7º Ano
Geometria
Abordagem básica: Perímetros e áreas de figuras geométricas
[incluindo fórmulas]
Quadrado
Área = lado x lado (A = l x l)
Perímetro = lado + lado + lado + lado ou 4 x lado (P = l + l + l + l ou 4 x l)
Rectângulo
Área = comprimento x largura (A = c x l)
Perímetro = comprimento + comprimento + largura + largura ou 2 x
comprimento + 2 x largura (P = c + c + l + l ou 2 x c + 2 x l)
Triângulo
Área = base x altura sobre 2 (A = b x h /2)
Perímetro = Soma de todos os lados (no caso dos triângulos rectângulos,
altura, comprimento e hipotenusa)
Circunferência
Área = raio ao quadrado x Pi (A = r2 x Pi)
Perímetro = diâmetro x Pi ou 2 x raio x Pi (A = d x Pi ou 2 x r x Pi)
Característica: qualquer diâmetro (linha recta que vai de um lado ao outro da
circunferência, passando pelo centro) é um eixo de simetria.
Abordagem básica: Áreas e volumes de sólidos de uma base e duas
bases
Sólidos de duas bases (cubo, prisma, paralelepípedo, cilindro)
Volume: Área da base x altura (V = Ab x h)
Área total: Área das bases + Área lateral (AT = 2 Ab + Al)
Sólidos de uma base (pirâmide, cone)
Volume: 1/3 x Área da base x altura (V = 1/3 x Ab x h)
Área total: Área da base + área lateral (AT = Ab + Al)
[Área lateral = perímetro da base x geratriz (altura)]
Posições relativas de rectas e planos
Definições
Recta: duas letras maiúsculas ou uma minúscula (AB ou s)
Segmento de Recta: [AB]
Semi-recta com origem em A: ‘AB
Plano: três letras maiúsculas (ABC)
Recta – Define-se com 2 pontos
Plano – Define-se com 3 pontos
1
Posições relativas entre Rectas
Paralelas (não têm nenhum ponto em comum; os pontos estão todos e
sempre à mesma distância)
Coincidentes (estão sobrepostas: todos os pontos em comum)
Concorrentes (têm apenas um ponto em comum)
- Perpendiculares (concorrentes que formam um ângulo de 90º graus)
- Oblíquas (concorrentes que não formam um ângulo de 90º graus)
Complanares (no mesmo plano)
Não Complanares (não estão no mesmo plano)
Posições Relativas entre Planos
Paralelos (não têm nenhum ponto em comum: os pontos mantêm a
mesma distância)
Coincidentes (estão sobrepostos: todos os pontos em comum)
Concorrentes (têm um segmento de recta em comum)
- Perpendiculares (concorrentes que formam um ângulo de 90º graus)
- Oblíquos (concorrentes que não formam um ângulo de 90º graus)
Posições relativas entre Rectas e Planos
Paralelos (não têm nenhum ponto em comum: os pontos mantêm a
mesma distância)
Recta Aposta ao Plano (recta contida no plano)
Concorrentes (têm um ponto em comum)
- Perpendiculares (concorrentes que formam um ângulo de 90º graus)
- Oblíquos (concorrentes que não formam um ângulo de 90º graus)
Classificação de triângulos
Em relação aos lados
Equilátero: Todos os lados iguais (um eixo de simetria)
Isósceles: Dois lados iguais (um eixo de simetria)
Escaleno: Todos os lados diferentes (nenhum eixo de simetria)
Em relação aos ângulos
Rectângulo: Um ângulo recto
Acutângulo: Todos os ângulos agudos
Obtusângulo: Um ângulo obtuso
Classificação de Quadriláteros
Quadrilátero: polígono de quatro lados
Polígono: região do plano delimitado por segmentos de recta
Quadrado
- Todos os lados iguais;
- Todos os ângulos rectos;
- 4 Eixos de simetria;
- As 2 diagonais iguais bissectam-se e são perpendiculares.
2
Paralelogramo
- Lados iguais e paralelos dois a dois;
- Ângulos opostos iguais;
- Não tem eixo de simetria;
- As diagonais bissectam-se.
Losango
- Todos os lados iguais;
- Ângulos opostos iguais;
- Tem 2 eixos de simetria;
- Diagonais bissectam-se e são perpendiculares.
Trapézio
- Tem sempre 2 lados paralelos;
- Trapézios Rectângulos e Escalenos não têm eixo de simetria;
- Trapézios isósceles têm um eixo de simetria.
Rectângulo
- Lados iguais e paralelos dois a dois;
- Todos os ângulos rectos;
- Tem 2 eixos de simetria;
- Tem 2 diagonais iguais que se bissectam.
Soma dos ângulos internos de um quadrilátero: 360º.
Ângulos de um triângulo; Semelhança de triângulos
Ângulos internos/externos
A soma dos três ângulos internos é sempre igual a 180º.
Cada ângulo externo somado com o interno corresponde vale 180º. Estes
ângulos são suplementares: a sua soma equivale a 180º.
Relações entre lados e ângulos do triângulo
Propriedades:
- A lados iguais correspondem ângulos iguais e vice-versa.
- Ao maior lado opõe-se o maior ângulo e vice-versa.
- Ao menor lado opõe-se o menor ângulo e vice-versa.
Regra básica de construção de triângulos; igualdade/desigualdade triangular
- Para se poder construir um triângulo, cada um dos seus lados têm que ser
menor que a soma da medida dos outros dois.
Diz-se que dois triângulos são semelhantes quando têm dois ângulos iguais.
3
Classificação de Ângulos
Um ângulo é:
- Agudo quando menor que 90º
- Obtuso quando maior que 90º
- Recto quando igual a 90º
- Raso quando igual a 180º
- Giro quando igual a 360º
- Nulo quando igual a 0º
Dois ângulos são:
- Complementares quando a sua soma é de 90º
- Suplementares quando a sua soma é de 180º
- Verticalmente opostos quando se encontram em planos paralelos [Estes
ângulos são sempre iguais ou suplementares]
Figuras semelhantes; construção de figuras semelhantes
Figuras semelhantes: são geometricamente iguais ou uma delas é a ampliação
ou redução da outra.
Ampliação: Todas as medidas da figura inicial são multiplicadas pelo mesmo
número (diferente de um 1).
Redução: Todas as medidas da figura inicial são divididas pelo mesmo número
(diferente de 1).
Aritmética e aritmética combinada
Conjuntos Numéricos
Conjunto N – Contém os números naturais: inteiros positivos (exclui o 0).
Conjunto Z – Contém os números inteiros relativos: inteiros positivos e
negativos (inclui o 0).
Conjunto Q – Contém os números racionais: inteiros relativos e números
fraccionários, positivos ou negativos (inclui o 0). (Nota: Não confundir
números decimais com dízimas infinitas: um número decimal tem sempre
um número finito de casas decimais.)
Números simétricos e valor absoluto
Cada número tem um simétrico: é o número na Recta Numérica que está à
mesma distância de 0, na ordem contrária. Exemplos: 3 e -3 são simétricas, tal
como ½ e -½, 678 e -678, etc. Estes números têm sempre o mesmo valor
absoluto.
O valor absoluto de um número é o valor da distância desse número à
origem: é sempre esse número positivo.
4
Representação de pontos no Plano: Referencial Cartesiano
O Referencial Cartesiano é constituído por duas rectas paralelas, em que a
horizontal se chama eixo das abcissas (x) e a vertical, eixo das ordenadas (y).
Têm quatro quadrantes definidos pelos eixos.
Nos eixos são representados números (a cada ponto do eixo corresponde um
valor), que devem estar sempre à mesma distância, e o intervalo entre eles tem
que ter sempre o mesmo valor.
Quando se conhecem as coordenadas de um ponto, é possível representá-lo no
Referencial Cartesiano: o primeiro número indicado é marcado no eixo x e o
segundo no eixo y. As coordenadas são sempre indicadas da seguinte forma:
A –> (1,2). 1 será marcado no eixo x e 2 no eixo y: a intersecção das rectas
originadas nestes pontos é o ponto A.
Adição e subtracção de números racionais
Regra 1: Com sinais iguais dá-se o mesmo sinal e somam-se os números.
Regra 2: Com sinais diferentes dá-se o sinal do número com maior valor
absoluto e subtraem-se os números.
Na adição/subtracção de números fraccionários, primeiro reduz-se a expressão
ao mesmo denominador.
Multiplicação
Operações
e
Divisão
de
números
racionais;
Prioridade
das
Regra 1: As operações são sempre feitas pela seguinte ordem: primeiro as
expressões dentro de parênteses, depois as divisões e multiplicações pela
ordem em que aparecem, depois as adições e subtracções pela ordem em que
aparecem.
Regra 2: Se os números tiverem o mesmo sinal, dá-se o sinal +.
Regra 3: Se os números tiverem sinais diferentes, dá-se o sinal –.
Para multiplicar fracções não se retiram os parênteses e não se reduzem as
fracções ao mesmo denominador: multiplicam-se os denominadores pelos
denominadores e numeradores por numeradores.
Para dividir fracções, a primeira fracção mantém-se e a segunda inverte-se (o
numerador passa a denominador e vice-versa). O sinal de dividir passa ao de
multiplicar.
5
Potências: Adição, subtracção, divisão e multiplicação de potências
Adição e subtracção: Calcula-se o valor de cada potência e efectuam-se os
cálculos.
Divisão e multiplicação: Quando não existem bases ou expoentes em comum,
também se determina o valor das potências e realizam-se os cálculos.
Critérios de Divisibilidade por 2, 3, e 5
Por 2
-> Um número é divisível por 2 quando o seu algarismo das unidades é 0,2, 4,
6 ou 8
Por 3
-> Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é um
múltiplo de 3.
Por 5
-> Um número é divisível por 5 quando o seu algarismo das unidades é 5 ou 0.
Números Primos e decomposição de números em factores primos
Números primos são números divisíveis apenas por 1 e por si próprios.
Os primeiros números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 23, 29, 31, 37, 43, 47, 53
Para decompor um número em factores primos, o número inicial é dividido pelo
maior número primo possível. O número resultante é novamente dividido pelo
maior primo possível e assim sucessivamente, até se obter 1.
Exemplo: 540
540|5
108|3
36|3
12|3
4|2
2|2
1
540= 5 x 33 x 22
Sequências
As sequências são listas ordenadas de números que se relacionam entre si.
Uma sequências de números é representada pelo seu termo geral.
Por exemplo, 2n representa a sequência dos números pares.
n=1 =» 2 x 1 = 2
n=2 =» 2 x 2 = 4
n=3 =» 2 x 3 = 6
...
6
Simplificação de expressões com incógnitas
Para simplificar expressões com incógnitas, reduzem-se (adicionam-se,
subtraem-se, multiplicam-se ou dividem-se) os termos semelhantes (termos
com a mesma parte literal).
Exemplo: P = 5x + 10 + 5x + 7 + x + 10 + 2x + 6 + 4x + 3x + 1
P = 20x + 34
Equações do 1º grau
Equação é uma igualdade onde aparece pelo menos uma variável.
A equação tem sempre dois membros: são definidos pela igualdade (=). Cada
um dos valores da equação é um termo.
A solução da equação é o valor que torna a expressão verdadeira.
Nota: Quando numa equação do 1º grau há parênteses, quando atrás dos
parênteses temos:
- Sinal positivo (+), não se alteram os sinais dos termos que estão
dentro de parênteses.
- Sinal negativo (–), todos os sinais dentro de parênteses são trocados
- Um número, então todos os valores dentro da equação são multiplicados por esse número.
As equações do 1º grau classificam-se em:
Possíveis determinadas: quando têm apenas uma solução;
Possíveis indeterminadas: quando têm infinitas soluções.
Impossíveis: quando não têm solução.
Razão e Proporção
Razão é uma comparação entre duas quantidades.
A razão entre b e a é b/a ou b:a, em que b é o antecedente e a o
consequente.
Proporção é a igualdade entre duas razões.
Exemplo: 2/4 = ½ => Proporção (2 está para 4, tal como 1 está para 2)
Propriedade Fundamental das Proporções: Numa proporção o produto
dos extremos é sempre igual ao produto dos meios.
7
Percentagem
Divisão do valor em 100. Por exemplo, 68% (de algum valor), corresponde a 68
partes por cada 100. 100% é sempre a totalidade do valor.
Para calcular a percentagem, utiliza-se uma regra de três simples.
Exemplo: 70% de 28.
100 – 28
70 – x
(100% corresponde a 28)
(70% corresponde a x: a incógnita que se vai calcular)
x = 28 x 70 / 100
x = 19.6
70% de 28 é 19,6.
Proporcionalidade Directa
Diz-se que duas grandezas são directamente proporcionais quando a razão
entre elas é constante: têm uma relação de proporcionalidade directa.
Este valor constante chama-se constante de proporcionalidade directa. Se
não existir esta constante não há proporcionalidade directa.
As relações de proporcionalidade directa são traduzidas por expressões
analíticas. Os elementos da proporção são y e x. O valor da razão entre eles é
sempre k. Traduzido graficamente, isto significa que a proporcionalidade directa
é sempre representada, em gráficos, por uma recta que passa pela origem do
referencial.
y/x= k
Numa relação de proporcionalidade directa, há sempre dois factores em
comparação.
8
8º Ano
Geometria
Teorema de Pitágoras:
● Num triângulo rectângulo o quadrado da hipotenusa (h) é igual à soma do
quadrado dos catetos (c).
h²=c²+c²
● Por outro lado para sabermos o cateto ao quadrado temos de subtrair a
hipotenusa ao quadrado ao cateto ao quadrado.
c²=h²-c²
Diagonal de um paralelepípedo
Diagonal facial
Diagonal espacial: é o segmento que une 2 vértices não pertencentes à
mesma face. Calcula-se somando o quadrado do comprimento com o quadrado da
largura e com o quadrado da altura.
Aritmética e aritmética combinada
Máximo divisor comum:
O máximo divisor comum (m.d.c.) de dois ou mais números decompostos em
factores primos (tanto para o m.d.c. como para o m.m.c. temos de decompor
os números em factores primos) é igual ao produto dos factores comuns cada
um elevado ao menor dos expoentes.
Mínimo múltiplo comum:
O mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de dois ou mais números decompostos em
factores primos é o produto dos factores comuns e não comuns elevado cada
um ao maior expoente.
9
Ex: m.d.c.(24;90):
m.d.c= 2x3=6
24
12
6
3
1
2
2
2
3
90 2
45 3
15 3
5 5
1
24=2³x3
90=3²x2x5
m.m.c.(24;90)= 2³x3²x5=360
Potências:
● Potências de expoente inteiro:
Nº Base Exp. Potência
½= 2-¹
8
2
3
2³
(1/dª)=d-ª, d≠0
4
2
2
2²
¼=1/2²=2-²
2
2
1
2¹
1
2
0
2º
½
2
-1
2-¹
● Potências com a mesma base:
O produto de 2 potências de igual base è uma potência com a mesma
base e expoente igual à soma dos expoentes dos factores.
dªxd°=aª+°
O quociente de 2 potências de igual base é uma potência com a mesma base e
expoente igual à diferença entre o expoente do divisor e o expoente do
dividendo.
dª÷d°=dª-°
● Potências com o mesmo expoente:
O produto de 2 potências de igual expoente é uma potência com o mesmo
expoente e a base é igual ao produto das bases dos factores.
dªxtª=(dxt)ª
O quociente de 2 potências de igual expoente é uma potência com o mesmo
expoente e a base è igual ao quociente entre a base do divisor e a base do
dividendo.
10
dª÷tª=(d/t)ª
● Potência de potência:
Uma potência de potência é igual a uma potência com a mesma base e o
expoente é o produto dos expoentes.
(d°)ª=d°×ª
Escrita de números utilizando a base 10 (notação científica):
1 – 10º
10 – 10¹
100 – 10²
1000 – 10³
0,1 – 10-¹
0,01 – 10-²
0,001 – 10-³
Um gogol é um número elevado a 100 zeros [(10¹º)¹º]
Ex: 73000 000 000 000 000 000 000= 7,3x10²²
0,000 000 000 000 000 000 026= 2,6x10-²¹
Notação científica
Equações de 1º grau:
3x – 4=- x=
= x+3 x = 4=
=4 x= 4=
= x= 4/4=1
Nota: As equações de 1º grau têm só uma incógnita. Por isso para resolvermos
estas equações temos de:
- Tirar denominadores;
- Isolar a incógnita num dos membros e resolver.
Quando nos dizem para verificarmos se um determinado nº é solução da
equação, temos de substituir a incógnita por esse número.
Possíveis
Equações
Determinadas Ex: x=3, tem uma única
solução.
Indeterminadas Ex: 0x=0, tem infinitas
soluções.
Impossíveis Ex: 0x =-1, não tem solução.
11
Equações literais: monómios e polinómios; adição algébrica e graus de
polinómios:
3 x – monómio
2-3 x – binómio
2-3 x+ 5 – polinómio
Monómio é um nº ou um produto de números em que alguns podem ser
representados por letras.
Polinómio é a soma algébrica de polinómios.
● Adição e subtracção:
4xy²+3xy²=
=(4+3)xy²= 7xy²
xy²-5y²=
=(x-5)y²
Para resolver as somas e subtracções de polinómios utiliza-se a propriedade
distributiva.
Aos monómios que têm partes literais iguais chamamos monómios
semelhantes.
● Multiplicação e divisão
4 xy²x 5x² y³=
=4x5 xxx² y²xy³ =
=20x³y(²+³)
(5x¹y¹)²=
=5² (x¹)² (y¹)²=
=25x²y²
● Grau de um polinómio
Grau de um polinómio é o maior dos graus dos seus termos (não nulos).
7+x³-2x²+3x
o grau deste polinómio é 3.
Casos Notáveis:
Quadrado da soma: (a+b)²=a²+2ab+b²
Quadrado da diferença: (a-b)²=a²-2ab+b²
Diferença de quadrados: (a+b)(a-b)=a²-b²
12
Lei do anulamento do produto:
a×b=0 «=» a=0 ou b=0
Translação:
Propriedades das translações:
-conservam a direcção;
-conservam os comprimentos dos segmentos de recta;
-conservam as amplitudes dos ângulos.
5cm
5cm
4cm
13
9º Ano
Funções: tipos de funções; gráficos de funções; proporcionalidade
directa e inversa; grandezas directamente e inversamente
proporcionais;constante de proporcionalidade directa e inversa e seu
significado:
(1) y=ax
(2)
y=ax+b
(3) y=b
(1): Se b=0, f(x)=ax é uma recta que passa na origem do referencial. (Linear)
(2): Se f(x)=0 é uma recta que não passa pela origem. (Afim)
(3): Se a=0, f(x)=b é uma função constante.
Sendo f(x)=ax+b, a a chamamos o declive da recta.
● se a maior que zero a recta é crescente, penetra os quadrantes ímpares.
● se a menor que zero a recta é decrescente, penetra os quadrantes pares.
● se a igual a zero a recta é constante.
Quando a função é do 2º grau, ou seja, a expressão analítica tem
incógnitas elevadas ao quadrado (f(x)=x²+9), o gráfico que a representa é
senpre uma parábola:
14
● se quisermos descobrir os x’s da equação temos de substituir o f(x) ou y pelo
valor dado e resolver em ordem a x.
● se quisermos descobrir o y temos de substituir todos os x’s pelo valor dado e
revolver em ordem a y.
Proporcionalidade directa e inversa
Directa: duas variáveis x e y são directamente proporcionais quando o
quociente entre elas é constante, isto é: y/x=k. Numa função de
proporcionalidade directa, se uma variável duplica a outra também duplica e
assim sucessivamente. O gráfico desta função é uma recta que passa na origem
do referêncial e é representado por uma expressão do tipo y=kx.
Inversa: duas variáveis x e y são inversamente proporcionais quando o produto
entre elas é constante. Isto é: xxy=k. Quando uma das variáveis aumenta a
outra diminui na proporção inversa, isto é: se uma variável duplica a outra é
reduzida a metade e assim sucessivamente.
O gráfico de uma função de
proporcionalidade inversa é uma
hipérbole. Se k for positivo
penetra os quadrantes ímpares.
Se k for negativo penetra os
quadrantes pares.
As variáveis não podem tomar o valor de 0 e a hipérbole, embora se aproxime
dos eixos nunca os intercepta.
15
Probabilidade:
Experiência aleatória: são aquelas em que não se consegue prever com
exatidão o resultado mesmo que seja realizada sempre nas mesmas condições.
Acontecimentos equiprováveis: são aqueles que têm a mesma probabilidade de
acontecer. Por exemplo: no lançamento de um dado equilibrado todas as faces
têm a mesma probabilidade de sair.
LEI DE LAPLACE:
P(A)=nº de casos favoráveis/nº de casos possíveis
Propriedade: A probabilidade de qualquer acontecimento é sempre 1 valor
entre 0 e 1 inclusive. Se a probabilidade for zero o acontecimento diz-se
impossível. Se a probabilidade for um é um acontecimento certo.
Números reais:
N={números naturais}
Z={números inteiros relativos}
Q={números racionais}= Z U {números fraccionários}=» ou são dizimas finitas
ou são dizimas infinitas periódicas.
1/3= 0,33333...=0,(3)-dizima infinita periódica
0,123412341234...=0,(1234)
½= 0,5- dizima finita
R={números reais}=Q U {números irracionais} e (nº de neper) Ex:
√5; √3; etc.
Regras das equações do 2º grau:
- tirar parênteses
- desfazer de denominadores
- colocar na forma canónica
- usar o método de resolução correcto: isolar a incógnita e o anulamento do
produto no caso das equações incompletas; usar a fórmula resolvente ou os
casos notáveis da multiplicação para as equações completas.
16
Formas canónicas: equações incompletas: ax²+bx=0, ax²+c=0, ax2=0,
(a+b)(a-b) =a2 – b2
Equações completas: ax²+bx+c=0
Fórmula resolvente:
Regras dos sistemas:
- tirar parênteses
- desfazer de denominadores
- colocar na forma canónica
- resolver uma delas em ordem a x ou a y
- Ir substituindo à medida que se vai resolvendo até obterem o valor de x e de
y.,
Operações com raízes:
- Soma e subtracção:
Em primeiro lugar temos de decompor em factores os números grandes(na raiz
quadrada, por cada dois iguais passa para fora:
75 3
25 5
5 5
1
De seguida temos que reduzir os termos semelhantes. Ou seja todas as raízes
iguais são somadas ou subtraídas nunca se mexendo no número dentro delas.
Ex:
.
- Multiplicação:
Neste caso a única coisa que temos de ter em atenção é multiplicar o que está
fora pelo que está fora e o que está dentro pelo que está dentro (não há
excepções. É sempre assim).
17
Inequações e intervalos de números reais:
Condição
Intervalo de nº
reais
x>3
x<-1
x
2 +3
Se estiver:
.
, temos de multiplicar a inequação por -1 e trocar o sinal:
Condições
Conjuntos
(conjunção)
(e)
(Intersecção)
(disjunção)
(ou)
(reunião)
Regras das Inequações:
- Tirar parênteses
- Desfazer de denominadores
- Colorar os termos com incógnita no 1º membro e os termos independentes no
2º
- Reduzir os termos semelhantes
- Quando estiver resolvido fazer o intervalo de números reais
18
Circunferências e Polígonos:
Ângulo Inscrito: um ângulo é inscrito quando o sue vértice é um
ponto da circunferência e os seus lados são cordas da circunferência.
O
Ângulo ao Centro: um ângulo cujo vértice é o centro da circunferência
e os seus lados são raios da circunferência.
O
Nota: Em cada
(inscrito ou ao centro), corresponde apenas um único arco.
Propriedades:
1. A amplitude de um
inscrito é igual à metade da amplitude do arco
correspondente;
2. A amplitude de um
ao centro é igual à amplitude do arco
correspondente;
3. Dois ’s inscritos com o mesmo arco têm a mesma amplitude;
4. Um inscrito numa semi-circunferência é um recto;
5. A soma de dois
’s opostos de um quadrilátero inscrito numa
circunferência é sempre 180;
6. Uma recta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio que
contém o ponto de tangencia;
7. A mediatriz de uma corda passa pelo centro da circunferência, isto é, a
recta que é perpendicular à corda e que passa pelo seu meio, também
passa pelo centro da circunferência.
8. Numa circunferência, arcos e cordas compreendidas entre rectas
paralelas são iguais.
19
Polígonos: ’s internos de um polígono:
b
a
c
a + b + c = 108
2 x 180 = 360
Para sabermos (seja qual for o nº de arestas do polígono) em quantos
triângulos podemos dividir a figura (seja ela qual for) temos que
subtrair dois ao nº de lados do polígono;
Se um polígono tem 20 lados (por exemplo), podemos dividi-lo em 18
triângulos. A soma dos seus ’s é 18 x 180;
Se um polígono tem n lados, podemos dividi-lo em n – 2 triângulos. A
soma dos seus ’s é (n – 2) x 180;
Cada interno de um polígono regular com n lados tem de amplitude
.
Ângulos externos de um polígono:
Se um polígono com n lados for regular, cada um dos seus
tem de amplitude:
’s externos
.
Problemas que relacionam trigonometria e circunferências:
Para resolver (se quiserem) Podem-se guiar pelos exercícios que fizemos nas aulas 99 e 100.
1. Determine a área de um polígono regular com 12 lados com 8 cm de
comprimento cada um.
2. Determine a área de um polígono regular com 26 lados, inscrito numa
circunferência com 11 cm de raio.
3. Determine a área de um polígono regular com 30 lados, cujo apótema
tem 14 lados.
20
Rotações e Isometrias:
Uma isometria é uma aplicação que transforma um segmento de
recta noutro geometricamente igual e um noutro com a mesma
amplitude. Existem 3 tipos de isometrias:
Simetria
Translação
Rotação
Translação
Simetria
Rotação
Relativo á Rotação:
Ângulo Orientado – é um ângulo no qual se define um sentido.
Uma rotação caracteriza-se pelo centro e pelo ângulo.
Convencionou-se que um ângulo pode ter 2 sentidos, um positivo e
um negativo:
+
O sentido positivo é o
sentido contrário aos
ponteiros do relógio
O sentido negativo é o
sentido dos ponteiros do
relógio
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Trigonometria do triângulo rectângulo:
A cada ângulo corresponde uma
relação trigonométrica:
Sin
(seno de
)
Cos
(co-seno de
)
Tg
(tangente de
)
Hipotenusa
Cateto
Oposto
Cateto adjacente
Sendo
um dos ângulos agudos do triângulo rectângulo, tem-se:
(SOH1)
(CAH2)
(TOA3)
1
2
3
O Seno é igual ao cateto Oposto sobre a Hipotenusa
O Co-seno é igual ao cateto Adjacente sobre a Hipotenusa
A Tangente é igual ao cateto Oposto sobre o cateto Adjacente
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Resolve o triângulo:
X
Ver quais as medidas dadas e
qual a fórmula que as relaciona.
Neste caso4:=60
cos =5/x. cos(60)=5/x «=»
«=» 0,5=5/x «=» 0,5x=5 «=»
«=» X=5/0,5 «=» x=10
5 cm
30
45
60
Fórmulas:
Cos2 + Sin2 = 1 – Fórmula Fundamental da Trigonometria
Tg = sem /cos
4
O triângulo não está à escala.
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