Distribuições de probabilidade para variáveis

Distribuições de probabilidade para variáveis discretas
(Binomial, Hipergeométrica e Poisson)
Distribuição de probabilidade Binomial
Há diversos experimentos que satisfazem exatamente ou aproximadamente a seguinte lista
de requisitos:
1. O experimento consiste em uma seqüência de n experimentos menores
denominados tentativas, onde n é estabelecido antes do experimento.
2. Cada tentativa pode resultar em um de dois resultados possíveis (tentativas
dicotômicas), chamados de sucesso (S) ou falha (F).
3. As tentativas são independentes, de forma que o resultado de qualquer tentativa
particular não influencia o resultado de qualquer outra tentativa.
4. A probabilidade de sucesso é constante de uma tentativa para a outra.
Denominamos essa probabilidade p.
Um experimento para o qual as condições 1-4 são satisfeitas é denominado experimento
binomial.
Variável aleatória binomial e sua distribuição
Definição: Dado um experimento binomial consistindo de n tentativas, a variável aleatória
binomial X a ele associada é definida como: X = quantidade de S nas n tentativas.
Notação: b( x; n, p)
n
P( X  x)  b( x; n, p)    p x (1  p) n  x
 x
x= 0, 1, 2, 3,.... n
Média e variância de X
Se X ~ Bin(n, p), então E(X)=np, V(X)=np(1-p)=npq, e  x  npq (onde q=1-p)
Exercícios
1. Cada um de seis consumidores de refrigerante selecionados aleatoriamente recebe um
copo com o refrigerante S e um com o refrigerante F. Os copos são idênticos, exceto por
um código no fundo que identifica o refrigerante. Suponha que não haja uma tendência de
preferência entre os consumidores. Então p=P (um indivíduo selecionado prefere S) = 0,5,
de forma que X = número de consumidores entre os seis que preferem S. Determine a
probabilidade de:
a) exatamente três preferirem S;
b) pelo menos três preferirem S;
c) no máximo um preferir S.
Resp.: a) 0,313; b) 0,656; c) 0,109
2. Suponha que 20% de todas as cópias de um livro-texto apresentem falha em um
determinado teste de resistência de encadernação. Seja X o número de cópias que
apresentam falhas entre 15 cópias selecionadas aleatoriamente.Determine a probabilidade
de:
a) no máximo 8 apresentarem falha;
b) exatamente 8 apresentarem falha;
c) no mínimo 8 apresentarem falha;
d) de 4 a 7, inclusive, apresentarem falha.
Resp.: a) 0,999; b) 0,003; c) 0,004; d) 0,348
3. Se 75% de todas as compras em uma determinada loja forem feitas com cartão de crédito
e X for a quantidade de compras feitas com cartão de crédito entre 10 compras selecionadas
aleatoriamente. Calcule o valor esperado e o desvio padrão de X.
Resp.:   7,5 ;   1,3693
4. Os clientes de um posto de gasolina pagam com cartão de crédito (A), cartão de débito
(B) ou dinheiro (C). Assuma que clientes sucessivos façam escolhas independentes, com
P(A)=0,5, P(B)=0,2 e P(C)=0,3
a) Entre os próximos 100 clientes, qual será a média e o desvio padrão do número dos que
pagam com cartão de débito?
b) Responda à parte (a) para o número entre os 100 que não pagam em dinheiro.
Resp.: a) 20, 4; b) 70, 4,5826
Distribuição de probabilidade Hipergeométrica
A distribuição hipergeométrica é intimamente relacionada à distribuição binomial.
Enquanto a distribuição binomial é o modelo aproximado de amostragem sem reposição de
uma população (S-F) dicotômica finita, a distribuição hipergeométrica é o modelo de
probabilidade para o número de S’s em uma amostra.
As hipóteses que levam à distribuição hipergeométrica são as seguintes:
1. A população ou o conjunto de onde é retirada a amostra consiste de N indivíduos,
objetos ou elementos (população finita).
2. Cada indivíduo é classificado como sucesso (S) ou falha (S) e há M sucessos na
população.
3. É selecionada uma amostra sem reposição de n indivíduos de forma que cada
subconjunto de tamanho n seja igualmente provável de ser escolhido.
A variável aleatória de interesse é X = número de S`s na amostra. A distribuição de
probabilidade de X depende dos parâmetros n, M e N, de forma que queremos calcular
P(X=x)=h(x; n, M, N).
Se X for o número de S de uma amostra completamente aleatória de tamanho n tirada de
uma população constituída de M S’s e (N-M) F’s, então a distribuição de probabilidade de
X, denominada distribuição hipergeométrica, será dada por
 M  N  M 
 

x  n  x 

P( X  x)  h( x; n, M , N ) 
N
 
n
para um inteiro x que satisfaça máx (0, n – N + M)  x  mín (n, M).
A média e a variância da variável aleatória hipergeométrica X são:
M
 N n M  M 
E ( X )  n.
V (X )  
.n. .1  
N
N
 N 1  n 
A razão de M/N é proporção de S na população. Se substituirmos M/N por p em E(X) e
V(X), obtemos:
 N n
E ( X )  np
V (X )  
.np(1  p)
 N 1 
Exercícios
1. Durante determinado período, um escritório de tecnologia da informação de uma
universidade recebeu 20 ordens de serviço de problemas com impressoras, das quais 8 de
impressoras a laser e 12 a jato de tinta. Uma amostra de 5 dessas ordens de serviço será
selecionada para inclusão em uma pesquisa de satisfação do cliente. Suponha que as 5
sejam selecionadas de forma completamente aleatória para que qualquer subconjunto de
tamanho 5 tenha a mesma possibilidade de ser selecionado. Qual será a probabilidade de
exatamente 2 das ordens de serviço selecionadas serem de impressoras a jato de tinta?
Resp.: 0,238
2. Em uma pesquisa de opinião realizada Organização de Pesquisa Survey foi feita a
seguinte pergunta aos entrevistados: “A qual esporte você prefere assistir?” O futebol e o
basquetebol classificaram-se em primeiro e segundo lugares, respectivamente, em termos
de preferência. Suponha que em um grupo de dez pessoas, sete preferem futebol e três,
basquete. Uma amostra aleatória de três dessas pessoas é selecionada.
a) Qual é a probabilidade de exatamente duas preferirem futebol?
b) Qual é a probabilidade de a maioria (duas ou três) preferir futebol?
Resp.: a) 0,5250; b) 0,1833
3. A indústria de computadores AX produz computadores pessoais em duas fábricas: uma
na cidade H e na cidade W. A fábrica da cidade H tem 40 empregados e a da cidade W, 20.
Pede-se a uma amostra aleatória de dez empregados para preencherem um questionário de
benefícios.
a) Qual é a probabilidade de nenhum dos empregados da amostra trabalhar na fábrica H?
b) Qual é a probabilidade de um dos empregados da amostra trabalhar na fábrica H?
c) Qual é a probabilidade de dois empregados ou mais da amostra trabalharem na fábrica
H?
d) Qual é a probabilidade de nove dos empregados da amostra trabalharem na fábrica W?
Resp.: N=60; n= 10 a) r=20, x=0, 0,07; b) r=20, x=1, 0,07; c=0,92; d) 0,07
4. Uma remessa de dez itens contém duas unidades com defeito e oito unidades sem
defeito. Na inspeção de embarque, uma amostra de unidades será selecionada e testada. Se
uma unidade com defeito for encontrada, a remessa de dez unidades será rejeitada.
a) Se uma amostra de três itens for selecionada, qual é a probabilidade de o embarque ser
rejeitado?
b) Se uma amostra de quatro itens for selecionada, qual é a probabilidade de o embarque
ser rejeitado?
c) Se uma amostra de cinco itens for selecionada, qual é a probabilidade de o embarque ser
rejeitado?
d) Se a administração quiser obter uma probabilidade de 0,90 de rejeição de um embarque
com duas unidades defeituosas e oito unidades sem defeito, qual seria o tamanho da
amostra recomendada?
Resp.: a) 0,5333; b)0,6667; c) 0,7778; d) n=7
Distribuição de probabilidade de Poisson
As distribuições binomial e hipergeométrica foram deduzidas a partir de um experimento
consistindo de tentativas ou retiradas e na aplicação das leis de probabilidade aos diversos
resultados do experimento. Não há um experimento simples que sirva de base para a
distribuição de Poisson, apesar de descrevermos simplificadamente como ela pode ser
obtida por meio de certas operações limitantes.
Definição:
Uma variável aleatória X tem distribuição de Poisson com parâmetro  (  0) se a
função distribuição de probabilidade de X for
e   x
p( x;  ) 
x= 1, 2, ...
x!
Geralmente, o valor de  é uma taxa por unidade de tempo ou por unidade de área.
Média e variância de X
Como b( x; n, p)  p( x;  ) quando n  , p  0, np   , a média e a variância de
uma variável binomial tendem para as de uma variável de Poisson. Os limites são np  
e np(1  p)   .
Se X tiver distribuição de Poisson com parâmetro  , então E(X)=V(X)= 
Exercícios:
1. Chamadas telefônicas são recebidas à taxa de 48 por hora no balcão de reservas de uma
certa empresa de consultorias.
a) Calcule a probabilidade de receberem três chamadas em um intervalo de tempo de cinco
minutos.
b) Calcule a probabilidade de receberem exatamente dez chamadas em 15 minutos.
c) Suponha não haver nenhuma chamada em espera no momento. Se o recepcionista
demora cinco minutos para completar a chamada atual, quantas ligações você acha que
permanecerão em espera nesse tempo? Qual é a probabilidade de não haver nenhuma
ligação em espera?
d) Se nenhuma chamada está em processamento neste momento, qual é a probabilidade de
o recepcionista ter três minutos de tempo pessoal sem ser interrompido?
Resp.: a) 0,1952; b) 0,1048; c) 0,0183; d) 0,0907
2. Os estabelecimentos da rede de hotéis Bom Descanso registraram a estada de mais de 2
milhões de hóspedes no ano passado. O site da BD Região Sul, o qual tem uma média de
aproximadamente sete visitas por minuto, possibilita a muitos estabelecimentos da BD
atraírem hóspedes.
a) Calcule a probabilidade de não haver nenhuma visita ao site no período de um minuto.
b) Calcule a probabilidade de haver duas ou mais visitas ao site no período de um minuto.
c) Calcule a probabilidade de haver uma ou mais visitas ao site em um período de 30
segundos.
d) Calcule a probabilidade de haver cinco ou mais visitas ao site no período de um minuto.
Resp.: a) 0,0009; b) 0,9927; c) 0,9698; d) 0,8271
3. Os passageiros de uma empresa aérea chegam aleatória e independentemente ao balcão
de controle de passageiros de um importante aeroporto internacional. A taxa média de
chegada são 10 passageiros por minuto.
a) Calcule a probabilidade de ninguém chegar no período de um minuto.
b) Calcule a probabilidade de três ou menos passageiros chegarem no período de um
minuto.
c) Calcule a probabilidade de ninguém chegar no período de 15 segundos.
d) Calcule a probabilidade de pelo menos um passageiro chegar em um período de 15
segundos.
Resp.:
4. De 1990 a 1999 houve uma média de aproximadamente 26 acidentes aeronáuticos por
ano que acarretaram a morte de um ou mais passageiros. A partir de 2000, a média
decresceu para 15 acidentes por ano. Suponha que os acidentes aeronáuticos continuem a
ocorrer à taxa de 15 acidentes por ano.
a) Calcule o número médio de acidentes aeronáuticos por mês.
b) Calcule a probabilidade de não ocorrer nenhum acidente durante um mês.
c) Calcule a probabilidade de ocorrer exatamente um acidente durante um mês.
d) Calcule a probabilidade de ocorrer mais de um acidente durante um mês.
Resp.: a) 1,25; b) 0,2865; c) 0,3581; d) 0,3554
5) Se uma editora de livros não-técnicos se esforça para garantir que seus livros não
possuem erros tipográficos, de forma que a probabilidade de uma página conter um erro
desse tipo é de 0,005 e os erros são independentes de página para página, qual é a
probabilidade de um de seus romances de 400 páginas conter uma página com erros? No
máximo três páginas com erros?
Resp.: 0,271 e 0,857