O Nascimento da Mecânica Quântica – Parte 1 - if
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE FÍSICA Departamento de Física 1º semestre de 2004 DISCIPLINA: A Física do Século XX - A TURMA B Prof. César Augusto Zen Vasconcellos LISTA DE PROBLEMAS No. 1 O Nascimento da Mecânica Quântica – Parte 1 A física clássica no início do século XX, alguns aspectos históricos: radiação de corpo negro; lei de Josef Stefan e de Ludwig Boltzmann (Lei de Stefan-Boltzmann); lei de Wilhelm Jan Wien (Lei de Wien). Alguns aspectos históricos: Meados do Século XIX, Alemanha: O desenvolvimento da siderurgia na Alemanha e a produção de aço exigiam um melhor controle da temperatura dos fornos então utilizados pelas siderúrgicas. A aferição destas temperaturas não pode ser realizado, por exemplo, por termômetros comuns devido aos altos valores que atingem. Buscavam então os alemães, à época, mecanismos alternativos viáveis para a determinação e o controle das temperaturas nos processos de produção de aço. Surgiu então a pesquisa de determinação de temperatura baseada na avaliação das intensidades e componentes espectrais (cores) da radiação térmica emitida pelos altos-fornos. Ao medir as intensidades das componentes espectrais da radiação, separadas através da utilização de prismas, curvas características destas radiações eram então obtidas (ver figura 1): m = 1 micro metro = 10-6 metros Figuras apresentadas nas formas u(,T) e u(,T). Valores típicos: u(,T) ~10-9 W/(m2-Hz) c 2,99791010cm/s = c/ = 2,9979108 (m/s)/10-6m = 2,99791014 Hz T;;0 Figura 1. Radiância espectral, u(,T) (ou equivalentemente u(,T)), associada à radiação emitida pelos altosfornos. A radiância espectral é uma função que caracteriza a distribuição espectral de uma radiação. Um material em estado sólido apresenta um espectro de radiação térmica contínuo e a altas temperaturas emite em praticamente todos os comprimentos de onda. A maior parte desta radiação (>90%) é invisível para os seres humanos (região do infravermelho do espectro eletromagnético). u(,T) descreve o fluxo de energia emitida por unidade de tempo e por unidade de área, considerando-se uma radiação de comprimento de onda compreendido entre e + d, fluxo este que passa perpendicularmente através de uma superfície à temperatura T. u(,T) por sua vez descreve o fluxo de energia emitida por unidade de tempo e por unidade de área, considerando-se uma radiação de freqüência compreendida entre e +d, fluxo este que também passa perpendicularmente através de uma superfície à temperatura T. azul - vermelho 500K (1 nano metro = 1 nm = 10-9 metros) Luz visível (nm) 1000 2000 3000 Figura 2. Radiância u(T). A radiância é definida, a partir da radiância espectral, como u(T) u(, T)d 0 Ou então como: u(T) u(, T)d 0 ou seja, esta grandeza caracteriza o fluxo total de energia emitida por uma superfície aquecida para um determinado valor de temperatura. Lei de Stefan: Em 1879, Josef Stefan, ao analisar espectros de radiação emitidos por altos-fornos percebeu que u(,T) (ou equivalentemente u(,T)) cresce rapidamente com o aumento da temperatura T e obteve, à partir desta análise, uma lei empírica na forma: u(T) T 4 onde : 5,6710-8W/(m2-K4). Embora esta expressão contenha uma constante universal, a forma detalhada do espectro de radiação térmica emitida por um corpo, depende em princípio, de sua composição interna. A lei de Stefan é entretanto bastante precisa para descrever o fluxo total da radiação térmica de corpos aquecidos. Definimos a grandeza f = e(,T)/A, onde e(,T) caracteriza a emissividade de um corpo, ou seja, a energia por ele irradiada por unidade de área e por unidade de tempo em um comprimento de onda e onde A define a sua absorvidade, ou seja, a fração da energia incidente, de comprimento de onda , que é absorvida pelo corpo. Gustav Kirchhoff demonstrou, em 1859, que o valor da grandeza f é o mesmo para todos os corpos. Embora sendo f então uma função universal, as grandezas e(,T) e A não o seriam, em princípio. No caso de um corpo negro, entretanto, esta regra não se mantém. Uma vez que para um corpo negro A=1, então, sendo f o mesmo para todos os corpos (inclusive para os corpos negros), neste caso f = e(,T) e a função emissividade uma grandeza universal sendo portanto independente da natureza do corpo negro. Conseqüentemente, corpos negros apresentam o mesmo espectro de radiação. Lei de Stefan-Boltzmann (I): L. Boltzmann deduziu, em 1884, a lei de Stefan utilizando-se das leis da termodinâmica. Boltzmann sabendo que a luz, de forma semelhante aos gases, exerce pressão sobre as paredes de um invólucro, imaginou um dispositivo que simulasse um alto-forno perfeito, isto é, um altoforno cujas paredes fossem coletores ideais (corpos negros) e que, após aquecidas, estas paredes emitissem radiação. Para simular este alto-forno, Boltzmann imaginou um dispositivo semelhante a um pistão que contivesse energia térmica no seu interior (luz), sendo um dos êmbolos do pistão, o embolo móvel, constituído de material não-condutor e o outro, o embolo fixo, constituído de um material absorvedor ideal (corpo negro). À medida em que o embolo se move, o volume do sistema diminui e sua temperatura ou freqüência podem variar. Ao usar as leis da termodinâmica para determinar a variação de entropia do sistema, Boltzmann deduziu a lei de Stefan. A partir de então, a lei u(T) T 4 passou a ser conhecida como lei de Stefan-Boltzmann e a constante passou a ser conhecida como constante de Stefan-Boltzmann. Lei de Stefan-Boltzmann (II): Podemos deduzir esta lei de uma forma mais simples, porém. Considerando-se uma função espectral dependente de freqüência, u(,T), esta função deveria variar de acordo com a expressão matemática u(,T) = a3f(/T), sendo f uma função auxiliar e a uma constante. Pois sendo assim, definindo a mudança de variável x/T, com d=Tdx (a T constante), teríamos, u(,T) = ax3T3f(x), e a integral da função espectral seria dada então por u(T) 0 u(, T)d (ax3 T 3f(x))(Tdx) aT 4 0 x3f(x)dx 0 Caso f(x) seja uma função universal, isto é, que esta função não dependa do material analisado, podemos definir então a constante da lei de Stefan na forma: a x3f(x)dx 0 Lei do deslocamento de Wien: O êxito de Boltzmann na descrição do fluxo total da radiação térmica emitida por corpos aquecidos levou muitos pesquisadores a buscar descrever também o espectro da radiação térmica. W.J. Wien percebeu que os máximos na intensidade do espectro de radiação térmica se deslocam para maiores freqüências (menores comprimentos de onda) à medida em que a temperatura aumenta (ver figura 1). A lei de Wien, obtida a partir de calculo detalhado, expressa que o comprimento de onda da luz emitida no ponto de intensidade máxima, máximo, obedece a expressão matemática máximo T = 2,898 10-3 m K. Problemas: 1. 2. Faça um resumo das informações apresentadas no texto e discuta suas implicações. A figura 1 do texto apresenta o comportamento da função radiância espectral, u(,T), associada à emissão de radiação por um corpo em função do comprimento de onda da radiação. Qual seria o comportamento esperado, qualitativamente, das curvas que descrevem a função radiância espectral, u(,T), em função da freqüência de emissão da radiação térmica? Por que? Definindo a função radiância espectral na forma u(,T) = a3f(/T), mostre que a expressão matemática 3. da radiãncia é dada por u(T) T 4 (lei de Stefan-Boltzmann) sendo a x3f(x)dx . 0 4. 5. Determine freqüências típicas na emissão de ondas de radio (~102 m – 1m). Determine freqüências típicas na emissão de microondas (~10-1m –10-3 m) e de radiação infravermelha (~ 10-3m –10-6 m). 6. Determine freqüências típicas na emissão de luz visível (~ 10-6m–10-7 m) e de luz ultravioleta (~ 10-7m– 10-8 m). 7. Determine freqüências típicas na emissão de ondas de raios-X (~10-9m–10-13 m) e de raios-gama (radiação ) (~ 10-14m–10-17 m). 8. Determine o tamanho de uma estrela. Considere que, na medida do comprimento de onda para o qual a radiância espectral da estrela é máxima, foi obtido o valor de temperatura T = 3.021 K. Se a potência irradiada pela estrela for 98,3 vezes maior do que a potência irradiada pelo Sol, qual é o tamanho da estrela? A temperatura da superfície do Sol é de cerca de 5.798K. 9. A temperatura na superfície do Sol é de aproximadamente de 5.798K e o estudo da distribuição espectral solar mostra que o Sol se comporta como um corpo negro, exceto para comprimentos de onda muito reduzidos. Supondo o Sol como um corpo negro ideal, determine o valor do comprimento de onda para o qual a intensidade da radiação emitida é máxima. 10. O que é um corpo negro? Encontre dois exemplos de corpo negro.
