
l 2 l 2
l 3
h
3 2
.  3
tg 60o=  2 
l
l
2 1
2
2
Seno, Co-seno e Tangente de 45o
A partir do quadrado representado na figura 4, de lado a e diagonal a 2 ,
podemos calcular:
sen 45o=
cos 45o=
tg 45o 
a
a
1
2
2


.

d a 2
2
2 2
a
a
1
2
2


.

d a 2
2
2 2
a
1
a
Os resultados que obtivemos nos permitem definir, a seguir, uma tabela de
valores de seno, co-seno e tangente dos ângulos notáveis, que nos será
extremamente útil.
sen
30o
1
2
cos
tg
3
2
3
3
45o
2
2
2
2
1
60o
3
2
1
2
3
Identidades Trigonométricas
É comum a necessidade de obtermos uma razão trigonométrica, para um
ângulo, a partir de outra razão cujo valor seja conhecido, ou mesmo simplificar
expressões extensas envolvendo várias relações trigonométricas para um
mesmo ângulo.
Nesses casos, as identidades trigonométricas que iremos deduzir neste
tópico são ferramentas de grande aplicabilidade.
Antes de demonstrá-las, é necessário que definamos o que vem a ser uma
identidade.
Identidade em uma ou mais variáveis é toda igualdade verdadeira para
quaisquer valores a elas atribuídos, desde que verifiquem as condições de
existência de expressão.
2 2x2  4
Por exemplo, a igualdade x  
é uma identidade em x, pois é
x
2x
verdadeira para todo x real, desde q x≠0 (divisão por zero é indeterminado ou
inexistente).
Vamos verificar agora como se relacionam as razões trigonométricas que já
estudamos. Para isso, faremos uso do triângulo ABC apresentado na figura A,
retângulo em A.
Aplicando as medidas de seus lados no teorema de Pitágoras, obtemos a
seguinte igualdade:
b 2 + c2 = a 2
Dividindo os seus membros por a2, não alteraremos a igualdade. Assim,
teremos:
2
2
b2 c2 a2
b c
 2  2       1
2
a
a
a
a a
Observemos que as frações entre parênteses podem definir, com relação ao
nosso triângulo, que:
sen2α + cos2α = 1
e
cos2β + sen2 β = 1
Podemos afirma, portanto, que a soma dos quadrados de seno e co-seno de
um ângulo x é igual à unidade, ou seja:
Sen2x + cos2x = 1
Expliquemos o significado da partícula co, que inicia o nome das relações
co-seno, cotangente e co-secante. Ela foi introduzida por Edmund Gunter, em
1620, querendo indicar a razão trigonométrica do complemento. Por exemplo,
co-seno de 22o tem valor idêntico ao seno de 68o (complementar de 22o)
Assim, as relações co-seno, co-tangente e co-secante de um ângulo
indicam, respectivamente, seno, tangente e secante do complemento desse
ângulo.
Assim, indicando seno, tangente e secante simplesmente pelo nome de
razão, podemos dizer que:
co-razão x = razão (90o –x)
Facilmente podemos concluir, com base no triângulo apresentado na figura
A, que:
sen α=cos β
tg α=cotg β
sec α=cossec β
sen β=cos α
tg β=cotg α
sec β=cossec α
Façamos outro desenvolvimento. Tomemos um dos ângulos agudos do
triângulo ABC, da figura A. Por exemplo, α. Dividindo-se sen α por cos α,
obtemos:
b
sen  a b a b
  .   tg 
cos  c a c c
a
De forma análoga, o leitor obterá o mesmo resultado se tomar o ângulo β.
Dizemos, portanto, que, para um ângulo x, tal que cós x ≠ 0,
tg x 
sen x
cos x
Podemos observar, também, que a razão
b
, que representa tg α, se
c
c
), vem a constituir cotg α. Em virtude disso, e
b
aproveitando a identidade enunciada anteriormente, podemos dizer que, para
todo ângulo x de seno não-nulo:
invertida (passando a
cotg x =
1
cos x

tg x sen x
Tais inversões ocorrem também e se tratando das relações seno, co-seno,
secante e co-secante. Vejamos que:
a

sen  


b

cos ec   a

b

c

cos   a
e 
sec   a

c
Teríamos encontrado inversões semelhantes se utilizássemos o ângulo β.
Dizemos, assim, que, para um dado ângulo x,
1
cox x
1
cosec x =
sen x
sec x =
Desde que seja respeitada a condição de os denominadores dos segundos
membros dessas identidades não serem nulos.
Exercícios
1. Sabe-se que, em qualquer triângulo retângulo, a medida da mediana
relativa à hipotenusa é igual à metade da medida da hipotenusa. Se um
triângulo retângulo tem catetos medindo 5cm e 2cm, calcule a
representação decimal da medida da mediana relativa a hipotenusa nesse
triângulo.
2. Um quadrado e um triângulo equilátero têm o mesmo perímetro.
Sendo h a medida da altura do triângulo e d a medida da diagonal do
quadrado. Determine o valor da razão h/d.
3. As raízes da equação x² - 14x + 48 = 0 expressam em centímetros as
medidas dos catetos de um triângulo retângulo. Determine a medida da
hipotenusa e o perímetro desse triângulo.
4. Seja o triângulo ABC, mostrado na figura, onde a = 20, b = 10
= 30. Calcular o raio do círculo circunscrito e o ângulo C.
eB
5. Os lados adjacentes de um paralelogramo medem 1388m e 2526m e
o ângulo formado entre estes lados mede 54,42º. Determinar o
comprimento da maior diagonal desse quadrilátero.
6. Os lados de um triângulo são 3, 4 e 6. O cosseno do maior ângulo
interno desse triângulo vale:
a) 11 / 24
b) - 11 / 24
c) 3 / 8
d) - 3 / 8
e) - 3 / 10
7. Se x e y são dois arcos complementares, então podemos afirmar
que
A = (cosx - cosy)2 + (senx + seny)2 é igual a:
a) 0
b) ½
c) 3/2
d) 1
e) 2
8. Calcule sen 2x sabendo-se que tg x + cotg x = 3.
9. Qual o domínio e o conjunto imagem da função y = arcsen 4x?
10. Calcule o triplo do quadrado do coseno de um arco cujo quadrado
da tangente vale 2.
Respostas
1) Solução:
2) Solução:
3) Solução:
4) Solução:
Pela Lei dos senos, b = 2R . sen(B), logo 10
= 2R . sen(30) e desse
modo R = 10
.
Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º,
calcularemos o ângulo A.
Pela Lei dos Senos, b . sem (A) = a . sen(B), de onde segue que 10
.
sem(A) = 20 . sen(30), assim, sem (A) = /2
Como A é um dos ângulos do triângulo então A = 45º ou A = 135º.
Como B = 30°, da relação A + B + C = 180º, segue que A + C = 150° e
temos duas possibilidades:
1. A = 45º e C = 105º
2. A = 135º e C = 15º.
5) Solução:
No triângulo ABC, A + C = 54,42º, então: B = 180º - 54,42º = 125,58º
A lei dos cossenos:
b² = a² + c² - 2ac cos(B)
garante que:
b² = (1388)² + (2526)² - 2(1388)(2526) cos(125,58º)
Assim, b = 3519,5433 e então garantimos que a maior diagonal do
paralelogramo mede aproximadamente 3519,54 metros.
6) Resposta “B”.
Solução: Sabemos que num triângulo, ao maior lado opõe-se o maior
ângulo. Logo, o maior ângulo será aquele oposto ao lado de medida 6.
Teremos então, aplicando a lei dos cossenos:
62 = 32 + 42 - 2 . 3 . 4 . cos b \ 36 - 9 - 16 = - 24 . cos b \ cos b = - 11 / 24 e,
portanto, a alternativa correta é a letra B.
Lembrete: TC - Teorema dos cossenos: Em todo triângulo, o quadrado de
um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos o dobro do
produto desses lados pelo cosseno do angulo que eles formam.
7) Resposta “E”.
Solução: Desenvolvendo os quadrados, vem:
A = cos2 x - 2 . cosx . cosy + cos2 y + sen2 x + 2 . senx . seny + sen2 y
Organizando convenientemente a expressão, vem:
A = (cos2 x + sen2 x) + (sen2 y + cos2 y) - 2 . cosx . cosy + 2 . senx . seny
A = 1 + 1 - 2 . cosx . cosy + 2 . senx . seny
A = 2 - 2 . cosx . cosy + 2 . senx . seny
Como os arcos são complementares, isto significa que x + y = 90º \ y = 90º x.
Substituindo, vem:
A = 2 - 2 . cosx . cos(90º - x) + 2 . senx . sen(90º - x)
Mas, cos(90º - x) = senx e sen(90º - x) = cosx, pois sabemos que o seno de
um arco é igual ao cosseno do seu complemento e o cosseno de um arco é
igual ao seno do seu complemento.
Logo, substituindo, fica:
A = 2 - 2 . cosx . senx + 2 . senx . cosx
A = 2 + (2senxcosx - 2senxcosx) = 2 + 0 = 2 , e portanto a alternativa correta
é a letra E.
8) Solução:
Escrevendo a tgx e cotgx em função de senx e cosx , vem:
Daí, vem: 1 = 3 . senx . cosx \ senx . cosx = 1 / 3. Ora, sabemos que sen 2x
= 2 . senx . cosx e portanto senx . cosx = (sen 2x) / 2 , que substituindo vem:
(sen 2x) / 2 = 1 / 3 e, portanto, sen 2x = 2 / 3.
9. Solução:
Podemos escrever: 4x = seny. Daí, vem:
Para x: -1 £ 4x £ 1 Þ -1/4 £ x £ 1/4. Portanto, Domínio = D = [-1/4, 1/4].
Para y: Da definição vista acima, deveremos ter -p /2 £ y £ p /2.
Resposta: D = [-1/4, 1/4] e Im = [-p /2, p /2].
10) Solução:
Seja x o arco. Teremos:
tg2x = 2
Desejamos calcular 3.cos2x, ou seja, o triplo do quadrado do coseno do
arco.
Sabemos da Trigonometria que: 1 + tg2x = sec2x
Portanto, substituindo, vem: 1 + 2 = sec2x = 3
Como sabemos que:
secx = 1/cosx , quadrando ambos os membros vem:
sec2x = 1/ cos2x \ cos2x = 1/sec2x = 1/3 \ 3cos2x = 3(1/3) = 1
Portanto, o triplo do quadrado do coseno do arco cuja tangente vale 2, é
igual à unidade.
Resposta: 1
Quadrilátero
Quadriláteros e a sua classificação
Quadrilátero é um polígono com quatro lados e os principais quadriláteros
são: quadrado, retângulo, losango, trapézio e trapezóide.
No quadrilátero acima, observamos alguns elementos geométricos:
- Os vértices são os pontos: A, B, C e D.
- Os ângulos internos são A, B, C e D.
- Os lados são os segmentos AB, BC, CD e DA.
Observação: Ao unir os vértices opostos de um quadrilátero qualquer,
obtemos sempre dois triângulos e como a soma das medidas dos ângulos
internos de um triângulo é 180 graus, concluímos que a soma dos ângulos
internos de um quadrilátero é igual a 360 graus.
Classificação dos Quadriláteros
Paralelogramo: É o quadrilátero que tem lados opostos paralelos. Num
paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes. Os paralelogramos mais
importantes recebem nomes especiais:
- Losango: 4 lados congruentes
- Retângulo: 4 ângulos retos (90 graus)
- Quadrado: 4 lados congruentes e 4 ângulos retos.
Trapézio: É o quadrilátero que tem apenas dois lados opostos paralelos.
Alguns elementos gráficos de um trapézio (parecido com aquele de um circo).
- AB é paralelo a CD
- BC é não é paralelo a AD
- AB é a base maior
- DC é a base menor
Os trapézios recebem nomes de acordo com os triângulos que têm
características semelhantes. Um trapézio pode ser:
- Retângulo: dois ângulos retos
- Isósceles: lados não paralelos congruentes
- Escaleno: lados não paralelos diferentes
Exercícios
1. Determine a medida dos ângulos indicados:
a)
b)
c)
2. As medidas dos ângulos internos de um quadrilátero são: x + 17°; x +
37°; x + 45° e x + 13°. Determine as medidas desses ângulos.
3. No paralelogramo abaixo, determine as medidas de x e y.
4. A figura abaixo é um losango. Determine o valor de x e y, a medida
da diagonal
, da diagonal
e o perímetro do triângulo BMC.
5. No retângulo abaixo, determine as medidas de x e y indicadas:
6. Determine as medidas dos ângulos do trapézio da figura abaixo:
7. A figura abaixo é um trapézio isósceles, onde a, b, c representam
medidas dos ângulos internos desse trapézio. Determine a medida de a,
b, c.
8. Sabendo que x é a medida da base maior, y é a medida da base
menor, 5,5 cm é a medida da base média de um trapézio e que x - y = 5
cm, determine as medidas de x e y.
9. Seja um paralelogramo com as medidas da base e da altura
respectivamente, indicadas por b e h. Se construirmos um outro
paralelogramo que tem o dobro da base e o dobro da altura do outro
paralelogramo, qual será relação entre as áreas dos paralelogramos?
10. É possível obter a área de um losango cujo lado mede 10 cm?
Respostas
1) Solução:
a) x + 105° + 98º + 87º = 360º
x + 290° = 360°
x = 360° - 290°
x = 70º
b) x + 80° + 82° = 180°
x + 162° = 180°
x = 180º - 162º
x = 18°
18º + 90º + y + 90º = 360°
y + 198° = 360°
y = 360º - 198°
y = 162º
c) 3a / 2 + 2a + a / 2 + a = 360º
(3a + 4a + a + 2a) / 2 = 720° /2
10a = 720º
a = 720° / 10
a = 72°
72° + b + 90° = 180°
b + 162° = 180°
b = 180° - 162°
b = 18°.
2) Solução:
x + 17° + x + 37° + x + 45° + x + 13° = 360°
4x + 112° = 360°
4x = 360° - 112°
x = 248° / 4
x = 62°
Então, os ângulos são:
x + 17° = 79°
x + 37° = 99°
x + 45° = 107º
x + 13° = 75°.
3) Solução:
9y + 16° = 7y + 40°
9y = 7y + 40° - 16°
9y = 7y + 24°
9y - 7y = 24°
2y = 24°
y = 24º /2
y = 12°
Então:
x + (7 * 12° + 40°) = 180°
x = 180º - 124°
x = 56°
4) Solução:
x = 15
y = 20
= 20 + 20 = 40
= 15 + 15 = 30
BMC = 15 + 20 + 25 = 60.
5) Solução:
12 x + 2° + 5 x + 3° = 90°
17 x + 5° = 90°
17 x = 90° - 5°
17 x = 85°
x = 85° / 17° = 5°
y = 5x + 3°
y = 5 (5°) + 3°
y = 28°
6) Solução:
x + 27° + 90° = 180°
x + 117° = 180°
x = 180° - 117°
x = 63°
y + 34° + 90° = 180°
y + 124° = 180°
y = 180° - 124°
y = 56°
As medidas dos ângulos são:
63° ; 56° ; 90° + 27° = 117° ; 90 + 34° = 124°.
7) Solução:
c = 117°
a + 117° = 180°
a = 180° - 117°
a = 63°
b = 63°
8) Solução:
x + y = 11
x-y=5
__________
2x + 0 = 16
2x = 16/2
x=8
x + y = 11
8 + y = 11
y = 11 – 8
y=3
9) Solução:
A2 = (2b)(2h) = 4 bh = 4 A1
10) Solução:
Não, pois os ângulos entre os lados de dois losangos, podem ser diferentes.
Polígonos
Um polígono é uma figura geométrica plana limitada por uma linha poligonal
fechada. A palavra "polígono" advém do grego e quer dizer muitos (poly) e
ângulos (gon).
Linhas poligonais e polígonos
Linha poligonal é uma sucessão de segmentos consecutivos e nãocolineares, dois a dois. Classificam-se em:
Linha poligonal fechada simples
Linha poligonal fechada não-simples
Linha poligonal aberta simples
Linha poligonal aberta não-simples
Polígono é uma linha fechada simples. Um polígono divide o plano em que
se encontra em duas regiões (a interior e a exterior), sem pontos comuns.
Elementos de um polígono
Um polígono possui os seguintes elementos:
- Lados: Cada um dos segmentos de reta que une vértices cosecutivos:
,
,
,
,
,
.
- Vértices: Ponto de encontro de dois lados consecutivos: A, B, C, D, E.
- Diagonais: Segmentos que unem dois vértices não consecutivos:
,
,
,
- Ângulos internos: Ângulos formados por dois lados consecutivos:
,
,
,
,
,
.
- Ângulos externos: Ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do
lado a ele consecutivo:
,
,
,
,
.
Classificação dos polígonos quanto ao número de lados
Nome
triângulo
pentágono
heptágono
eneágono
hendecágono
tridecágono
pentadecágono
heptadecágono
eneadecágono
triacontágono
pentacontágono
heptacontágono
eneacontágono
quilógono
Número
de
lados
3
5
7
9
11
13
15
17
19
30
50
70
90
1000
Nome
quadrilátero
hexágono
octógono
decágono
dodecágono
tetradecágono
hexadecágono
octodecágono
icoságono
tetracontágono
hexacontágono
octacontágono
hectágono
googólgono
Número
de
lados
4
6
8
10
12
14
16
18
20
40
60
80
100
10100
Classificação dos polígonos
A classificação dos polígonos pode ser ilustrada pela seguinte árvore:
Um polígono é denominado simples se ele for descrito por uma fronteira
simples e que não se cruza (daí divide o plano em uma região interna e
externa), caso o contrário é denominado complexo.
Um polígono simples é denominado convexo se não tiver nenhum ângulo
interno cuja medida é maior que 180°, caso o contrário é denominado côncavo.
Um polígono convexo é denominado circunscrito a uma circunferência ou
polígono circunscrito se todos os vértices pertencerem a uma mesma
circunferência.
Um polígono inscritível é denominado regular se todos os seus lados e todos
os seus ângulos forem congruentes.
Alguns polígonos regulares:
- triângulo equilátero
- quadrado
- pentágono regular
- hexágono regular
Propriedades dos polígonos
De cada vértice de um polígono de n lados, saem n - 3 diagonais (dv).
O número de diagonais (d) de um polígono é dado por
, onde n é o
número de lados do polígono.
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de n lados (Si) é
dada por
.
A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono de n lados (Se) é
igual a
.
Em um polígono convexo de n lados, o número de triângulos formados por
diagonais que saem de cada vértice é dado por n - 2.
A medida do ângulo interno de um polígono regular de n lados (ai) é dada
por
.
A medida do ângulo externo de um polígono regular de n lados (ae) é dada
por
.
A soma das medidas dos ângulos centrais de um polígono regular de n lados
(Sc) é igual a 360º.
A medida do ângulo central de um polígono regular de n lados (ac) é dada
por
.
Outros polígonos
Alguns polígonos são diferentes dos outros, por apresentarem lados
cruzados, são eles:
Estrelado
Polígono formado por corda e ângulos iguais. Pode ser:
Falso: Pela sobreposição de Polígonos
Verdadeiro: Formado por linhas poligonais fechadas não-simples
Entrecruzado
Polígono, cujo prolongamento dos lados, ajuda a formar outro polígono.
Entrelaçado
Formado por faixas de retas paralelas que se entrelaçam
Esboço dos Polígonos citados acima
Ângulos de um Polígono Regular
Polígono Regular: É o polígono que possui todos os lados congruentes e
todos os ângulos internos congruentes. Também, em cada vértice do polígono,
a soma das medidas dos ângulos interno e externo é 180°.
Para um polígono de n lados, temos que o ângulo interno (A¡) =
Exemplos
Hexágono Regular: 6 lados Cálculo da Soma das medidas dos ângulos
internos: S¡ = 6-2 . 180° = 4.180° = 720°
Como o Hexágono é regular: A¡ = 720º/6 = 120° Ae = 180º - 120º = 60°
O ângulo interno mede 120° e o externo, 60°.
Para um polígono convexo qualquer de n lados:
Soma dos ângulos Internos
SÎ = (n-2) . 180º
Soma dos ângulos Externos
Sê = 360º
Número de Diagonais
d= n(n-3) / 2
Polígonos regulares
São aqueles que possuem todos os lados congruentes e todos os ângulos
congruentes.
Î = (n-2).180º /n ê=360º/n
Î + ê =180º
Exercícios
1. Quanto vale a soma dos ângulos internos de um dodecágono?
2. Qual o polígono que tem soma dos ângulos internos igual a 3240º?
3. Ache o valor de x na figura:
4. Um quadrilátero possui:
a) Quantos vértices?
b) Quantos Lados?
c) Quantos lados internos e externos?
5. De o nome do polígono que possui:
a) 8 lados
b) 5 vértices
6. De o nome do polígono que possui:
a) 3 ângulos externos
b) 22 ângulos internos
7. Qual o número mínimo de lados de um polígono?
8. Determine o número de diagonais do octógono.
9. Determine o polígono cujo número de diagonais é o dobro do
número de lados.
10. Quantos ângulos internos possui um decágono?
Respostas
1) Solução:
n = 12
2) Solução:
3) Solução:
A soma dos ângulos internos do pentágono é:
4) Solução: Um quadrilátero, pelo próprio nome já diz, possui 4 lados.
Portanto:
a) 4 vértices
b) 4 lados
c) 4 ângulos internos e externos.
5) Solução:
a) Octógono
b) Pentágono
6) Solução:
a) Triângulo
b) Polígono de 22 lados.
7) Solução:
3 lados.
8) Solução. Um octógono possui 8 lados, ou 8 vértices, logo: n = 8
𝑛 .(𝑛−3)
2
=
8 .(8−3)
2
=
8 .5
2
=
40
2
= 20.
9) Solução:
n número de lados: n
𝑛 .(𝑛−3)
n de diagonais: d = 2
Pelo dado do problema: d = 2n
𝑛 .(𝑛−3)
2
= 2𝑛 → 𝑛 . (𝑛 − 3) = 4𝑛 →
7.
Logo, o polígono é o heptágono.
10) Solução:
10 ângulos
𝑛 .(𝑛−3)
𝑛
=
4𝑛
𝑛
→ 𝑛−3= 4 →𝑛 = 4+3=
Circunferência, Círculo e seus Elementos Respectivos
Equações da circunferência
Equação reduzida
Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de
um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:
Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência,
a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:
Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 é a equação reduzida da circunferência e
permite determinar os elementos essenciais para a construção da
circunferência: as coordenadas do centro e o raio.
Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem (C(0,0)),
a equação da circunferência será x2 + y2 = r2.
Equação Geral
Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da
circunferência:
Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de
centro C(2, -3) e raio r = 4.
A equação reduzida da circunferência é:
( x - 2 )2 +( y + 3 )2 = 16
Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:
Determinação do centro e do raio da circunferência, dada a equação
geral
Dada a equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de
fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-la na equação
reduzida e, assim, determinamos o centro e o raio da circunferência.
Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições:
- Os coeficientes dos termos x2 e y2 devem ser iguais a 1;
- Não deve existir o termo xy.
Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação
geral é x2 + y2 - 6x + 2y - 6 = 0.
Observando a equação, vemos que ela obedece às duas condições.
Assim:
1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo
independente
x2 - 6x + _ + y2 + 2y + _ = 6
2º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos
nas variáveis x e y, somando a ambos os membros as parcelas
correspondentes
3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos
( x - 3 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 16
4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio
Posição de um ponto em relação a uma circunferência
Em relação à circunferência de equação ( x - a )2 + ( y - b )2 = r2, o ponto
P(m, n) pode ocupar as seguintes posições:
a) P é exterior à circunferência
b) P pertence à circunferência
c) P é interior à circunferência
Assim, para determinar a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma
circunferência, basta substituir as coordenadas de P na expressão (x - a)2 + (y b)2 - r2:
- se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 > 0, então P é exterior à circunferência;
- se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 = 0, então P pertence à circunferência;
- se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 < 0, então P é interior à circunferência.
Posição de uma reta em relação a uma circunferência
Dadas uma reta s: Ax + Bx + C = 0 e uma circunferência de equação ( x + ( y - b)2 = r2, vamos examinar as posições relativas entre s e :
a)2
Também podemos determinar a posição de uma reta em relação a uma
circunferência calculando a distância da reta ao centro da circunferência.
Assim, dadas a reta s: Ax + By + C = 0 e a circunferência :
(x - a)2 + ( y - b )2 = r2, temos:
Assim:
Condições de tangência entre reta e circunferência
Dados uma circunferência
e um ponto P(x, y) do plano, temos:
a) se P pertence à circunferência, então existe uma única reta tangente à
circunferência por P
b) se P é exterior à circunferência, então existem duas retas tangentes a ela
por P
c) se P é interior à circunferência, então não existe reta tangente à
circunferência passando pelo ponto P
A Importância da Circunferência
A circunferência possui características não comumente encontradas em
outras figuras planas, como o fato de ser a única figura plana que pode ser
rodada em torno de um ponto sem modificar sua posição aparente. É também
a única figura que é simétrica em relação a um número infinito de eixos de
simetria. A circunferência é importante em praticamente todas as áreas do
conhecimento como nas Engenharias, Matemática, Física, Quimica, Biologia,
Arquitetura, Astronomia, Artes e também é muito utilizado na indústria e
bastante utilizada nas residências das pessoas.
Circunferência: A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos
de um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo
denominado o centro da circunferência. Esta talvez seja a curva mais
importante no contexto das aplicações.
Círculo: (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja
distância a um ponto fixo O é menor ou igual que uma distância r dada.
Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O círculo é a reunião
da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. No
gráfico acima, a circunferência é a linha de cor verde-escuro que envolve a
região verde, enquanto o círculo é toda a região pintada de verde reunida com
a circunferência.
Pontos interiores de um círculo e exteriores a um círculo
Pontos interiores: Os pontos interiores de um círculo são os pontos do
círculo que não estão na circunferência.
Pontos exteriores: Os pontos exteriores a um círculo são os pontos
localizados fora do círculo.
Raio, Corda e Diâmetro
Raio: Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta
com uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num
ponto qualquer da circunferência. Na figura, os segmentos de reta OA, OB e
OC são raios.
Corda: Corda de uma circunferência é um segmento de reta cujas
extremidades pertencem à circunferência. Na figura, os segmentos de reta AC
e DE são cordas.
Diâmetro: Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é uma corda
que passa pelo centro da circunferência. Observamos que o diâmetro é a maior
corda da circunferência. Na figura, o segmento de reta AC é um diâmetro.
Posições relativas de uma reta e uma circunferência
Reta secante: Uma reta é secante a uma circunferência se essa reta
intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer também
que é a reta que contém uma corda.
Reta tangente: Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que
intercepta a circunferência em um único ponto P. Este ponto é conhecido como
ponto de tangência ou ponto de contato. Na figura ao lado, o ponto P é o ponto
de tangência e a reta que passa pelos pontos E e F é uma reta tangente à
circunferência.
Observações: Raios e diâmetros são nomes de segmentos de retas, mas
às vezes são também usados como os comprimentos desses segmentos. Por
exemplo, podemos dizer que ON é o raio da circunferência, mas é usual dizer
que o raio ON da circunferência mede 10 cm ou que o raio ON tem 10 cm.
- Tangentes e secantes são nomes de retas, mas também são usados para
denotar segmentos de retas ou semi-retas. Por exemplo, "A tangente PQ" pode
significar a reta tangente à circunferência que passa pelos pontos P e Q mas
também pode ser o segmento de reta tangente à circunferência que liga os
pontos P e Q. Do mesmo modo, a "secante AC" pode significar a reta que
contém a corda BC e também pode ser o segmento de reta ligando o ponto A
ao ponto C.
Propriedades das secantes e tangentes
Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O,
intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B e
se M é o ponto médio da corda AB, então o segmento de reta
OM é perpendicular à reta secante s.
Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O,
intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B, a
perpendicular à reta s que passa pelo centro O da
circunferência, passa também pelo ponto médio da corda AB.
Seja OP um raio de uma circunferência, onde O é o centro
e P um ponto da circunferência. Toda reta perpendicular ao
raio OP é tangente à circunferência no ponto de tangência P.
Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de
tangência.
Posições relativas de duas circunferências
Reta tangente comum: Uma reta que é tangente a duas circunferências ao
mesmo tempo é denominada uma tangente comum. Há duas possíveis retas
tangentes comuns: a interna e a externa.
Ao traçar uma reta ligando os centros de duas circunferências no plano, esta
reta separa o plano em dois semi-planos. Se os pontos de tangência, um em
cada circunferência, estão no mesmo semi-plano, temos uma reta tangente
comum externa. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão
em semi-planos diferentes, temos uma reta tangente comum interna.
Circunferências internas: Uma circunferência C1 é interna a uma
circunferência C2, se todos os pontos do círculo C1 estão contidos no círculo
C2. Uma circunferência é externa à outra se todos os seus pontos são pontos
externos à outra.
Circunferências concêntricas: Duas ou mais circunferências com o
mesmo centro, mas com raios diferentes são circunferências concêntricas.
Circunferências tangentes: Duas circunferências que estão no mesmo
plano, são tangentes uma à outra, se elas são tangentes à mesma reta no
mesmo ponto de tangência.
As circunferências são tangentes externas uma à outra se os seus centros
estão em lados opostos da reta tangente comum e elas são tangentes internas
uma à outra se os seus centros estão do mesmo lado da reta tangente comum.
Circunferências secantes: são aquelas que possuem somente dois pontos
distintos em comum.
Segmentos tangentes: Se AP e BP são segmentos de reta tangentes à
circunferência nos ponto A e B, então esses segmentos AP e BP são
congruentes.
Polígonos circunscritos
Polígono circunscrito a uma circunferência é o que possui seus lados
tangentes à circunferência. Ao mesmo tempo, dizemos que esta circunferência
está inscrita no polígono.
Propriedade dos quadriláteros circunscritos: Se um quadrilátero é
circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual a soma
dos outros dois lados.
Arco de circunferência e ângulo central
Seja a circunferência de centro O traçada ao lado. Pela definição de
circunferência temos que OP = OQ = OR =... e isto indica que os raios de uma
circunferência são segmentos congruentes.
Circunferências congruentes: São circunferências que possuem raios
congruentes. Aqui a palavra raio refere-se ao segmento de reta e não a um
número.
Ângulo central: Em uma circunferência, o ângulo central é aquele cujo
vértice coincide com o centro da circunferência. Na figura, o ângulo a é um
ângulo central. Se numa circunferência de centro O, um ângulo central
determina um arco AB, dizemos que AB é o arco correspondente ao ângulo
AÔB.
Arco menor: É um arco que reúne dois pontos da circunferência que não
são extremos de um diâmetro e todos os pontos da circunferência que estão
dentro do ângulo central cujos lados contém os dois pontos. Na figura, a linha
vermelha indica o arco menor AB ou arco menor ACB.
Arco maior: É um arco que liga dois pontos da circunferência que não são
extremos de um diâmetro e todos os pontos da circunferência que estão fora
do ângulo central cujos lados contêm os dois pontos. Na figura a parte azul é o
arco maior, o ponto D está no arco maior ADB enquanto o ponto C não está no
arco maior, mas está no arco menor AB, assim é frequentemente usado três
letras para representar o arco maior.
Semicircunferência: É um arco obtido pela reunião dos pontos extremos de
um diâmetro com todos os pontos da circunferência que estão em um dos
lados do diâmetro. O arco RTS é uma semicircunferência da circunferência de
centro P e o arco RUS é outra.
Observações: Em uma circunferência dada, temos que:
- A medida do arco menor é a medida do ângulo central correspondente a
m(AÔB) e a medida do arco maior é 360 graus menos a medida do arco menor
m(AÔB).
- A medida da semicircunferência é 180 graus ou Pi radianos.
- Em circunferências congruentes ou em uma simples circunferência, arcos
que possuem medidas iguais são arcos congruentes.
- Em uma circunferência, se um ponto E está entre os pontos D e F, que são
extremidades de um arco menor, então: m(DE)+m(EF)=m(DF).
- Se o ponto E está entre os pontos D e F, extremidades de um arco maior:
m(DE)+m(EF)=m(DEF).
- Apenas esta última relação faz sentido para as duas últimas figuras
apresentadas.
Propriedades de arcos e corda
Uma corda de uma circunferência é um segmento de reta que une dois
pontos da circunferência. Se os extremos de uma corda não são extremos de
um diâmetro eles são extremos de dois arcos de circunferência sendo um deles
um arco menor e o outro um arco maior. Quando não for especificada, a
expressão arco de uma corda se referirá ao arco menor e quanto ao arco maior
sempre teremos que especificar.
Observações: Se um ponto X está em um arco AB e o arco AX é
congruente ao arco XB, o ponto X é o ponto médio do arco AB. Além disso,
qualquer segmento de reta que contém o ponto X é um segmento bissetor do
arco AB. O ponto médio do arco não é o centro do arco, o centro do arco é o
centro da circunferência que contém o arco.
- Para obter a distância de um ponto O a uma reta r, traçamos uma reta
perpendicular à reta dada passando pelo ponto O. O ponto T obtido pela
interseção dessas duas retas é o ponto que determinará um extremo do
segmento OT cuja medida representa a distância entre o ponto e a reta.
- Em uma mesma circunferência ou em circunferências congruentes, cordas
congruentes possuem arcos congruentes e arcos congruentes possuem cordas
congruentes. (Situação 1).
- Um diâmetro que é perpendicular a uma corda é bissetor da corda e
também de seus dois arcos. (Situação 2).
- Em uma mesma circunferência ou em circunferências congruentes, cordas
que possuem a mesma distância do centro são congruentes. (Situação 3).
Polígonos inscritos na circunferência
Um polígono é inscrito em uma circunferência se cada vértice do polígono é
um ponto da circunferência e neste caso dizemos que a circunferência é
circunscrita ao polígono.
Propriedade dos quadriláteros inscritos: Se um quadrilátero está inscrito
em uma circunferência então os ângulos opostos são suplementares, isto é a
soma dos ângulos opostos é 180 graus e a soma de todos os quatro ângulos é
360 graus.
 + Π= 180 graus
Ê + Ô = 180 graus
 + Ê + Î + Ô = 360 graus
Ângulos inscritos
Ângulo inscrito: relativo a uma circunferência é um ângulo com o vértice na
circunferência e os lados secantes a ela. Na figura à esquerda abaixo, o ângulo
AVB é inscrito e AB é o arco correspondente.
Medida do ângulo inscrito: A medida de um ângulo inscrito em uma
circunferência é igual à metade da respectiva medida do ângulo central, ou
seja, a metade de seu arco correspondente, isto é: m = n/2 = (1/2) m(AB)
Ângulo reto inscrito na circunferência: O arco correspondente a um
ângulo reto inscrito em uma circunferência é a semi-circunferência. Se um
triângulo inscrito numa semi-circunferência tem um lado igual ao diâmetro,
então ele é um triângulo retângulo e esse diâmetro é a hipotenusa do triângulo.
Ângulo semi-inscrito e arco capaz
Ângulo semi-inscrito: Ângulo semi-inscrito ou ângulo de segmento é um
ângulo que possui um dos lados tangente à circunferência, o outro lado
secante à circunferência e o vértice na circunferência. Este ângulo determina
um arco (menor) sobre a circunferência. No gráfico ao lado, a reta secante
passa pelos pontos A e B e o arco correspondente ao ângulo semi-inscrito BAC
é o arco AXB onde X é um ponto sobre o arco.
Observação: A medida do ângulo semi-inscrito é a metade da medida do
arco interceptado. Na figura, a medida do ângulo BÂC é igual a metade da
medida do arco AXB.
Arco capaz: Dado um segmento AB e um ângulo k, pergunta-se: Qual é o
lugar geométrico de todos os pontos do plano que contém os vértices dos
ângulos cujos lados passam pelos pontos A e B sendo todos os ângulos
congruentes ao ângulo k? Este lugar geométrico é um arco de circunferência
denominado arco capaz.
Observação: Todo ângulo inscrito no arco capaz AB, com lados passando
pelos pontos A e B são congruentes e isto significa que, o segmento de reta AB
é sempre visto sob o mesmo ângulo de visão se o vértice deste ângulo está
localizado no arco capaz. Na figura abaixo à esquerda, os ângulos que passam
por A e B e têm vértices em V1, V2, V3,..., são todos congruentes (a mesma
medida).
Na figura acima à direita, o arco capaz relativo ao ângulo semi-inscrito m de
vértice em A é o arco AVB. Se n é ângulo central então a medida de m é o
dobro da medida de n, isto é: m(arco AB) = 2 medida(m) = medida(n)
Exercícios
1. Dado um hexágono regular com área 48 R[3] cm2. Calcular a razão
entre as áreas dos círculos inscrito e circunscrito. Escreva a equação da
circunferência cujo extremos do diâmetro é dado pelos pontos A(2,–1) e
B(6,3).
2. Dada o equação reduzida de uma circunferência (x ? 1)2 + (y + 4)2 = 9,
dizer qual a origem e o raio da circunferência:
3. Para a circunferência de equação x2 + y2 - 6x ? 2y +6 = 0, observar
posição relativa dos seguintes pontos
a) P(2, 1)
b) Q(5, 1)
4. Examinar a posição relativa entre a reta r: 2x + y ? 2 = 0 e a
circunferência l: (x ? 1)2 + (y ? 5)2 = 5
5. Obter as equações das tangentes à circunferência l: x2 + y2 = 9, que
sejam paralelas à reta s: 2x + y ? 1 = 0.
6. A projeção de uma corda sobre o diâmetro que passa por uma de
suas extremidades é 36 cm. Calcule o comprimento da corda, sabendo
que o raio da circunferência é 50 cm.
7. Se um ponto P da circunferência trigonométrica corresponde a um
número x real, qual é a forma dos outros números que também
correspondem a esse mesmo ponto?
8. Quantas voltas serão dadas na circunferência trigonométrica para se
representar os números
e -12?
9. Qual o comprimento do arco descrito pelo ponteiro dos minutos de
um relógio cujo mostrador tem 5 cm de diâmetro, após ter passado 1
hora?
10. Calcule qual a medida em graus do ângulo formado pelos ponteiros
do relógio às 15h 15min.
Respostas
1) Solução:
Como os pontos A e B são os extremos do diâmetro, o ponto médio entre
eles é o centro da circunferência. Encontrando então o centro temos h = (2 + 6)
/ 2 = 8 / 2 = 4 e k = (–1 + 3) / 2 = 2 / 2 = 1 e daí, o centro é o ponto C(4,1). A
distância entre o centro e qualquer um dos pontos A ou B é o raio.
Logo, R = dCB =
=
=
=
.
Então a equação é dada por: x2 + y2 – 2.4.x – 2.1.y + 42 + 12 –
0 ou x2 + y2 – 8x – 2y + 9 = 0.
2
=
2) Solução: Basta compararmos a equação dada com a equação genérica
reduzida de uma circunferência:
x0 = 1
y0 = -4
r2 = 9 → r = 3
Assim a origem está no ponto (1, -4) e ela possui um raio de 3.
3) Solução:
a) 22 + 12 ? 6.2 ? 2.1 +6 = -3 <0
P é interno à circunferência
b) 52 + 12 ? 6.5 ? 2.1 +6 = 0
Q Percente à circunferência.
4) Solução: Procuraremos as eventuais interseções entre elas, isolando o y
da reta e jogando na equação da circunferência teremos:
y = 2 ? 2x
x2 + (2 ? 2x)2 ? 2x ? 10 . (2 ? 2x) + 21 =0
x2 + 2x +1 =0
Nesta equação temos discriminante (delta) nulo e única solução x = -1, o
que leva a um único y, que é 4, assim a reta tangencia a circunferência.
5) Solução:
Nestes casos é aconselhável que a equação da reta esteja como de fato
está, na sua forma geral, pois as tangentes t, sendo paralelas a s, manterão o
coeficiente angular e poderemos escrever suas equações como 2x + y + c = 0 ,
bastando, então, encontrar os valores de c:
As tangentes distam r = 3 do centro (0,0):
dC,t = |c|/05 = 3
c =± 305
Portanto t1 : 2x + y + 305 = 0 e t2 : 2x + y - 305= 0.
6) Solução: Para Achar o comprimento de uma circunferencia tem que usar
essa formua C=2.π.r
Sendo π (pi) = 3,14
r = Raio
C=2×3,14×50
C=6,28×50
C=31,4.
7) Solução: Dado um número real x, fica determinado um ponto P da
circunferência trigonométrica, de modo que o comprimento do arco AP, bem
como a medida em radianos do arco AP, é x. Qualquer outro número real que
difira do número x, por um número inteiro de vezes
, irá corresponder a
esse mesmo ponto P.
Assim, a forma dos outros números que também correspondem a esse
mesmo ponto é
.
8) Solução: Dado o número real
, temos:
Portanto, para representá-lo será necessário dar uma volta inteira e mais um
doze avos de meia volta, no sentido positivo de percurso, isto é, no sentido
anti-horário.
Por outro lado, dado o número real -12, temos:
, ou seja,
será dada, aproximadamente, uma volta inteira e mais 0,91 de volta no sentido
horário, já que o número dado é negativo.
9) Solução: Como o diâmetro do relógio é de 5 cm, temos que o raio é 2,5
cm.
Após 1 hora, o ponteiro dos minutos descreve um ângulo de uma volta no
relógio, ou seja, o arco descrito é um arco de uma volta.
Assim, o comprimento desse arco é
cm.
10) Solução: Sabemos que, a cada hora, o ponteiro das horas se desloca
30o. E, portanto, em 15 minutos, ele se desloca 7o30'.
Já o ponteiro dos minutos se desloca 90o em 15 minutos.
Logo, o ângulo entre os dois ponteiros é de 7o30', às 15h e 15min.
Volumes de Sólidos Geométricos
Para explicar o cálculo do volume de figuras geométricas, podemos pedir
que visualizem a seguinte figura:
a) A figura representa a planificação de um prisma reto;
b) O volume de um prisma reto é igual ao produto da área da base pela
altura do sólido, isto é
c) O cubo e o paralelepípedo retângulo são prismas;
d) O volume do cilindro também se pode calcular da mesma forma que o
volume de um prisma reto.
Os formulários seguintes, das figuras geométricas são para calcular da
mesma forma que as acima apresentadas:
Figuras Geométricas:
O conceito de cone
Considere uma região plana limitada por uma curva suave (sem quinas),
fechada e um ponto P fora desse plano. Chamamos de cone ao sólido formado
pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em P e
a outra num ponto qualquer da região.
Elementos do cone
- Base: A base do cone é a região plana contida no interior da curva,
inclusive a própria curva.
- Vértice: O vértice do cone é o ponto P.
- Eixo: Quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o
segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base.
- Geratriz: Qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do
cone e a outra na curva que envolve a base.
- Altura: Distância do vértice do cone ao plano da base.
- Superfície lateral: A superfície lateral do cone é a reunião de todos os
segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que
envolve a base.
- Superfície do cone: A superfície do cone é a reunião da superfície lateral
com a base do cone que é o círculo.
- Seção meridiana: A seção meridiana de um cone é uma região triangular
obtida pela interseção do cone com um plano que contem o eixo do mesmo.
Classificação do cone
Quando observamos a posição relativa do eixo em relação à base, os cones
podem ser classificados como retos ou oblíquos. Um cone é dito reto quando o
eixo é perpendicular ao plano da base e é oblíquo quando não é um cone reto.
Ao lado apresentamos um cone oblíquo.
Observação: Para efeito de aplicações, os cones mais importantes são os
cones retos. Em função das bases, os cones recebem nomes especiais. Por
exemplo, um cone é dito circular se a base é um círculo e é dito elíptico se a
base é uma região elíptica.
Observações sobre um cone circular reto
1. Um cone circular reto é chamado cone de revolução por ser obtido pela
rotação (revolução) de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos
2. A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do cone com um
plano que contem o eixo do cone. No caso acima, a seção meridiana é a região
triangular limitada pelo triângulo isósceles VAB.
3. Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si.
Se g é a medida de cada geratriz então, pelo Teorema de Pitágoras, temos: g2
= h2 + R2
4. A Área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em função de g
(medida da geratriz) e R (raio da base do cone):ALat = Pi R g
5. A Área total de um cone circular reto pode ser obtida em função de g
(medida da geratriz) e R (raio da base do cone):
ATotal = Pi R g + Pi R2
Cones Equiláteros
Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma
região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida
do diâmetro da base.
A área da base do cone é dada por:
ABase=Pi R2
Pelo Teorema de Pitágoras temos:
(2R)2 = h2 + R2
h2 = 4R2 - R2 = 3R2
Assim:
h=R
Como o volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área da base pela
altura, então:
V = (1/3) Pi
R3
Como a área lateral pode ser obtida por:
ALat = Pi R g = Pi R 2R = 2 Pi R2
então a área total será dada por:
ATotal = 3 Pi R2
O conceito de esfera
A esfera no espaço R³ é uma superfície muito importante em função de suas
aplicações a problemas da vida. Do ponto de vista matemático, a esfera no
espaço R³ é confundida com o sólido geométrico (disco esférico) envolvido pela
mesma, razão pela quais muitas pessoas calculam o volume da esfera. Na
maioria dos livros elementares sobre Geometria, a esfera é tratada como se
fosse um sólido, herança da Geometria Euclidiana.
Embora não seja correto, muitas vezes necessitamos falar palavras que
sejam entendidas pela coletividade. De um ponto de vista mais cuidadoso, a
esfera no espaço R³ é um objeto matemático parametrizado por duas
dimensões, o que significa que podemos obter medidas de área e de
comprimento, mas o volume tem medida nula. Há outras esferas, cada uma
definida no seu respectivo espaço n-dimensional. Um caso interessante é a
esfera na reta unidimensional:
So = {x em R: x²=1} = {+1,-1}
Por exemplo, a esfera
S1 = { (x,y) em R²: x² + y² = 1 }
é conhecida por nós como uma circunferência de raio unitário centrada na
origem do plano cartesiano.
Aplicação: volumes de líquidos
Um problema fundamental para empresas que armazenam líquidos em
tanques esféricos, cilíndricos ou esféricos e cilíndricos é a necessidade de
realizar cálculos de volumes de regiões esféricas a partir do conhecimento da
altura do líquido colocado na mesma. Por exemplo, quando um tanque é
esférico, ele possui um orifício na parte superior (pólo Norte) por onde é
introduzida verticalmente uma vara com indicadores de medidas. Ao retirar a
vara, observa-se o nível de líquido que fica impregnado na vara e esta medida
corresponde à altura de líquido contido na região esférica. Este não é um
problema trivial, como observaremos pelos cálculos realizados na sequência.
A seguir apresentaremos elementos esféricos básicos e algumas fórmulas
para cálculos de áreas na esfera e volumes em um sólido esférico.
A superfície esférica
A esfera no espaço R³ é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão
localizados a uma mesma distância denominada raio de um ponto fixo
chamado centro.
Uma notação para a esfera com raio unitário centrada na origem de R³ é:
S² = { (x,y,z) em R³: x² + y² + z² = 1 }
Uma esfera de raio unitário centrada na origem de R4 é dada por:
S³ = { (w,x,y,z) em R4: w² + x² + y² + z² = 1 }
Você conseguiria imaginar espacialmente tal esfera?
Do ponto de vista prático, a esfera pode ser pensada como a película fina
que envolve um sólido esférico. Em uma melancia esférica, a esfera poderia
ser considerada a película verde (casca) que envolve a fruta.
É comum encontrarmos na literatura básica a definição de esfera como
sendo o sólido esférico, no entanto não se devem confundir estes conceitos. Se
houver interesse em aprofundar os estudos desses detalhes, deve-se tomar
algum bom livro de Geometria Diferencial que é a área da Matemática que trata
do detalhamento de tais situações.
O disco esférico é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão
localizados na casca e dentro da esfera. Do ponto de vista prático, o disco
esférico pode ser pensado como a reunião da película fina que envolve o sólido
esférico com a região sólida dentro da esfera. Em uma melancia esférica, o
disco esférico pode ser visto como toda a fruta.
Quando indicamos o raio da esfera pela letra R e o centro da esfera pelo
ponto (0,0,0), a equação da esfera é dada por:
x² + y² + z² = R²
e a relação matemática que define o disco esférico é o conjunto que contém
a casca reunido com o interior, isto é:
x² + y² + z² < R²
Quando indicamos o raio da esfera pela letra R e o centro da esfera pelo
ponto (xo,yo,zo), a equação da esfera é dada por:
(x-xo)² + (y-yo)² + (z-zo)² = R²
e a relação matemática que define o disco esférico é o conjunto que contém
a casca reunido com o interior, isto é, o conjunto de todos os pontos (x,y,z) em
R³ tal que:
(x-xo)² + (y-yo)² + (z-zo)² < R²
Da forma como está definida, a esfera centrada na origem pode ser
construída no espaço euclidiano R³ de modo que o centro da mesma venha a
coincidir com a origem do sistema cartesiano R³, logo podemos fazer passar os
eixos OX, OY e OZ, pelo ponto (0,0,0).
Seccionando a esfera x²+y²+z²=R² com o plano z=0, obteremos duas
superfícies semelhantes: o hemisfério Norte ("boca para baixo") que é o
conjunto de todos os pontos da esfera onde a cota z é não negativa e o
hemisfério Sul ("boca para cima") que é o conjunto de todos os pontos da
esfera onde a cota z não é positiva.
Se seccionarmos a esfera x²+y²+z²=R² por um plano vertical que passa em
(0,0,0), por exemplo, o plano x=0, teremos uma circunferência maximal C da
esfera que é uma circunferência contida na esfera cuja medida do raio coincide
com a medida do raio da esfera, construída no plano YZ e a equação desta
circunferência será:
x=0, y² + z² = R2
sendo que esta circunferência intersecta o eixo OZ nos pontos de
coordenadas (0,0,R) e (0,0,-R). Existem infinitas circunferências maximais em
uma esfera.
Se rodarmos esta circunferência maximal C em torno do eixo OZ, obteremos
a esfera através da rotação e por este motivo, a esfera é uma superfície de
revolução.
Se tomarmos um arco contido na circunferência maximal cujas extremidades
são os pontos (0,0,R) e (0,p,q) tal que p²+q²=R² e rodarmos este arco em torno
do eixo OZ, obteremos uma superfície denominada calota esférica.
Na prática, as pessoas usam o termo calota esférica para representar tanto
a superfície como o sólido geométrico envolvido pela calota esférica. Para
evitar confusões, usarei "calota esférica" com aspas para o sólido e sem aspas
para a superfície.
A partir da rotação, construiremos duas calotas em uma esfera, de modo
que as extremidades dos arcos sejam (0,0,R) e (0,p,q) com p²+q²=R² no
primeiro caso (calota Norte) e no segundo caso (calota Sul) as extremidades
dos arcos (0,0,-R) e (0,r,-s) com r²+s²=R² e retirarmos estas duas calotas da
esfera, teremos uma superfície de revolução denominada zona esférica.
De um ponto de vista prático, consideremos uma melancia esférica. Com
uma faca, cortamos uma "calota esférica" superior e uma "calota esférica"
inferior. O que sobra da melancia é uma região sólida envolvida pela zona
esférica, algumas vezes denominada zona esférica.
Consideremos uma "calota esférica" com altura h1 e raio da base r1 e
retiremos desta calota uma outra "calota esférica" com altura h 2 e raio da base
r2, de tal modo que os planos das bases de ambas sejam paralelos. A região
sólida determinada pela calota maior menos a calota menor recebe o nome de
segmento esférico com bases paralelas.
No que segue, usaremos esfera tanto para o sólido como para a superfície,
"calota esférica" para o sólido envolvido pela calota esférica, a letra maiúscula
R para entender o raio da esfera sobre a qual estamos realizando os cálculos,
V será o volume, A(lateral) será a área lateral e A(total) será a área total.
Algumas fórmulas (relações) para objetos esféricos
Objeto
Esfera
Calota esférica
(altura h, raio da base r)
Segmento esférico
(altura h, raios das bases r1>r²)
Relações e fórmulas
Volume = (4/3) Pi R³
A(total) = 4 Pi R²
R² = h (2R-h)
A(lateral) = 2 Pi R h
A(total) = Pi h (4R-h)
V=Pi.h²(3R-h)/3=Pi(3R²+h²)/6
R² = a² + [(r1² -r2²-h²)/2h)]²
A(lateral) = 2 Pi R h
A(total) = Pi(2Rh+r1²+r2²)
Volume=Pi.h(3r1²+3r2²+h²)/6
Estas fórmulas podem ser obtidas como aplicações do Cálculo Diferencial e
Integral, mas nós nos limitaremos a apresentar um processo matemático para a
obtenção da fórmula do cálculo do volume da "calota esférica" em função da
altura da mesma.
Volume de uma calota no hemisfério Sul
Consideremos a esfera centrada no ponto (0,0,R) com raio R.
A equação desta esfera será dada por:
x² + y² + (z-R)² = R²
A altura da calota será indicada pela letra h e o plano que coincide com o
nível do líquido (cota) será indicado por z=h. A interseção entre a esfera e este
plano é dado pela circunferência
x² + y² = R² - (h-R)²
Obteremos o volume da calota esférica com a altura h menor ou igual ao raio
R da esfera, isto é, h pertence ao intervalo [0,R] e neste caso poderemos
explicitar o valor de z em função de x e y para obter:
Para simplificar as operações algébricas, usaremos a letra r para indicar:
r² = R² - (h-R)² = h(2R-h)
A região circular S de integração será descrita por x²+y²<R² ou em
coordenadas polares através de:
0<m<R,
0<t<2Pi
A integral dupla que representa o volume da calota em função da altura h é
dada por:
ou seja
Escrita em Coordenadas Polares, esta integral fica na forma:
Após realizar a integral na variável t, podemos separá-la em duas integrais:
ou seja:
Com a mudança de variável u=R²-m² e du=(-2m)dm poderemos reescrever:
Após alguns cálculos obtemos:
VC(h) = Pi (h-R) [R² -(h-R)²] - (2/3)Pi[(R-h)³ - R³]
e assim temos a fórmula para o cálculo do volume da calota esférica no
hemisfério Sul com a altura h no intervalo [0,R], dada por:
VC(h) = Pi h²(3R-h)/3
Volume de uma calota no hemisfério Norte
Se o nível do líquido mostra que a altura h já ultrapassou o raio R da região
esférica, então a altura h está no intervalo [R,2R]
Lançaremos mão de uma propriedade de simetria da esfera que nos diz que
o volume da calota superior assim como da calota inferior somente depende do
raio R da esfera e da altura h e não da posição relativa ocupada.
Aproveitaremos o resultado do cálculo utilizado para a calota do hemisfério
Sul. Tomaremos a altura tal que: h=2R-d, onde d é a altura da região que não
contém o líquido. Como o volume desta calota vazia é dado por:
VC(d) = Pi d²(3R-d)/3
e como h=2R-d, então para h no intervalo [R,2R], poderemos escrever ov
olume da calota vazia em função de h:
VC(h) = Pi (2R-h)²(R+h)/3
Para obter o volume ocupado pelo líquido, em função da altura, basta tomar
o volume total da região esférica e retirar o volume da calota vazia, para obter:
V(h) = 4Pi R³/3 - Pi (2R-h)²(R+h)/3
que pode ser simplificada para:
V(h) = Pi h²(3R-h)/3
Independentemente do fato que a altura h esteja no intervalo [0,R] ou [R,2R]
ou de uma forma geral em [0,2R], o cálculo do volume ocupado pelo líquido é
dado por:
V(h) = Pi h²(3R-h)/3
Poliedro
Poliedro é um sólido limitado externamente por planos no espaço R³. As
regiões planas que limitam este sólido são as faces do poliedro. As interseções
das faces são as arestas do poliedro. As interseções das arestas são os
vértices do poliedro. Cada face é uma região poligonal contendo n lados.
Poliedros convexos são aqueles cujos ângulos diedrais formados por planos
adjacentes têm medidas menores do que 180 graus. Outra definição: Dados
quaisquer dois pontos de um poliedro convexo, o segmento que tem esses
pontos como extremidades, deverá estar inteiramente contido no poliedro.
Poliedros Regulares
Um poliedro é regular se todas as suas faces são regiões poligonais
regulares com n lados, o que significa que o mesmo número de arestas se
encontram em cada vértice.
Tetraedro
Hexaedro (cubo)
Octaedro
Áreas e Volumes
Poliedro regular
Área
Volume
2
Tetraedro
a R[3]
(1/12) a³ R[2]
2
Hexaedro
6a
a³
2
Octaedro
2 a R[3]
(1/3) a³ R[2]
2
Dodecaedro
3a R{25+10·R[5]} (1/4) a³ (15+7·R[5])
Icosaedro
5a2 R[3]
(5/12) a³ (3+R[5])
Nesta tabela, a notação R[z] significa a raiz quadrada de z>0.
Prisma
Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as
bases se situam em planos paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais,
os prismas podem ser retos ou oblíquos.
Prisma reto
As arestas laterais têm o mesmo comprimento.
As arestas laterais são perpendiculares ao plano da base.
As faces laterais são retangulares.
Prisma oblíquo
As arestas laterais têm o mesmo comprimento.
As arestas laterais são oblíquas ao plano da base.
As faces laterais não são retangulares.
Bases:
regiões
poligonais
congruentes
Altura: distância
entre as bases
Arestas laterais
paralelas:
mesmas medidas
Faces
laterais:
paralelogramos
Prisma reto
Aspectos
comuns
Prisma oblíquo
Seções de um prisma
Seção transversal
É a região poligonal obtida pela interseção do prisma com um plano paralelo
às bases, sendo que esta região poligonal é congruente a cada uma das
bases.
Seção reta (seção normal)
É uma seção determinada por um plano perpendicular às arestas laterais.
Princípio de Cavaliere
Consideremos um plano P sobre o qual estão apoiados dois sólidos com a
mesma altura. Se todo plano paralelo ao plano dado interceptar os sólidos com
seções de áreas iguais, então os volumes dos sólidos também serão iguais.
Prisma regular
É um prisma reto cujas bases são regiões poligonais regulares.
Exemplos:
Um prisma triangular regular é um prisma reto cuja base é um triângulo
equilátero.
Um prisma quadrangular regular é um prisma reto cuja base é um quadrado.
Planificação do prisma
Um prisma é um sólido formado por todos os pontos do espaço localizados
dentro dos planos que contêm as faces laterais e os planos das bases. As
faces laterais e as bases formam a envoltória deste sólido. Esta envoltória é
uma "superfície" que pode ser planificada no plano cartesiano.
Tal planificação se realiza como se cortássemos com uma tesoura esta
envoltória exatamente sobre as arestas para obter uma região plana formada
por áreas congruentes às faces laterais e às bases.
A planificação é útil para facilitar os cálculos das áreas lateral e total.
Volume de um prisma
O volume de um prisma é dado por:
Vprisma = Abase . h
Área lateral de um prisma reto com base poligonal regular
A área lateral de um prisma reto que tem por base uma região poligonal
regular de n lados é dada pela soma das áreas das faces laterais. Como neste
caso todas as áreas das faces laterais são iguais, basta tomar a área lateral
como:
Cilindros
Seja P um plano e nele vamos construir um círculo de raio r. Tomemos
também um segmento de reta PQ que não seja paralelo ao plano P e nem
esteja contido neste plano P.
Um cilindro circular é a reunião de todos os segmentos congruentes e
paralelos a PQ com uma extremidade no círculo.
Observamos que um cilindro é uma superfície no espaço R 3, mas muitas
vezes vale a pena considerar o cilindro com a região sólida contida dentro do
cilindro. Quando nos referirmos ao cilindro como um sólido usaremos aspas,
isto é, "cilindro" e quando for à superfície, simplesmente escreveremos cilindro.
A reta que contém o segmento PQ é denominada geratriz e a curva que fica
no plano do "chão" é a diretriz.
Em função da inclinação do segmento PQ em relação ao plano do "chão", o
cilindro será chamado reto ou oblíquo, respectivamente, se o segmento PQ for
perpendicular ou oblíquo ao plano que contém a curva diretriz.
Objetos geométricos em um "cilindro"
Num cilindro, podemos identificar vários elementos:
- Base É a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num
cilindro existem duas bases.
- Eixo É o segmento de reta que liga os centros das bases do "cilindro".
- Altura A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos
que contêm as bases do "cilindro".
- Superfície Lateral É o conjunto de todos os pontos do espaço, que não
estejam nas bases, obtidos pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre
apoiada sobre a curva diretriz.
- Superfície Total É o conjunto de todos os pontos da superfície lateral
reunido com os pontos das bases do cilindro.
- Área lateral É a medida da superfície lateral do cilindro.
- Área total É a medida da superfície total do cilindro.
- Seção meridiana de um cilindro É uma região poligonal obtida pela
interseção de um plano vertical que passa pelo centro do cilindro com o
cilindro.
Classificação dos cilindros circulares
Cilindro circular oblíquo Apresenta as geratrizes oblíquas em relação aos
planos das bases.
Cilindro circular reto As geratrizes são perpendiculares aos planos das
bases. Este tipo de cilindro é também chamado de cilindro de revolução, pois é
gerado pela rotação de um retângulo.
Cilindro eqüilátero É um cilindro de revolução cuja seção meridiana é um
quadrado.
Volume de um "cilindro"
Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura.
V = Abase × h
Se a base é um círculo de raio r, então:
V=
r2 h
Áreas lateral e total de um cilindro circular reto
Quando temos um cilindro circular reto, a área lateral é dada por:
Alat = 2
rh
onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro.
Atot = Alat + 2 Abase
Atot = 2
rh+2
Atot = 2
r(h+r)
r2
Exercícios
1. Dado o cilindro circular equilátero (h = 2r), calcular a área lateral e a
área total.
2. Seja um cilindro circular reto de raio igual a 2cm e altura 3cm.
Calcular a área lateral, área total e o seu volume.
3. As áreas das bases de um cone circular reto e de um prisma
quadrangular reto são iguais. O prisma tem altura 12 cm e volume igual
ao dobro do volume do cone. Determinar a altura do cone.
4. Anderson colocou uma casquinha de sorvete dentro de uma lata
cilíndrica de mesma base, mesmo raio R e mesma altura h da casquinha.
Qual é o volume do espaço (vazio) compreendido entre a lata e a
casquinha de sorvete?
Respostas
1) Solução: No cilindro equilátero, a área lateral e a área total é dada por:
Alat = 2
r. 2r = 4
r2
Atot = Alat + 2 Abase
Atot = 4
r2 + 2
r2 = 6
r2
V = Abase h =
r2. 2r = 2
r3
2) Solução: Cálculo da Área lateral Alat = 2
rh=2
2.3 = 12
cm2
Cálculo da Área total Atot = Alat + 2 Abase Atot = 12
+2
22 = 12
+8
=
2
20
cm
Cálculo do Volume V = Abase × h =
r2 × h V =
22 × 3 =
× 4 × 3 = 12
33
cm
3) Solução:
hprisma = 12
Abase do prisma = Abase do cone = A
Vprisma = 2 Vcone
A hprisma = 2(A h)/3
12 = 2.h/3
h =18 cm
4) Solução:
V = Vcilindro - Vcone
V = Abase h - (1/3) Abase h
V = Pi R2 h - (1/3) Pi R2 h
V = (2/3) Pi R2 h cm3