400 k - Explicações

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INTRODUÇÃO
Esta é a versão revista da resolução da prova modelo matemática 435. Há poucas
alterações a esta resolução:
1ª parte
3 - adicionado comentário
6 - correcção de gralha, melhoramento do português
2ª parte
1.1 - correcção de gralha no polinómio x 3  3x 2  6x  4 , faltava o 6 no 6x
4 - redução do tamanho da composição
5 - introduziu-se explicação de cada passo da resolução
Como complemento deve-se consultar o forum explicacoes.com onde a resolução é
discutida.
http://www.explicacoes.com/forum.htm.
Em caso de dúvidas contacte o site explicacoes.com através do email
[email protected]. Pode também colocar dúvidas no site
explicacoes.com no endereço: http://www.explicacoes.com/forum.htm.
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EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO
12º Ano de Escolaridade (decreto Lei nº 286/89, de 29 de Agosto)
Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos
Duração da Prova:120 minutos
2000
PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA
VERSÃO 1
Deve indicar claramente na sua folha de
respostas a versão da Prova.
A ausência desta indicação implicará a
anulação de toda a primeira parte da
prova.
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Primeira Parte

As sete questões desta primeira parte são de escolha múltipla

Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está
correcta

Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que
seleccionar

para responder a cada questão.

Se apresentar mais do que uma respostas, a questão será anulada, o mesmo
acontecendo se a letra transcrita for ilegível.

Não apresente cálculos
1 - Sejam a, b e c três números reais tais que loga(b)=c
Qual é o valor de loga(ab)?
(A) 1+c
(B) a+c
(C) ac
(D) a+bc
Resolução:
O logaritmo do produto é igual ao produto dos logaritmos:
loga(ab)= logaa + logab
O logaritmo de base a de a é igual a 1:
logaa + logab = 1 + c
Resposta certa: (A)
2 - Na figura ao lado está representado o gráfico de g'',
segunda derivada uma certa função g
Qual dos gráficos seguintes pode ser a função g:
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Resolução:
O gráfico de g'' permite concluir que a segunda derivada de g é constante. Isto permite
concluir que a função tem sempre a mesma concavidade, ou seja, não tem pontos de
inflexão. Isto quer elimina a hipótese A e B. Como a segunda derivada é positiva a
concavidade está voltada para cima e a hipótese C é a correcta.
Solução: C
3 - De uma função f, continua em R, sabe-se que:

f é estritamente crescente

f(0)=1

o eixo Ox e a bissectriz dos quadrantes impares são assimptotas do gráfico f
Qual é o contradomínio de f?
(A) [1,+[
(B) ]- , 1]
(C) ]0, +[
(D) ]- ,0[
Resolução:
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A resposta certa é a resposta C. De facto o gráfico da função f tem a forma seguinte:
1
Este gráfico verifica todas as condições da função f e a partir dele é fácil de perceber
que a função toma todos os valores entre 0 e infinito.
Esta resolução não é a resolução mais matematicamente correcta. Consiste em traçar
gráficos com as características indicadas no enunciado até encontrar um gráfico que
verifique todas ao mesmo tempo. As perguntas de escolha múltipla resolvem-se
facilmente assim. Para uma proposta de resolução matematicamente correcta consulte o
fórum explicacoes.com
4 - Na figura está representado um cubo
Considere que um ponto P se desloca ao longo do trajecto que a figura sugere: P parte
de A e percorre sucessivamente as arestas [AB], [BC]
e [CD], terminando o percurso em D.
O ponto P demora um segundo a percorrer cada uma
das arestas.
Seja d(t) a distância do ponto P ao ponto E, t t
segundos após a partida.
Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função d ?
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Resolução:
Durante o percurso BC a distância ao ponto E aumenta. Isto não é compatível com os
gráficos (C) e (D). A distância inicial ao ponto E é menor que a distância final (DE)
logo o gráfico (B) está errado e o (A) está certo.
Solução (A)
5 - Cada uma de seis pessoas lança um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a
6. Qual é a probabilidade de os números saídos serem todos diferentes?
(A)
6!
6
6
(B)
1
66
(C)
1
6!
(D)
1
6
Resolução: após o lançamento do primeiro dado o segundo tem
ser diferente. Se os 2 primeiros são diferentes o terceiro dado tem
5
de probabilidade de
6
4
de probabilidade
6
de ser diferente. Se os 3 primeiros são diferentes o quarto dado tem
3
de probabilidade
6
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de ser diferente. Se os 4 primeiros são diferentes o quinto dado tem
de ser diferente. Se os 5 primeiros são diferentes o sexto dado tem
2
de probabilidade
6
1
de probabilidade
6
de ser diferente.
Como :
P( todos diferentes ) 
 2º  1º 3º  (1º e2º )  4º  (1º e2º e3º ) 


 P
  5º  (1º e2º e3º e4º )  6º  (1º e2º e3º e4º e5º ) 



5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 6!
          
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 66
Resposta certa: (A)
6 - Uma caixa contém cinco bolas brancas e cinco bolas pretas, indistinguiveis ao tacto.
Tiram-se ao acaso, sucessivamente e sem reposição, duas bolas da caixa.
Considere os seguintes acontecimentos:
B1 - a bola retirada em primeiro lugar é branca;
B2 - a bola retirada em segundo lugar é branca
Qual o valor da probabilidade condicionada P(B2|B1) ?
(A)
1 4

2 9
(B)
1 5

2 9
(C)
4
9
(D)
5
9
Resolução: a questão que se coloca é a de saber qual é a probabilidade de a segunda
bola escolhida ser branca se a primeira também for branca.
Se a primeira bola é branca restam 4 bolas brancas e cinco pretas na caixa. Logo a
probabilidade de a segunda bola ser branca é
4
9
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Resposta certa: C
7 - Seja C o conjunto dos números complexos; i designa a unidade imaginária.
Na figura estão representadas, no plano
complexo, as imagens geométricas de
cinco números complexos: w, z1, z2, z3, z4
Qual é o número complexo que pode ser igual a 2iw ?
(A) z1
(B) z2
(C) z3
(D) z4
Resolução:
w  w cis ; 2i  2cis

2


2iw  2 w cis    
2

O angulo de 2iw é igual ao angulo de w mais

. Isso só é compatível com z2 Note-se
2
que a distância de w ao centro tem que ser metade que a distância de 2iw ao centro o
que também é compatível com z2.
Solução: B
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Segunda Parte
Nas questões desta segunda parte apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando
todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.
Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado,
pretende-se sempre o valor exacto.
1 - Seja C o conjunto dos números complexos; i designa a unidade imaginária
1.1 - Considere o polinómio x 3  3x 2  6x  4
Determine analiticamente as suas raízes em C, sabendo que uma delas é 1.
Resolução: O polinómio x 3  3x 2  6x  4 tem como raiz 1 o que significa que é
divisível por x-1. Pode-se obter o resultado da divisão de x 3  3x 2  6x  4 por x-1
por dois métodos distintos: a regra de Ruffini e pelo algoritmo da divisão de
polinómios.
Regra de Ruffini:
1
1
1
-3
6
-4
1
-2
-4
-2
4
0
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Obtém-se o polinómio: x 2  2 x  4
Pelo algoritmo da divisão obtém-se:
 6x
4
x3
 3x 2
 x3
x2
0
 2x 2
6x
2x 2
-2x
0
4x
-4
-4x
4
0
0
x
-1
x2
-2x
4
-4
Obtém-se à mesma o polinómio: x 2  2 x  4
Assim:

x 3  3x 2  6 x  4  x  1 x 2  2 x  4

Pode-se achar as raízes de x 2  2 x  4 através da formula resolvente:
x
2  4  4  4 2   12 2   2 2  3 2  2  3



 1  3  1 3 i
2 1
2
2
2
Raízes: 1, 1  3 i , 1  3 i
1.2 - Seja z um número complexo de módulo 2 e z o seu conjugado. No plano
complexo, considere os pontos A e B tais que A é a imagem geométrica de z, e B a
imagem geométrica de z . Sabe-se que:
 o ponto A está situado no primeiro quadrante
 o ângulo AOB é recto (O designa a origem do referencial)
Determine
z
, apresentando o resultado na forma algébrica
i
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Resolução: Em primeiro lugar é necessário determinar z. A formula algébrica de z tem
a forma a  bi em, que a e b são números reais quaisquer. Sendo assim, a formula
algébrica de z é a  bi . A formula trignométrica de z é z cis em que modulo de z é
dois em que z é o modulo de z e  é o angulo. Assim:
z  2cis  
A formula trigonométrica para o conjugado de z é:
z  2cis   
Como o ângulo AOB é recto então:   ( ) 
2 

2
Daqui tira-se a equação:

2
A partir desta equação determina-se  :


4
Então :
z  2cis

4
A formula trigonométrica da unidade imaginária i é: i  cis

2
Assim:
z

i
2cis
cis

4 Seguindo a regra da divisão de números complexos na formula

2
trigonométrica obtém:
z 2   
 
 cis     2cis   
i 1 4 2
 4
2
2
 
 
 
2cis     2 cos    2 sen   i  2
2
i  2  2i
2
2
 4
 4
 4
2 - Na figura está representado, em referencial o. n. Oxyz, um octaedro regular.
Sabe-se que:
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
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um dos vértices do octaedro é a origem O do
referencial

a recta ST é paralela ao eixo Oz

o ponto P pertence ao semieixo positivo Ox

o ponto R pertence ao semieixo positivo Oy

a aresta do octaedro tem comprimento 1
2.1 - Escolhidos ao acaso dois vértices do octaedro, qual é a probabilidade de estes
definirem uma recta contida no plano de equação x=y ?
Apresente o resultado na forma de fracção irredutível
Resolução:
Para resolver este exercício é necessário visualizar o sólido representado na figura.
Entende-se mais facilmente a figura se se reparar que ela representa duas pirâmides
coladas uma à outra pea base. Uma das pirâmides tem base [OPQR] e vértice em S; a
outra está invertida, tem por base [OPQR] e vértice em T.
[OPQR] é um quadrado de lado 1 e a recta que passa em S e T é perpendicular a a esse
quadrado. Como a recta é perpendicular ao eixo dos z então o quadrado [OPQR] está no
plano Oxy.
O ponto S está equidistante dos vértices do quadrado [OPQR]. Este ponto quando
projectado no quadrado e o ponto T quando projectados no plano Oxy dá origem ao
ponto S' que fica no 'centro' do quadrado. O mesmo é válido para o ponto R. Assim, as
coordenadas de todos os pontos são
O => (0,0,0)
P => (1,0,0)
R => (0,1,0) Q => (1,1,0)
O ponto T tem coordenada x= 0.5 e y =0.5
T => (0.5,0.5,zT)
S => (0.5,0.5,zS)
Pode-se definir rectas à sorte escolhendo dois pontos ao acaso. Para que a recta formada
pertença ao plano x=y é necessário que ambos os pontos pertençam a este plano, isto é
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que a sua coordenada x seja igual à coordenada y. Os pontos T, S, O, Q têm a
coordenada x igual à coordenada y. São estes os pontos que podem definir rectas que
pertencem ao plano x=y. Se se escolher um ponto a probabilidade de esse ponto ser T,
S, O, Q é
4
. Após esta escolha restam 5 pontos, 3 dos quais estão no plano pretendido.
6
Agora a probabilidade de escolher um ponto do plano em que x=y é de
3
.A
5
probabilidade de acontecerem as duas escolhas é o produto das probabilidades =
43 2

65 5
2.2 - Seja A um ponto pertencente à aresta [RS]. Considere a secção produzida no
octaedro por um plano que contém A e que é paralelo ao plano xOy. Seja  a
distância de A a R. Considere a função f que faz corresponder, a cada valor de , a
área da referida secção.
Caracterize a função f, indicando domínio e expressão analítica.
Resolução:
Quando A coincide com R então  e quando A coincide com S então  de
modo que  varia entre 0 e 1. O domínio da função f é portanto [0,1].
A secção do octaedro por um plano que contém A e que é paralelo ao plano xy é um
quadrado. Um dos lados deste quadrado é o segmento BA' representado na figura
seguinte:
S
B
Q
A
R
O triângulo [SBA] é semelhante ao triângulo [SQR] de modo que se verifica a
seguinte igualdade:
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BA AS
, logo, como RS  RQ  1 e AS  1  AR  1   então:

QR RS
BA  1  
Como BA  1   então a área da secção do octaedro é:
A  1   2
Assim, f    1   2
3
3.1 - Seja [ABC] um triângulo isósceles em que BA  BC . Seja a a amplitude do
ângulo ABC. Mostre que a área do triângulo [ABC] é dada por
BC
sen
2
  0,  
A

B
h
D C
Resolução:
A área de um triângulo é igual à base vezes a altura sobre 2. Neste caso: A 
Como BC é perpendicular a DA e [ABD] é um triângulo rectângulo então:
sen  
h
BA
o que permite calcular h:
h  BA sen   BC sen 
Por substituição na expressão da área obtém-se:
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h BC
2
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BC 
A
2
2
3.2 - Considere agora um polígono regular de n lados, inscrito numa circunferência
de raio 1. Utilize o resultado da alínea anterior para mostrar que a área do polígono é
dada por
An 
n
2
sen
2
n
Resolução:
A

B
C
A figura junta ajuda a compreender que a área de um polígono regular inscrito
numa circunferência de raio 1 é igual à área de um triângulo isósceles multiplicada
pelo número de lados do polígono.
An  nA  n
12
sen
2
O ângulo relaciona-se com o número de lados do polígono por:

2
n
Assim,
An 
n
2
sen
2
2
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3.3 Determine e interprete o valor de lim An
n  
n
2
lim sen
 lim
n  2
n n
2
2
2
sen
sen
n  lim 
n   lim
n 
n 
n 
2
2
2
n
n
n
sen
2
n é o limite notável lim senx em que x  2 pois quando n  
x 0 x
2
n
n
sen
lim
n
2
0.
n
à medida que o número de lados de um polígono tende para infinito o polígono
tende para um circulo. Ou seja, um polígono com um número infinito de lados é um
circulo. Isto pode ser ilustrado pela figura seguinte em que se vê que quanto mais
lados tem um polígono mais parecido fica com um circulo.
3
5
4
9
15
4- Um laboratório farmacêutico lançou no mercado um novo analgésico: o AntiDor. A
concentração deste medicamento, em decigramas por litro de sangue, t horas após ser
administrado a uma pessoa, é dada por:
C (t )  t 2 e 0.6t
t 0
4.1 - Recorrendo exclusivamente a processos analíticos, determine o valor t para o qual
é máxima a concentração de AntiDor no sangue de uma pessoa que o tenha tomado.
Calcule o valor dessa concentração máxima, apresentando o resultado na unidade
considerada, com aproximação às decimas.
Resolução:

dC
 2te 0.6t  0.6t 2 e 0.6t  e 0.6t 2t  0.6t 2
dt

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
18

e 0.6t 2t  0.6t 2  0
2t  0.6t   0
2
t  0  2  0.6t   0
t  0t 
2
20 10


0.6 6
3
0
C
decrescente
dC
dt
-
A função é máxima para t 
2
10
3
crescente
0
+
decrescente
0
-
10
3
10
10  10  0.6
100  2
C( )    e 3 
 e  1.5
3
9
3
4.2 O mesmo laboratório analizou uma campanha de promoção deste medicamento,
baseada no slogan: "AntiDor - Acção rápida e prolongada!"
Numa breve composição de sessenta a cento e vinte palavras, comente o slogan, tendo
em conta que:

para a maioria das dores o Antidor só produz efeito se a sua composição for superior
a 1 decigrama por litro de sangue

de acordo com a associação de defesa do consumidor, um bom analgésico deve
começar a produzir efeito, no máximo, meia hora após Ter sido tomado, e a sua
acção deve permanecer durante, pelo menos, cinco horas (após ter começado a
produzir efeito).
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Nota: na resolução desta questão, deve utilizar as capacidades gráficas da sua
calculadora e enriquecer a sua composição com o traçado de um ou mais gráficos.
A concentração de AntiDor no sangue em função do tempo está representada no gráfico
que se segue. Neste gráfico também está representada a linha de concentração acima da
qual o AntiDor faz efeito (linha horizontal).
C(t) 1.6
dg/l 1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1.6
0
2
5.9
4
6
8
10
t(horas)
Meia hora após a ingestão a concentração de analgésico no sangue é
C (0.5)  0.5 2 e 0.60.5  0.25  e 0.3  0.18 . A concentração de AntiDor no sangue só
atinge o valor suficiente para provocar efeito após 1.6 horas. Este valor está muito baixo
do valor recomendado pelo que a afirmação de que a acção do medicamento é rápida é
falsa.
A concentração de medicamento no sangue está cerca de 4.3 horas acima de 1 dg o que
permite concluir que o AntiDor só faz efeito durante 4.3 horas. Como um analgésico
deve fazer efeito durante 5 horas o AntiDor não faz efeito por um tempo suficiente logo
não tem acção prolongada. Por isso a afirmação contida no slogan de que o AntiDor tem
acção prolongada é enganosa.
5 - Seja S o conjunto de resultados associado a uma experiência aleatória. Sejam A e B
dois acontecimentos (A e B são, portanto, subconjuntos de S). Prove que:
P( A)  P( B)  P( A  B)  1  P A  B 
(P designa a probabilidade e A e B designam os acontecimentos contrários de A e de B)
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Resolução:
P( A)  P( B)  P( A  B)  (a probabilidade de dois acontecimentos independentes é
igual ao produto da probabilidade de cada um deles)
 P( A)  P( B)  P( A) P( B)  (a probabilidade de um acontecimentos é igual a 1 - a
probabilidade do acontecimento contrário)
 P( A)  P( B)  1  P( A)1  P(B) = P( A)  P( B)  1  P( A) P( B)  P( A)  P( B) 
 1  P( A) P( B)  1  P( A  B)
(a probabilidade de dois acontecimentos
independentes é igual ao produto da probabilidade de
cada um deles)
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