1 NÚMEROS REAIS E RETA REAL O sistema numérico real consiste em um conjunto de elementos chamados números reais e duas operações denominadas adição e multiplicação. Se a e b forem elementos do conjunto R, a+b (soma) e a.b (produto) pertencem a R. Subtração: a b a (b) onde –b é o negativo de b, tal que b (b) 0. Divisão: a : b a.b 1 , b 0, onde b -1 é o inverso de b tal que b.b 1 1. Um número real é positivo, negativo ou zero e qualquer número real pode ser classificado como racional ou irracional. Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como a razão de dois números inteiros. Ou seja: p Q / p Z e q Z* Z* inteiros não nulos q Os números racionais consistem em: - Z – números inteiros ( positivos, negativos e zero ) ----,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5--2 4 83 - As frações positivas e negativas como: , - , , etc 9 5 7 - Os decimais que terminam, positivos e negativos como: 2,39; - 0,003251 - Os decimais que não terminam mas são periódicos, como: 1 0,333 ; - 0,549549549 - - - 3 Os números reais que não são racionais são chamados de números irracionais. São decimais que não terminam e não são periódicos como: 3 1,732 3,14159 - - - Conjuntos: A 1,2,3,4,5 2 Ae 6A Lê-se: x / tal que x seja um número natural menor que 6 x variável - A B ( Aunião B) é o conjunto de todos os elementos que estão em A ou em B ou em ambos. - A B ( A interseção B) é o conjunto de elementos que estão em A e B. - conjunto vazio não contem nenhum elemento. Primeiro exemplo: A 2,4,6,8,10,12, B 1,4,9,16e C 2,10 . Então: A B 1,2,4,6,8,9,10,12,16 B C 1,2,4,9,10,16 A B 4 B C O conjunto R é ordenado pelos símbolos (menor que) e (maior que). 2 Definição: Se a e b R a b b - a for positivo. a b a b for positivo Definição: Se a e b R a b a b ou a b a b a b ou a b a b, a b, a b e a b são desiqualdades. Definição: a 0 a for positivo a 0 a for negativo a x b x é maior que a e menor que b a x b x é maior ou igual que a e menor ou igual que b Também: a x b e a x b Propriedades: Se a, b, c R I) Se a 0 e b 0 então a b 0 II) Se a 0 e b 0 e então a.b 0 III) Se a b e b c, então a c IV) Se a b entãoa c b c V) Se a b e c 0 então ac bc VI) Se a b e c 0 então ac bc VII) Se a b e c d, então a c b d Intervalos: I) Intervalo aberto a, b ou a, b x / a x b II) Intervalo fechado a, b x / a x b III) a, b x / a x b IV) a, b x / a x b V) a, x / x a VI) , b x / x b VII) a, x / x a VIII) , b x / x b IX) , R 3 Segundo exemplo: Ache e mostre na reta numérica real o conjunto-solução da desigualdade: 2 3x 5x 8 2 8 5x 3x 2x 6 x 3 S= x / x 3 3, Terceiro exemplo: Idem para 4 3x 2 10 4 3x 2 10 4 2 3x 10 2 6 3x 12 2 x 4 S x / 2 x 4 2,4 Quarto exemplo: Idem para 7 2 x Para multiplicarmos ambos os membros da desigualdade por x o sentido da desigualdade 7 resultante dependerá de x ser positivo ou negativo. Observe que se x 0 então 0 o que x contradiz a desigualdade dada. 7 7 Considerando x>0 temos que 7 2 x x x 2 2 7 S x / x 0 e x 2 Quinto exemplo: Idem para x 4 x3 Caso 1: x 3 0 ou x 3 x 4( x 3) x 4 x 12 3x 12 x 4 S x / x 4= 4, Caso 2: x 3 0 ou x 3 x 4x 12 3x 12 x 4 S x / x 3 ,3 4 Valor absoluto: Definição: O valor absoluto ou módulo de x, denotado por x , é definido por x x se x 0 e x x se x 0 Veja: 3 3; - 5 (5) 5 Propriedades: 1) x a a x a onde a 0 2) x a a x a onde a 0 3) x a x a ou x a onde a 0 4) x a x a ou x a onde a 0 Sexto exemplo: Resolva as equações: a) 3x 2 5 b) 2x - 1 4 x 3 c) 5x 4 3 d) x - 1 x 3 Soluções: a) 3x 2 5 3x 2 5 ou 3x 2 -5 x 1 ou x - 7 3 b) 2 x 1 4 x 3 2 x 1 4 x 3 ou 2x - 1 -4x - 3 x -2 ou x - 1 3 c) 5x 4 3 a equação não tem solução pois o valor absoluto de um número nunca pode ser negativo. d) x 1 x 3 x x se x 0 x 1 x 1 se x 1 x x se x 0 x 1 x 1 se x 1 Se x 0 -x 1 - x 3 -2x 2 x -1 Se 0 x 1 -x 1 x 3 1 3 (impossível) Se x 1 x - 1 x 3 2x 4 x 2 Logo x= -1 ou x= 2 5 Sétimo exemplo: Resolva as inequações: a) 3x 2 5 b) x 1 x 1 10 Soluções: a) 3x 2 5 3x 2 5 ou 3x 2 5 x -7 ou x 1 3 7 S , 1, 3 b) x 1 x 1 10 x 1 x 1 se x 1 x 1 x 1 se x -1 x 1 x 1 se x 1 x 1 x 1 se x -1 Se x -1 -x 1 - x 1 10 -2x 10 x -5 Se - 1 x 1 -x 1 x 1 10 2 10 Se x 1 x - 1 x 1 10 2x 10 x 5 S x / 5 x 5 5,5 Ilustração: x2 x Ou seja: 52 5 5 Propriedades: Se a, b R, b 0 1) a.b a . b 2) a a b b 3) a b a b 4) a b a b 5) a b a b (-3)2 3 3 6 EXERCÍCIOS A SEREM FEITOS: 1) Resolva as inequações: a) 5x 2 x 6 b) 2 3 3x 7 1 2 x 1 3x 1 d) x 2 4 c) R: 2, 5 4 R: , 3 3 1 R: ,1 ,3 3 R: ,2 2, 2) Resolva as equações: d) x x 1 6 5 R: ,1 2 1 R: ,4 4 1 R: ,9 3 R: 3 e) x 5 x 14 0 R: 7,7 a) 4 x 3 7 b) 5x 3 3x 5 c) 2 x 5 x 4 2 f) x2 5 x2 4 R: ,3 3 3) Resolva as inequações: a) 3x 4 2 b) 2 x 5 3 2 R: ,2 3 R: x 1 ou x 4 e) 2 x 1 x 8 9 3 R: , 2 2 10 ou x 2 R: x 9 R: 7 x 3 f) 2 x 1 x 1 2 R: x 2 ou x 2 c) 9 2 x 4 x d) x2 4 2x 3