NÚMEROS REAIS E RETA REAL

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NÚMEROS REAIS E RETA REAL
O sistema numérico real consiste em um conjunto de elementos chamados números reais e
duas operações denominadas adição e multiplicação.
Se a e b forem elementos do conjunto R, a+b (soma) e a.b (produto) pertencem a R.
Subtração: a  b  a  (b) onde –b é o negativo de b, tal que b  (b)  0.
Divisão: a : b  a.b 1 , b  0, onde b -1 é o inverso de b tal que b.b 1  1.
Um número real é positivo, negativo ou zero e qualquer número real pode ser classificado
como racional ou irracional.
Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como a razão de dois
números inteiros. Ou seja:
p

Q   / p  Z e q  Z* 
Z*  inteiros não nulos
q

Os números racionais consistem em:
- Z – números inteiros ( positivos, negativos e zero ) ----,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5--2 4 83
- As frações positivas e negativas como: , - , , etc
9 5 7
- Os decimais que terminam, positivos e negativos como: 2,39; - 0,003251
- Os decimais que não terminam mas são periódicos, como:
1
0,333    ; - 0,549549549 - - - 3
Os números reais que não são racionais são chamados de números irracionais. São decimais
que não terminam e não são periódicos como: 3  1,732      3,14159 - - - Conjuntos: A  1,2,3,4,5
2 Ae 6A
Lê-se: x / tal que x seja um número natural menor que 6
x  variável
- A  B ( Aunião B)  é o conjunto de todos os elementos que estão em A ou em B ou em
ambos.
- A  B ( A interseção B)  é o conjunto de elementos que estão em A e B.
-   conjunto vazio  não contem nenhum elemento.
Primeiro exemplo:
A  2,4,6,8,10,12, B  1,4,9,16e C  2,10 . Então:
A  B  1,2,4,6,8,9,10,12,16 B  C  1,2,4,9,10,16 A  B  4 B  C  
O conjunto R é ordenado pelos símbolos  (menor que) e  (maior que).
2
Definição:
Se a e b  R 
a  b  b - a for positivo.
a  b  a  b for positivo
Definição:
Se a e b  R
a  b  a  b ou a  b
a  b  a  b ou a  b
a  b, a  b, a  b e a  b são desiqualdades.
Definição:
a  0  a for positivo
a  0  a for negativo
a  x  b  x é maior que a e menor que b
a  x  b  x é maior ou igual que a e menor ou igual que b
Também: a  x  b e a  x  b
Propriedades: Se a, b, c  R 
I)
Se a  0 e b  0 então a  b  0
II)
Se a  0 e b  0 e então a.b  0
III)
Se a  b e b  c, então a  c
IV)
Se a  b entãoa  c  b  c
V)
Se a  b e c  0 então ac  bc
VI)
Se a  b e c  0 então ac  bc
VII) Se a  b e c  d, então a  c  b  d
Intervalos:
I)
Intervalo aberto a, b ou a, b  x / a  x  b
II)
Intervalo fechado a, b  x / a  x  b
III)
a, b  x / a  x  b
IV)
a, b  x / a  x  b
V)
a,  x / x  a
VI)
 , b  x / x  b
VII) a,  x / x  a
VIII)  , b  x / x  b
IX)
 ,  R
3
Segundo exemplo:
Ache e mostre na reta numérica real o conjunto-solução da desigualdade:
2  3x  5x  8  2  8  5x  3x  2x  6  x  3
S= x / x  3   3,
Terceiro exemplo:
Idem para 4  3x  2  10
4  3x  2  10  4  2  3x  10  2  6  3x  12  2  x  4
S  x / 2  x  4  2,4
Quarto exemplo:
Idem para
7
2
x
Para multiplicarmos ambos os membros da desigualdade por x o sentido da desigualdade
7
resultante dependerá de x ser positivo ou negativo. Observe que se x  0 então  0 o que
x
contradiz a desigualdade dada.
7
7
Considerando x>0 temos que 7  2 x   x  x 
2
2
7


S  x / x  0 e x  
2

Quinto exemplo:
Idem para
x
4
x3
Caso 1: x  3  0 ou x  3
x  4( x  3)  x  4 x  12  3x  12  x  4
S  x / x  4= 4,
Caso 2: x  3  0 ou x  3
x  4x  12  3x  12  x  4
S  x / x  3   ,3
4
Valor absoluto:
Definição: O valor absoluto ou módulo de x, denotado por x , é definido por
x  x se x  0 e x   x se x  0
Veja: 3  3;
- 5  (5)  5
Propriedades:
1) x  a  a  x  a onde a  0
2) x  a  a  x  a onde a  0
3) x  a  x  a ou x  a onde a  0
4) x  a  x  a ou x  a onde a  0
Sexto exemplo:
Resolva as equações:
a) 3x  2  5
b) 2x - 1  4 x  3
c) 5x  4  3
d) x - 1  x  3
Soluções:
a) 3x  2  5  3x  2  5 ou 3x  2  -5  x  1 ou x  -
7
3
b) 2 x  1  4 x  3  2 x  1  4 x  3 ou 2x - 1  -4x - 3  x  -2 ou x  -
1
3
c) 5x  4  3  a equação não tem solução pois o valor absoluto de um número nunca
pode ser negativo.
d) x  1  x  3
x  x se x  0
x  1  x  1 se x  1
x   x se x  0
x  1   x  1 se x  1
Se x  0  -x  1 - x  3  -2x  2  x  -1
Se 0  x  1  -x  1  x  3  1  3 (impossível)
Se x  1  x - 1  x  3  2x  4  x  2
Logo x= -1 ou x= 2
5
Sétimo exemplo:
Resolva as inequações:
a) 3x  2  5
b) x  1  x  1  10
Soluções:
a) 3x  2  5  3x  2  5 ou 3x  2  5  x 
-7
ou x  1
3
7

S    ,   1,
3

b) x  1  x  1  10
x  1  x  1 se x  1
x  1  x  1 se x  -1
x  1   x  1 se x  1
x  1   x  1 se x  -1
Se x  -1 -x  1 - x  1  10  -2x  10  x  -5
Se - 1  x  1  -x  1  x  1  10  2  10
Se x  1  x - 1  x  1  10  2x  10  x  5
S  x /  5  x  5   5,5
Ilustração:
x2  x
Ou seja:
52  5  5
Propriedades:
Se a, b  R, b  0
1) a.b  a . b
2)
a
a

b
b
3) a  b  a  b
4) a  b  a  b
5) a  b  a  b
(-3)2   3  3
6
EXERCÍCIOS A SEREM FEITOS:
1) Resolva as inequações:
a) 5x  2  x  6
b) 2  3  3x  7
1
2

x  1 3x  1
d) x 2  4
c)
R: 2,
 5 4
R:   , 
 3 3
1 
R:  ,1   ,3
3 
R:  ,2  2,
2) Resolva as equações:
d) x x  1  6
 5 
R:  ,1
 2 
 1 
R:  ,4
 4 
1 
R:  ,9
3 
R: 3
e) x  5 x  14  0
R:  7,7
a) 4 x  3  7
b) 5x  3  3x  5
c) 2 x  5  x  4
2
f)
x2
5
x2
4 
R:  ,3
3 
3) Resolva as inequações:
a) 3x  4  2
b) 2 x  5  3
2 
R:  ,2 
3 
R: x  1 ou x  4
e) 2 x  1  x  8
 9 3
R:  , 
 2 2
10


ou x  2
R:  x 
9


R:  7  x  3
f) 2 x  1  x  1  2
R: x  2 ou x  2
c) 9  2 x  4 x
d)
x2
4
2x  3