Conceitos iniciais da geometria plana Euclidiana necessários para

Oswaldo K. Watanabe 2000
1
GEOMETRIA Plana
Inicialmente, para podermos trabalhar as figuras mais freqüentes no dia a dia das crianças e
a partir das figuras simples, estudar seus nomes e seus elementos, tudo isso, fazendo a
apresentação dos elementos através de uma linguagem infantil ou não matemática, para
depois apresentar seus nomes corretos.
Exemplos:
Todas figuras não redondas tem bico ou ponta (vértices) que são os pontos, elas são
formadas por traços retos ou lados (segmento de reta), cada par de lados visinhos formam
uma abertura (ângulo), ....
Para facilitar a associação dos nomes quando aos números de lados ou vértices, trabalhar os
prefixos bi, tri, tetra, penta, hexa, hepta, ......, equi, iso, ...
Conceitos iniciais da geometria plana Euclidiana necessários para trabalhar com as
congruências entre triângulos..
Geo = Terra
metria = medidas, geometria = medidas da Terra.
Conceitos primitivos = Conceitos aceitos intuitivamente, porém não definidos.
Na geometria, Ponto, reta e plano são conceitos primitivos, pois sabemos intuitivamente,
conseguimos dar exemplos, mas não conseguimos definir.
Ponto: Não tem forma e nem dimensão.
Uma mancha ou um prédio vistos de uma certa distância são considerados pontos.
No desenho, é representada por um X, que simboliza a intersecção entre dois pontos.
Convenção sobre nomes dos pontos - Letras latinas maiúsculas: A, B, ..., P, Q, ..
Reta: è infinita
È um conjunto de pontos.
A reta inteira é imaginária.
Convenção sobre nomes das retas - Letras latinas minúsculas: a, b, c, ..., r, s, ...
Como ela é infinita, qualquer um de seus pontos dividi-a em duas semi-retas.
Uma reta indica uma direção.
Uma direção tem dois sentidos.
___________________________________________ reta que chamaremos de r.
___________A___________B__________C____________ r
Semi-reta de origem em B no sentido deA.
Semi-reta de origem em B no sentido de C
Prof. Oswaldo K. Watanabe – UNICID - 1998
Oswaldo K. Watanabe 2000
2
Por um ponto passam infinitas retas.
Por dois pontos distintos passa uma única reta, portanto podemos identificar uma reta
através de 2 de seus pontos não coincidentes (distintos).
Um segmento de reta é uma poção da reta limitada por dois de seus pontos. Pode ser
considerada como a intersecção não vazia de duas semi-reta de origens diferentes e de uma
mesma reta.
________________________A___________________B______________________ s
Quando queremos falar sobre um segmento e necessitamos do sentido, isto é quando
segmento de A para B (AB) não significa que é igual de B para A (BA), estou trabalhando
com segmentos orientados. (que na física será estudado como vetores). Caso contrário,
segmento AB = BA.
Ponto médio que chamaremos de M, de um segmento AB é o ponto que divide AB em dois
segmentos de mesma medida. Isto é: m(AM) = m(MB), com m = medida de.
Se dois segmentos têm as mesmas medidas, então são denominados segmentos côngruos ou
congruentes.
Podemos aproveitar para fazer exercícios que vão treinando a visão e organização do aluno.
Como por exemplo 1: Ao colocarmos 5 pontos distintos sobre uma mesma reta, qual é o
número de segmentos que podemos identificar e quais são?
Exercícios:
I) Qual é o número de semi-retas que podemos caracterizar ao destacarmos 3 pontos
distintos de uma mesma reta? Represente-os no desenho de uma reta com os pontos em
destaque sendo os pontos A, B e C.
II) Se colocarmos num mesmo plano um conjunto de pontos, onde quaisquer 3 deles
nunca estão alinhados (não co-lineares), em cada caso abaixo:
a) represente num desenho, os pontos segundo as condições do enunciado.Qual é o
número de retas diferentes que podemos identificar?
b) Descreva a lógica de pelo menos 3 métodos diferentes de contagem do número de
retes que podemos identificar.
1) Num conjunto de 4 pontos distintos.
2) Num conjunto de 5 pontos distintos.
3) Num conjunto de 6 pontos distintos.
4) Num conjunto de 7 pontos distintos.
III) Dados 3 pontos A, B e C, colocados nesta ordem e M e N sendo ponto médio dos
segmentos AB e BC, Qual é a relação entre a medida do segmento AB = m(AB) e a
medida do segmento MN = m(MN)? Justifique a relação encontrada, explicando passo
a passo, isto é explicando os porquês de cada afirmação.
Prof. Oswaldo K. Watanabe – UNICID - 1998
Oswaldo K. Watanabe 2000
3
Posições relativas entre duas retas no plano:
Retas coincidentes são aquelas cuja intersecção é a própria reta. Para entender melhor,
podemos dizer que r é coincidente com s, quando r e s são dois nomes diferentes dados a
uma mesma reta.
Se r é coincidente com s, então r∩s = r = s.
r___________________________________________ s
Retas concorrentes são retas cuja intersecção é um conjunto unitário(formado por um
único ponto). Podemos dizer que são duas retas que se cruzam num ponto P.
Se r é concorrente com s, então r∩s = {P}.
s
P
_________________________________________________ r
Retas paralelas são retas cuja intersecção é um conjunto vazio ou é a própria reta. Nesta
definição, estamos admitindo que as retas coincidentes são paralelas.
Se r é paralela a s, então r∩s = 
Existe também a definição que não admite as coincidentes como paralelas e neste caso
dizemos que retas paralelas são aquelas cuja intersecção é vazia. Ou ainda retas que nunca
se encontram.
Se r é paralela a s, então r∩s =  ou r∩s = r = s.
_________________________________________________________r ≡ t
_________________________________________________________s
Se uma reta caracteriza uma única direção, então as retas paralelas a ela têm a mesma
direção.
Prof. Oswaldo K. Watanabe – UNICID - 1998
Oswaldo K. Watanabe 2000
4
Se duas retas distintas não são paralelas e nem concorrentes, então elas não estão no
mesmo plano e são chamadas de retas reversas.
PLANO:
É infinita
È um conjunto de infinitos pontos ( Um plano tem infinitos pontos )
È um conjunto de infinitas reta (Um plano tem infinitas retas.
Pode ser caracterizada por : 3 pontos distintos e não co-lineares, ou por duas retas distintas
e concorrentes ou paralelas, ou ainda por uma reta e um ponto não pertencente a esta reta.
Os nomes dados aos planos são normalmente letras gregas (α, β, γ, δ, etc.)
ÂNGULOS
As aberturas entre duas reta concorrentes. Ou a abertura entre duas semi-retas de mesma
origem.
Ou em alguns livros: Porção do plano limitada por duas semi-retas de mesma origem.
Ou é a união entre duas semi-retas de mesma origem.
Ao colocarmos nomes A de uma das semi-retas, O na origem das duas e B num ponto da
outra semi-reta, teremos definidos dois ângulos, cuja leitura deve ser feita no sentido
contrário ao do movimento dos ponteiros de um relógio ( sentido anti-horário ).
Isto é um ponto da semi-reta a direita e mais baixa, o ponto de origem das semi-retas com
acento circunflexo e o outro ponto da outra semi-reta. Ou podem ser representados por
letras gregas: α, β, γ θ, ..
B
O
AÔB ou α
A
Prof. Oswaldo K. Watanabe – UNICID - 1998
Oswaldo K. Watanabe 2000
5
A semi-reta que divide um ângulo em dois ângulos de mesmas medidas é denominado
bissetriz deste ângulo.
B
O
M
A
AM é bissetriz de AÔB
A unidade de medida de ângulo mais usada é o GRAU.
1 grau simbolizado por 1° equivale a 1/360 de uma circunferência (do Equador terrestre)
Portanto uma circunferência mede 360°. Isto é ao girarmos o raio até voltar ao inicio de um
movimento, ela girou 360°. Por conseqüência, ao girar meia circunferência ela girou em
180°. 180° também é chamado de ângulo raso.
Um quarto da circunferência ou metade de meia circunferência mede 90° e este ângulo
recebeu o nome de
ângulo reto.
Fazer a complementação do desenho
Classificação dos ângulos, quanto suas medidas
Se a medida de um ângulo é maior que 0° e menor que 90°, então ele é denominado ângulo
agudo.
Se a medida de um ângulo é 90°, então ele é denominado ângulo reto.
Se a medida de um ângulo é maior que 90° e menor que 180°, então ele é denominado
ângulo obtuso.
Se a medida de um ângulo é 180°, então ele é denominado ângulo raso.
Se a soma das medidas entre dois ângulos é:
90°, então eles são chamadas de ângulos complementares.
180°, então eles são chamados de ângulos suplementares.
360°, então eles são chamados de ângulos replementares.
Prof. Oswaldo K. Watanabe – UNICID - 1998
Oswaldo K. Watanabe 2000
6
1 GRAU = 60 MINUTOS
1° = 60`
1 MINUTO = 60 SEGUNDOS
1` = 60``
Exemplo: 2,5° = 2° + 0.5.60` = 2° + 30` = 2°30`
Exercícios com operações entre ângulos, usando graus minutos e segundos.
Exercícios dos ângulos formados pelos ponteiros do relógio, quando marcam uma
determinada hora.
Ângulos opostos pelo vértice ( o.p.v.): Quando duas retas são concorrentes, elas formam
quatro ângulos, dois a dois opostos em relação ao vértice. Cada par é formado por ângulos
denominados opostos pelo vértice.
Ângulos consecutivos: Dois ângulos são consecutivos quando possuem um lado em
comum.
Ângulos Adjacentes: Dois ângulos consecutivos são adjacentes, quando não tem pontos
internos em comum.
Quando dois ângulos têm a mesma medida então eles são côngruos ou congruentes.
Ângulos o.p.v. são congruentes entre si.
Podemos dizer também que dois ângulos são congruentes quando colocados um sobre o
outro, se confundem num único ângulo ( superponíveis )
Algumas propriedades:
Duas retas que formam entre si 4 ângulos congruentes são chamadas de retas
perpendiculares. E cada um desses ângulos é chamado de ângulo reto.
A reta perpendicular a um segmento, passando pelo seu ponto médio é chamada de
mediatriz do segmento.
Se dois ângulos têm lados dois a dois paralelos, então eles são congruentes.
Ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
Se dois ângulos têm cada lado perpendicular a um dos lados do outro, então eles são
congruentes.
Exercícios:
Prof. Oswaldo K. Watanabe – UNICID - 1998
Oswaldo K. Watanabe 2000
ÂNGULOS FORMADOS
TRANSVERSAL
7
POR
RETAS
PARALELAS
CORTADAS
POR
t
2
1
r
3
6
7
5
8
4
s
r e s são retas paralelas e t uma reta transversal as retas r e s.
Vamos dar nomes numéricos para os ângulos com o objetivo de facilitar as localizações e
algumas regras para facilitar a memorização dos nomes.
Chamam de alternos, os ângulos que estão em lados opostos em relação a transversal.
Chamam de colaterais, os ângulos que estão do mesmo lado em relação a transversal.
Chamam de externos, os ângulos estão na parte de fora das paralelas.
Chamam de internos, os ângulos que estão entre as paralelas.
Nomes dos pares de ângulos:
Ângulos 1 e 5 ; 4 e 8 ; 2 e 6 ; 3 e 7 são ângulos correspondentes. (são
congruentes)
Ângulos 1 e 7 ; 2 e 8 são ângulos alternos externos. (são congruentes)
Prof. Oswaldo K. Watanabe – UNICID - 1998
Oswaldo K. Watanabe 2000
Ângulos 3 e 5
Ângulos 1 e 8
Ângulos 3 e 6
Ângulos 1 e 3
congruentes).
;
;
;
;
4
2
4
2
e
e
e
e
6
7
5
4
8
são ângulos alternos internos. (são congruentes)
são ângulos colaterais externos. (são suplementares)
são ângulos colaterais externos. (são suplementares)
; 5 e 7 ; 6 e 8 são ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.) (são
Exercícios:
POLÍGONOS São figuras limitadas por uma linha poligonal que não se cruzam e
fechada.
Uma linha poligonal é uma sucessão de segmentos de reta, onde o final de uma delas é o
inicio de outra. Caso o último ponto coincida com o ponto de origem dos segmentos, então
a linha é dita fechada. Caso contrário é dita aberta.
Polígonos côncavos e polígonos convexos.
Polígonos côncavos são aqueles em que existem pelo menos dois ponto no seu interior que
ligados formam um segmento que tem uma parte externa a figura. Caso contrário ele é
convexo.
Perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados.
Área de um polígono é a medida que nos dá o número de quadrados de unidades de
medidas quadradas cabem nesta figura.
Como trabalho, tente mostrar, numa lógica que uma criança entenda, o por que das
fórmulas do retângulo, do paralelogramo, do triângulo, do losango ou losângulo e do
trapézio. ( Podemos usar papéis recortados para mostrar)
TRIÂNGULOS OU TRILÁTEROS.
É o menor dos polígonos convexos, formado por 3 lados, 3 vértices, 3 ângulos internos, 3
ângulos, externas, 3 alturas e 3 medianas. E por ser formado por 3 lados (que são
segmentos de reta) possuem 3 mediatrizes. Por ter 3 ângulos internos e 3 externos, tem 3
bissetrizes internas e 3 bissetrizes externas.
Lados: são os 3 segmentos de reta que formam a linha poligonal.
Vértices: são os pontos comuns a dois lados.
Ângulos internos: são os ângulos do interior da figura.
Prof. Oswaldo K. Watanabe – UNICID - 1998
Oswaldo K. Watanabe 2000
9
Ângulos externos: são os ângulos formados por um lado e o prolongamento do outro com
o mesmo vértice.
Alturas: cada altura é a medida do segmento perpendicular a um lado(base) com
extremidades no vértice oposto e a intersecção da perpendicular com o lado. Como
podemos fazer cada lado ser a base, temos três alturas e a intersecção das mesmas é
chamado de ORTOCENTRO (H)
Medianas: são segmentos que ligam cada vértice ao ponto médio do lado oposto. O ponto
de encontro das mesmas é chamado de BARICENTRO (G) é chado também de centro de
massa de uma figura de material homogêneo ou centro gravitacional(origem do símbolo G)
Bissetrizes: como já vimos, a bissetriz é a semireta que divide um ângulo dois ângulos
congruentes, como o triângulo tem três ângulos internos, ele tem três bissetrizes, cujo ponto
de encontro é chamado de INCENTRO (I), por ser o centro da circunferência inscrita ao
triângulo. O triângulo possui também, três bissetrizes externas.
Obs.:A circunferência inscrita é tangente aos três lados do triângulo. Isto é só tem um ponto
em comum com cada um dos lados.
Mediatrizes: assim como a bissetriz, a mediatriz é uma reta perpendicular a um segmento
passando pelo seu ponto médio. E como o triângulo tem três segmentos, ele tem três
mediatrizes, cujo ponto de encontro é chamado de CIRCUNCENTRO (C), por ser o centro
da circunferência circunscrita ao triângulo.
Obas.: A circunferência circunscrita passa pelos três vértices do triângulo.
Os pontos: ORTOCENTRO = H, BARICENTRO = G, O INCENTRO = I e o
CIRCUNCENTRO = C, são chamados de Pontos Notáveis do triângulo.
( colocar figuras dadas em aula mostrando os elementos do triângulo)
Prof. Oswaldo K. Watanabe – UNICID - 1998
Oswaldo K. Watanabe 2000
Um triângulo pode ser classificado como:
1) Quanto aos lados:
a) Escaleno: quando possui os lados dois a dois de medidas diferentes
b) Isósceles: quando possui dois lados de mesmas medidas.
c) Eqüilátero: quando possui os três lados de mesmas medidas.
2) Quanto aos ângulos:
Prof. Oswaldo K. Watanabe – UNICID - 1998
10
Oswaldo K. Watanabe 2000
11
a) Acutângulo: quando possui os três ângulos agudos (menor que 90 graus).
b) Obtusângulo: quando possui um ângulo obtuso (maior que 90 graus).
c) Retângulo: quando possui um ângulo reto (igual a 90 graus)
Soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer.
A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180°.
Uma das maneiras de provar é fazer três triângulo de papel e juntar os ângulos diferentes, o
resultado é que juntas formam um ângulo raso = 180°.
Teoricamente, por um dos vértices, trace uma reta paralela ao lado oposto e prolongue um
dos lados. Vejam que formamos mais dois ângulos, sendo que um deles é alterno interno
com um dos ângulos interno do triângulo e o outro correspondente ao outro ângulo interno.
Fica provado também que o ângulo externo é a soma dos não adjacentes.
Prof. Oswaldo K. Watanabe – UNICID - 1998
Oswaldo K. Watanabe 2000
12
Congruência entre triângulos
Dois triângulos são congruentes quando têm lados correspondentes com mesmas medidas e
ângulos internos correspondentes de mesmas medidas. Ou quando superpostos confundemse num único desses triângulos.
Quando queremos mostrar que dois triângulos são congruentes, basta mostrar que eles se
enquadram em um dos casos dados pela ordem em que estão os elementos de mesma
medida:
1º caso: LLL Se dois triângulos têm os lados correspondentes congruentes (mesmas
medidas) então eles são congruentes.
2º caso: LAL Se dois triângulos têm 2 lados de um dos triângulos de mesma medidas de
dois do outro e os ângulos que eles formam também de mesmas medidas, então eles são
congruentes.
3º caso: ALA Se dois triângulos têm 2 ângulos de um deles com as mesmas medidas de 2
do outro e o lado que os separam também de mesma medida, então eles são congruentes.
4º caso: LAAo Se um triângulo tem um lado, um ângulo adjacente ao lado e o ângulo
oposto a este lado congruentes com um lado , um ângulo adjacente e o ângulo oposto, então
os triângulos são congruentes.
Fazer a representação gráfica de cada caso.
Vejam que nestes dois últimos casos poderíamos resumir num único: Se um triangulo tem
um lado e dois de seus ângulos internos de mesma medida que um lado e dois ângulos de
um outro na mesma ordem, então eles são congruentes.
Estes casos facilitam a demonstração da congruência entre triângulos, quando a dados
suficientes, que nos deixa mostrar que um desses casos está acontecendo no problema.
É importante para o aluno aprender a demonstrar teoremas e propriedades quando
possíveis, pois estará desenvolvendo a capacidade de argumentar com bases sólidas, cada
uma das afirmações que está ou estará fazendo tanto num problema de geometria como
numa situação de vida. E ao criar esse hábito, estará tornando-se um cidadão mais analítico.
Além disso, estará também aprendendo a planejar, escolher e organizar quais definições e
propriedades deve escolher para atingir o objetivo, que fazer a demonstração ou a
justificação de uma afirmação.
Prof. Oswaldo K. Watanabe – UNICID - 1998
Oswaldo K. Watanabe 2000
13
Teorema de Talles
“Um feixe de retas paralelas cortadas por duas transversais, dividem as mesmas em
segmentos proporcionais”.
A
D
B
E
C
F
AB
DE
=
BC
EF
Como conseqüência deste teorema, temos as semelhanças entre triângulos.
Dois triângulos são semelhantes, se possuem os ângulos internos correspondentes
congruentes e os lados correspondentes proporcionais.
B
B
B’
C’
A
A
B’
C’
C
C
AB
BC
AC
=
=
B 'C '
AB'
AC '
Assim como na conguência, a semelhança entre triângulos também possuem os casos de
semelhança.
1º Se um triângulo possui dois ângulos congruentes aos seus correspondentes do outro,
então eles são semelhantes. (Caso AA)
2º Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos seus correspondentes do outro e os
ângulos por eles formados congruentes, então eles são semelhantes. (Caso LAL).
Prof. Oswaldo K. Watanabe – UNICID - 1998
Oswaldo K. Watanabe 2000
14
3º Se os t^res lados de um triângulo são proporcionais aos seus correspondentes do outro,
então os triângulos são semelhantes.(LLL)
Como conseqüência do teorema de Talles, Pitágoras, estuda os triângulos retângulos e
verifica que num triângulo retângulo ABC:
A
c
B
n
b
H
m
C
a
Nesta figura, a é a hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto ou maior lado do triângulo)
b e c são os catetos (lados que formam o ângulo reto.
m é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa.
n é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa.
h é altura que tem como base a hipotenusa.
As relações métricas entre os elementos deste triângulo são:
1º) O quadrado de um cateto é igual ao produto de sua projeção com a hipotenusa.
b2 = am
c2 = na
Prof. Oswaldo K. Watanabe – UNICID - 1998
Oswaldo K. Watanabe 2000
15
Estas relações podem ser deduzidas a partir da proporcionalidade dos lados de
triângulos semelhantes, sendo a primeira da semelhança entre os triângulos ABC com
HAC e a segunda entre ABC e HBA.
2º) O quadrado da altura é igual ao produto entre as projeções.
h2 = mn
Esta relação assim como as anteriores é deduzida também a partir de semelhança
entre triângulos e neste caso, entre HAC e HBA.
3º) A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
b2 + c2 = a2
Esta relação pode ser deduzida através da soma entre as duas primeiras relações
encontradas.
Fazer a dedução das relações, usando semelhança de triângulos
observação: Para calcularmos um dos elementos do triângulo retângulo através de uma
única fórmula, devemos utilizar aquela em que só desconhecemos o valor desejado. Porém,
se não conhecemos os demais ou um deles, devemos primeiro determinar estes valores
através de outras fórmulas, ou montarmos sistemas através dos quais possamos calcular o
valor desejado.
Exercícios
Determine os valores das incógnitas, em cada figura:
Os demais polígonos são:
Quadriláteros ou quadrângulos: possuem 4 lados.
Prof. Oswaldo K. Watanabe – UNICID - 1998
Oswaldo K. Watanabe 2000
16
Pentágonos: possuem 5 lados.
Hexágonos: possuem 6 lados.
Heptágono: possuem 7 lados.
Octágonos: possuem 8 lados.
Eneágonos: possuem 9 lados.
Decágonos: possuem 10 lados.
Undecágonos: possuem 11 lados.
Duodecágonos: possuem 12 lados.
Icoságonos: possuem 20 lados.
Número de diagonais de um polígono
Diagonal de um polígono é o segmento que une dois vértices não consecutivos, portanto o
triângulo não tem vértices.
n.(n  3)
Num polígono de n lados, o número de diagonais d é calculado como: d 
, pois
2
para formar diagonais, só podemos ligar um vértice com todos os demais, tirando ele
mesmo e os dois vizinhos, daí o n.(n – 1) e como acabamos contando a mesma diagonal
duas vezes, dividimos esse produto por 2.
Soma dos ângulos internos de um polígono convexo S i
S i  (n  2).180 ou S i  (n  2).2r , onde n é o número de lados ou vértices e
r = 90°(ângulo reto)
Prof. Oswaldo K. Watanabe – UNICID - 1998
Oswaldo K. Watanabe 2000
17
Como num polígono regular os ângulos internos são de mesmas medidas  i , então a
(n  2).180
medida dele é:  i 
n
Polígonos regulares
São polígonos que possuem os lados e ângulos internos de mesmas medidas.
Eles são:
a) Triângulo equilátero
b) Quadrado
Prof. Oswaldo K. Watanabe – UNICID - 1998
Oswaldo K. Watanabe 2000
18
c) Pentágono regular
d) Hexágono regular
e) Heptágono regular
f) octágono regular
g) eneágono regular
h) decágono regular
e) undecágono regular
e assim sucessivamente.
Num polígono regular, a distância do centro da figura (que também é centro da
circunferência circunscrita), a qualquer um dos lados é igual ao apótema (a) da figura.
Ao ligarmos os vértices do polígono com o centro, formamos um número de triângulos
iguais ao número de lados do polígono. E como esses triângulos são congruentes, a área de
um polígono regular de n lados é igual a n vezes a área desses triângulos.
Prof. Oswaldo K. Watanabe – UNICID - 1998
Oswaldo K. Watanabe 2000
19
Perímetro = 2p: perímetro de um polígono é a soma das medidas de seus lados.
Portanto, num polígono regular de n lados de medida L é 2p = n.L. Neste caso p é o
semiperímetro.
Áreas
A área de uma figura geométrica plana é o número de quadrados de uma unidade de medida
que podemos colocar no interior do polígono.
Num retângulo de medida da base b e altura h, é b.h, pois corresponde a b pilhas de h
quadrados.
Exemplo: Se o retângulo tem base b = 5m e altura h = 4 metros, sua área será 5.4 = 20 m²
4m
5m
A área do paralelogramo de base b e altura h também é b.h
Prof. Oswaldo K. Watanabe – UNICID - 1998
Oswaldo K. Watanabe 2000
A área do losango de diagonal maior D e diagonal menor d é
20
D.d
2
b.h
, que pode ser calculado também usando o
2
p.( p  a).( p  b).( p  c) , com a, b e c sendo os lados do triângulo e p o
A área do triângulo de base b e altura h é
perímetro =
semiperímetro.
A área do trapézio de base maior B, base menor b e altura h é
Prof. Oswaldo K. Watanabe – UNICID - 1998
( B  b).h
2
Oswaldo K. Watanabe 2000
A área de um polígono regular de n lados, apótema a e lado L é
21
n.a.L
.
2
A área da circunferência de raio R é Π.R².
ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIA
Arco de circunferência é a parte da conferência que liga dois de seus pontos.
Numa circunferência de centro 0 e raio R,
Ângulo central é o ângulo formado por dois pontos A e B distintos da circunferência com o
centro O. A medida do ângulo AÔB é igual a medida do arco AB.
Ao ligarmos um ponto A da circunferência a um outro B da mesma circunferência no
sentido antiorário, temos o arco AB.
O comprimento do arco AB é igual a L = medida do arcoAB em radianos vezes Π. Isto é:
se medida do arco AB em rad = α , então L = α.Π.
O segmento que liga dois pontos distintos A e B de uma circunferência é denominada corda
AB. Se a corta passa pelo centro da circunferência ela é denominada diâmetro da
circunferência.
Uma reta que corta a circunferência em dois ponto é denominada reta secante a
circunferência.
Uma reta que só tem um ponto comum com a circunferência é denominada reta tangente a
circunferência.
Prof. Oswaldo K. Watanabe – UNICID - 1998
Oswaldo K. Watanabe 2000
22
Propriedades:
1) Ao ligarmos um ponto P da circunferência que não pertence ao arco
AB,formaremos o ângulo APB com vértice em P cuja medida é igual a metade do
arco AB.
B
P
A
ângulo APB =
arcoAB
2
2) Se duas cordas se cruzam AB e CD num ponto P no interior da circunferência,
então elas formam ângulos iguais a média aritmética dos arcos opostos a esse ângulo.
Prof. Oswaldo K. Watanabe – UNICID - 1998
Oswaldo K. Watanabe 2000
B
23
C
P
A
D
ângulo BPD =
arcoAC  arcoBD
2
3) Se duas retas secantes se cruzam num ponto fora da circunferência, então o Ângulo
por elas formado é a metade da diferença entre os arcos que definem na circunferência.
A
P
B
C
D
Ângulo DPA =
arcoDA  arcoBC
2
Prof. Oswaldo K. Watanabe – UNICID - 1998
Oswaldo K. Watanabe 2000
24
POTÊNCIA DE PONTO
Dadas duas retas concorrentes r e s secantes a uma circunferência, cortando a nos pontos A
e B, C e D, A, B pertencentes a r e C e D pertencentes a s.
Se r∩s = P, então PA.PB = PC.PD, onde
PA é a medida do segmento PA, PB é a medida do segmento PB, PC é a medida do
segmento PC e PD a medida do segmento PD.
A
D
P
P
A
C
C
B
B
D
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Prof. Oswaldo K. Watanabe – UNICID - 1998
Oswaldo K. Watanabe 2000
25
B’’
B’
B
A

C
C’
C’’
Quando traçamos duas semi-retas de uma mesma origem e direções diferentes,
podemos criar uma série de triângulos retângulos semelhantes. No nosso exemplo:
ABC semelhante ao AB’C’ semelhante ao AB’’C’’.
Usando os estudos de Talles de Mileto, temos:
catetoopos to
BC
B' C ' B' ' C ' '
=
=
= seno do ângulo  = sen =
hipotenusa
AB'
AB' '
AB
AC AC ' AC ' '
catetoadjacente
=
=
= cosseno do ângulo  = cos =
hipotenusa
AB
AB' AB' '
catetooposto
BC
B' C '
B' ' C ' '
=
=
= tangente do ângulo  = tg =
AC
AC '
AC ' '
catetoadjacente
Vejam que cada relação foi batizada por um nome e que para cada ângulo , independente
das dimensões dos triângulos, o seno, o cosseno e a tangente são valores fixos.
Por serem fixos para cada medida de ângulo, existe uma tabela chamada tabela
trigonométrica, que nos dá os valores dos senos, cossenos e tangentes de cada medida de
ângulo.
Se você quer montar uma tabela, você vai precisar de uma boa régua, um bom transferidor
e um bom compasso.
Tendo este material, faça uma circunferência de raio 10cm, em seguida, trace uma reta
horizontal passando pelo centro da circunferência. Agora trace uma vertical passando pelo
centro da circunferência e outra paralela a esta tangente a circunferência à direita.
Prof. Oswaldo K. Watanabe – UNICID - 1998
Oswaldo K. Watanabe 2000
26
O ponto de encontro da horizontal com a primeira vertical é a origem (0,0) do sistema de
coordenadas que vamos trabalhar, portanto os pontos de intersecção da circunferência com
os eixos são: (10,0), (0,10), (-10,0) e (0,-10).
DB
5
=
= 0,5
OB
10
OD
8,7
cos300 =
=
= 0,86
OB
10
sen300 =
Prof. Oswaldo K. Watanabe – UNICID - 1998