número números soma

UNIFEI
No :___________
ID :___________
VESTIBULAR 2005
PROVA 3
25.01.2005
MATEMÁTICA
1. Este caderno apresenta 9 questões, em espaços numerados de 01 a 09, nos quais deverão
ser resolvidas.
2. É proibido qualquer tipo de consulta, bem como o uso de réguas, esquadros, tabelas,
compassos, máquinas de calcular e similares.
PARA USO EXCLUSIVO DA COPEVE
PONTOS
MATEMÁTICA
TOTAL
RESPONSÁVEIS
Questão 1
O produto de dois números Naturais é 1081. Adicionando-se 4 a um deles e multiplicando essa soma pelo outro, o
produto passa a ser 1173.
Encontre a soma desses dois números.
a  4b  1173
ab  1081
 a + b = 70.
____________________________________________________________________________________________
Questão 2
f 3   2
Seja f uma função definida para todo x   e que satisfaz às condições: 
.
f x  3   f x .f 3 
Calcule f  3 .
Para x = 0 : f(0) = 1
Para x = -3 : f(-3) = ½.
_____________________________________________________________________________________________
Questão 3
Deseja-se encontrar o “correio central” e uma padaria a partir do mapa de uma cidade.
Para isto, devem-se seguir as instruções abaixo:
“Em um cruzamento, a rua “A” encontra-se com a rua “B”, onde existe um semáforo, no ponto (2,7). Caminhe pela
rua “B” em linha reta até encontrar uma praça no cruzamento desta com a rua “C” em (12,-3). Caminhando pela
rua “C” em linha reta, você encontrará um museu em (-3,-3) e, mais adiante, uma padaria, onde a rua “C” corta a
rua “A”. Na rua “A” existe um cinema em (-5,0) e, à distância de
semáforo encontra-se o correio. Cada rua é uma única reta.
Quais as coordenadas do correio e da padaria?
50 metros, em linha reta e em direção ao
8
Semáforo
6
Correio
4
Rua A (y = x + 5)
y
2
Cinema
Rua B (y = -x + 9)
0
-10
-8
-6
-4
Museu
-2
0
2
-2
4
6
Rua C (y = -3)
8
10
12
14
Praça
-4
Padaria
x
Correio: (0,5)
Padaria: (-8,-3)
_____________________________________________________________________________________________
Questão 4
Calcule a distância entre os pontos A e E da figura abaixo, onde BD  10 cm , AB  2 cm e DE  8 cm .
2
2
AE  PE  AP
2

AE  2 34
cm
____________________________________________________________________________________________
Questão 5
Considere a circunferência de equação x 2  y 2  10x  8y  25  0 .
Tomando-se sobre essa circunferência os pontos cujas abscissas são números inteiros, positivos e maiores que 5,
pergunta-se: qual é o número máximo de triângulos que podem ser formados unindo-se esses pontos?
Circunferência com centro em (5,4) e raio r = 4.
Pontos requeridos: 6, 7 e 8 (2 vezes), 9 (1 vez).
Número de triângulos = C7,3 = 35.
____________________________________________________________________________________________
Questão 6
Dois corpos C1 e C 2 estão em movimento.
A trajetória descrita pelo corpo C1 é dada pela equação z  4  6i  2 , com z  C ; sendo z  x  yi , com
x, y  
e i  1.
O corpo C 2 é lançado em linha reta partindo da origem O do sistema cartesiano e atingindo o corpo C1 quando
este estiver o mais distante possível da origem.
Qual é a equação da trajetória, no plano cartesiano, descrita pelo corpo C 2 ?
C1 : z  4  6i  2
x  yi  4  6i  2
Circunferência com centro em (-4,6) e raio r = 2.
C2 : Reta

x  42  y  62
4
P1: (0,0)
P2: (-4, 6)
y = -1,5x
_____________________________________________________________________________________________
Questão 7
Considere a figura ao lado onde:
DE // BC e DG  BC ;
ABC é eqüilátero com lado medindo L ;
EFC é eqüilátero com CE 
AC
;
3
ADE é eqüilátero.
Calcule a área do quadrilátero DEFG.
ADEFG  AABC  AADE  AEFC  ABDG
ADEFG 
L2 3 L2 3 L2 3 L2 3



4
9
36
72

ADEFG 
7 3 2
L u.a.
72
____________________________________________________________________________________________
Questão 8:
O comprimento, a largura e a altura de um paralelepípedo retângulo são, respectivamente, as raízes da equação
x 3  10 x 2  31x  30  0 .
Calcule o volume e a área total desse paralelepípedo.
Uma das raízes é: x1 = 2
Em decorrência, as outras são: x2 = 3 e x3 = 5
Volume = 30 u.v.
Área = 62 u.a.
____________________________________________________________________________________________
Questão 9
O número que mede, em graus, um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo é a média ponderada dos
números 28, 43 e 8, com pesos respectivamente iguais a 2, 3 e 5.
Se o cateto maior desse triângulo mede 8 cm, qual é a medida do outro cateto?
 = 22,5
x  8 tg(22,5 )
tg 2 x 
2tgx
1  tg 2 x
tg 2 (22,5)  2tg(22,5)  1  0
tg(22,5)  2  1
Logo: x = 8( 2 -1) cm
____________________________________________________________________________________________