Ficha Nova

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Departamento de Física /FCT
Problemas de Física do Estado Sólido
Lista 2
(2007/2008)
1. Calcular a energia térmica e o calor específico, para os seguintes sistemas:
a) Dois osciladores harmónicos de frequências 0 e 1.
b) N átomos iguais, com dois níveis de energia, E1 e E2.
c) Explicar a diferença entre os dois resultados.
2. Considerar uma rede de d – dimensões na temperatura do zero absoluto. Cada átomo
da rede tem uma massa m e  corresponde a densidade de número. Usando a
aproximação de Debye e considerando que todos os modos do som tem a mesma
velocidade v.
a) Calcular a energia cinética do sistema.
b) Determinar a expressão para o deslocamento médio quadrático < R2 >.
c) Calcular < R2 > para d=3.
d) Calcular < R2 > para d=1, e discutir a sua relevância experimental.
 R 
e) Calcular a tensão média quadrática  
 x 
2

1
K 2 u 02 para d=1.

2
3. O gás de Fermi na astrofísica.
a) Dado que a massa do Sol é M  2  1033 g, estime o número de electrões do Sol.
Numa anã branca, estes electrões podem ser contidos numa esfera de raio
2  109 cm. Determine a energia de Fermi dos electrões contidos na anã branca,
em electrão – volts.
b) A energia de um electrão no limite relativístico  »mc2 está relacionada ao vector
de onda através da equação   pc  kc . Mostre que a energia de Fermi neste
limite é  F  3cn 3 .
c) Se o mesmo número de electrões fosse contido num pulsar com 10 km de raio,
mostre que a energia de Fermi seria  108 eV.
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4. Determine a capacidade calorífica de um gás de electrões para temperaturas baixas
( kBT « F ), a partir do aumento de energia U , quando o sistema é aquecido de 0 K
para T K.
5. O átomo de He3 tem spin 1/2 e é, portanto, um fermião. A densidade do He3 líquido
0.081 g cm-3 em temperaturas próximas do zero absoluto. Calcule a energia de Fermi e a
temperatura de Fermi.
6. Considere um gás tridimensional com N electrões livres a 0 K.
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a) Determinar a energia cinética, U 0 .
b) Escreva, em termos de U 0 , uma equação que relacione a pressão ao volume do
gás.
c) Calcule o módulo de elasticidade em função de U 0 .
d) Estime para o potássio, usando a Tabela 6-1 (Kittel), o valor da contribuição do
gás de electrões, para o valor de B.
7. A energia de Fermi dos electrões de cobre à temperatura ambiente é
aproximadamente 7.0 eV. A mobilidade de deriva do electrão no cobre, a partir de
medidas do efeito Hall, é 33 cm 2 V -1s -1 .
a) Qual é a velocidade vF dos electrões de condução com energias em torno de  F .
b) Porque vF é muito maior do que vtérmico ?
c) Qual é o comprimento de onda de De Broglie desses electrões?
d) Relacionar o comprimento de onda com a condição de Bragg. Explique os
resultados.
e) Calcule o livre caminho médio dos electrões no cobre e comente.
f) Calcular o valor exacto da energia de Fermi à 300 K. Supor que  F (0)  7 eV é
a energia de Fermi exacta para a temperatura absoluta.
g) Calcular a energia média e a velocidade média por electrão de condução à
temperatura absoluta e à 300 K e comente.
8. Determinar a contribuição da energia cinética para o módulo de volume definido por
k  V 2U / V 2 , para um gás de electrões a T = 0 K. Escrever o resultado em termos da
velocidade de Fermi.
9. Considerando a equação de movimento do electrão num campo eléctrico uniforme:
 dv v 
m    eE onde v é a velocidade do electrão, mostrar que a condutividade
 dt  
eléctrica para uma frequência  é:
 1  i 
  eE
2 
 1    
     0
onde  0 
ne 2
m
10. O sódio tem uma estrutura cristalina cúbica de corpo centrado e parâmetro de rede
a= 0.420 nm.
a) Estime o coeficiente de Hall do sódio num modelo de electrões livres.
b) Determine a tensão Hall gerada quando uma corrente I que passa através de uma
amostra de sódio (representada na Figura abaixo) de largura  e espessura  ,
colocada num campo magnético de intensidade B, em função de I, B e  .
B
I

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11. Energia de um electrão livre numa rede quadrada.
(a) Mostre que no caso de uma rede quadrada simples (bidimensional), a energia
cinética de um electrão livre situado num vértice do quadrado da primeira zona
de Brillouin é duas vezes maior do que no ponto médio de uma aresta da zona
de Brillouin.
(b) Qual é o factor correspondente no caso de uma rede cúbica simples
(tridimensional)?
(c) Qual é a relação entre o resultado da alínea (b) e a condutividade de metais
divalentes?
12. Considere a série de Fourier para a energia potencial de um cristal:
 

iG .r
U r   
U
e
G

G
a) Obter UG.
b) Mostrar que para a estrutura do diamante, a componente de Fourrier UG do



potencial do cristal visto por um electrão, é igual a zero para G  2 A , onde A é
um vector da base de uma rede recíproca da célula cúbica convencional.
c) Mostrar na usual aproximação de primeira ordem para as soluções da equação de
onda numa rede periódica o “gap” de energia tende a zero no limite do plano
normal à zona de Brillouin para a extremidade do vector A.
13. Considere uma rede quadrada bidimensional com um potencial cristalino da forma:
U x, y   4U cos2x / acos2y / a
Utilize a equação central para determinar a largura aproximada da banda proibida no
vértice  / a, / a  da zona de Brillouin. É suficiente resolver uma equação que envolve
um determinante 2  2 .
14. No caso do antimoneto de índio (InSb), a largura da banda proibida E g  é 0.23 eV,
a constante dieléctrica   é 18 e a massa efectiva dos electrões me  0.015m . Calcule:
a) A energia de ionização dos doadores.
b) O raio da órbita do estado fundamental.
c) A partir da concentração de doadores começa a haver uma sobreposição
significativa dos orbitais de impurezas vizinhas. Esta sobreposição tende a
produzir uma banda de impureza, isto é, uma série de níveis permitidos
dentro da banda proibida, que permite a passagem de uma corrente eléctrica,
presumivelmente através de saltos de electrões de uma impureza vizinha.
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15. Considere a primeira zona de Brilloin de um cristal, com uma rede hexagonal

simples em três dimensões, com constantes da rede a e c. Seja G o vector mais curto da
rede recíproca paralelo ao eixo c da rede recíproca.
a) Mostre que para uma estrutura hexagonal compacta a componente de Fourier


U Gc do potencial cristalino U r  é zero.

b) A componente de Fourier U 2Gc também é zero?
c) Por que é possível, em princípio, que exista um isolador feito de átomos
divalentes localizados nos pontos de uma rede hexagonal simples?
d) Por que não é possível existir um isolador feito de átomos monovalentes
localizados nos pontos de uma rede hexagonal compacta?
 
 
16. Considerar o cristal de germânio com uma concentração de dopante de uma parte
por milhão de átomos de As (0.0001%).
a) Mostrar que a temperatura ambiente, todos os doadores são ionizados. Como
a contribuição das impurezas para a condutividade variam com a
temperatura, com o aumento de temperatura acima da temperatura ambiente?
b) A que temperatura a condutividade intrínseca (a partir de pares electrão lacuna excitados termicamente) se iguala a condutividade induzida pela
impureza?
17. Um electrão tem uma banda de energia unidimensional com dispersão
Ek   U 1 cos ka
Corresponde a uma solução para uma cadeia unidimensional de átomos
idênticos.
a) Determine a velocidade de grupo de um electrão no estado com vector de
onda k.
b) Determinar a massa efectiva de um electrão no estado de com vector de onda
k.
c) Aplica-se um campo eléctrico uniforme paralelo à cadeia de átomos a t=0.
Um pacote de onda de um electrão de vector k0  0 a t=0. Determine k0 t  .
d) O pacote de onda do electrão está centrado em x0  0 a t=0. Considerando
que não há espalhamento, integrar a velocidade de grupo e encontrar a
localização do pacote de onda electrónico em função do tempo. Ele se
comporta como um electrão livre?
e) Um mecanismo de espalhamento é introduzido com uma constante de tempo
dk
k
  . Se o
 , tal que na ausência de um campo eléctrico aplicado
dt
t
campo eléctrico é ligado em t=0, encontrar k0 t  e vg t  para t » .
f) Para as mesmas condições da alínea (e), encontrar a posição de electrão
versus tempo, x0 t  para t » . O electrão agora se comporta como um
electrão livre clássico que sofre um espalhamento? Quais são as semelhanças
e as diferenças?
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