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Resolução de Equações Diferenciais
versão 0.6 - 22 de Abril de 2000
A presente versão é a segunda versão provisória destes apontamentos. Os cálculos
foram revistos e agora não há erros de calculo importantes. Foi adicionada matéria à
versão anterior. Vão ser lançadas novas versões no futuro, com correcções e com
matéria adicional. Entretanto qualquer dúvida ou correcção deve ser enviada para
[email protected]. Também pode colocar dúvidas sobre equações
diferenciais
ou
qualquer
outra
matéria
no
forum:
http://www.explicacoes.com/forum.htm
Indice
1.
2
Conceitos Básicos ..................................................................................................... 3
Equações Diferenciais de 1ª ordem .......................................................................... 5
2.1 separação de variáveis .......................................................................................... 5
dy
 f ax  by  c  ................................................................ 7
2.2 Equações do tipo
dx
2.3 Equações Homogéneas ......................................................................................... 8
2.4 Equações lineares de primeira ordem ................................................................. 10
3 Equações lineares de segunda ordem ..................................................................... 13
3.1 Homogéneas de Coeficientes Constantes ........................................................... 13
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1. Conceitos Básicos
Ao longo destes apontamentos trabalha-se sempre com a função y(x). As derivadas de y
representam-se por:
y' - primeira derivada
y'' - segunda derivada
y'''- terceira derivada
yiv - quarta derivada
yv - quinta derivada
yn - derivada de ordem n
Exemplo:
y(x)= x4
y'=4x3
y''=12x2
Variável dependente: a variável que representa a função, no nosso caso y
Variável independente: a variável da qual depende a função, no nosso caso x
Equação diferencial: equação em que a incógnita é uma função (y) e em que essa
função aparece na equação sob a forma de pelo menos uma das suas derivadas. A
função propriamente e a variável independente (x) podem ou não aparecer na equação.
exemplo 1 - y ' ' y  0
esta é uma equação diferencial porque aparece a segunda derivada de y, que é a função.
exemplo 2 - yy ' ' xy  cos x
Esta é uma equação diferencial em que aparece a variável independente (x), a variável
dependente (ou função) e a segunda derivada da função.
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Ordem de uma equação diferencial: a ordem de uma equação de uma equação
diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que contém.
Exemplo: yy ' ' xy  cos x A derivada de maior ordem desta equação é y'', que é de
segunda ordem, logo a equação também é de segunda ordem.
Equações diferenciais não lineares:
Uma equação diferencial diz-se não linear
quando se verifica pelo menos uma das seguintes condições:
i)
y aparece sob a forma de uma potência ou de uma raiz
exemplo1: y 2  xy  cos x - não linear por causa de y 2
exemplo2:
ii)
y  xy  cos x - não linear por causa de
y
y aparece multiplicado por uma das suas derivadas
exemplo: yy ' ' xy  cos x - não linear por causa de yy ' '
iii)
duas derivadas de y aparecem multiplicadas um apela outra
exemplo: y ' ' ' y ' ' xy  cos x - não linear por causa de y ' ' ' y ' '
Equação diferencial linear: equação diferencial em que não se verifica nenhuma das 3
condições anteriores.
exemplo: y ' ' xy  cos x - não linear por causa de yy ' '
Coeficientes: são os termos que, nas equações lineares, aparecem a multiplicar pela
função ou pelas suas derivadas.
exemplo: y ' ' xy  cos x Neste caso há dois coeficientes: 1 que multiplica por y'' e x que
multiplica por y
Coeficientes variáveis: quando os coeficientes são função de x
Coeficientes constantes: quando os coeficientes não dependem de x
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exemplo: 3 y ' '( x  2) y  cos x 3 é um coeficiente constante e (x+2) é um coeficiente
variável.
2
2.1
Equações Diferenciais de 1ª ordem
separação de variáveis
As equações do tipo y'=f(x,y) pode ser escrita da forma:
dy
 f ( x, y )
dx
dy e dx podem ser manipulados com base nas regras da álgebra. Assim:
dy
dx
1
1
 f ( x, y)  dy  f ( x, y)dx  1  f ( x, y )

 f ( x, y)
dx
dy
dx
dy
exemplo:
y'=xy -x
dy
dx
1
1
 xy  x  dy  ( xy  x)dx  1  ( xy  x)

 ( xy  x)
dx
dy
dx
dy
Uma equação de variáveis separáveis é uma equação que pode ser escrita sob a forma:
f ( y )dy  g ( x)dx
Este tipo de equações resolve-se integrando os dois lados da equação:
 f ( y)dy   g ( x)dx  c
Exemplo 1:
 y  2dy  e x dx
é uma equação de variáveis separáveis
Por integração dos dois lados:
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  y  2dy   e
 y  22
2
x
6
dx  c
 ex  c
Esta é a solução da equação diferencial.
Exemplo 2:
1  y dx  xydy  0
2
Esta equação ainda não tem as variáveis separadas. Para as separar coloca-se dx de um
lado e dy de outro:
1  y dx   xydy
2
Em seguida tenta-se colocar todas as funções de x do lado de dx e todas as funções de y
do lado de dy:
dx
y

dy
x
1 y2
integrando:

dx
y
1
2y
 
dy  c  ln x   
dy  c 
2
x
2 1 y2
1 y
1
 ln x   ln 1  y 2  c   ln x  ln 1  y 2  c 
2

1
 A 1 y2
x
esta é a solução da equação.
Exemplo 3:
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dy
 dy 
e  y 1  y '  1  e  y 1    1  1 
 ey
dx
 dx 
dy
e  y dy
 e y  1  dy  e y  1 dx 
 dx
dx
1  ey


e  y dy
y
y
x
 1  e  y   dx  c  ln 1  e  x  c  1  e  Ae



1  Ae x  e  y  ln 1  Ae x   y  y   ln 1  Ae x
2.2
Equações do tipo

dy
 f ax  by  c 
dx
Neste caso não é possível separar as variáveis
Exemplo:
dy
 3x  4 y  2  dy  3x  4 y  2dx
dx
Não é possível separar o x do y.
Neste caso usa-se uma mudança de variável:
z  ax  by  c , substituindo y por z. É necessário determinar
dy
dz
em função de
dx
dx
dz
dz
a
a
dy dx
dz
dy
dx

 f (z )
 ab


dx
dx
dx
b
b
dz
dz
 bf ( z )  a  dz  bf ( z)  adx 
 dx
dx
bf ( z )  a
dz
 bf ( z)  a   dx  k 
Exemplo:
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dy
 3x  4 y  2  dy  3x  4 y  2dx
dx
z  3x  4 y  2
dz
dz
3
3
dy dx
dy dx
dz
dy


 3 4


dx
dx
dx
4
dx
4
dz
3
dz
dz
dx
z
 4z  3 
 dx
dx
4z  3
4
1 4dz
1
  dx  ln 4 z  3  x  k

4 4z  3
4
ln 4 z  3  4x  k   4z  3  exp4x  k 
2.3
z
exp 4 x  k   3
exp 4x  k   3
 3x  4 y  2 
4
4
y
exp 4x  k   11  12 x
16
Equações Homogéneas
Noção de função homogénea: uma função f(x,y) diz-se homogénea se f(kx,ky)=knf(x,y)
Exemplo 1: f(x,y)=x2+y2 é homogénea de grau dois porque:
f(kx,ky)=(kx)2+(ky)2=k2(x2+y2)= k2f(x,y)
Exemplo 2: f(x,y)=x2+y não é homogénea porque:
f(kx,ky)=(kx)2+(ky) não sendo possível a partir daqui obter uma relação do tipo
f(kx,ky)=knf(x,y)
Exemplo 3: f(x,y)=4 é homogénea de grau 0 porque:
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: f(kx,ky) = 4 = k0f(x,y)
Equações (diferenciais) Homogéneas: equação que pode ser representada na forma
dy
 f ( x, y ) em que f(x,y) é uma função homogénea de grau zero.
dx
dy
x2  y2

Exemplo 1:
é uma equação homogénea porque f(x,y) é uma função
dx 2 x 2  3 y 2
homogénea de grau zero. De facto:
f ( x, y ) 
x2  y2
k 2 x2  k 2 y2
k 2 x2  y2

f
(
kx
,
ky
)


 f ( x, y )
2x 2  3 y 2
2k 2 x 2  3k 2 y 2 k 2 2 x 2  3 y 2
d 2 y dy
x2  y2


não é uma equação homogénea porque, apesar de
dx 2 dx 2 x 2  3 y 2
f(x,y) ser uma função homogénea de grau 0 porque nem sequer é uma equação
diferencial de ordem um.
Exemplo 2:
Uma equação homogénea pode ser sempre escrita na forma:
dy
y
 ( )
dx
x
dy
x2  y2

Exemplo:
dx 2 x 2  3 y 2
Por divisão de ambos os termos da fracção por x2 obtém-se:
2
 y
1  
dy
x

2
dx
 y
2  3 
x
Resolução de uma equação homogénea: uma equação homogénea resolve-se com base
y
na mudança de variável u  , substituindo-se a função u pela função y. Para isso
x
dy
dy
du
dy
x
 u . A equação
 f ( x, y ) transforma-se
determina-se
. Como y  ux ,
dx
dx
dx
dx
du
 u  f ( x, y ) . A partir daqui a resolução depende da função
na equação seguinte: x
dx
f(x,y) pelo que se ilustra o método com exemplos.
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Exemplo 1:
dy y
y
  cos 2
dx x
x
dy
du
x
u
dx
dx
x
du
du
du
dx
 u  u  cos 2 u  x
 cos 2 u 

2
dx
dx
x
cos u
du
 cos 2 u  
dx
 y
 cot g u   ln( x)  k  cot g    ln( x)  k
x
x
Exemplo 2: 2 x 2 y '  x 2  y 2
dy 1 y 2
 
dx 2 2 x 2
dy
du
x
u
dx
dx
x


du
1 u2
du 1
du
1 dx
u  
 1  u 2  2u  
 x
 
2
dx
2 2
dx 2
1  u  2u 2 x
1  u 2  2u  0  u 
2 44
1
2
1  u 2  2u  u  12
du
du
 1  u 2  2u   u  12


1
u 1

1
1
1
y
y 
 A x
 ln x  k  

 ln x  k  exp  
y
u 1 2
y  x 
yx

1
x
2.4
Equações lineares de primeira ordem
A equação do tipo:
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11
dy
 p ( x) y  q ( x)
dx
é uma equação de primeira ordem porque a derivada de maior ordem que aparece na
equação é y' (que tem ordem 1)
é uma equação linear porque y não aparece a multiplicar por y'
exemplo:
dy
 cos( x) y  sen( x)
dx
É uma equação linear de primeira ordem em que p(x)=cos(x) e q(x)=sen(x).
quando q(x) é zero diz-se que a equação é homogénea.
Solução de uma equação linear de primeira ordem homogénea.
dy
dy
 p ( x) y  0 
  p( x) y 
dx
dx


dy
   p( x)dx
y
ln y    p( x)dx  k  y  A exp   p( x)dx

Exemplo:
dy
dy
dy
 ln  x  y  0 
  ln  x  y 
  ln x dx
dx
dx
y

dy
   ln x dx  ln  y    x ln x   dx   x ln x  x  x1  ln x   k
y
y  A exp x1  ln x
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Solução de uma equação linear de primeira ordem não homogénea.
dy
 p ( x) y  q ( x)
dx

exp  p( x)dx
dydx  exp  p( x)dxp( x) y  exp  p( x)dxq( x)
  p( x)dxp( x) y  exp 
d exp
dx
 p( x)dxq( x)
  p( x)dxp( x) y exp  p( x)dxq( x)dx
d exp
 d exp  p( x)dxp( x) y  exp  p( x)dxq( x)dx  k
exp
y
Exemplo:
 p( x)dxp( x) y   exp  p( x)dxq( x)dx  k
 exp  p( x)dxq( x)dx  k exp  p( x)dxp( x)

exp  p( x)dxp( x)
dy
 xy  x
dx
x2
F  exp  xdx 
2
 x2
exp 
 2
 dy
 x2
  x exp 
 dx
 2



 x2
 y  x exp 

 2






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13
  x2  
d exp   y 
 x2 
  2  
 x exp  
dx
 2 
  x2  
 x2 


d
exp
y

x
exp
   2     2 dx  k


 x2
exp 
 2

 x2
 y  exp 

 2



k


 x2 

y  1  k exp  

2


3
Equações lineares de segunda ordem
A equação do tipo y ' ' f ( x) y ' g ( x) y  h( x) em que f, g e h são funções apenas de x
diz-se que é uma equação de segunda ordem porque a derivada de maior ordem (y'') tem
ordem 2 ; diz-se que é linear porque y não multiplica por nenhuma das suas derivadas e
nem as derivadas de y não multiplicam entre si.
3.1 Homogéneas de Coeficientes Constantes
Se h(x) for igual a zero então:
y ' ' f ( x) y ' g ( x) y  0
e neste caso a equação diz-se homogénea. Às funções f e g chama-se coeficientes da
equação diferencial. Se f e g forem independentes de x, por exemplo f(x)=b e g(x)=c
então:
y ' 'by 'cy  0
Neste caso diz-se que a equação é uma equação de coeficientes constantes.
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14
Método de Resolução:
A esta y ' 'by 'cy  0 diferencial corresponde a equação algébrica característica
2  b  c  0 . Para resolver a equação diferencial deve seguir-se os seguintes passos:
-
determinação das raizes da equação característica
2  b  c  0   

b
1 



b
2 

-
 b  b 2  4c
2
b 2  4c
2
b 2  4c
2
solução da equação
A solução da equação depende do tipo de soluções obtidas. Há quatro tipo de soluções
possíveis.
Tipo 1 - 1 e 2 são números reais diferentes entre si
y  k1e 1x  k 2 e 2 x
exemplo: y ' '3 y '2 y  0
2  3  2  0

3
 32  4  2
2

3 1
2
1  2

2  1
y  k1e 2 x  k 2 e x
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Tipo 2 - 1 e 2 são números reais e 1 = 2 = 
y  k1e x  k 2 xex
exemplo: y ' '  4 y '4 y  0
2  4  4  0

4
42  4  4
2

40
2
2
1  2

 2  2
y  k1e 2 x  k 2 xe2 x
Tipo 3 - 1 =0 e 2 real (caso especial do tipo 1)
y  k1  k 2 e x
exemplo: y ' '3 y '2 y  0
2  3  2  0

3
 32  4  2
2

3 1
2
1  2

2  1
Tipo 4 - 1 e 2 não são números reais, ou seja b 2  4c  0
Neste caso a solução da equação característica toma a forma seguinte:
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
b 


1 



b


 2 

b 2  4c i

2
b 2  4c i

2
y  e bx  k1 sen b 2  4c  k 2 cos b 2  4c 


exemplo: y ' '4 y '5 y  0
2  4  5  0

4
 42  4  5
2

4  2i
 2i
2
1  2  i

 2  2  i
y  e 2 x k1 cos x  k 2 senx 
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