Lista_03-Cinematica_Vetorial

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IF/UFRJ
Física I – 2007/1 – Turma MAI
a
3 Lista de Problemas – Cinemática Vetorial
1. [RHK4-4.4] A velocidade de uma partícula que se move no plano xy é dada por
v=(6t-4t2)i+8j, sendo v em metros por segundo e t (> 0) em segundos. (a) Qual é a
aceleração quando t = 3s? (b) Quando (eventualmente) sua aceleração será nula? (c)
Quando (eventualmente) sua velocidade será nula? (d) Quando (eventualmente) a
velocidade escalar será de 10 m/s?
2. [RHK4-4.7] Uma partícula se move de modo que sua posição em função do tempo,
em unidades SI, é r(t)=i+4t2j+tk. Escreva expressões em função do tempo para (a)
sua velocidade e (b) sua aceleração. (c) Qual é a forma da trajetória da partícula?
3. [RHK4-4.12] Os elétrons, como todas as formas de matéria, sofrem a influência da
gravidade. Se um elétron é projetado horizontalmente com velocidade de 3,0 X 107
m/s (um décimo da velocidade da luz), quanto ele cairá depois de atravessar 1 m na
horizontal?
4. [RHK4-4.21] (a) Prove que, para um projétil
lançado num ângulo 0 acima da horizontal,
em relação a um terreno plano, a razão da
altura máxima H para o alcance R é dada por
1
H R  tan  0 . (b) Encontre o ângulo de
4
lançamento para o qual a altura máxima e o
alcance horizontal são iguais. Veja a figura.
5. [RHK4-4.26] (a) Na obra de Galileu Duas
Novas Ciências o autor afirma que “para
elevações (ângulos de lançamento) que
estejam acima ou abaixo de 45° por valores
iguais, os alcances são iguais.” Prove esta
afirmação; veja a figura. (b) Para uma
velocidade escalar inicial de 30,0 m/s e um
alcance de 20 m, encontre os dois ângulos possíveis de lançamento.
6. [RHK4-4.28] Um rifle tem velocidade de disparo de 460 m/s e atira uma bola num
alvo situado a 46 m. A que altura mínima acima do alvo o rifle deve apontar para
que a bala acerte nele?
7. [RHK4-4.30] Uma bola é lançada do chão para o ar. À altura de 9,1 m observa-se
que a velocidade é v = 7,6i + 6,1j, em m/s (eixo x horizontal, eixo y vertical e para
cima). (a) Que altura máxima a bola vai atingir? (b) Qual será a distância horizontal
total percorrida pela bola? (c) Qual a velocidade da bola (módulo e sentido) um
instante antes que ela atinja o solo?
8. [RHK4-4.43] Um jogador de futebol americano pode dar a uma bola a velocidade
inicial de 25 m/s. Dentro de que intervalo angular ele deve chutar a bola para fazer
um gol, se estiver de frente para as traves e a 50 m destas, estando a trave horizontal
a 3,44 m do chão? A bola tem de passar por cima da trave.
9. [RHK4-4.44] Um canhão é posicionado
para atirar projéteis com velocidade inicial
v0 diretamente acima de uma elevação de
ângulo , como mostrado na figura. Que
ângulo o canhão deve fazer com a
horizontal de forma a ter o alcance
máximo possível acima da elevação?
10. [RHK4-4.47] Um observador de radar no chão percebe a aproximação de um
projétil. Em certo instante ele tem as seguintes informações: o projétil está em sua
altitude máxima e se move horizontalmente com velocidade υ; a distância em linha
reta até o projétil é L; a linha de visada até o projétil faz o ângulo  com a
horizontal. (a) Ache a distância D entre o observador e o ponto de impacto do
projétil. Expresse D em termos das grandezas observadas υ, L,  e do valor
conhecido de g. Considere a Terra como plana; considere também que o observador
está no plano da trajetória do projétil. (b) Como você poderia prever se o projétil vai
passar por cima da cabeça do observador ou acertar o solo antes de alcançá-lo?
11. [RHK4-4.53] Um satélite da Terra se move em órbita circular, a 640 km acima da
superfície terrestre. O tempo de uma revolução é de 98,0 min. (a) Qual é a
velocidade do satélite? (b) Qual a aceleração de queda-livre à altura da órbita?
12. [RHK4-4.54] Um brinquedo num parque de diversões tem 15m de raio e completa 5
voltas em torno de seu eixo horizontal a cada minuto. (a) Qual é a aceleração, em
módulo e sentido, de um passageiro no ponto mais alto? (b) E no ponto mais baixo?
13. [RHK4-4.56] O trem bala conhecido como TGV Atlantique (Train Grande Vitesse,
trem de alta velocidade) que faz o percurso do Sul de Paris a Le Mans, na França,
tem velocidade escalar máxima de 310 km/h. (a) Se o trem faz uma curva com esta
velocidade escalar e a aceleração experimentada pelos passageiros tem de ser
limitada a 0,05g, qual deve ser o menor raio da curvatura dos trilhos? (b) Se há uma
curva com 0,94 km de raio, para que valor deve ser reduzida a velocidade escalar do
trem?
14. [RHK4-4.58] Uma partícula P viaja com velocidade escalar constante em um
círculo de 3,0 m de raio e completa uma revolução em
20 s (figura). A partícula passa por O em t = 0. Em
relação à origem O, ache: (a) o módulo e a direção dos
vetores que descrevem sua posição 5,0 s, 7,5 s e 10 s
mais tarde; (b) o módulo e a direção do deslocamento
no intervalo de 5,0 s desde o quinto ao décimo
segundo; (c) o vetor velocidade média nesse intervalo;
(d) o vetor velocidade instantânea no início e no final
desse intervalo; e(e) o vetor aceleração instantânea no
início e no final do intervalo. Meça os ângulos no
sentido anti-horário a partir do eixo x.
15. [RHK4-4.62] (a)Qual é a aceleração centrípeta de um objeto no equador, devido à
rotação da Terra? (b) Qual deveria ser o período de rotação da Terra de forma que os
objetos no seu equador tivessem uma aceleração centrípeta igual a 9,8 m/s2?
16. [RHK4-4.63] Calcule a aceleração de uma pessoa à latitude de 40°, devido à rotação
da Terra.
17. [RHK4-4.66] Uma partícula se move em um plano de acordo com x = R sen t +
Rt, y = R cos t + R, onde R e  são constantes. Estas equações definem uma
curva chamada ciclóide, que é a trajetória percorrida por um ponto na borda de uma
roda, que rola sem deslizar ao longo do eixo x. (a) Esboce a trajetória. (b) Calcule a
velocidade e a aceleração instantâneas quando a partícula atinge o valor máximo e o
valor mínimo de y.
18. [RHK4-4.70] A neve está caindo verticalmente à velocidade escalar constante de 7,8
m/s. (a) A que ângulo com a vertical e (b) com qual velocidade os flocos de neve
parecem estar caindo para o motorista de um carro que viaja numa estrada reta à
velocidade escalar de 55 km/h ?
19. [RHK4-4.73] Um piloto deve voar para leste, de A para B, e voltar de novo para A,
a oeste. A velocidade do avião em relação ao ar é v e a velocidade do ar em relação
ao chão é u. A distância entre A e B é ℓ e a velocidade escalar do avião em relação
ao ar é constante. (a) Se u = 0 (ar parado), mostre que o tempo para a viagem de ida
e volta é t0=2ℓ/v. (b) Suponha agora que a velocidade do ar está em sentido leste (ou
oeste). Mostre que o tempo para ir e voltar será então t E  t 0 1  u 2 v 2 . (c)
Suponha que a velocidade do vento agora aponte para o norte (ou sul). Mostre que o


tempo da viagem agora é t N  t 0 1  u 2 v 2 . (d) Nas partes (b) e (c) devemos
supor que u <v . Por quê?
20. [RHK4-4.79] Uma mulher pode remar um bote a 6,4 km/h em águas paradas. (a) Se
ela está cruzando um rio no qual a correnteza seja de 3,2 km/h, em qual sentido ela
deve apontar seu bote se quiser alcançar um ponto diretamente oposto ao seu ponto
de partida? (b) Se o rio possui 6,4 km de largura, quanto tempo ela vai levar na
travessia? (c) Quanto tempo ela levará para remar 3,2 km no sentido da correnteza e
depois voltar ao ponto de partida? (d) Quanto tempo ela levará para remar 3,2 km
contra a correnteza e depois voltar ao ponto de partida? (e) Em que sentido ela deve
apontar seu bote se quiser atravessar o rio no menor tempo possível? Qual é esse
tempo?
Respostas:
2) (a) 8tj+k; (b) 8j; (c) uma parábola.
4) (b) 76°.
8) Entre os ângulos 31° e 63° acima da horizontal.
10) (a) D  v 2L g sin   L cos ; (b) O projétil passará acima da cabeça do
observador se D for positivo, e cairá antes se D for negativo.
11) (a) 7,49 km/s; (b) 8,00 m/s2.
16) 2,6 cm/s2.
20) (a) 30° com a linha que une os pontos e contra a correnteza; (b) 69 min; (c) 80 min;
(d) 80 min.
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