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explicações de Física 2 eng civil FEUP
Dra Isabel Fernandes - 96 420 7327
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Movimento harmónico simples (m.h.s.)
Um ponto material efectua um m.h.s. quando oscila, periodicamente, em torno
da posição de equilíbrio, sob a acção de uma força cuja a intensidade é directamente
proporcional ao módulo da elongação. F= -K.x é a expressão que permite conhecer a
força restauradora que actua no ponto material. Esta força está sempre orientada para a
posição de equilíbrio.
A lei do m.h.s. é :
X = Asen( t +  ) (1)
À grandeza ( t +  ) dá-se o nome da fase do movimento.
A - amplitude do movimento, ou seja, o valor absoluto da elongação máxima;
 - frequência angular (=2f);
 - fase inicial, que depende do instante escolhido para origem do tempo;
Exemplos de m.h.s:
a) sistema massa-mola: aplicando a segunda lei de
Newton obtém-se:
d2x
-kx = ma e atendendo a que a  2  x vem,
dt
k
mx  kx  0  x  x  0 (2) a solução desta equação
m
k
diferencial é da forma de (1) na qual  
m
b) pêndulo gravítico simples: as forças aplicadas no
pêndulo são a tensão e o peso:


T


P
Aplicando a segunda lei de Newton,
ma = -mgsen atendendo às relações s =l e sen  
válidas para ângulos  5º
d 2
d 2 g

mg


   0 equação diferencial da
dt 2
dt 2 l
forma de (2)
ml
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 
3
g
g
  0 sendo a frequência angular,  
l
l
Exercício 1:
Um ponto material animado de movimento harmónico simples encontra-se à
distância de 20mm da sua posição de equilíbrio, num dos instantes em que a sua
velocidade é nula e volta a passar, pela mesma posição, após 410-1 s.
a) Qual é o valor da amplitude do movimento do ponto material?
Atendendo à expressão (1) e derivando em ordem ao tempo, obtém-se uma
expressão para a velocidade do ponto material em qualquer instante:
v = A cos( t +  )
(3)
v = 0 quando cos( t +  ) = 0 ou seja t +  = /2 e 3/2 que correspondem
exactamente às posições de elongação máxima positiva ( t = T/4 ) e elongação
máxima negativa ( t = 3T/4 ). Conclui-se a partir do enunciado que o valor da
amplitude é de 20mm.
b) Qual é o valor do período e da frequência do referido movimento?
Se o ponto material se encontra numa posição extrema e, passados 410-1 s
atinge, novamente, a mesma posição extrema, o tempo de corrido é por
definição, o período do movimento. T = 410-1 s
c) Escreva a equação que traduz a lei deste movimento, tomando para origem
dos tempos um dos instantes em que a velocidade do ponto material atinge o
valor máximo negativo.
A partir da equação de velocidade conclui-se que para esta ter o valor máximo
negativo cos( t +  ) = -1  t +  =  e para t=0s vem,  = 
A equação de elongação é dada pela expressão:
X = 0,020 sen(5t + ) m
d) Calcule o valor da aceleração do ponto material , quando este passa na
posição extrema negativa da sua trajectória
Atendendo à expressão (3) e derivando em ordem ao tempo, obtém-se uma
expressão para a aceleração do ponto material em qualquer instante:
a = -A2 sen( t +  )
(3)
a = -2.x
Na posição extrema negativa da trajectória x = -A, substituindo vem a = 5ms-2
Energia no m.h.s.:
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Considerando um sistema massa-mola e desprezando o atrito a energia mecânica
do sistema mantém-se constante. Trata-se de um sistema conservativo, pois a força
elástica é uma força conservativa.
Para qualquer ponto do oscilador:
Ec = (½)mv2 com v = A cos( t +  )
Ep = (½)Kx2 com x = Asen( t +  )
Atendendo a K = m2
Em = Ec + Ep = (½)mA22 cos2( t +  ) + (½)KA2sen2( t +  ) = (½)m2A2
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Exercício 2:
Determine o valor médio da energia cinética e da energia potencial de um
oscilador harmónico.
Para calcular a energia cinética média deve-se usar a definição de média e calcular a
média num período completo de oscilação:
T
1
 Ec  =  (½)mA22 cos2( t +  )dt = (¼)mA22
T0
T
1
cos2( t +  )dt = ½

T0
Para a energia potencial média:
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T
1
 Ep  =  (½)KA2sen2( t +  )dt = (¼)mA22
T0
T
1
sen2( t +  )dt = ½

T0
A energia mecânica média:
 Em  =  Ep  +  Ec  = (½)m2A2
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