Resumo para nono e oitavo ano mat.

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7º Ano
Geometria
Abordagem básica: Perímetros e áreas de figuras geométricas
[incluindo fórmulas]
Quadrado
Área = lado x lado (A = l x l)
Perímetro = lado + lado + lado + lado ou 4 x lado (P = l + l + l + l ou 4 x l)
Rectângulo
Área = comprimento x largura (A = c x l)
Perímetro = comprimento + comprimento + largura + largura ou 2 x
comprimento + 2 x largura (P = c + c + l + l ou 2 x c + 2 x l)
Triângulo
Área = base x altura sobre 2 (A = b x h /2)
Perímetro = Soma de todos os lados (no caso dos triângulos rectângulos,
altura, comprimento e hipotenusa)
Circunferência
Área = raio ao quadrado x Pi (A = r2 x Pi)
Perímetro = diâmetro x Pi ou 2 x raio x Pi (A = d x Pi ou 2 x r x Pi)
Característica: qualquer diâmetro (linha recta que vai de um lado ao outro da
circunferência, passando pelo centro) é um eixo de simetria.
Abordagem básica: Áreas e volumes de sólidos de uma base e duas
bases
Sólidos de duas bases (cubo, prisma, paralelepípedo, cilindro)
Volume: Área da base x altura (V = Ab x h)
Área total: Área das bases + Área lateral (AT = 2 Ab + Al)
Sólidos de uma base (pirâmide, cone)
Volume: 1/3 x Área da base x altura (V = 1/3 x Ab x h)
Área total: Área da base + área lateral (AT = Ab + Al)
[Área lateral = perímetro da base x geratriz (altura)]
Posições relativas de rectas e planos
Definições
 Recta: duas letras maiúsculas ou uma minúscula (AB ou s)
 Segmento de Recta: [AB]
 Semi-recta com origem em A: ‘AB
 Plano: três letras maiúsculas (ABC)
Recta – Define-se com 2 pontos
Plano – Define-se com 3 pontos
1
Posições relativas entre Rectas
 Paralelas (não têm nenhum ponto em comum; os pontos estão todos e
sempre à mesma distância)
 Coincidentes (estão sobrepostas: todos os pontos em comum)
 Concorrentes (têm apenas um ponto em comum)
- Perpendiculares (concorrentes que formam um ângulo de 90º graus)
- Oblíquas (concorrentes que não formam um ângulo de 90º graus)
 Complanares (no mesmo plano)
 Não Complanares (não estão no mesmo plano)
Posições Relativas entre Planos
 Paralelos (não têm nenhum ponto em comum: os pontos mantêm a
mesma distância)
 Coincidentes (estão sobrepostos: todos os pontos em comum)
 Concorrentes (têm um segmento de recta em comum)
- Perpendiculares (concorrentes que formam um ângulo de 90º graus)
- Oblíquos (concorrentes que não formam um ângulo de 90º graus)
Posições relativas entre Rectas e Planos
 Paralelos (não têm nenhum ponto em comum: os pontos mantêm a
mesma distância)
 Recta Aposta ao Plano (recta contida no plano)
 Concorrentes (têm um ponto em comum)
- Perpendiculares (concorrentes que formam um ângulo de 90º graus)
- Oblíquos (concorrentes que não formam um ângulo de 90º graus)
Classificação de triângulos
Em relação aos lados
Equilátero: Todos os lados iguais (um eixo de simetria)
Isósceles: Dois lados iguais (um eixo de simetria)
Escaleno: Todos os lados diferentes (nenhum eixo de simetria)
Em relação aos ângulos
Rectângulo: Um ângulo recto
Acutângulo: Todos os ângulos agudos
Obtusângulo: Um ângulo obtuso
Classificação de Quadriláteros
Quadrilátero: polígono de quatro lados
Polígono: região do plano delimitado por segmentos de recta
Quadrado
- Todos os lados iguais;
- Todos os ângulos rectos;
- 4 Eixos de simetria;
- As 2 diagonais iguais bissectam-se e são perpendiculares.
2
Paralelogramo
- Lados iguais e paralelos dois a dois;
- Ângulos opostos iguais;
- Não tem eixo de simetria;
- As diagonais bissectam-se.
Losango
- Todos os lados iguais;
- Ângulos opostos iguais;
- Tem 2 eixos de simetria;
- Diagonais bissectam-se e são perpendiculares.
Trapézio
- Tem sempre 2 lados paralelos;
- Trapézios Rectângulos e Escalenos não têm eixo de simetria;
- Trapézios isósceles têm um eixo de simetria.
Rectângulo
- Lados iguais e paralelos dois a dois;
- Todos os ângulos rectos;
- Tem 2 eixos de simetria;
- Tem 2 diagonais iguais que se bissectam.
Soma dos ângulos internos de um quadrilátero: 360º.
Ângulos de um triângulo; Semelhança de triângulos
Ângulos internos/externos
A soma dos três ângulos internos é sempre igual a 180º.
Cada ângulo externo somado com o interno corresponde vale 180º. Estes
ângulos são suplementares: a sua soma equivale a 180º.
Relações entre lados e ângulos do triângulo
Propriedades:
- A lados iguais correspondem ângulos iguais e vice-versa.
- Ao maior lado opõe-se o maior ângulo e vice-versa.
- Ao menor lado opõe-se o menor ângulo e vice-versa.
Regra básica de construção de triângulos; igualdade/desigualdade triangular
- Para se poder construir um triângulo, cada um dos seus lados têm que ser
menor que a soma da medida dos outros dois.
Diz-se que dois triângulos são semelhantes quando têm dois ângulos iguais.
3
Classificação de Ângulos
Um ângulo é:
- Agudo quando menor que 90º
- Obtuso quando maior que 90º
- Recto quando igual a 90º
- Raso quando igual a 180º
- Giro quando igual a 360º
- Nulo quando igual a 0º
Dois ângulos são:
- Complementares quando a sua soma é de 90º
- Suplementares quando a sua soma é de 180º
- Verticalmente opostos quando se encontram em planos paralelos [Estes
ângulos são sempre iguais ou suplementares]
Figuras semelhantes; construção de figuras semelhantes
Figuras semelhantes: são geometricamente iguais ou uma delas é a ampliação
ou redução da outra.
Ampliação: Todas as medidas da figura inicial são multiplicadas pelo mesmo
número (diferente de um 1).
Redução: Todas as medidas da figura inicial são divididas pelo mesmo número
(diferente de 1).
Aritmética e aritmética combinada
Conjuntos Numéricos



Conjunto N – Contém os números naturais: inteiros positivos (exclui o 0).
Conjunto Z – Contém os números inteiros relativos: inteiros positivos e
negativos (inclui o 0).
Conjunto Q – Contém os números racionais: inteiros relativos e números
fraccionários, positivos ou negativos (inclui o 0). (Nota: Não confundir
números decimais com dízimas infinitas: um número decimal tem sempre
um número finito de casas decimais.)
Números simétricos e valor absoluto
Cada número tem um simétrico: é o número na Recta Numérica que está à
mesma distância de 0, na ordem contrária. Exemplos: 3 e -3 são simétricas, tal
como ½ e -½, 678 e -678, etc. Estes números têm sempre o mesmo valor
absoluto.
O valor absoluto de um número é o valor da distância desse número à
origem: é sempre esse número positivo.
4
Representação de pontos no Plano: Referencial Cartesiano
O Referencial Cartesiano é constituído por duas rectas paralelas, em que a
horizontal se chama eixo das abcissas (x) e a vertical, eixo das ordenadas (y).
Têm quatro quadrantes definidos pelos eixos.
Nos eixos são representados números (a cada ponto do eixo corresponde um
valor), que devem estar sempre à mesma distância, e o intervalo entre eles tem
que ter sempre o mesmo valor.
Quando se conhecem as coordenadas de um ponto, é possível representá-lo no
Referencial Cartesiano: o primeiro número indicado é marcado no eixo x e o
segundo no eixo y. As coordenadas são sempre indicadas da seguinte forma:
A –> (1,2). 1 será marcado no eixo x e 2 no eixo y: a intersecção das rectas
originadas nestes pontos é o ponto A.
Adição e subtracção de números racionais
Regra 1: Com sinais iguais dá-se o mesmo sinal e somam-se os números.
Regra 2: Com sinais diferentes dá-se o sinal do número com maior valor
absoluto e subtraem-se os números.
Na adição/subtracção de números fraccionários, primeiro reduz-se a expressão
ao mesmo denominador.
Multiplicação
Operações
e
Divisão
de
números
racionais;
Prioridade
das
Regra 1: As operações são sempre feitas pela seguinte ordem: primeiro as
expressões dentro de parênteses, depois as divisões e multiplicações pela
ordem em que aparecem, depois as adições e subtracções pela ordem em que
aparecem.
Regra 2: Se os números tiverem o mesmo sinal, dá-se o sinal +.
Regra 3: Se os números tiverem sinais diferentes, dá-se o sinal –.
Para multiplicar fracções não se retiram os parênteses e não se reduzem as
fracções ao mesmo denominador: multiplicam-se os denominadores pelos
denominadores e numeradores por numeradores.
Para dividir fracções, a primeira fracção mantém-se e a segunda inverte-se (o
numerador passa a denominador e vice-versa). O sinal de dividir passa ao de
multiplicar.
5
Potências: Adição, subtracção, divisão e multiplicação de potências
Adição e subtracção: Calcula-se o valor de cada potência e efectuam-se os
cálculos.
Divisão e multiplicação: Quando não existem bases ou expoentes em comum,
também se determina o valor das potências e realizam-se os cálculos.
Critérios de Divisibilidade por 2, 3, e 5
Por 2
-> Um número é divisível por 2 quando o seu algarismo das unidades é 0,2, 4,
6 ou 8
Por 3
-> Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é um
múltiplo de 3.
Por 5
-> Um número é divisível por 5 quando o seu algarismo das unidades é 5 ou 0.
Números Primos e decomposição de números em factores primos
Números primos são números divisíveis apenas por 1 e por si próprios.
Os primeiros números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 23, 29, 31, 37, 43, 47, 53
Para decompor um número em factores primos, o número inicial é dividido pelo
maior número primo possível. O número resultante é novamente dividido pelo
maior primo possível e assim sucessivamente, até se obter 1.
Exemplo: 540
540|5
108|3
36|3
12|3
4|2
2|2
1
540= 5 x 33 x 22
Sequências
As sequências são listas ordenadas de números que se relacionam entre si.
Uma sequências de números é representada pelo seu termo geral.
Por exemplo, 2n representa a sequência dos números pares.
n=1 =» 2 x 1 = 2
n=2 =» 2 x 2 = 4
n=3 =» 2 x 3 = 6
...
6
Simplificação de expressões com incógnitas
Para simplificar expressões com incógnitas, reduzem-se (adicionam-se,
subtraem-se, multiplicam-se ou dividem-se) os termos semelhantes (termos
com a mesma parte literal).
Exemplo: P = 5x + 10 + 5x + 7 + x + 10 + 2x + 6 + 4x + 3x + 1
P = 20x + 34
Equações do 1º grau
Equação é uma igualdade onde aparece pelo menos uma variável.
A equação tem sempre dois membros: são definidos pela igualdade (=). Cada
um dos valores da equação é um termo.
A solução da equação é o valor que torna a expressão verdadeira.
Nota: Quando numa equação do 1º grau há parênteses, quando atrás dos
parênteses temos:
- Sinal positivo (+), não se alteram os sinais dos termos que estão
dentro de parênteses.
- Sinal negativo (–), todos os sinais dentro de parênteses são trocados
- Um número, então todos os valores dentro da equação são multiplicados por esse número.
As equações do 1º grau classificam-se em:
 Possíveis determinadas: quando têm apenas uma solução;
 Possíveis indeterminadas: quando têm infinitas soluções.
 Impossíveis: quando não têm solução.
Razão e Proporção
Razão é uma comparação entre duas quantidades.
A razão entre b e a é b/a ou b:a, em que b é o antecedente e a o
consequente.
Proporção é a igualdade entre duas razões.
Exemplo: 2/4 = ½ => Proporção (2 está para 4, tal como 1 está para 2)
Propriedade Fundamental das Proporções: Numa proporção o produto
dos extremos é sempre igual ao produto dos meios.
7
Percentagem
Divisão do valor em 100. Por exemplo, 68% (de algum valor), corresponde a 68
partes por cada 100. 100% é sempre a totalidade do valor.
Para calcular a percentagem, utiliza-se uma regra de três simples.
Exemplo: 70% de 28.
100 – 28
70 – x
(100% corresponde a 28)
(70% corresponde a x: a incógnita que se vai calcular)
x = 28 x 70 / 100
x = 19.6
70% de 28 é 19,6.
Proporcionalidade Directa
Diz-se que duas grandezas são directamente proporcionais quando a razão
entre elas é constante: têm uma relação de proporcionalidade directa.
Este valor constante chama-se constante de proporcionalidade directa. Se
não existir esta constante não há proporcionalidade directa.
As relações de proporcionalidade directa são traduzidas por expressões
analíticas. Os elementos da proporção são y e x. O valor da razão entre eles é
sempre k. Traduzido graficamente, isto significa que a proporcionalidade directa
é sempre representada, em gráficos, por uma recta que passa pela origem do
referencial.
y/x= k
Numa relação de proporcionalidade directa, há sempre dois factores em
comparação.
8
8º Ano
Geometria
Teorema de Pitágoras:
● Num triângulo rectângulo o quadrado da hipotenusa (h) é igual à soma do
quadrado dos catetos (c).
h²=c²+c²
● Por outro lado para sabermos o cateto ao quadrado temos de subtrair a
hipotenusa ao quadrado ao cateto ao quadrado.
c²=h²-c²
Diagonal de um paralelepípedo
Diagonal facial
Diagonal espacial: é o segmento que une 2 vértices não pertencentes à
mesma face. Calcula-se somando o quadrado do comprimento com o quadrado da
largura e com o quadrado da altura.
Aritmética e aritmética combinada
Máximo divisor comum:
O máximo divisor comum (m.d.c.) de dois ou mais números decompostos em
factores primos (tanto para o m.d.c. como para o m.m.c. temos de decompor
os números em factores primos) é igual ao produto dos factores comuns cada
um elevado ao menor dos expoentes.
Mínimo múltiplo comum:
O mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de dois ou mais números decompostos em
factores primos é o produto dos factores comuns e não comuns elevado cada
um ao maior expoente.
9
Ex: m.d.c.(24;90):
m.d.c= 2x3=6
24
12
6
3
1
2
2
2
3
90 2
45 3
15 3
5 5
1
24=2³x3
90=3²x2x5
m.m.c.(24;90)= 2³x3²x5=360
Potências:
● Potências de expoente inteiro:
Nº Base Exp. Potência
½= 2-¹
8
2
3
2³
(1/dª)=d-ª, d≠0
4
2
2
2²
¼=1/2²=2-²
2
2
1
2¹
1
2
0
2º
½
2
-1
2-¹
● Potências com a mesma base:
O produto de 2 potências de igual base è uma potência com a mesma
base e expoente igual à soma dos expoentes dos factores.
dªxd°=aª+°
O quociente de 2 potências de igual base é uma potência com a mesma base e
expoente igual à diferença entre o expoente do divisor e o expoente do
dividendo.
dª÷d°=dª-°
● Potências com o mesmo expoente:
O produto de 2 potências de igual expoente é uma potência com o mesmo
expoente e a base é igual ao produto das bases dos factores.
dªxtª=(dxt)ª
O quociente de 2 potências de igual expoente é uma potência com o mesmo
expoente e a base è igual ao quociente entre a base do divisor e a base do
dividendo.
10
dª÷tª=(d/t)ª
● Potência de potência:
Uma potência de potência é igual a uma potência com a mesma base e o
expoente é o produto dos expoentes.
(d°)ª=d°×ª
Escrita de números utilizando a base 10 (notação científica):
1 – 10º
10 – 10¹
100 – 10²
1000 – 10³
0,1 – 10-¹
0,01 – 10-²
0,001 – 10-³
Um gogol é um número elevado a 100 zeros [(10¹º)¹º]
Ex: 73000 000 000 000 000 000 000= 7,3x10²²
0,000 000 000 000 000 000 026= 2,6x10-²¹
Notação científica
Equações de 1º grau:
3x – 4=- x=
= x+3 x = 4=
=4 x= 4=
= x= 4/4=1
Nota: As equações de 1º grau têm só uma incógnita. Por isso para resolvermos
estas equações temos de:
- Tirar denominadores;
- Isolar a incógnita num dos membros e resolver.
Quando nos dizem para verificarmos se um determinado nº é solução da
equação, temos de substituir a incógnita por esse número.
Possíveis
Equações
Determinadas Ex: x=3, tem uma única
solução.
Indeterminadas Ex: 0x=0, tem infinitas
soluções.
Impossíveis Ex: 0x =-1, não tem solução.
11
Equações literais: monómios e polinómios; adição algébrica e graus de
polinómios:
3 x – monómio
2-3 x – binómio
2-3 x+ 5 – polinómio
Monómio é um nº ou um produto de números em que alguns podem ser
representados por letras.
Polinómio é a soma algébrica de polinómios.
● Adição e subtracção:
4xy²+3xy²=
=(4+3)xy²= 7xy²
xy²-5y²=
=(x-5)y²
Para resolver as somas e subtracções de polinómios utiliza-se a propriedade
distributiva.
Aos monómios que têm partes literais iguais chamamos monómios
semelhantes.
● Multiplicação e divisão
4 xy²x 5x² y³=
=4x5 xxx² y²xy³ =
=20x³y(²+³)
(5x¹y¹)²=
=5² (x¹)² (y¹)²=
=25x²y²
● Grau de um polinómio
Grau de um polinómio é o maior dos graus dos seus termos (não nulos).
7+x³-2x²+3x
o grau deste polinómio é 3.
Casos Notáveis:
Quadrado da soma: (a+b)²=a²+2ab+b²
Quadrado da diferença: (a-b)²=a²-2ab+b²
Diferença de quadrados: (a+b)(a-b)=a²-b²
12
Lei do anulamento do produto:
a×b=0 «=» a=0 ou b=0
Translação:
Propriedades das translações:
-conservam a direcção;
-conservam os comprimentos dos segmentos de recta;
-conservam as amplitudes dos ângulos.
5cm
5cm
4cm
13
9º Ano
Funções: tipos de funções; gráficos de funções; proporcionalidade
directa e inversa; grandezas directamente e inversamente
proporcionais;constante de proporcionalidade directa e inversa e seu
significado:
(1) y=ax
(2)
y=ax+b
(3) y=b
(1): Se b=0, f(x)=ax é uma recta que passa na origem do referencial. (Linear)
(2): Se f(x)=0 é uma recta que não passa pela origem. (Afim)
(3): Se a=0, f(x)=b é uma função constante.
Sendo f(x)=ax+b, a a chamamos o declive da recta.
● se a maior que zero a recta é crescente, penetra os quadrantes ímpares.
● se a menor que zero a recta é decrescente, penetra os quadrantes pares.
● se a igual a zero a recta é constante.
Quando a função é do 2º grau, ou seja, a expressão analítica tem
incógnitas elevadas ao quadrado (f(x)=x²+9), o gráfico que a representa é
senpre uma parábola:
14
● se quisermos descobrir os x’s da equação temos de substituir o f(x) ou y pelo
valor dado e resolver em ordem a x.
● se quisermos descobrir o y temos de substituir todos os x’s pelo valor dado e
revolver em ordem a y.
Proporcionalidade directa e inversa
Directa: duas variáveis x e y são directamente proporcionais quando o
quociente entre elas é constante, isto é: y/x=k. Numa função de
proporcionalidade directa, se uma variável duplica a outra também duplica e
assim sucessivamente. O gráfico desta função é uma recta que passa na origem
do referêncial e é representado por uma expressão do tipo y=kx.
Inversa: duas variáveis x e y são inversamente proporcionais quando o produto
entre elas é constante. Isto é: xxy=k. Quando uma das variáveis aumenta a
outra diminui na proporção inversa, isto é: se uma variável duplica a outra é
reduzida a metade e assim sucessivamente.
O gráfico de uma função de
proporcionalidade inversa é uma
hipérbole. Se k for positivo
penetra os quadrantes ímpares.
Se k for negativo penetra os
quadrantes pares.
As variáveis não podem tomar o valor de 0 e a hipérbole, embora se aproxime
dos eixos nunca os intercepta.
15
Probabilidade:
Experiência aleatória: são aquelas em que não se consegue prever com
exatidão o resultado mesmo que seja realizada sempre nas mesmas condições.
Acontecimentos equiprováveis: são aqueles que têm a mesma probabilidade de
acontecer. Por exemplo: no lançamento de um dado equilibrado todas as faces
têm a mesma probabilidade de sair.
LEI DE LAPLACE:
P(A)=nº de casos favoráveis/nº de casos possíveis
Propriedade: A probabilidade de qualquer acontecimento é sempre 1 valor
entre 0 e 1 inclusive. Se a probabilidade for zero o acontecimento diz-se
impossível. Se a probabilidade for um é um acontecimento certo.
Números reais:
N={números naturais}
Z={números inteiros relativos}
Q={números racionais}= Z U {números fraccionários}=» ou são dizimas finitas
ou são dizimas infinitas periódicas.
1/3= 0,33333...=0,(3)-dizima infinita periódica
0,123412341234...=0,(1234)
½= 0,5- dizima finita
R={números reais}=Q U {números irracionais} e (nº de neper) Ex:
√5; √3; etc.
Regras das equações do 2º grau:
- tirar parênteses
- desfazer de denominadores
- colocar na forma canónica
- usar o método de resolução correcto: isolar a incógnita e o anulamento do
produto no caso das equações incompletas; usar a fórmula resolvente ou os
casos notáveis da multiplicação para as equações completas.
16
Formas canónicas: equações incompletas: ax²+bx=0, ax²+c=0, ax2=0,
(a+b)(a-b) =a2 – b2
Equações completas: ax²+bx+c=0
Fórmula resolvente:
Regras dos sistemas:
- tirar parênteses
- desfazer de denominadores
- colocar na forma canónica
- resolver uma delas em ordem a x ou a y
- Ir substituindo à medida que se vai resolvendo até obterem o valor de x e de
y.,
Operações com raízes:
- Soma e subtracção:
Em primeiro lugar temos de decompor em factores os números grandes(na raiz
quadrada, por cada dois iguais passa para fora:
75 3
25 5
5 5
1
De seguida temos que reduzir os termos semelhantes. Ou seja todas as raízes
iguais são somadas ou subtraídas nunca se mexendo no número dentro delas.
Ex:
.
- Multiplicação:
Neste caso a única coisa que temos de ter em atenção é multiplicar o que está
fora pelo que está fora e o que está dentro pelo que está dentro (não há
excepções. É sempre assim).
17
Inequações e intervalos de números reais:
Condição
Intervalo de nº
reais
x>3
x<-1
x
2 +3
Se estiver:
.
, temos de multiplicar a inequação por -1 e trocar o sinal:
Condições
Conjuntos
(conjunção)
(e)
(Intersecção)
(disjunção)
(ou)
(reunião)
Regras das Inequações:
- Tirar parênteses
- Desfazer de denominadores
- Colorar os termos com incógnita no 1º membro e os termos independentes no
2º
- Reduzir os termos semelhantes
- Quando estiver resolvido fazer o intervalo de números reais
18
Circunferências e Polígonos:
Ângulo Inscrito: um ângulo é inscrito quando o sue vértice é um
ponto da circunferência e os seus lados são cordas da circunferência.

O
Ângulo ao Centro: um ângulo cujo vértice é o centro da circunferência
e os seus lados são raios da circunferência.

O
Nota: Em cada
(inscrito ou ao centro), corresponde apenas um único arco.
Propriedades:
1. A amplitude de um
inscrito é igual à metade da amplitude do arco
correspondente;
2. A amplitude de um
ao centro é igual à amplitude do arco
correspondente;
3. Dois ’s inscritos com o mesmo arco têm a mesma amplitude;
4. Um inscrito numa semi-circunferência é um recto;
5. A soma de dois
’s opostos de um quadrilátero inscrito numa
circunferência é sempre 180;
6. Uma recta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio que
contém o ponto de tangencia;
7. A mediatriz de uma corda passa pelo centro da circunferência, isto é, a
recta que é perpendicular à corda e que passa pelo seu meio, também
passa pelo centro da circunferência.
8. Numa circunferência, arcos e cordas compreendidas entre rectas
paralelas são iguais.
19
Polígonos: ’s internos de um polígono:
b
a
c
a + b + c = 108
2 x 180 = 360
 Para sabermos (seja qual for o nº de arestas do polígono) em quantos
triângulos podemos dividir a figura (seja ela qual for) temos que
subtrair dois ao nº de lados do polígono;
 Se um polígono tem 20 lados (por exemplo), podemos dividi-lo em 18
triângulos. A soma dos seus ’s é 18 x 180;
 Se um polígono tem n lados, podemos dividi-lo em n – 2 triângulos. A
soma dos seus ’s é (n – 2) x 180;
 Cada interno de um polígono regular com n lados tem de amplitude
.
Ângulos externos de um polígono:
 Se um polígono com n lados for regular, cada um dos seus
tem de amplitude:
’s externos
.
Problemas que relacionam trigonometria e circunferências:
Para resolver (se quiserem) Podem-se guiar pelos exercícios que fizemos nas aulas 99 e 100.
1. Determine a área de um polígono regular com 12 lados com 8 cm de
comprimento cada um.
2. Determine a área de um polígono regular com 26 lados, inscrito numa
circunferência com 11 cm de raio.
3. Determine a área de um polígono regular com 30 lados, cujo apótema
tem 14 lados.
20
Rotações e Isometrias:
Uma isometria é uma aplicação que transforma um segmento de
recta noutro geometricamente igual e um noutro com a mesma
amplitude. Existem 3 tipos de isometrias:

Simetria

Translação

Rotação
Translação
Simetria
Rotação
Relativo á Rotação:
Ângulo Orientado – é um ângulo no qual se define um sentido.
Uma rotação caracteriza-se pelo centro e pelo ângulo.
Convencionou-se que um ângulo pode ter 2 sentidos, um positivo e
um negativo:
+
O sentido positivo é o
sentido contrário aos
ponteiros do relógio
O sentido negativo é o
sentido dos ponteiros do
relógio
21
Trigonometria do triângulo rectângulo:
A cada ângulo corresponde uma
relação trigonométrica:
Sin
(seno de
)

Cos
(co-seno de
)
Tg
(tangente de
)
Hipotenusa
Cateto
Oposto

Cateto adjacente
Sendo
um dos ângulos agudos do triângulo rectângulo, tem-se:
(SOH1)
(CAH2)
(TOA3)
1
2
3
O Seno é igual ao cateto Oposto sobre a Hipotenusa
O Co-seno é igual ao cateto Adjacente sobre a Hipotenusa
A Tangente é igual ao cateto Oposto sobre o cateto Adjacente
22
Resolve o triângulo:
X
Ver quais as medidas dadas e
qual a fórmula que as relaciona.

Neste caso4:=60
cos =5/x. cos(60)=5/x «=»
«=» 0,5=5/x «=» 0,5x=5 «=»
«=» X=5/0,5 «=» x=10
5 cm
30
45
60
Fórmulas:
Cos2 + Sin2 = 1 – Fórmula Fundamental da Trigonometria
Tg  = sem /cos 
4
O triângulo não está à escala.
23
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