Médias e Freqüência – Bioestatística 08-02-08

BIOESTATÍSTICA
Instrumental Matemático Básico
Material elaborado pelo Prof. Antonio Sales para uso exclusivo nas aulas de
Bioestatística
Este material não substitui o estudo em livros indicados na bibliografia ou citados na
referência bibliográfica
MÉDIA ARITMÉTICA
A média aritmética de um conjunto de dados é o quociente entre a soma de todos eles
e o número deles.
Temos a média aritmética simples e a média aritmética ponderada
Exemplos de média aritmética simples:
a)
achar a média entre os números: 6, 5, 10
6  5  10 21

7
Resolução :
3
3
b) achar a média entre os números: 6, 6, 7, 8
6  6  7  8 27

 6,75
Resolução:
4
4
Exemplos de média aritmética ponderada:
Obs. A MAP ocorre quando há elementos repetidos e o resultado pode também ser
obtido por média simples.
a)
achar a média entre os números: 6, 6, 7, 8
2 x6  1x7  1x8 12  7  8 27


 6,75
Resolução:
2 11
4
4
b)
achar a média entre os números: 3, 4, 4, 4,5, 5, 6, 7, 7
Resolução:
3  4  4  4  5  5  6  7  7 45

5
1)
por média simples:
9
9
2)
por média ponderada:
1x3  3x 4  2 x5  1x6  2 x7 3  12  10  6  14 45


5
1 3  2 1 2
9
9
c) Observe que quando se calcula a média de uma seqüência numérica, alguns
valores dessa seqüência ficam abaixo da média e outros ficam acima dela. São os desvios
em relação à media. Por exemplo, se a média de uma seqüência for 4, então o valor 2 está
abaixo da média e tem um desvio -2.
Exercícios:
Determinar a média aritmética (simples ou ponderada) das seqüências de números
abaixo:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
10, 11, 15, 25
4, 4, 6, 6, 6, 9, 9, 10, 12, 15, 15, 15
7, 4, 6, 3
8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 22
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 8
7) 3, 18, 25
8) 1,25; 2,5; 2,75; 2,75; 3,0; 3,25;
9) 1,1; 2,2; 3,3; 4,4;
10) 11, 12, 13, 14, 15 ( observe que a média coincide com a mediana)
11) 2, 6, 10
12) 2, 2, 2, 2, 2, 2, 6, 6, 6, 10, 10,
13) 2, 2, 6, 6, 6, 6, 10, 10, 10
Para pensar:
1. A média é sempre um elemento da seqüência apresentada?
2. Se dissermos que a média da idade dos alunos da classe é 22 anos, significa
que há, pelo menos, uma pessoa com essa idade na classe? Para que serve a média,
então?
3. Uma pessoa está deitada com os pés em um tacho de água fervente, a 100ºC, e
a cabeça em um freezer a -28ºC. Qual a temperatura a média dessa pessoa? Ela está
saudável?
4. Em algumas universidades adota-se o seguinte critério de avaliação: a primeira
nota tem peso 2, a segunda nota tem peso 3 e a soma é dividida por 5. O que
significa isso?
5. Uma seqüência de 50 números vai do número 15 ao número 37. Pergunta-se:
a) É possível ter 50 valores entre 15 e 37 ( incluindo o 15 e o 37)?
b) A média dessa seqüência pode ser o número 40? Por que?
c) A média dessa seqüência pode ser o número 10? Por que?
d) A média dessa seqüência pode ser o número 15? Por que?
e) A média dessa seqüência pode ser o número 30? Por que?
f) É possível ter apenas 3 valores entre 15 e 37 (incluindo o 15 e o 37)? Nesse
caso a média será menor do que 15 ou maior do que 15?
6. Uma seqüência com 50 números pode ter a mesma média que uma seqüência com
apenas 10 números?
FREQÜÊNCIA
Freqüência é o número de vezes que um elemento aparece na seqüência. A
freqüência pode ser simples ou acumulada, pode ser relativa ou não. A freqüência relativa
é dada em porcentagem e trataremos dela após o estudo da porcentagem.
(fi)
A) Freqüência SIMPLES
é o número de vezes que um elemento aparece na
seqüência. Exemplo:
1. Na seqüência 3,4,5,5,6,6,6,7,8:
O número 3 tem freqüência 1;
O número 4 tem freqüência 1;
O número 5 tem freqüência 2;
O número 6 tem freqüência 3;
Os números 7 e 8 têm freqüência 1 cada um deles.
2. Na seqüência 17,12,13,17,15,12,14,17,18,14,15,15, qual a freqüência do
número:
a) 17 ?
b) 13?
c) 12 ? d) 14?
E) 15?
(Fi) é a quantidade de elementos que existem,
B) Freqüência ACUMULADA
desde o início, até um determinado valor.
Exemplo:
Odontologia e Enfermagem 2008A
2
1.Na seqüência 3,4,5,5,6,6,6,7,8:
Há 4 números antes do 6, logo a freqüência acumulada antes de 6 é 4. A freqüência
acumulada até 6 é 7, isto é, há 7 números até 6 (incluindo o 6).
A freqüência acumulada até 7 é 8. Por que?
A freqüência cumulada até 5 é 4. Por que?
2. Na seqüência
17,12,13,17,15,12,14,17,18,14,15,15, qual a freqüência
acumulada até:
a) 13?
b) 15?
c) 17?
C) Dispositivo prático para o cálculo da média ponderada:
Agora que já estudamos sobre freqüência já podemos aprender um dispositivo
prático para o cálculo da média.
Dada a seqüência 3,3,3,3,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,7,7,8,9,9,9,9, calcule a média
seguindo os seguintes passos:
1. Chame os valores de xi e a freqüência de fi
2. Monte a seguinte tabela com os valores e as freqüências:
xi
3
4
5
6
7
8
9
fi
4
2
9
3
2
1
4
Total
=25
fi.xi
12
8
45
18
14
8
36
Total
=141
Obs.
fi.xi é o produto da primeira coluna com a segunda
total de fixi 141

A media é
=5,6
total de fi
25
O total pode ser representado pelo símbolo . Dessa forma, o cálculo
 fixi  141  5,6 o símbolo ∑fi pode ser
acima ficaria: média=
 fi 25
substituído pela letra n
NOÇÕES DE PORCENTAGEM1
A porcentagem é um conceito matemático amplamente usado. Ele é útil porque é
conhecido de todos e tem como base o valor 100. O valor 100 é a unidade básica de
medida, é o todo, a totalidade. Qualquer valor que representa o inteiro, ou o todo, é
comparado a 100 e a partir daí são feitas as demais comparações.
Por exemplo, se alguém tinha R$ 80,00 e gastou R$ 20,00, ele gastou ¼ do valor
inicial, mas se quisermos saber em porcentagem, dizemos que se os R$ 80,00 representam
R$ 100,00, os R$ 20,00 representam R$ 25,00, isto é, 25%.
Como a porcentagem é um conceito já de domínio público a comunicação, usando
esse conceito, fica acessível a todos e outras comparações podem se tornar
desnecessárias.
Outra forma de representar a porcentagem é através do número decimal (número
com vírgula), conforme se vê abaixo::
25
25%=0,25 porque 25%=
=0,25
100
Às vezes se faz necessário determinar um índice em que se considera o 1000 como base. Chama-se por mil e
tem o símbolo o/o o. Por exemplo, 0,5% = 0,5/100 = 5/1000= 5% o . Recomenda-se que durante o processo,
enquanto se está fazendo os cálculos, seja usada a forma decimal e que a forma % seja usada apenas no final do
processo ou como resposta final.
1
Odontologia e Enfermagem 2008A
3
32%=0,32 porque 32%=
32
=0,32
100
5
=0,05
100
10
10%=0,10=0,1 porque 10%=
=0,10=0,1
100
Para transformar um número dado em porcentagem, desde que se saiba de que
número maior ele é parte, é uma tarefa relativamente simples. Veja os exemplos abaixo:
1. Uma pessoa que irá viver 60 anos, aos 5 anos de idade terá vivido quanto por
cento da sua vida?
Cálculo:
Primeiro modo:
60 anos corresponde ao total a ser vivido, logo 100%. Então procede-se do
seguinte modo:
60  100%
5  x%
60x=5. 100  60x=500  x = 500/60  8,3% ou 0,083
Segundo modo:
Divide 5 por 60 e o resultado é multiplicado por 100.
5/60= 0,083  8,3%
2. Se numa classe há 70 alunos, então 14 alunos representam quanto por cento da
classe?
Cálculo:
Primeiro modo:
70 alunos correspondem ao total, logo 100%. O procedimento é:
70  100%
14  x%
70x=14. 100  60x=1400  x = 1400/70  20% ou 0,20 ou 0,2
Segundo modo:
Divide 14 por 70 e o resultado é multiplicado por 100.
14/70= 0,2  20%
3.Suponha que na classe haja 70 alunos, então:
Nº de alunos Representa ... da classe Cálculo Representação decimal
1
1,4%
1
0,014
/70
5
7,1%
5
0,071
/70
7
10%
7
0,10=0,1
/10
21
30%
2
0,3 =0,30
1/70
30
42,8%
3
0,428
0/70
42
60%
4
0,6=0,60
2/70
70
100%
7
1=1,00
0/70
5%=0,05 porque 5%=
Odontologia e Enfermagem 2008A
4
Exercícios:
3.
Uma pessoa ganha R$ 750,00 por mês e paga R$ 150,00 de aluguel. Quanto
por cento, do seu salário, gasta em aluguel?
4.
Se a esperança de vida de uma pessoa for de 80 anos e ela já está com 22 anos.
Quanto por cento já viveu?
5.
Se a esperança de vida de uma pessoa for de 85 anos e ela já viveu 27 anos.
Quanto, por cento, falta viver?
6.
Um acadêmico precisa tirar nota 7 numa prova, mas conseguiu apenas a nota 5.
Quanto por cento lhe falta?
7.
Suponha que a seqüência seguinte represente as notas obtidas em
Bioestatística. 2,2,4,5,5,6,7,8,8,9,9,10,10,10,10,10. Pergunta-se:
a) Qual a média da a turma?
b) Quanto, por cento, dos alunos ficaram abaixo da média da turma?
c) Quanto, por cento, dos alunos tiraram nota menor do que 7?
d) Quanto, por cento, dos alunos tiraram exatamente a nota 7?
e) Quanto, por cento, dos alunos tiraram nota maior do que 8?
f) Quanto, por cento, dos alunos tiraram nota menor do que 7 e maior do que 2? (2 <
x < 7)
g) Quanto, por cento, dos alunos tiraram nota menor do que 5 ou maior do que 8? (x
< 5 ou x > 8)
h) Quanto, por cento, dos alunos tiraram nota maior do que 5 e menor do que 9? (5
< x < 9)
i) Quanto, por cento, dos alunos tiraram nota 10?
8.
Mônica mede 1, 65m de altura e João 1,72m. a) Quanto, por cento, João é
mais alto do que Mônica? b)Quanto, por cento, Mônica é mais baixa do que João? c) A altura
de João representa quanto, por cento, da altura de Mônica? d)E a altura de Mônica representa
quanto, por cento, da altura de João?
9.
Quando se diz “ valores abaixo de 7” o 7 está incluído?
10.
E quando se diz “valores acima de 15” o 15 deve ser contado?
11.
Qual outra forma e dizer abaixo ou acima de certo valor?
12.
Quanto, por cento, desses exercícios você acertou?
FREQÜÊNCIA RELATIVA
Como já foi dito, a freqüência relativa é a freqüência simples transformada em
porcentagem. Há freqüência relativa simples e freqüência relativa acumulada.
(fri)
A) Freqüência RELATIVA SIMPLES
. Tomando o exemplo dado
anteriormente talvez fique mais fácil o entendimento.
1. Na seqüência 3,4,5,5,6,6,6,7,8:
O número 3 tem freqüência 1, logo, a sua freqüência relativa é 1/9= 0,11=11%;
O número 4 tem freqüência 1, logo, a sua freqüência relativa é 1/9= 0,11=11%;
O número 5 tem freqüência 2, então, a sua freqüência relativa é 2/9= 0,22=22%;
O número 6 tem freqüência 3, então, a sua freqüência relativa é 3/9= 0,33=33%;
Os números 7 e 8 têm freqüência 1 cada um deles, isto é, cada um representa 11%
da seqüência, que é a sua freqüência relativa simples.
Odontologia e Enfermagem 2008A
5
2. Na seqüência 17,12,13,17,15,12,14,17,18,14,15,15, qual a freqüência relativa
simples do número: a) 17 ?
b) 13?
c) 12 ? d) 14?
e) 15?
(Fri)
B) Freqüência RELATIVA ACUMULADA
é a quantidade de
elementos que existem, desde o início, até um determinado valor, transformada em
porcentagem.
Exemplo:
1.Na seqüência 3,4,5,5,6,6,6,7,8:
A freqüência relativa acumulada até 6 é 7/9=77%.
A freqüência relativa acumulada até 7 é 8/9=88%. Por que?
A freqüência relativa cumulada até 5 é 4/9=44%. Por que?
2. Na seqüência 17,12,13,17,15,12,14,17,18,14,15,15, qual a freqüência relativa
acumulada até:
a) 13?
b) 15?
c) 17
Em Estatística usa-se a seguinte notação para freqüências:
fi ( com f minúsculo)= freqüência simples
Fi (com F maiúsculo)= freqüência acumulada
fri (com f minúsculo) = freqüência relativa simples
Fri (com F maiúsculo)= freqüência relativa acumulada
Em todos os casos a letra i indica a classe em que está localizada a referida
freqüência. Exemplo: f3 indica a freqüência simples da classe 3 e, nesse caso, i=3. essa
notação é útil particularmente quando os dados estão dispostos em uma tabela, como no
caso seguinte.
Sejam 3, 4, 4, 5 e 6 as idades de 5 crianças. Distribuídas num quadro ficam da
seguinte forma:
Classe (i) Idade (xi) fi Fi fri
Fri fri% Fri%
1
3
1 1 0,20 0,20 20% 20%
2
4
2 3 0,40 0,60 40% 60%
3
5
1 4 0,20 0,80 20% 80%
4
6
1 5 0,20 1,00 20% 100%
5
1,00
100%
a)Qual a idade que está na classe 2? Resposta: 4
b)Qual a freqüência simples (fi) da classe 2 (f2)? Resposta: 2, porque o 4 aparece
duas vezes.
c)Qual a freqüência relativa simples (fri)da classe 2 (fr2)? Resposta: 40%, porque
há dois elementos na classe 2 e 2/5=0,4=40%
d)Qual a freqüência acumulada (Fi) até a classe 2 (F2), isto é, quantos elementos
há até à classe 2? Resposta: há 3 elementos. Uma vez o número 3 e duas vezes o número
4.
e)Qual a freqüência relativa acumulada (Fri) até a classe 2 (Fr2), isto é, quanto,
por cento, dos elementos estão até à classe 2? Resposta: Como há 3 elementos, então, há
3/5=0,6=60%.
O USO DA CALCULADORA
Odontologia e Enfermagem 2008A
6
Usar a calculadora será uma prática constante em nossas aulas e por essa razão é
necessário que se conheça um pouco sobre essa ferramenta de trabalho.
1) Convém lembrar que os programas das calculadoras foram elaborados em países cuja
notação matemática tem alguma diferença em relação à nossa. Um exemplo é o uso do
ponto em lugar da vírgula. Se você digitar 2 mil e 374 usando ponto o seu cálculo sairá
errado porque a calculadora vai “entender” o 2.374 como 2,374. Quando a calculadora lhe
apresentar o resultado 3.5 entenda como 3,5. Portanto, não use ponto quando não quiser
digitar um número decimal.
2) A calculadora do celular não é um bom instrumento para uso em sala de aula. Ela
apresenta o problema de exigir que se selecione função e digite a mesma tecla duas ou três
vezes, tornando o processo muito longo, dificultando o trabalho e facilitando o erro. Uma
calculadora simples é preferível ao celular. A calculadora que usaremos deve ter raiz
quadrada.
NÚMEROS DECIMAIS
Sempre que precisamos determinar a razão entre dois números é comum aparecerem os
números decimais. Qualquer divisão, frequentemente, produz números decimais e é
necessário que saibamos trabalhar com eles para que o processo não se torne muito
complicado e exposto a erros sem que tenhamos consciência.
Os números decimais, também conhecidos como números com vírgulas, possuem uma
parte inteira e uma parte fracionária ou decimal (também conhecida como casa decimal).
A parte decimal pode ser exata, com uma quantidade finita de casas, ou não exata, com
uma quantidade infinita de casas. O números decimais não exatos podem ser periódicos
ou aperiódicos, mas esta classificação, embora muito importante no estudo da
Matemática, não tem muita relevância para quem simplesmente vai utilizar esses números.
O mais comum é que se trabalhe com números com poucas casas decimais - normalmente
duas casas.
Para essa adequação do número decimal usam-se, normalmente, dois procedimentos:
TRUNCAMENTO e ARREDONDAMENTO.
O truncamento ocorre quando simplesmente são desprezadas algumas casas decimais. O
número é “cortado” a partir de certo algarismo. Não é um procedimento recomendado.
Arredondamento, como o nome indica, é a transformação de um número em outro uma
unidade maior ou menor. Para o arredondamento adota-se o seguinte procedimento:
a) quando o primeiro algarismo a ser abandonado for
inalterado o que permanecer;
b) quando o primeiro algarismo a ser abandonado for
uma unidade ao que permanecer;
c) quando o primeiro algarismo a ser abandonado for
menor
do que
5,
deixa
maior do que 5, acrescenta-se
igual a 5,
há duas soluções:
5
1. se o
estiver seguido de algarismos diferentes de zero, acrescente-se uma unidade
ao que permanecer;
5
2. se o
for o último algarismo ou estiver seguido de zeros, (deixa-se inalterado o
algarismo a permanecer se este for par)e (acrescenta-se uma unidade no algarismo a
permanecer se este for ímpar ).
d) Nunca se devem fazer arredondamentos sucessivos. Por exemplo: 2,732,7 3,0 é
um procedimento errado.
Odontologia e Enfermagem 2008A
7
e) Quando é processada uma adição de números arredondados ocorre certa diferença na
soma, para mais ou para menos. Normalmente para menos. Nesse caso recomenda-se
que seja feita a compensação.
Abaixo estão alguns exemplos do que foi exposto:
Nº
Trunc. p/ 1 Arred. p/ 1 Trunc. p/ 2 Arred. p/ 2 Trunc. p/ Arred. p/ o
casa decim. casa decim. casas decim. casas
o inteiro.
inteiro.
decim.
2,877... 2,8
2,9
2,87
2,88
2,0
3,0
2,843... 2,8
2,8
2,84
2,84
2,0
3,0
2,8555... 2,8
2,9
2,85
2,86
2,0
3,0
2,855
2,8
2,9
2,85
2,86
2,0
3,0
2,8355
2,8
2,8
2,83
2,84
2,0
3,0
2,8455
2,8
2,8
2,84
2,84
2,0
3,0
2,266... 2,2
2,3
2,26
2,27
2,0
2,0
O simples truncamento não é um procedimento recomendado.
EM NOSSOS TRABALHOS USAREMOS SEMPRE O ARREDONDAMENTO.
Um exemplo de COMPENSAÇÃO:
5, 24
+ 5, 36

5, 89
16,49 cujo arredondamento
correto é16,5
Veja este outro caso:
5, 34
+ 5, 52

5, 81
16,67 cujo arredondamento
correto é 16,7
+
5,2
5,4
5,9
16,5 ocorreu uma compensação naturalmente.
Um número foi arredondado
para menor e outro para maior.
5,3
+ 5,5
5,8
16,6 houve a perda e, nesse caso,
recomenda-se proceder a compensação,
acrescentando o valor da diferença
ou “descarregando” no número maior.
Deve ficar assim:
5,3
+ 5,5
5,9
16,7
Exercícios
Efetue o arredondamento dos seguintes números para duas casas decimais:
a) 16,6666.. b) 23,434... c) 39,998... d) 6, 333... e) 6,777... f) 1,8988... g) 7,4355...
h) 2,5576 i) 2,5536
OBSERVAÇÕES:
Em nossas atividades estaremos adotando as seguintes regras arbitrárias:
Odontologia e Enfermagem 2008A
8
a) As freqüências relativas, quando em forma decimal, serão arredondadas para 2 ou 3
casas decimais e, quando em porcentagem, se necessário, para 1casa decimal apenas.
b) Os arredondamentos da média, mediana, desvio padrão, etc.,quando necessário, serão
todos para uma casa decimal.
c) Nos cálculos de proporcionalidade, se a variável quantitativa for discreta estaremos
arredondando para o inteiro e, se for contínua, para uma casa decimal, quando
necessário.
d) Nos quadros, as freqüências relativas, deverão sempre permanecer em representação
decimal. A transformação para um número com o símbolo % fica reservada para
textos ou gráficos. A representação decimal facilita os cálculos posteriores.
ATIVIDADES:
a)Consulte um dicionário sobre o significado da palavra arbitrário.
b)Consulte um livro de estatística sobre o significado das palavras: variável quantitativa
discreta, variável quantitativa contínua e variável qualitativa.
c)O professor escreveu 10 números no quadro e pediu que os alunos calculassem a média.
Não sabemos quais foram os números escritos, sabemos apenas que o menor deles era o 7
e o maior, 15. Avalie agora as médias encontradas pelos alunos e assinale a letra (a) se
achar que pode estar certa, (b) se achar que está errada e (c) se achar que não dá para
opinar.
As respostas dos alunos foram:
Aluno A: a média é 17 ( a )
(b)
(c)
Aluno B: a média é 11 ( a )
(b)
(c)
Aluno C: a média é 7 ( a )
(b)
(c)
Aluno D: a média é 7,5 ( a )
(b)
(c)
Aluno E: a média é 13 ( a )
(b)
(c)
d) Taxa de glicose sanguínea dos alunos da turma C de Enfermagem, em 07/11/06-8h da
manhã. Calcule a taxa média.
Identificação A
do (a)
acadêmico(a)
Sexo
F
Mg/dl de
glicose
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
F
F
M M F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
90 101 87 96 91 97 117 106 97 113 88 98 81 80 84 105 89 134 82 78 93 64 103
Respostas dos exercícios
1) 15,25 2) 9, 25 3) 5 4) 10 5) 4,5 6) 4,24 7)15,33 8) 2,58 9) 2,75 10) 13
11) 6 12)4,54 13) 6,44
Para pensar: 1) não 2) não, ela serve para representar o grupo 3) 36º, não 4) peso é
uma freqüência hipotética, isto é, supõe-se que a primeira nota tenha se repetido duas vezes e
a segunda nota tenha se repetido 3 vezes.
Freqüência: A2) a) 3 b) 1 c) 2 d)2 e) 3
B2) recomenda-se ordenar os números na ordem crescente a) 2 b)5 c) 8
Exercícios com porcentagem: 3) 20% 4)27,5% 5) 31,8% 6) 28,6% 7a)7,2 7b)43,7%
(7/16) 7c) 6/16=37,5%
7d) 6,2% (1/16) 7e) 43.7%(7/16) 7f)4/16=25% 7g) 62,5% 7h) 25% 7i) 31,3%
8) a) 4,2% b) 4,1% c) 104,2% d) 95,9%
Freqüência relativa: A2) a)25% b) 8,3% c) 16,7% d) 16,7% e)255
Odontologia e Enfermagem 2008A
9
B2) a) 25% b) 66,7% c) 91,7%
Arredondamentos: c) 40,00 f)1,90 h) 2,56 i) 2,55
Odontologia e Enfermagem 2008A
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