Solução

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a) Determine a massa de repouso perdida por segundo pelo Sol sob a forma de radiação.
Dados: temperatura na superfície do Sol: 5700 K; diâmetro do Sol: 1,4.10 9 m; constante de
Stefan-Boltzmann: σ = 5,67.10 -8 W//m 2 T 4; velocidade da luz no vácuo: 3,0.10 8 m/s;
b) Qual a fração da massa de repouso perdida a cada ano pelo Sol sob a forma de radiação.
Dado: massa do Sol: 2,0.10 30 kg.
Dados do problema
•
•
•
•
•
temperatura na superficial do Sol:
diâmetro do Sol:
massa do Sol:
constante de Stefan-Boltzmann:
velocidade da luz no vácuo:
T = 5700 K;
D =1,4.10 9 m;
M = 2,0.10 30 kg;
σ = 5,67.10 -8 W//m 2 T 4.;
v = 3,0.10 8 m/s.
Solução
a) Pela Lei de Stefan-Boltzmann a radiância espectral é dada por
RT =  T
4
(I)
A radiância total é definida como a potência irradiada por unidade de área, então
podemos escrever
RT =
P
A
(II)
igualando as expressões (I) e (II), temos
P
A
4
P = A T
4
T =
(III)
Considerando o Sol esférico, a área superficial será
A = 4 πr
2
(IV)
o raio de uma esfera é metade do diâmetro
D
2
r=
(V)
substituindo (V) em (IV) e depois em (III), obtemos

2
D
T4
2
2
D
P = 4π
T 4
4
2
4
P = π D T
P = 4π
(VI)
A potência é dada pela derivada da energia em relação ao tempo, assim
P=
dE
dt
(VII)
a energia de repouso é dada por
E = m0 c
1
2
(VIII)
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onde m 0 é a massa de repouso, substituindo (VI) e (VIII) em (VII), temos
d  m0 c
π D T =
dt
2
2
4

como a velocidade da luz é constante, reescrevemos
c
2
d m0
2
4
= π D T
dt
assim a variação da massa será
d m0 π D 2  T 4
=
2
dt
c
adotando π = 3,14 e substituindo os dados do problema, obtemos finalmente
d m0 3,14.1,4 .109  2 .5,67. 10−8 . 57004
=
8 2
dt
3 .10 
18
d m 0 3,14.1,96.10 . 5,67. 10−8 . 1,06. 1015
=
16
dt
9 .10
d m0
9
= 4,1 .10 kg/s
dt
b) O período de um ano medido em segundos é igual a
t = 1 ano
365 dias 24horas 60 minutos 60 segundos
7
= 31536 000 ≈ 3,15.10 s
1 ano
1 dia
1hora
1 minuto
Separando as variáveis e integrando a expressão do item anterior, temos
∫ d m ' = ∫ 4,1 . 10 d t '
9
0
os limites da integral da massa vai de 0 até m 0 (a massa total perdida), a integral no tempo vai
de 0 até 3,15.10 7 s (um ano em segundos) e tirando a constante 4,1.10 9 para fora da integral
3,15.10 7
m0
∫d m' = ∫
0
0
0
9
4,1 . 10 d t '
3,15.10 7
m0
m ' 0 ∣0 = t ' ∣ 0
9
7
m 0−0 = 4,1.10 .3,15.10 −0
m 0 = 4,1.10 9 . 3,15.10 7
17
m 0 = 1,3.10 kg
portanto a fração de massa perdida a cada ano será
m0 1,3.1017
=
30
M
2,0.10
m0
= 6,5.10
M
2
−14