Problemas CL Laminar

Mecânica dos Fluidos II
Camada limite laminar
Prof. António Sarmento
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Problema I
Considere um escoamento permanente sobre uma placa plana horizontal com o bordo de
ataque em x=0, em que a velocidade não perturbada U é paralela à placa. Verifica-se que em
resultado da condição de não-escorregamento o escoamento sofre uma redução de velocidade
na proximidade da placa, pelo que as linhas de corrente divergem lentamente da placa com a
direcção longitudinal x. A espessura da zona do escoamento em que a velocidade é afectada
pela parede (chamada de camada limite – onde ocorrem os efeitos viscosos) varia com a
distância x ao início da placa e é designada de espessura da camada limite, sendo
habitualmente representada por . Fora da camada limite a velocidade é idêntica à velocidade
não-perturbada U.
y
U
U
x
(x)
a) Mostre que o afastamento * (designado por espessura de deslocamento – e
representado por d no Fluid Flow) sofrido pelas linhas de corrente exteriores à
camada limite (isto é que estão mais afastadas do que (x) da parede) é da dado por

u

*
   1  dy
U
0
b) Mostre que a força de atrito que actua na placa entre a secção de entrada e uma secção
arbitrária a uma distância x do bordo de ataque da placa é dada por
Fat  U 2
em que , designada por espessura de quantidade de movimento (representada por m
no Fluid Flow), é dada por

1
  2  U  u udy .
U 0
Em resultado desta alínea, como interpreta fisicamente ?
Considere agora o caso de um escoamento laminar de ar (=1,2 kg/m3, =1,5  10-5 m2/s)
deste tipo, em que a velocidade não perturbada, paralela à placa, é U=10 m/s. Nestas
condições a espessura da camada limite varia com a distância x ao início da placa de acordo
com
 5
x
U
,
podendo o perfil de velocidades ser aproximado por
 y  y 2 
u  U 2     se y
     
u=U
e
se y>U
c) Usando o perfil de velocidades apresentado, relacione * com .
d) Ao fim de que distância do bordo de ataque da placa é que a linha de corrente que
dista de 1 mm da placa na região do escoamento não-perturbada entra na camada
limite (isto é, dista menos que (x) da placa)?
NOTAS

 Relembre que o caudal mássico é calculado através de qm    V .n ds e que o
S


caudal de quantidade de movimento é dado por qqm   V V .n ds
S


Relembre que a equação de balanço de massa aplicada a um volume de controlo VC
se pode exprimir através de
dM VC


 qm e  qm s
dt
em que M VC representa a quantidade de movimento contida no volume de controlo.
Relembre que a equação de balanço de quantidade de movimento aplicada a um
volume de controlo VC se pode exprimir através de


dK VC


 q qm e  q qm s  FVC
dt

em que KVC representa a quantidade de movimento contida no volume de controlo e

FVC a força que se exerce sobre o volume de controlo.
METODOLOGIA

Para resolver a alínea a) considere uma linha de corrente afastada de b0 da placa
numa secção não perturbada e afastada de b>b0 numa secção x arbitrária.
Seguidamente faça um balanço de massa ao VC formado por essa linha de corrente e
pela placa e pelas secções transversais no bordo de ataque da placa e na secção x
arbitrária. Tenha o cuidado de perceber que o perfil de velocidades é uniforme no
bordo de ataque da placa e na secção x fora da camada limite (isto é, para b>y>).


Para resolver a alínea b) faça um balanço de quantidade ao VC considerado na
resolução da alínea a). Procure introduzir a definição de espessura de deslocamento
na solução encontrada para a força de atrito sobre a placa.
Para resolver a alínea d) use o resultado das alíneas a) e c) e a lei de crescimento da
espessura da camada limite.
Fluid Flow 8.3
Considere um escoamento estacionário e laminar de um fluido incompressível sobre uma
placa plana paralela ao escoamento não-perturbado. A placa é porosa e o fluido está a ser
aspirado através dela, sendo o caudal de aspiração constante, de tal forma que a espessura da
camada limite não varia com a direcção do escoamento e, portanto, u x  0 .
a) Utilizando as equações da camada limite, mostre que

 v y 
u y   u 0 1  exp  0  ,
  

em que v0 é a velocidade de aspiração na placa (constante segundo x e negativa).
b) Calcule as espessuras de deslocamento e de quantidade de movimento.
(R: -/v0 e -2/v0 , note que como v0 é negativo o resultado vem positivo)
c) Calcule a resistência da placa (considere apenas uma das faces da placa e que esta
tem um comprimento L). (R: -Uv0L)
NOTAS
 A camada limite é a região do escoamento onde se fazem sentir efeitos viscosos, isto
é, onde u y  0 . Por definição corresponde à região onde a velocidade do fluido é
inferior a 99% da velocidade não-perturbada (ou velocidade exterior) U. Doutra
forma é a região 0<y<, sendo , tal que y()=0,99U, designada por espessura da
camada limite. Acima, y representa a distância à placa.
 A camada limite diz-se delgada se (x)<<x, em que x é a direcção tangente à placa.
Nestas condições as linhas de corrente são quase paralelas à placa e p y  0 .
 As equações da camada limite delgada são:
u v
o Equação da continuidade:

0
x y
u
u
1 dp
 2u
v
  u e  2
o Equação da quantidade de movimento: u
x
y
 dx
y
em que pe é a pressão exterior à camada limite.




u
u


Por definição a espessura de deslocamento é  d   1  dy   1  dy . A
U
U
0
0
espessura de deslocamento é também representada por *.
Por
definição
a
espessura
de
quantidade
de
movimento
é


uu
uu


 m   1   dy   1   dy . A espessura de deslocamento é também
U U
U U
0
0
representada por .
METODOLOGIA



Para resolver a alínea a) simplifique a equação da continuidade e conclua que a
velocidade do fluido v é constante e igual a v0 em todo o escoamento; seguidamente
simplifique a equação da quantidade de movimento e, depois, integre-a obtendo o
perfil de velocidades. Para a integrar utilize o método de separação de variáveis e
note que
dx
1
 a  bx  b ln a  bx  .
Finalmente utilize as condições fronteira apropriadas em y=0 e y=.
Para calcular as espessuras de deslocamento e de quantidade de movimento basta
utilizar as definições e o perfil de velocidades deduzido.
A força de resistência resulta da acção da tensão de atrito na placa. Para a obter é
necessário calcular a tensão de corte na parede e integrar ao longo do comprimento
da placa.
Fluid Flow 8.6
Calcule a tensão de corte na placa, a espessura da camada limite e a resistência total num dos
lados de uma placa plana de comprimento l, admitindo que a camada limite é laminar em toda
a placa, tomando as seguintes aproximações para o perfil de velocidades: i) sinusoidal; ii)
parabólico; iii) linear. Compare com os resultados obtidos através da solução exacta de
Blasius e conclua. Usando os resultados obtidos para um perfil sinusoidal, calcule os valores
numéricos da resistência total e espessura da camada limite no fim da placa para uma placa
com 0,3 m de largura e 0,3 m de comprimento imersa num escoamento de água a 20º (=1000
kg/m3, =1,1310-3 Pa.s) se U=7 m/s .
1
0,656
4,789 x
1
1,312
, 
, D  U 2 l
U 2
2
2
Re x
Re x
Re l
1
0,729
5,484 x
1
1,558
ii)  0  U 2
, 
, D  U 2 l
2
2
Re x
Re x
Re l
1
0,578
3,461x
1
1,156
iii)  0  U 2
, 
, D  U 2 l
2
2
Re x
Re l
Re x
i)  0 
(R:
D=0,066 N, =3,3 mm.)
NOTAS
 Como se mostra no Fluid Flow, admitindo que o perfil de velocidades é expresso por
u U  f  y   obtêm-se os seguintes resultados para uma camada limite laminar:
cf 
0
1
U 2
2
em que

2 a

Re x
, 
2
a
x
Re x
e CD 
D
1
U 2 A
2

2 2 a
Re l
1
 d u U  
u  u  y



 
e a   1   d  

U U  
 d  y    y 0
0
O perfil de velocidades aproximado tem que respeitar as seguintes condições: u(0)=0
u
 y 
 sin 
e u()=U, pelo que vem
 no caso do perfil sinusoidal,
U
2
2

u
y
u
y  y
 no caso do perfil linear.
 2    no caso do perfil parabólico e
U 
U
  
Os valores que se obtêm da solução exacta de Blasius são os seguintes:
cf 
0
1
U 2
2

0,6641
Re x
, 
5x
Re x
e CD 
D
1
U 2 A
2

1,328
Re l
METODOLOGIA
 Comece por calcular os valores de  e a para cada um dos perfis indicados.
 Utilize as expressões genéricas indicadas para cf,  e cD para calcular as expressões
pedidas para cada parâmetro.
 Substitua os valores indicados nas expressões obtidas para obter os valores
numéricos pedidos.
Problema II
Considere uma placa de espessura desprezável, muito larga, de comprimento L=2 m, alinhada
com um escoamento de ar (=1,2 kg/m3, =1,810-5 Pa.s) em que a velocidade nãoperturbada é U=2 m/s. Sobre a placa o gradiente longitudinal de pressão é nulo. Admita que a
transição de regime laminar para turbulento ocorre para um número de Reynolds Rex=106. Se
necessário utilize a lei de velocidades 1/7 para o perfil de velocidades em regime turbulento,
17
u U  y   .
a) Utilizando a solução de Blasius onde adequado, determine a espessura da camada
limite nas secções S1 e S2, respectivamente às distâncias x1=0,75 m e x2=1,5 m.
Verifique que se trata de uma camada limite delgada.
(R: 0,0119 m e 0,0168 m)
b) Calcule os caudais mássicos e de quantidade de movimento que atravessam a camada
limite nestas duas secções. Como justifica a diferença de valores entre as duas
secções? (R: 0,0187 kg/s/m e 0,0264 kg/s/m; 0,02976 N/m e 0,04224 N/m)
c) Calcule a ordenada y em x1 da linha de corrente que passa pelo ponto definido pelas
coordenadas x2=1,5 e y=. Que significado atribui ao deslocamento vertical sofrido
pela linha de corrente entre as duas secções? (R: 0,0151 m)
d) Estime a força por unidade de largura que se exerce entre as secções S1 e S2.
(R: 0,000031 N/m)
e) Indique, justificando, se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: ”Nas condições do
enunciado, se a placa fosse suficientemente comprida (L +), após a transição de
regime laminar para turbulento, a camada limite acabaria por se separar.
NOTAS
 A solução exacta das equações da continuidade e da quantidade de movimento para
uma camada limite laminar bidimensional em regime estacionário de um fluido
incompressível é dada pela solução de Blasius (ver nota do problema 8.6)
 O caudal mássico que atravessa uma secção transversal da camada limite é dado por
U(-d). Note que a solução de Blasius indica que d=0,334.
 O caudal de quantidade de movimento que atravessa uma secção transversal da
camada limite é dado por U2(-d-m). Note que a solução de Blasius indica que
m=0,133 .
METODOLOGIA
 Comece por verificar que o escoamento é laminar nas duas secções indicadas,
comparando o número de Reynolds local com o de transição.
 Utilize os resultados da solução de Blasius apresentados na última nota do problema
8.6 na alínea a).
 Use as fórmulas indicadas acima para a resposta à alínea b).
 Tenha em atenção que o afastamento das linhas de corrente exteriores é dado pela
espessura de deslocamento da camada limite na resposta à alínea c).
 Utilize de forma inteligente o resultado de CD da solução de Blasius (ver última nota
do problema 8.6) no cálculo d alínea d).