Exame 1

Ministério da Educação
Critérios de Correcção
Computação Numérica e Simbólica
Exame de 25 – 07 – 2003
Código
2609
Resultados apresentados sem justificação poderão incorrer num desconto de ½ da
cotação total da questão.
Erros de calculo poderão incorrer num desconto de ¼ a ½ do valor total da cotação
da questão, dependendo da gravidade do erro.
1. [1.5] Determine o erro absoluto, o erro relativo e a percentagem de erro da
seguinte aproximação:
log 10 4  0,6021 .
Apresente os resultados com 3 algarismos significativos.
Cálculo do erro absoluto 0.5.
Cálculo do erro relativo 0.5.
Cálculo da percentagem de erro 0.5.
Para cada um dos três cálculos:
Não apresentar os resultados com 3 algarismos significativos: desconta 0.25,
Não arredondar bem ao apresentar o resultado com três algarismos significativos:
desconta 0.2,
Erro de cálculo: desconta até 0.25, dependendo do erro.
2. Considere a seguinte tabela de valores:
x
-3
-1
1
3
f(x)
-33
14
-2
-5
a ) [2] Construa a tabela de diferenças finitas relativa a estes valores.
Construção da tabela de diferenças finitas: 2.
b) [2] Obtenha o valor interpolado para x = 2, utilizando a fórmula de Newton
das diferenças progressiva.
Apresentação da fórmula correcta: 1,
Identificação correcta de todos os valores intervenientes: 0.5,
Cálculo do valor interpolado: 0.5.
c) [2] Obtenha o polinómio interpolador de f(x) nos três últimos pontos da
tabela.
Apresentação da fórmula correcta: 1,
Identificação correcta de todos os valores intervenientes: 0.5,
Apresentação do polinómio interpolador: 0.5.
3. [ 2] Calcule um valor aproximado de:

1
0
1  cos 2 x 2 dx ,
utilizando a fórmula de Simpson simples.
Apresentação da fórmula correcta: 1,
Identificação correcta dos valores intervenientes: 0.5,
Cálculo do valor do integral: 0.5.
4. Considere a seguinte equação:
4senx   e x .
a) [1.5] Mostre que a equação dada tem uma e uma só raiz z no intervalo [0.2,
0.5]
Calcular os valores da função f(x) = 4senx   e x ( ou f(x) = e x  4senx  ) nos
extremos do intervalo: 0,25,
Provar a existência de uma raiz:
Verificar que f(0.2).f(0.5) < 0: 0.25,
Dizer que a função é continua no intervalo [0.2,0.5]: 0.25,
Provar que essa raiz é única:
Função derivada f’(x) existe, é continua e não se anula no intervalo ]0.2,0.5[:
0.5,
Evocar o Corolário do Teorema do Valor Médio e Teorema de Rolle: 0.25.
b) [2] Efectue duas iterações do método de Newton com x0=0.3, para aproximar
z. Justifique a convergência deste método.
Apresentar a fórmula do método de Newton: 0.25,
Calculo da derivada f’(x): 0.25,
Cálculo da 1ª iteração: 0.25,
Cálculo da 2ª iteração:0.25.
Justificação da convergência do método:
Função segunda derivada f’’(x), existe é contínua e não muda de sinal no
intervalo [a,b] ( a=0.2, b=0.5 ) : 0,5,
Verificar uma das situações:
| f(a) / f’(a)| < |b-a| e | f(b) / f’(b)| < |b-a|
ou
f(x0).f’’(x)  0 com x  [a,b]
0.5.
5. Considere a matriz:
8 2 5 
A  2 8 0 .
0 0 4
a) [ 2] Determine a factorização LU de A.
Cálculo da matriz L:1,
Cálculo da matriz U:1.
b) [ 1] Utilizando a factorização obtida, calcule o determinante da matriz A.
Cálculo do determinante:1.
c) [ 2] Resolva o sistema linear Ax = [ 1 1 0 ]T, com x = [ x1, x2, x3 ]T, utilizando a
factorização encontrada na alínea a).
Considerar Ax = [ 1 1 0]T como Ly = [ 1 1 0] T , com Ux=y : 1,
Resolução de Ux=y: 0.5,
Resolução de Ly= [1 1 0 ] T: 0.5.
6. [ 2] Desenvolva com recurso à linguagem PASCAL, uma função que permita
determinar o integral de uma função pela regra dos trapézios. Esta função deverá
tomar como parâmetros de entrada a função f(x), os extremos do intervalo de
integração [a,b], e o número de sub-divisões n do intervalo de integração.
Cabeçalho da função: 0.5,
Implementação da função: 1.5.
FIM